题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， n E
)(21210σσε-=
1σ面外， n E
)(21210
σσε+-= 2σ面外， n E
)(21210
σσε+=
n
：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
8-13 半径为R 的均匀带电球体的电荷体密度为ρ,若在球挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1) ρ+球在O 点产生电场010=E
，
ρ-
球在O 点产生电场'd
π4π34
3
0320
OO r E ερ
= ∴ O 点电场'd
33
030OO r E ερ= ； (2) ρ+
在O '产生电场'd
π4d 34
30301OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E
∴ O ' 点电场 0
03ερ=
'
E 'OO
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r
'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)
则 0
3ερr E PO
=
，
3ερr E O P '-
=' ,
∴ 0
003'3)(3ερερερd OO r r E E E O
P PO P
=='-=+='
∴腔场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放
在1.0×105N ·C -1
的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解: ∵ 电偶极子p
在外场E 中受力矩
E p M
⨯=
∴ qlE pE M ==max 代入数字
4536max 100.2100.1102100.1---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=M m N ⋅
8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?
解: ⎰
⎰
==
⋅=2
2
2
1
0212
021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(2
1r r - 61055.6-⨯-=J
外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示
0π41
ε=
O U 0)(=-R q R
q
0π41ε=
O U )3(R q R q -R q
0π6ε-
=
∴ R
q
q U U q
A o C O 00
π6)(ε=
-=
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
θ
εθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0⎰⎰-
==
R R E E y
R
0π4ελ=
［)2
sin(π-2
sin π-］
R
0π2ελ-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
⎰
⎰
==
=
A
B
20
0012ln π4π4d π4d R
R
x x x
x
U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40
2
ελ
=
U 半圆环产生 0
03
4π4πελ
ελ=
=
R R U
∴ 0
032142ln π2ελ
ελ+
=
++=U U U U O
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强 r
E 0π2ελ
=
电子受力大小 r
e eE F e
0π2ελ=
=
∴ r
v m
r e 2
0π2=ελ
得 13
2
0105.12π2-⨯==
e
mv ελ
1m C -⋅
8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压． 解: 平行板电容器部近似为均匀电场 ∴ 4105.1d ⨯==E U V
8-20 根据场强E
与电势U 的关系U E -∇= ，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的电场；(2)总电量
为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)．
解: (1)点电荷 r
q
U 0π4ε=
题 8-20 图
