北京四中名师谈如何学好初中数学

找准自己的薄弱环节突破数学瓶颈轻松应对北京四中新初一分班数学难题在北京四中这所著名的中学里，初一学生将会面对一系列数学难题。

然而，在迎接这些挑战之前，我们先得找准自己的薄弱环节，才能准备好应对这些问题。

一、了解自己的数学水平如何在我们开始准备数学考试之前，我们需要知道自己目前的数学水平是什么。

为此，我们可以利用以下两个方法来帮助自己判断。

1.做一套模拟试卷模拟试卷会给我们提供一个准确的信息，告诉我们我们目前的数学能力在哪里。

该试卷可以从学校老师、辅导班或网络上获得。

完成试卷后，我们需要认真阅读和分析自己所犯的错误，并尝试归纳出自己的薄弱环节。

2.请教老师、同学或家长在完成模拟试卷之后，我们可以向我们的老师、同学、家人寻求帮助。

我们可以寻求他们的意见和建议，以便找到我们的薄弱环节。

他们也可以帮助我们找出我们在数学方面的优点和长处。

二、在薄弱方面得到提高当我们找出了我们的薄弱环节后，我们可以采取以下措施来改进自己的技能和能力。

1. 查找相关的教材和学习资源通过查找相关的教材和学习资源，我们可以更容易地掌握薄弱环节所涉及的知识点。

尝试找到那些涉及我们薄弱知识点的自学材料和视频教程，利用这些学习资源和教材，你可以在更短的时间内提高自己的数学能力。

2. 寻求帮助在学习数学的过程中，我们都会遇到一些困难。

在这种情况下，我们可以选择向老师、同学、家长或互联网论坛中的专业人士寻求帮助。

通过询问、提出问题或请教，我们可以在提高自己的数学能力方面得到帮助。

三、轻松面对考试当我们准备充分，准备考试的时候，我们可以采取以下方法来轻松面对数学考试。

1.做定量分案专项练习除了做模拟试卷外，我们可以尝试做类似北京四中新初一分班数学难题的专项练习。

这将帮助我们更好地掌握分题难度和考试难度，从而更好地准备考试。

2. 熟悉时间规律每道数学题都有一个特定的时间限制。

因此，在准备考试的时候，我们应该密切关注时间规律。

通过对数学题目的反复练习，我们可以提高自己的时间管理能力。

北京四中新初一数学分班的技巧分享初中数学分班一直是一个备受关注的话题。

今天我将分享北京四中
新初一数学分班的技巧，帮助你更好地分班，找到适合自己的班级。

第一，认真准备测试
在考试前一天应该保持良好的状态，给自己充足的时间复习并休息。

测试当天，应该提前到达考场，争取提前适应环境，放松心情。

第二，掌握基础知识
数学考试的核心在于理解基础知识，化繁为简，善于运用所学。

因此，在备考过程中，应该时刻保持对基础知识的掌握，掌握数学公式
和定理，拓宽数学思路和方法的应用，增强对数学知识的自信，不断
壮大自己的数学基础。

第三，注重解决问题的方法
数学考试存在很多常见的问题和方法，考生应该时刻关注，举一反三，总结解题的方法，提高自己的解题能力，增加数学解题的信心，
从而更加自信地应对数学考试。

第四，注重考试策略
在实际考试过程中，应该注重考试策略，掌握对数学知识应用的技巧，处理好时间和思路的关系，及时调整自己的心情和状态，从而更
加成功地完成数学考试，取得好的成绩。

最后，衷心祝愿每位考生都能成功完成北京四中新初一数学分班考试，找到适合自己的班级，开启初中数学学习之旅，成为数学精英！。

2019年中考“数学科目”备考策略北京名师各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢初三现在各科基本已进入一轮复习。

就初中数学而言，同学们想好要怎么复习了吗?很多同学都认为是最难的，其实不然，数学学的好不好与学习方法有很大关系。

北京四中网校教学初中部常老师给同学们提出以下几条复习建议，希望大家即将面临的中考有所帮助。

一、精心解读《中考说明》大多同学的疑问是关于中考都考什么、考得有多难、怎么应考，这些就需要仔细阅读中考考试说明，明确要考的知识要点，理清中考试卷结构以及知识分布点。

至于考试难度，相应的说明书后面相应的知识点后都有相关的例题，通过这些例题大家可以对考试难度有大致的估量。

因此仔细研读中考说明是对中考做最大程度的了解，力争做到“知己知彼百战不殆”!二、复习资料的选择相应的复习资料也是同学们在备考的时候不可或缺的，现在市场上数学复习资料可谓铺天盖地，让人眼花缭乱，那我们如何选择适合自己的复习资料呢?以下几点供大家参考。

咨询历届学长们都使用的是哪些复习资料，这可以给自己提供很有效的参考。

选择与自己的课程进度吻合的辅助资料，这样可以在课后进行针对性的练习。

挑选与自己实际水平相一致的复习资料。

问题是怎样才能知道一本复习资料是不是适合自己的呢?通常衡量一本好的复习资料的标准是：书中70%的题自己不借助帮助是可以做出来的，而余下30%的题需要借助其他人的帮助或者答案解析才能解决的，如果符合这些条件，那这就是一本适合你的好资料!现在很多家长和学生都习惯以练习题做的多少来衡量学生投入度的多少，其实这是不科学的，练习题做得多不一定表示从中得到了预期的效果，那我们怎样才能得预期的效果呢?第一，做练习题的时候要求同学们要多思考，遇到好的解题方法要记录下来;第二，要合理分配做题时间，尽可能的做到各科学习时间分配符合自己的实际学习情况;第三，要通过练习同时提高自己做题的速度和正确率，因为在考试中，基本上没有再次检查的时间，也就是说要求同学们要“一步到位”!三、复习存在问题及处理方法现阶段同学们都能深刻感受到作业量大了很多，各科作业累加起来让同学们深感疲惫，很多同学写作业就是为了应付过关，这样的结果就是老师们精心留下的作业没有让同学们从中得到相应的受益!那我们应该怎么做呢?我们应该尽可能对留下的作业进行筛选，控制作业量，各科要统一协调，统筹合理分配学习时间，力求作业完成的准确且高效!中考前众多测验对同学们来说就是“家常便饭”了，那同学们要如何对待测验以及测验分数呢?在每次测验之前老师都要强调审题的重要性，这点是毋庸置疑的，大家应该明白其中道理;其次考卷中答题格式要正确规范、步骤要完整、推理要严谨。

