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高中数学解析几何问题研究
x 2 y 2
1
题 1. Let point M movealong the ellipse 9
8
,and point F be its
right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is. (ellipse 椭圆； focus 焦点； coordinate 坐标 ) （第十四届高二第二试第 18 题）
x 2 y 2
译文：点 M 是椭圆
9
1
上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P （6，2），那
8
么 3|MF|-|MP| 的最大值是
，此时点 M 的坐标是.
x 2
y 2 1
y
在椭圆
9
8
解
中 ，
M
M
Q D a
2
9,b
2
8 ，则 c 2
1, c 1 ，
P
G 所以椭圆的右焦点 F 的坐标
F
c 1
-3
O 1
3
6
9 x
e
a 3 ，
l
为（1，0），离心率
a 2 9
l : x
右准线
c
，显然点
x 2
y 2
1
P （6，2）在椭圆
9
8
的外部 . 过点 P 、M 分别作 PG ⊥ l
于 G ，MD ⊥ l
于 D ，
过点 P 作 PQ ⊥MD 于 Q ，由椭圆的定义知，
3|MF|-|MP|=|MD|- |MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3 ，当且仅当点 P 位于线段
MD 上，即点 P 与 Q 点重合时取等号 . 由点 P 位于线段 MD 上，MD ⊥ l
及点 P （6，2），
x 02 4
1 知点 M 的纵坐标为 2，设 M 的横坐标为
x 0
，即 M （
x 0
，2），则有
9
8 ，解
3 2
3 2
x 0
2
，因此 3|MF|-|MP| 的最大值是 3，此时点 M 的坐标是（ 2 ，2）. 得
评析 若设点 M 的坐标为 (x,y) ，则可将 3|MF|-|MP| 表示成 x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将
3|MF|-|MP| 转化为 ||MD|-|MP| ，就把无理运算转化为有理运算， 从而大大简化了解题过程 .
拓展 将此题引伸拓广，可得
x 2
y 2 1(a b
0)
定理 M 是椭圆 E ： a 2
b 2
上的动点， F 是椭圆 E 的一个焦点， c
为
椭圆 E 的半焦距， P （ m,n ）为定点 .
1
a 2
m
若点 P 在椭圆 E 内，则当 F 是右焦点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c
；当 F
是左焦
1
a 2
m
点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c
.
若点 P 在椭圆 E 外，则
a 2
1
a 2
m
F 是右焦点，且 0≤m ≤ c ，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是
c
.
a 2
1
m
a 2
F 是右焦点，且 m>
c
c .
，|n| ≤b 时， |MP|- e
|MF| 的最小值是
a 2
1
a 2
F 是左焦点，且
m
c ≤m ≤0，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是
c
.
a 2
1
m
a 2 F 是左焦点，且 m ≤
c
，|n| ≤b 时， |MP|- e
|MF| 的最小值是 c .
1
简证 1 、如图 1，作 MN ⊥右准线 l 于 N ，PQ ⊥l 于 Q ，由椭圆定义， |MN|= e
|MF|.
1
a 2
m
m
∴ e |MF|+|MP|=|MN|+|MP| ≥|PQ|=
c
，当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且 M
1
a 2
在 P 、Q 之间时取等号 . 如图 2，同理可证 e
|MF|+|MP||=|MN|+|MP|
≥|PQ|= m
c ，
y
当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且
M
N
y
N
M
P M Q
Q
M
P
O
m F
x
l
F m
O
x
l
图 1
图 2
