第7章习题：
1.设A={0,1}，试给出半群的运算表，其中︒为函数的复合运算。
2.S={a,b,c}，*是S上的二元运算，且
∀x,y∈S, x *y = x
(1) 证明S关于*运算构成半群；
(2) 试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。
3.给定代数结构〈R,∗〉，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，∗定义如下：
a∗b=a+b+ab
试证：〈R,∗〉是独异点。
4.给定半群〈S,∗〉,a∈S,对于S中的任意元x和y,定义二元运算如下：
x⊕y=x∗a∗y
试证：〈R,⊕〉是半群。
5.指出下述各代数系统哪些是半群，并说明理由。
（1）[Z;−]。
（2）[C;×]。
（3）[M m,n(Q);+]。
（4）[Z n;⊕]，⊕为同余类的加法运算。
6.设V=<{a,b},*>是半群，且a*a=b，证明：
(1) a*b=b*a
(2) b*b=b
7.S={a,b,c},∗是S上的二元运算，且∀x ,y∈S,x∗y=x.
（1）证明S关于∗运算构成半群。
（2）试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。
8.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算︒如下：
∀x,y∈Z，x︒y=x+y-2
问Z关于︒运算能否构成群？为什么？
9.设A={x|x∈R∧x≠0,1} ，在A上定义6个函数如下：
f1(x)=x; f2(x)=x-1; f3(x)=1-x;
f4(x)=(1-x)-1; f5(x)=(x-1)x-1; f6(x)=x(x-1)-1
令F为这6个函数构成的集合，︒运算为函数的复合运算，
(1) 给出︒运算的运算表
(2) 验证是一个群
10.判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。
（1）a是正实数，G={a n|n∈Z}，运算是普通乘法。
（2）Q+为正有理数，运算是普通乘法。
（3）Q+为正有理数，运算是普通加法。
（4）一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。
（5）一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。
11.指出下列代数系统中哪些是群，哪些是可交换群，并说明理由。
（1）1的n次根（包含复根与实根），关于乘法的运算。
（2）[R∗;∗]，其中∗定义如下：任意a,b∈R,a∗b=a2b2,R∗=R−{0}。
（3）[F[x];+]，其中F(x)={a0+···+a n x n|a i∈R,i=1,···,n;n∈N}，+为多项式加法运算。
（4）[{a+b√2|a,b∈Q};+]。
12.已知〈G,·〉为不可交换群，证明必存在a,b∈G,a≠b,a≠e,b≠e,但ab=ba。
13.设S={0,1,2,3},⊗为模4乘法，即：
∀x ,y∈S,x⊗y=(xy) mod 4
问〈S,⊗〉构成什么代数系统(半群，独异点，群)？并说明理由。
14.设H1,H2分别是群G 的r, s阶子群，若(r,s) = 1，证明H1 H2 = {e}.
15.设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群.
16.给定群〈G,∗〉,且H={x|a,x∈G⋀x∗a=a∗x},试证〈H,∗〉是〈G,∗〉的子群。
17.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集
合，即：
N(a)={x|x∈G⋀xa=ax}
证明N(a)是G的子群。
18.设G=(a)，|G|=n，证明：它的任意子群是循环群。
19.设G=〈a〉是15阶循环群：
（1）求出G的所有生成元。
（2）求出G的所有子群。
20.下面集合关于数的加法+，与乘法·是否成环？
（1）{a+b√5|a,b∈Z}
（2）{a+b√2+c√3|a,b,c∈Z}
（3）非负整数集D
21.下列系统是否是环，并说明理由。
（1）n阶方阵，关于矩阵的加法与乘法。
（2）区间[-1,1]上所有实连续函数，关于函数的加法与乘法。
（3）〈R; +,·〉，R为实数集，+为实数加法，·定义为a,b∈R,a·b=|a|b。
22.给定环〈R; +,·〉且a,b,c,d∈R.试证：
（1）(a+b)·(c+d)=a·c+b·c+a·d+b·d.
（2）若a·b=b·a=0,则(a+b)n=a n+b n.
23.设a和b是含幺环R中的两个可逆元，证明：
（1）-a也是可逆元，且(−a)−1=−a−1.
（2）ab也是可逆元，且(ab)−1=b−1a−1.
24.设R是环，令：
C={x|x∈R⋀∀a∈R(xa=ax)}
C称作R的中心，证明C是R的子环。
25.给定域〈R,+,·〉，且S⊆R，S定义为：
S={a+b√2|a,b∈Q}
其中R，Q分别为实数集合和有理数集合。试证：〈S,+,·〉为〈R,+,·〉的子域。