北京四中学习方法谈. “ 3”就是三个学习过程的摆列规律1）学校学习过程：主要达成听读看记，在学校老师那里获得知识（ 10 元钱，只得7 元钱，拣钱）2）家庭学习过程下学回家的学习过程，把学校学习的知识达成理解，发现没有学好的地方。

3）周末把一周学习过程达成回首，整理，对知识查缺补漏。

此刻我们来剖析清华、北大是如何把你裁减的。

清晨到学校上课，老师很快乐，发给学生每人10 块钱。

在要点学10能获得 7 块钱。

其余的 3 块钱，掉到地上了。

但是他们很狡猾，在回家后把掉在地上的 3 块钱拣了起来，在他夜晚睡觉的时候，他的兜里仍是10 块钱。

而广大的中下游的孩子每天起码有 40％的知识掉在地上没有拣。

结果是，一天不重要，一周不重要，一个月还不重要，三个月后，通知书发下来了，“×××学生，你这辈子都考不上清华、北大了”。

因为基础知识每天扔掉 40％，聚积到三个月后，考清华、北大基本上是不行能的。

“4”指的是四个学习环节“学、查、改、纳”我们来组装学习这台机器，在吉林，一个农门家里培育出三个博士生。

中国好多家庭都出现过这样的事情。

但是好多老师的孩子考不上大学。

原由呢？有好多高中的孩子家长看不懂孩子的数理化了。

“ 3461”学习方法拥有很强的控制系统，能够让小学文化的家长指导高三学生，湖北省高考状元就是用的这套学习方法。

第一个过程：在学校学习主假如“学的环节”，记笔录就是一种学习习惯，学习成绩原自于学习习惯。

学生主要运用四个字“听、读、看、记”。

家长注意看住孩子的讲堂笔记。

家长每天上班，你怎么知道孩子在学校学习状况怎么样呢？很简单，回家用一分钟时间把孩子的讲堂笔录扫描一遍。

就能知道他在学校学习状况。

注意孩子在听老师授课时很难45 分钟保持高度集中。

他们的讲堂笔录是个大漏勺，每天回家后应当达成对讲堂笔录的整理。

四中网校的学院下学回家后，先翻开自己的讲堂笔录，而后翻开电脑看的知识导学，有标准的讲堂笔录，每天比较同步指导整理自己的讲堂笔录，把掉在地上的 4 块钱捡起来。

北京四中新初一数学分班备考技巧如何提高做题效率作为新生的家长或学生，你们可能会困惑于如何在高中的数学课程中获得成功，特别是在分班备考时。

数学作为所有高中班级中最具挑战性的科目之一，需要准备充分，以确保您取得良好的成绩。

为了帮助您准备最好的准备并最大限度地提高您的数学做题效率，我们提供了以下几个数学备考技巧。

一、复习数学基础知识首先，这是准备数学课的必须步骤。

通过快速回顾关键概念，您可以放心地切入更复杂的题目。

建议你花时间复习重要的数学公式、定理、公理等，这将帮助您更好地理解问题。

同时，对于在初中时没有掌握的概念，要及时了解和学习。

二、解决疑难问题的技巧数学问题较多时，可能会出现疑难，难以理解或者无从下手的情况。

如何解决这些问题？一般而言，有三种常见的策略。

首先一种是直接求助于老师或者同学，这是解决问题的最快捷的方法。

其二是查阅和研究数学书籍，互联网资源等，这需要耐心和时间。

还有一种方法是，用同样的方法和求解，尝试自己解决问题，这需要持之以恒的毅力与决心。

三、创造自己的课程计划一个好的学生需要制定自已的学习计划，以确保在备考期间尽可能少的浪费时间。

为此，要有一个有计划、有思路、高效的学习计划，根据学习的阶段与进度来安排复习、做题等命题备考任务。

定期回顾巩固课堂上所学内容，集中复习每个模块时复习练习题，以巩固已经学过的知识点。

四、充分利用模拟考试模拟考试是一种提高数学学习能力的有效方法。

假设你在模拟考试中遇到了一些困难，这样你就可以了解你在想出答案时需要或者缺少了什么情况。

在模拟考试中，专注于每道问题，并进行答题技巧的练习。

通过模拟考试，您不仅可以提高分数，而且可以学习到很多重要的答题技巧，这将有助于对实际考试做好准备。

五、积极参与数学小组讨论加入数学学习小组是一种积极、有益的方式，可以帮助您迅速解决数学问题。

与同学们合作，共同思考问题解决的步骤、技巧以及需要注意的细节，同时互相督促，一起进步和提高，可以更好的巩固数学学习上的知识和技能。

北京名师支招：学好初二数学四点方法一、该记的记，该背的背，不要以为理解了就行有的同学认为，数学不像英语、史地，要背单词、背年代、背地名，数学靠的是智慧、技巧和推理。

我说你只讲对了一半。

数学同样也离不开记忆。

试想一下，小学的加、减、乘、除运算要不是背熟了“乘法九九表”，你能顺利地进行运算吗?尽管你理解了乘法是相同加数的和的运算，但你在做9*9时用九个9去相加得出81就太不合算了。

而用“九九八十一”得出就方便多了。

同样，是运用大家熟记的法则做出来的。

同时，数学中还有大量的规定需要记忆，比如规定(a≠0)等等。

因此，我觉得数学更像游戏，它有许多游戏规则(即数学中的定义、法则、公式、定理等)，谁记住了这些游戏规则，谁就能顺利地做游戏;谁违反了这些游戏规则，谁就被判错，罚下。

因此，数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。

比如大家熟悉的“整式乘法三个公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。

在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量地用到这三个公式，特别是初二即将学的因式分解，其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的，二者是相反方向的变形。

对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。

打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的;有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。

同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。

而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。

二、几个重要的数学思想1、“方程”的思想数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。

【初中数学】北京名师支招：学好初二数学四点方法一、该记的记，该背的背，不要以为理解了就行一些学生认为，与英语、历史和地理不同，数学需要记住单词、时间和地名。

数学依赖于智慧、技能和推理。

我说你只对了一半。

数学也离不开记忆。

想象一下，如果你在小学时没有记住加法、减法、乘法和除法的“乘法表”，你能顺利地操作吗？虽然你知道乘法是相同加法的和，但当你做9*9时，把9加起来得到81并不划算。

