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曲面拟合原理与实例

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多项式函数对所给的坐标进行拟合:

构造关于系数a j 的多元函数:

n

2

s( a

i 1，L

，

a

pq

)

g

[

f(x

g

，y

g )

Z g

]

g 1

点（311，…，a pq ）是多元函数s （a 11,L ,a pq ）的极小点，其中 g 为权函数，默

认为1,所以点（811，…，a pq ）必须满足方程组

s

3

ij

f(x,y)

i 1 j 3j x y

ij 1,1

1

a

i i 1 j 1

i 1 j 1 i

X y

f (x, y)

a 11

a 12y 2

a 13y

L q 1

a 21x a 22xy

2

a 23xy

L

q 1

a 2q xy

M

1

i 1 i 1

2 L

i 1 q 1

a i1x

y

33X

y

a iq

X y q

M

p 1

p 1

p 1

2

L

p 1 q

a p1X a p2X y a p3X y

a pq X y

p,q

p

q

即

1

x 2

x x M x

p

,y

y

2

y M y q

,A a 12

L

a 1q

a 22

L a 2q

M O

M

a p2

L

a pq

a ii

a 21

M

a p1

则函数又可表示为 f (x, y)

x T

Ay ,拟合的目标就是求出系数矩阵 A 。

给定一组坐标(x g ’y g ’Z g ) , g 1,2,…,n ,

表示有 n 个点。要求用以下二元

p q / i 1 j 1

g ( a j X y

i 1 j 1

z

g

)2

在g 1的情况下，有

2

[f (X g ,y g ) Z g ]

g i

2[f (X g ,y g )

i 1 j 1

Z g ]X g y

g

g i

n

2

g i

因此可得

n

n

i 1 j 1 i 1 j 1 X g y g

f(X g ,y g )

X g y g Z

g

g 1

g 1

n

p q

n

i X g

1

y g

1 1 a X g

y g 1

i 1 j

X g

Y g

1

Z g

g 1

1 1

g 1

n

p,q n

i X g

1

y g

1 1 1

a

X g y g

i 1 j 1

X g

y g

z g

g 1

1,1

g 1

p,q

n

n

a

i 1 j

(x g

y g X g y g

1

、

i 1

X

y g

1z g

1,1

g 1

g 1

p,q

a u (i, j) v(i, j) (i, j)

(1,1),…,(p,q)

1,1

上式实际共有p q 个等式，可将这

比1(1,1) L

U pq (1,1) an

M

O M M

Un(p,q) L U pq (p,q) a pq

也就是U*a=V 的形式，其中

Un(1,1) L U pq (1,1)

U

M O M

Un(P,q)

L

U pq (p,q)

p q 个等式写成矩阵的形式有: v(1,1) M v( p, q)

an

v(1,1) a M ，V M

a pq

v(p,q)

2[f(X g ,y g ) 叩石If")]

a ij

a ij x g 1

y g 1

f (x

g ,y g ) x g+g z

u (i, j)

n

(X g g 1

1

y

g

1 i 1 X g y g 1

), v(i,j)

n

i 1 j 1

X g y g

Z g

g 1

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