使用“9981”更方便。

类似地，它是通过使用熟悉的规则来实现的。

同时，数学中有很多规则需要记住，比如规则（a）≠ 0）等等。

因此，我认为数学更像是一场游戏。

它有许多游戏规则（即数学中的定义、规则、公式、定理等）。

记住这些游戏规则的人可以顺利地玩游戏；任何违反这些游戏规则的人都将被判错误并受到惩罚。

因此，我们必须记住数学的定义、规则、公式和定理。

其中一些最容易背诵，也最容易上口。

例如，我们熟悉“整数乘法的三个公式”。

我想你们中的一些人能背诵，而其他人不能。

在这里，我将向那些不能背诵这三个公式的人敲响警钟。

如果我不能背诵这三个公式，这将给我未来的学习带来很大的麻烦，因为我会在未来的学习中大量使用这三个公式，尤其是初二要学习的因式分解，其中三个非常重要的因式分解公式是从这三个乘法公式推导出来的，它们是朝相反方向的变形。

对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。

打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的;有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。

同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。

而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。

二、几个重要的数学思想1、“方程”的思想数学研究事物的空间形式和数量关系。

如何利用北京四中新初一数学分班提升数学成绩北京四中新初一数学分班是学生晋级北京四中高中阶段的重要关口，对于提高数学成绩来说至关重要。

本文将从优选教材、做好基础练习、注重思维训练三个层面，为您详细介绍如何利用北京四中新初一数学分班提升数学成绩。

1. 优选教材数学分班的首要任务便是通晓初中数学基础知识，学有所成。

教材的优劣关系到学生的掌握程度。

推荐选择好的教辅资料是优选教材的关键，其中不乏有经典的数学工具书，如《中考数学历年真题分类解析》《中学数学高效笔记+直通高中》等。

这些书籍对于初中数学知识的系统梳理和分类总结极为丰富，而且对于高中数学的孕育期也有隐约的启示。

相较于初中时期背诵式记忆的学习方法，这种基于认知的学习方法能够使学生将数学概念、定理以及证明更加深入地理解掌握，具有天然的优势。

2. 做好基础练习数学分班的第二个重点是基础练习，包括书写规范、算数技巧、公式记忆等。

做好基础练习能够有针对性地解决学生的短板，确保学有所获。

对于笔画书写规范，可以用同样的手写字幕字模板来练习。

此法有很好的效果，能够让学生练就一只优美的手写体，敏捷且舒适。

在算数技巧的锻炼方面，则需要掌握基础套路，例如：快速平方、整除分解、基本因式分解、解二次方程等，这些套路在数学分班中极为常见。

在公式记忆方面，建议学生采用抽象概括、分层核心的方式于平时进行常规练习，提高记忆效果。

3. 注重思维训练思维训练是追求数学分班高分的保证。

在初中阶段，尤其是分班考试前的1~2个月进行脑力锻炼是极为必要的。

在思维训练方面，从思路拓展、思维敏捷、综合性灵活运用三个方面分别展开。

从思路拓展方面，学生可以选择更多的知识浏览，边看题边思路尝试；从思维敏捷方面，可以通过运用网络和电脑编程等学习资料培养快捷思考；从综合性灵活运用方面，学生可以通过理论和实践相结合，开展讨论、实验、模拟等活动，锤炼自己解题的思考题意能力和求解思路。

总体而言，北京四中新初一数学分班是洗涤初中数学知识的涤荡之道，同时也是初中数学启迪高中数学方向的契机。

无理数与实数（提高）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内：32147π，52-2203，538490，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】 解：有理数有：14， 52-，38，490， 327，π，2203，5 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……327，2203，5-. 举一反三：【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. … 有理数集合 … 无理数集合(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较2、比较20101-与19491+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小．【答案与解析】解：因为201012025145144-<-=-=，194911849143144+>+=+=．所以20101-＜19491+ 【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】解：已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：||||||||x z x y y z x z x z---++++-．【答案】由图知0x y <<，0z >，0x z -<．∴ 0x y -<，0y z +>，0x z +>，0x z -<．∴ ||||||||x z x y y z x z x z---++++- ()()()()1x z x y y z x z x z --=---++++=--． 类型三、实数的运算3323m m【答案与解析】解：（1）当m ≥02m m =33m m =，3232m m m m m =+=．（2）当m ＜02m m =-33m m =，3230m m m m =-+=．323m m 0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解．（1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根．【答案】解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ， 则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩ ∴ a 为2(2)4±=．（2）∵ 22416a ==．∴ 2a 的算术平方根为4．类型四、实数的综合运用4、已知2(21)30a b b -++-=34c =333a b c ++ 【答案与解析】解：∵ 2(21)30a b b -++-=，且2(21)0a b -+≥30b -≥．∴ 2(21)0,30a b b -+=-=且，即210a b -+=，30b -=．解得 b ＝3，a ＝534c =得c ＝64．∴333333353642166a b c ++++==．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b 34c =，所以c ＝64333a b c ++举一反三： 23|9|0x y x -+-=，求x y 的值． 【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =． 把3x =代入①得330y -=，y ＝1． ∴ 331xy ==．。

北京四中名师谈初三生期中考试后数学学习第一我讲一个故事。

10月12日中央电视台第六频道有个名人访谈的节目，邀请的嘉宾是赫赫有名的曾在英特尔公司工作的魏文先生，在节目中他曾谈到自己关于数学学习的一段经历。

小学的他数学成绩专门差，期中考分是28分，家长为此专门着急，专门请了一位老师为他指点迷津，老师给他出了一道解方程的题目，通过认真全面的摸索，他难道解出了那个方程，这使他感到数学真是太有意思了，这大大激发了他学好数学的好奇心。

接下来的期末考试，他的数学成绩是98分，排年级第三名。

扎实的数学功底，使他的思维灵敏而严谨，关心他从一个成功走向另一个成功。

那个故事告诉我们：爱好是最好的老师。

有爱好才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有爱好才会产生学习的主动性和积极性。

在数学学习中，把这种从自发的感性乐趣逐步提升为自觉的理性的“认知”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。

”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

因此，要想方法不断挖掘数学的魅力，探究数学的隐秘，培养学习数学的爱好。

因此，亲其师信其道，要想方法靠近自己的老师，进而喜爱自己的老师，也是培养数学学科爱好的重要因素之一。

期中考试后，我觉得必须解决好下面几个问题。

第一要端正态度，找准问题，制定措施。

期中考试检查了自己前一时期数学的学习成效，我们不要为期中成绩和名次不理想而苦恼不已，也不要为这一次的成绩和名次较好而沾沾自喜，考试成绩的好坏与专门多因素有关，一次的考试结果也说明不了太多的问题，关键是应该认真地分析试卷，找准考出的问题，及时制定有效的可操作性的改进措施，进一步优化学习数学的过程。

北京四中学霸的学习方法总结一、关于学习态度的转变1. 主动学习学习是自己的事。

我深知这一点，所以从小学开始，我就主动学习，课前预习，课堂认真听讲，积极思考，课后及时复习，认真作业。

我深知只有主动学习，才能取得主动的地位，学到真正有用的知识。

2. 勤奋刻苦进入初中后，随着学科增多，难度加深，勤奋刻苦的精神更是不能缺少。

每天除了上课时间，其他时间几乎都在自习中度过。

晚上回到家后，我总是先复习当天所学的内容，再完成作业。

遇到难题就钻研思考，绝不轻易放弃。

二、关于学习方法的总结1. 制定计划每天晚上，我都会制定第二天的复习计划，每周会制定一周的学习计划，这样有目的地学习能使自己的学习效率提高。

2. 合理安排时间在学习中，合理安排时间非常重要。

在自习课时，我会优先复习当天要学的内容，尤其是重点内容。

在上课时，则要把精力集中放在听老师讲解上，紧跟老师的进度，抓住课堂上的宝贵时间。

3. 认真记笔记记笔记有助于理解学习内容，也有助于复习。

在四中，老师们都会采用“启发式教学”，课堂上不单讲授知识，还会穿插一些与知识相关的例子或问题，这时我会记下问题的同时思考并尝试解答。

这样既有利于理解知识，也锻炼了自己的思维能力。

4. 重视预习和复习预习能帮助我们了解要学习的内容，并发现学习中的困难之处。

这样在上课时就可以有针对性地听老师讲解。

复习则是对所学知识的巩固加深。

所以每节课后的自习时间我都会用来回顾当天的学习内容，每周六都会把本周所学的知识进行总结复习。

5. 多做习题做习题是用来检验自己对于知识的掌握程度的。

数学就是通过做题来巩固自己所学的知识，并尝试多种解法，从中找到最佳方法。

英语则是用来加深单词、短语的理解，通过多种习题来锻炼自己的语感。

三、关于考试心态的调整1. 保持平常心态考试只是对所学知识的检验和测试。

考试只是众多考试中的一场，它并不能决定你的全部。

所以无论考得怎样，都应以平常心对待。

我深知这一点，所以每次考试前都保持平常心态，考试后不因考得好而骄傲自满，也不因考得差而沮丧。

用高观点教数学作者：周长生（北京四中）选自《为不教而教》一书概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。

中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。

这句话虽然家喻户晓。

但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。

任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。

严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。

因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。

课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。

高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。

可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。

没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。

可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。

就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。

第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。

以下，将分别加以叙述。

一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。

方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。

渔和鱼，无论如何不能混为一谈。

试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。

比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。

又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。

在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。

事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。

初一学生：掌握科学的数学学习方法很重要_名师指点
对初一学生掌握科学的数学学习方法是非常必要的。

北京四中高级数学教师龚剑钧老师告诉我们：从学习的几个环节可把数学的学习方法分为以下五个方面：
读：先粗略浏览教材的枝干，并能粗略掌握本章节知识的概念和重、难点；对重要的概念、公式、法则等反复阅读；要研究知识间的内在联系。

听：听每节课的学习要求；听懂教学中的重、难点；听例题关键部分的提示及应用的数学方法；听好课后小结。

思考：要多思考，会抓住问题的关键、知识的重点进行思考；要善于从回顾解题策略、方法的优劣，进行分析、归纳、总结。

问：在某个问题得到回答后，顺其思路对问题紧追不舍继续发问；从相反的方向把问题提出来，通过比较和类推提出问题，通过对实际生活中一些现象的观察和分析提出问题。

记笔记：记学习内容的要点，记自己有疑问的疑点，记书中没有的知识及教师补充的知识点；记解题思路、思想方法；记课堂小结。

北京四中名师谈学好初中数学秘籍北京四中名师谈学好初中数学秘籍正确的学习态度和科学的学习方法是学好数学的两大基石。

这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践，北京四中网校主讲教师、北京四中数学高级教师龚剑钧就几个数学学习实践中的具体问题谈一谈如何学好数学。

1．数学运算运算是学好数学的根本功。

初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。

初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击同学学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步开展。

从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大局部是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句马虎掩盖了其背后的真正原因。

认真分析运算出错的具体原因，是提高运算能力的有效手段之一。

在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：(1)情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；(2)要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。

2．数学根底知识理解和记忆数学根底知识是学好数学的前提。

同一个数学概念，在不同人的头脑中存在的形态是不一样的。

〔1〕理解的标准：准确、简单和全面。

准确就是要抓住事物的本质；简单就是深入浅出、言简意赅；全面那么是既见树木，又见森林，不重不漏。

对数学根底知识的理解可以分为两个层面：一是知识的形成过程和表述；二是知识的引申及其包含的数学思想方法和数学思维方法。

〔2〕记忆是大脑对知识的识记、保持和再现，是知识的输入、编码、储存和提取。

借助或提示语尝试回忆的方法是一种比拟有效的记忆方法，比方，看到一元一次方程六个字，你就会想到：它的定义是什么？最简方程是什么？它的解的概念，及解方程的一般步骤。

如何利用北京四中新初一分班数学真题提高自己的数学能力利用北京四中新初一分班数学真题提高自己的数学能力近年来，随着学业竞争的加剧，家长和学生们都对于数学这科目的学习越来越重视。

而北京四中新初一分班数学真题则成为了越来越多人提高数学能力的有效途径。

那么，在这篇文章中，我们将会探讨如何利用这些数学真题提升自己的数学能力。

一、了解数学真题的特点了解数学真题的特点是提高数学能力的第一步。

通常情况下，数学真题是围绕在知识点上考查思维是否严谨和理解是否深入。

而对于初中阶段的学生来说，每年的数学教材都有所变化，这也就意味着数学真题随之而变化。

二、分步利用数学真题为了更好地利用数学真题，我们可以采用分步的方法，先从基础入手，巩固自己的基本功，然后逐渐做难度更大的真题。

第一步：选择年份。

一般来说，建议选择近几年的年份所出的数学真题。

因为近几年的数学真题和当今的考试趋势有很大关系，这对于我们分析并掌握考点是有帮助的。

第二步：按照题型分类。

数学真题涉及到大量的题型，如函数、图像、方程式等等。

我们可以将这些题型按照类型进行分类，建立自己的练习题库，做到知识点全面，练习注重。

第三步：按照难度分类。

考虑到数学真题的难度是不同的，既有基础题，也有难题。

因此，在做真题的时候，我们可以根据自己的情况，从简单到难，一步步攀登高峰。

三、掌握解题思路针对数学真题，掌握解题思路也是至关重要的。

对于初中阶段的学生来说，在学习中学到的多半是基础知识，因此最重要的是掌握思想方法、解题方法和解题技巧。

在解题的同时，我们可以尝试利用一些图表来更好地理清思路，突破难点。

四、多方面提高数学能力最后，我们需要提醒一下：只是单纯地做数学真题并不能提高数学能力。

因此，在日常学习中，我们还需采取多种方法，多方面地进行练习：第一、在课余时间里学习扩展知识，不依赖班级教学，进行独立思考。

第二、要有好的学习习惯。

在课内，认真听讲，先理解思想和方法，再解答习题。

在做题的时候，注重思路，注意检查，分析自己的解题错误，找出解题方法的漏洞之所在，然后再去学习和弥补。

10月21日初一(*)班家长会很幸运，孩子在四中前一个月的学习中，数学成绩考得还不错，受老师委托，在这里介绍一下督促孩子学习的有关情况。

相互交流，供大家参考!学习要从转变观念入手。

我一直跟孩子说，学习是自己的事。

学好了，自己受益；学不好，自己吃亏。

我们告诉孩子，小时候你爱听故事，学会了认字就可以自己看，看的比我们讲得多；随着知识的增长，你视野更加开阔了，你发现原来世界上有这么多有趣的事：你学习了玩朴克，玩象棋，玩电子游戏；踢足球，打篮球，打羽毛球；看画报，看小人书，看小说，其实比这有趣、比这好玩的东西还有很多，很多，只是你还不知道，没有见到，还没学会。

你努力学习，将来走出校园，走北京，走出中国，走遍世界，你会觉得豁然开朗，你会觉得把大量的时间浪费在玩这些小儿科的游戏上，太可惜啦!这些游戏不是不能玩，你可以利用它来放松一下自己，但千万别沉溺于此，否则就会犯鼠目寸光，夜郞自大的毛病。

观念转变了，孩子就会把学习由压力变成动力，由平淡变得有趣。

有观念的转变，抓学习就会更顺当一些。

提高学习成绩，我们着重在培养他的学习习惯上下功夫。

第一个习惯：自觉学习的习惯。

这里包括两个部份：一是上课认真听讲。

我们说你解一道没有见过的题，最少需要15分钟，有时可能需要一个小时或更多时间，而老师给你把思路、方法和步骤教给你，只需要几分钟，如果你上课认真听，放学后，你做作业就会更轻松，你会比别人节约更多的时间，可以做自己想做事情。

你会发现你变得更聪明了，因为你花了比别人更少的时间，学到了比别人更的东西。

二是一定要完成老师布置的作业。

作业是老师对学生最基本的要求，也就是说，这是你完成学业的基础，如果你不做作业，你的考试会成问题的，我想你不会是一个把考试成绩订在及格线以下的孩子。

完成学校作业没有价钱可以讲的，先完成作业，再做别的事情；没完成作业，别的什么事情也别我提。

这是小学三年级前我们的要求；后来，回家先做作业已经成为他的习惯，小学作业他基本上1个小时内就完成了。

多练习整理思路夺取北京四中新初一分班数学好成绩在北京四中新初一分班考试中获得好成绩，需要学生掌握一定的数学思维和技巧。

其中，多练习整理思路是提高数学成绩的关键之一。

一、挖掘问题本质在数学学习中，挖掘问题本质是重要的思考方法。

学生需要理解问题本身，弄清解题思路，发现其中隐藏的规律。

例如，当学生遇到一个比例问题时，需要明确如何求取比例的相等关系，从而转化为一道简单的方程式。

定期进行思维训练，让学生在实际的数学问题中真正理解问题的本质，并找到适合自己的解题方法。

二、理性备课调整学习方式学生在备课时应该注重理性调整，找到适合自己的学习方式。

不同的学生有不同的学习风格和学习节奏，需要根据自己的情况调整学习计划。

备课时可以对教材进行适当地扩展延伸，寻找更多真实的数学应用场景，培养学生的兴趣和对数学思维的深入理解。

三、走出舒适区，多做题数学学习需要多练多练，要求自己冲出自己的舒适区，敢于尝试不同的题目。

多做一些难度适中的题目，尤其要多做一些真实的问题。

这样有助于学生拓展思维，发现自己存在的知识漏洞，并提高解决问题的能力。

学生需要在学习过程中逐渐培养自我评估和自我调整的意识，通过不断练习和反思，提高成绩和能力。

四、多问问题，搞清知识点学生在学习数学的过程中，需要勇于提问，主动解决自己的问题。

也可以和同学、老师进行交流沟通，进行相互的学习和讨论。

学习数学需要注重思考和深度理解，只有理解和记忆双管齐下才能从根本上提高数学成绩。

学生需要善于发现数学领域的疑惑并勇于追问，推动个人思维的不断拓展和提高。

五、积极参与数学竞赛数学竞赛是激发学生学习兴趣和潜能的有效途径之一。

通过参与竞赛，学生可以更好地理解并扩展数学知识。

比赛掌握一定的策略和技巧，有助于加强学生归纳、演绎和推理能力。

同时，竞赛也是学生交流、探求和研究问题的一个开放平台，有利于学生快速学习和进步。

总之，多练习和整理思路是提高数学成绩的关键。

学生需要在数学学习中积极探索、勇于实践，根据自身的情况合理调整学习的节奏，多做题、多问问题，不断提高自己的思维素质和能力。

初三数学第一学期期末复习建议北京四中初三数学备课组2023.12一、总体建议1.计划性.根据学生的具体情况与期末复习课的节数，合理制定具体的复习计划，确定每节课的复习任务，从容复习不留死角.2.面向全体学生务必做到夯实基础.对于基础薄弱的学生,建议先正确掌握核心的基础知识，落实基本计算、基本作图和基本解题方法等.再进行反复练习巩固，不求全和难. 落实好基础后利用试卷中档偏难题进行加强和提升，多思考，多总结，体会其中的数学思想方法，来提高分析问题、解决问题的能力.3．把握核心内容、重要概念和原理，重要方法和策略，章节内知识的线性联通.比如复习二次函数时，对二次函数图象特征和函数性质的理解既要注重由数到形，也要关注由形到数，注重由观察函数图象特征而得到相应结论的代数计算和论证等.4.注重章节间知识的结构化，将新旧认识网络迁移、重构、优化.学生在对新知识学习过程中更多是关注对知识本身的理解和应用，复习课功能则是唤醒再现学生已有知识，自主构建知识网络，从而提升对思想、方法的认识，提升解决问题的能力.复习时建议最好结合具体问题或问题串多引导学生理解、总结、归纳知识间的联系与区别，帮助学生在面对具体问题或情景比较新的问题时能够选择恰当的方法进行解决，并实现知识的迁移.二、复习建议（一）代数复习建议1.熟练掌握一元二次方程的各种解法.如，公式法、因式分解法、配方法.2.提升从数、形两个角度理解、掌握函数、方程、不等式之间的关系的能力.如，函数自变量和函数值的取值范围，函数的单调性的理解、应用等，在复习过程中信息呈现形式多样，注意做一些数和形之间的对应和转化练习.3.提升代数运算能力和推理能力.如，与一元二次方程根的判别式有关的方程综合题和二次函数的综合问题.4.掌握方程、二次函数的应用.（二）几何复习建议1.熟练掌握几何定理内容（图、文、式），书写规范、清晰，理解、掌握经典模型图形（圆、直线型）的特征、结论和应用（简单应用、综合应用）；2.对于几何综合问题，建议先易后难，注意通过添加常见辅助线构造基本图形，在解题时还要注意运用好通过转移线段或角等方法实现问题的最终解决等能力，如：对于圆的综合问题要注意提升在圆中实现等线段或等角的转换的能力.3.复习几何内容时，还是建议多画图、多思，多做，提升画图、识图、用图的能力，同时在完成上述过程时要时刻多问几个为什么？（如为什么这样做，怎么想到的，如何去建立已知和待证的联系等）.（三）概率建议1.理清基本概念，明确每一个试验及实验的结果，在具体问题中，关注如何完成一次试验（几个对象，几个步骤），是“放回”还是“不放回”的问题，所研究的问题是否需要关注顺序等；2.理清基本方法，对于列举法求概率，明确使用条件（等可能性和有限性）和使用方法，列举时关注等可能，做到不重不漏.关于列举的方法，当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能的结果数目较少时，可采用枚举法；当一次试验涉及两个因素且出现的等可能结果数目较少时，采用列表法；当一次试验涉及两个或更多个因素时，可使用画树状图法，要特别关注表格和树状图的规范性.3. 规范书写与表达，培养有逻辑的概率思维，拿到问题分步走：（1）选择合适的方法整理数据（表格，树状图等），指明有多少种等可能的结果；（2）分析数据求出对应概率，得出结论.三、具体内容第二十一章一元二次方程知识点：1．一元二次方程的概念（1）只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次），且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程．（2）一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a ≠0），其中ax 2叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，注意a ≠0．（3）一元二次方程的根（解）：使方程左右两边相等的未知数的值.典型题目：1．下列方程中，属于一元二次方程的是( )A ．212x x +=B ．22x xy -=C ．2230x x --=D ．2(1)x x -= 2．已知，关于x 的方程1(1)310m m x x +-+-=是一元二次方程，则m =_______.3．一元二次方程2310x -=的一次项系数是 ，常数项是 ．4．已知关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=有一个实数根为0，则a 的值为 ．2．一元二次方程的解法（降次）（1）直接开平方法：（x +m ）2=n （n ≥0）的根是n m x ±-=．（2）配方法：将ax 2+bx +c =0（a ≠0）化成222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的形式，当b 2-4ac ≥0时，用直接开平方法求解．（3）公式法：ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ． （4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解．典型题目：1．方程240x -=的根是 ．2．用配方法解方程241x x -=，变形后结果正确的是( )A ．2(2)5x +=B ．2(2)2x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)2x -=3．已知1x =是关于x 的方程2223x ax a ++=的一个根，求代数式2(1)5a a a a -++的值．4．用适当的方法解下列关于x 的方程（1）2(1)9x -=； （2）2240x x +-=； （3）2412981x x ++=； （4）25x x =；（5）2(4)(4)0x x x -+-=； （6）22310x x -+=； （7）2(2)20x m x m +++=．3．根的判别式（1）当△>0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，即2b x a -=． （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根，即122b x x a==-． （3）当△<0时，方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根．典型题目：1．关于x 的一元二次方程220x x m ++=有实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．1m <B ．1mC ．1m >D ．1m2．一元二次方程22350x x -+=根的情况是( )A ．有两个相等实数根B ．有两个不相等实数根C ．没有实数根D ．无法判断 3．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b的值：a = ，b = ．4．若关于x 的方程2310mx x +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．94m >-B ．94m -C ．94m >-且0m ≠ D ．94m -且0m ≠ 5．（2021中考）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m >0，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值．6．（2019中考）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．7．（2018中考）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0.(1)当b =a +2时,利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a ,b 的值,并求此时方程的根．8．已知关于x 的一元二次方程2420x x m -++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．9．已知关于x 的一元二次方程22240x mx m -+-=．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．()200ax bx c a ++=≠10. （2023西城二模）关于x 的方程2310x x m -++=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．4．列一元二次方程解应用题的主要步骤（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答．典型题目：1．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为( )A ．215x =B ．(1)15x x +=C ．(1)15x x -=D ．(1)152x x -= 2．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台．设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是( )A ．25000(1)6600x +=B ．250006600x =C ．26600(1)5000x -=D ．25000(1)5000(1)6600x x +++=3．某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x 米，根据题意可列方程为 ．4．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计），若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．5．在刚刚过去的第三十九个教师节，我校有四位教师在首届“校长奖——风华杯”评选中脱颖而出，学校为突出榜样教师的示范引领作用，在校园里通过展板展示四位教师的先进事迹、现有一块长25dm ，宽8dm 的矩形展板，如图所示，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果所有矩形展示区域的面积之和为2120dm ，空白区域的宽度应是多少dm ？6．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，8AB cm =，6AC cm =，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2/cm s ，点Q 的速度是1/cm s ，它们同时出发，设运动时间是t (0)s t >．（1）当3t s =时，求APQ ∆的面积．（2）经过多少秒时，APQ ∆的面积是28cm ．7．某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（1）研究发现，每天销售量y 与单价x 满足一次函数关系，求出y 与x 的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？第二十二章二次函数1. 二次函数的图象及性质典型题目1．抛物线2(1)2y x =--的顶点坐标是( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)2．已知抛物线y ax a 2(0)=>过A y B y C y 1233(2,),(,),(1,)2--，则y y y 123,,的大小关系是______．3. 对于抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）（1）若顶点是原点，则 ；（2）若经过原点，则 ；（3）若顶点在y 轴上，则 ；（4）若顶点在x 轴上，则 ；（5）若抛物线与x 轴有两个交点, 则 ；（6）若抛物线与x 轴有一个交点, 则 ；（7）若抛物线与x 轴没有交点, 则 ；（8）若经过（1，0）点，则 ； 若经过（－1，0）点，则 ；（9）若函数值恒为正，则________________；若函数值恒为负，则__________________．4．如果在二次函数的表达式2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c <，那么这个二次函数的图象可能是( ) A ． B ． C ． D ．5．如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数2286y x x =-+- .（1）用配方法将该二次函数解析式配成顶点式；（2）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（3）分别求出它与y 轴的交点C 、和x 轴的交点A 、B 的坐标，并画出函数的图象；（4）描述它的最值和增减性；（5）当x m <时，y 随x 增大而增大，写出m 的取值范围；（6）若点Q ()1,n -， P (),m n 都在抛物线上，求m 的值；（7）若点Q ()1,n -， M (),t s 都在抛物线上，且s n >,求t 的取值范围.（8）当03x <≤时，写出y 的取值范围 ；（9）当x 取何值时，0y <；（10）点P 在抛物线上，若以P 为圆心，2为半径的圆与x 轴相切，求出P 点坐标；（11）若方程2286x x m -+-=无实数根，求m 的取值范围.（12）直线(0)y kx b k =+≠与抛物线交点的横坐标为1，4，求不等式2286x x kx b -+-<+ 的解集；(13) 在（12）的基础上，点E 是x 轴上的动点，过E 作平行于y 轴的直线分别交抛物线和直线于点F 、G ，且点E 的横坐标E x 满足14E x ≤≤，求线段FG 长度的最大值；（14）说出它的图象与抛物线22y x =-的位置关系；（15）将该二次函数图象向左平移3个单位，向上平移4个单位，求平移后图象的解析式；（16）求该二次函数图象分别关于x 轴、y 轴的对称图形的解析式；（17）求该二次函数图象分别关于顶点、原点中心对称图形的解析式；7．某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数221(0)y ax ax a =-+<的图象，那么她所选择的x 轴和y轴分别为直线( )A ．1m ，4mB ．2m ，5mC ．3m ，6mD ．2m ，4m2. 二次函数图象的平移、旋转和翻折典型题目1．把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是( )A ．25(2)3y x =-+B ．25(2)3y x =+-C ．25(2)3y x =++D ．25(2)3y x =--2．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(1)2y x =--，下列叙述中，正确的是()A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．在平面直角坐标系中，点(1,3)A -，(3,3)B ，将抛物线21y x =-+向上平移m 个单位，使得平移后的抛物线与线段AB 有公共点，则m 的取值范围为( )A ．3mB ．311mC ．311m 或2m =D ．211m4．将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是( )A ．开口方向改变B ．开口大小改变C ．对称轴不变D ．顶点位置不变5. 将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）A. 2x y -=B. 12+-=x yC. 12-=x yD. 12--=x y6.如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过 点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．6C ．10D ．47．已知抛物线21y x =-，直线:l x a =，将抛物线在直线l 左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得点(,)P m n 在G 上，则a 的取值范围是( )A ．22aB ．2a -或2aC ．2aD ．2a -8.在平面直角坐标系中，抛物线2441(0)y nx nx n n =-+-≠ 与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）点A 的坐标为(0，3)，AB //x 轴,交抛物线于点B ，直接写出点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在BC 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线y =12x +m 与图象G 有一个交点，结合函数图象，求m 的取值范围．3. 二次函数解析式的确定：待定系数法典型题目1．写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ．2．已知，二次函数图象经过点(2,0)，(0,4)，(2,0)-，求二次函数的解析式．3．抛物线的顶点坐标是（1，-4），且与x 轴的交点坐标是（-1，0）. 求这个二次函数解析式.4. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是－3，1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数的解析式.5．已知二次函数2y x bx c =++，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：（2）直接写出当23x -<<时，y 的取值范围．6. 抛物线经过（－1，－1）点，它的对称轴是直线2x =-，且在x 轴上截得线段的长度为4，求此抛物线的解析式.4. a 、b 、c 对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质的影响a 确定开口方向和大小: a >0，开口向上；a <0，开口向下．a 越大，开口越小; a 越小，开口越大；|a |相等，开口大小相同．a 、b 共同确定对称轴位置： a ，b 同号⟺对称轴在y 轴左侧；a ，b 异号⟺对称轴在y 轴右侧；b =0⟺y axc 2=+⟺对称轴是y 轴．*a ，b 都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系 c 确定与y 轴交点位置： c >0⟺与y 轴交点在y 轴正半轴；c <0⟺与y 轴交点在y 轴负半轴；c =0⟺y ax bx 2=+⟺抛物线过原点．c 相同的抛物线都过点（0，c ）．△确定抛物线与x 轴交点个数：△>0⇔抛物线与x 轴有两个交点(x 1, 0), (x 2, 0)；△=0⇔抛物线与x 轴有一个交点(ab2-，0) ⇔顶点在x 轴上； △<0⇔抛物线与x 轴没有交点⇔抛物线在x 轴上方或下方. 特殊点 a +b +c =0⟺图象过点（1，0）；a −b +c =0⟺图象过点（−1，0）．典型题目：1．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过(0,0)和(3,3)，且对称轴为直线x t =．现有下面四个推断：①若1t =，则1a =；②若1t >，则1a >；③若1t <，则1a <；④存在实数λ，使得(1)a t λ-为定值．其中推断正确的是( )A ．①③B ．①④C ．①②③D ．①③④2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象是抛物线G ，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x⋯ 3-2-1- 0 1 2 ⋯ y⋯42-2-4⋯下列说法错误的是( ) A ．抛物线G 的开口向上B ．抛物线G 的对称轴是12x =-C ．抛物线G 与y 轴的交点坐标为(0,2)-D ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为2-3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象经过点(1,0)-，对称轴为1x =．给出下面三个结论：①20a b +=；②关于x 的一元二次方程210ax bx c +++=有一个根大于3；③对于任意实数m ，2am bm a b ++．上述结论中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 典型题目：1．下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围（ ）x 1 2 3 4 y =ax 2+bx +c-6.75-1.751.252.25A. x <1B. 1<x <2C. 2<x <3D. 3<x <42．二次函数y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜0或x ＞2B ．0＜x ＜2C ．x ＜－1或x ＞3D ．－1＜x ＜33．已知二次函数y =−x 2+2x +m 的部分图象如图所示， 则关于x 的一元二次方程−x 2+2x +m =0的解为____. 则关于x 的不等式−x 2+2x +m <0的解集为____.4．二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c =m 无实数根，则m 的取值范围是____________.5．抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)的对称轴为x =1， 如果关于x 的方程ax 2+bx −8=0的一个根为4，那么该方程的另一个根为_________．x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y125－3－4－3512x6．如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点.（1）方程2ax bx c kx n ++=+的解为_____________； （2）不等式2ax bx c kx n ++>+的解集是__________； （3）不等式2()ax b k x c n +-+≤的解集是_____________．7．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示.（1）判断含c b a ,, 的代数式的取值情况①ac b 42- 0； ②b a -2 0； ③b a +2 0； ④c b a +- 0； ⑤ c b a ++ 0；（2） 求二次函数解析式；（3）增减性①若点11)y -（，,)22y ，（在函数图象上，比较21y y ，的大小；②若12x -<<，求y 的取值范围；③垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线BC 交于点N (x 3，y 3)． 若x 1< x 2< x 3，结合函数的图象，求x 1+ x 2+ x 3的取值范围；④当二次函数自变量x 满足2m x m ≤≤+时，函数y 的最大值为5-，求m 的值；（4）对图象进行几何变换，求变换后的抛物线解析式： ①抛物线沿x 轴翻折；②抛物线沿y 轴翻折；③抛物线绕原点旋转180度；④抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位；⑤)32(，-E ，抛物线向左平移m 个单位长度与定线段CE 有公共点，求m 的取值范围；（5）与几何图形面积相关问题：①求∆ABC 、∆ABD 、∆BCD 面积；②抛物线上有点P , 且S ∆ABP =4, 求点P 坐标；（6）二次函数与方程不等式关系① x 时，3>y ；x 时，3=y ；x 时，3<y ；②先求直线BC 的解析式y BC ，再回答下列问题： BC 的解析式为y BC = ； x 时，y y BC >； x 时，y y BC =； x 时，y y BC <；变形：设点E (e ,0)，过E 作平行于y 轴的直线分别交抛物线和直线于点F 、G ，EF >EG ，求e 的取值范围；（7）函数图象的公共点问题：①抛物线位于B 、C 之间的部分与直线b x y +=有公共点，求b 的取值范围；②抛物线位于B 、C 之间的部分与直线5+=kx y 有公共点，求k 的取值范围；③抛物线位于B 、C 之间的部分与抛物线c x x y ++=22只有一个公共点，求c 的取值范围；④抛物线位于B 、C 之间的部分与抛物线)0(2442>++-=m m mx mx y 有一个公共点，求m 的取值范围．6. 图形运动与函数图象1．如图，圆柱的侧面积为210m ．记圆柱的底面半径为x m ，底面周长为l m ，高为h m ．当x 在一定范围内变化时．l 和h 都随x 的变化而变化，则l 与x ，h 与x 满足的函数关系分别是( ) A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．正比例函数关系，反比例函数关系D ．正比例函数关系，一次函数关系2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2， 设弦AP 的长为，△APO 的面积为，则下列图象中，能表示 与的函数关系的图象大致是（ ）7. 二次函数的应用1．（2023石景山二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （单位：)m 与水平距离x （单位：)m 近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某跳水运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下： 水平距离/x m 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.6 2 竖直高度/y m10.0010.4510.6010.4510.005.201.00①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<；②运动员必须在距水面5m 前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m ，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系24.16(0.38)10.60y x =--+．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A ，若运动员在区域AB 内（含A ，)B 入水能达到压水花的要求，则第二次训练 达到要求（填“能”或“不能” )．2．（2023海淀一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：)m 与竖直高度y （单位：)m 进行的测量，得到以下数据：①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m ，最大竖直高度为 m ； ②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m ，最大竖直高度为1m ．若在野兔起跳点前方2m 处有高为0.8m 的篱笆，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能” )跃过篱笆．3．（2023海淀二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．通过测量得到球距离台面高度y （单位：)dm 与球距离发球器出口的水平距离x （单位：)dm 的相关数据，如下表所示： 表1 直发式（1）表格中m = ，n = ；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1d ，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为2d ，则1d 2d （填“>”“ =”或“<” )．4．如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面，隧道顶可近似看成抛物线的一部分．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如表：（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为 米；（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．画出可以表示隧道顶面的函数的图象，并求出对应的函数关系式．（3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？第二十三章 旋转1.旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA ′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点.4.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．5. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来 的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 平移、旋转都能通过两次轴对称得到.常见模型：手拉手模型；半角模型；一线三等角 典型题目1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC ∆中，35C '∠=︒．将ABC ∆绕点A 逆时针旋转α至△AB C ''，且B '，B ，C '三点共线．若75CDC '∠=︒，则(ABC ∠= ) A ．40︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒（第2题图） （第4题图） （第5题图） 3．点(1,2)关于原点的对称点坐标是 ．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)A ，(1,0)B ，以点B 为中心，把线段BA 顺时针旋转90︒得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．5．（2023海淀期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 ．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，CDE ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由AOB ∆得到CDE ∆的过程： ．7．等边三角形绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的最小角度为( )A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到DEF ∆，点B ，C 在x 轴上．下面判断不正确的是( ) A ．ABC DEF ∆≅∆ B ．120AED ∠=︒C ．OA =D ．DE OB AE =+9．在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，将一个直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合，并绕点D 旋转，分别交AB 、AC于点E 、F ，如果四边形AEDF 恰巧是正方形，则BE 的长度为 ．10．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,1)A -，(4,2)B -，(3,3)C -．（1）平移ABC ∆，若点A 的对应点1A 的坐标为(3,1)-，画出平移后的△111ABC ； （2）将ABC ∆以点(0,2)为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的△222A B C ； （3）已知将△111ABC 绕某一点旋转可以得到△222AB C ，则旋转中心的坐标为 ．。