复变函数第五章1留数

sinz lz i0mz4
lz i0m((szi4)zn)' '
cosz lz im0 3z3
z 1为极点。
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5.1.2 零点与极点的关系
定义5.1：设f(z)在z0的邻域内解f析 (z0)， 0若 ，
则称 z0为解析函 f(z)数 的零点 m阶零点: 若不恒等于零的解析数函 f (z)能表示成
z a为(z)(z)的 mn阶零 . 点
2)(z)(z)(za)m n 1 1((z z))
当 mn时z， a为 ((zz))的 (mn)阶零点， 当 202m 0/6/1 6 n时 当mz， na时 为 ， z((zz))的 a为 (n ((m zz)))阶 的可 极去 点 . 奇 ， 点 16
7!
z 0为可去奇点 .
或
(sizn z) 0,(sizn z)' 0,
z0
z0
(sizn z)' 0,(sizn z)(3) 0
z0
z0
z0是(sinzz)的三级零点。
z 0是z3的三级零点。
z 0为可去奇点 . (见7,例 m3n)
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3) f(z） (z2(s1)in(zz)32)3
问 1 ） (z)(z)、 2 )(z)(z)在 z a有何性质？
解 可设 (z） (za)m 1(z)(z） (za)n 1(z)
其 1 ( z ) 中 1 ,( z ) 在 z a 解（ 1 析 a )1 ( a ) ， 0 . 1 ） ( z )( z ) ( z a ) m n1 ( z )1 ( z ),
类似z， i为f(z)的一阶极点。
问题z： 是 1 的几阶极点？
2 cozs
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3. 本性奇点 如果在罗朗级数中含有无穷多zz0的负幂项,
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如f(： z)sin1 以z1为它的本性奇点
因s为 in1
1z
在 z1的去心 0z邻 1域 上的罗朗
1
例3：f (z)ez1
解: 奇点为 z1
f(z)在z1的去心0邻 z－ 域 1R内对应的罗朗
1
ez1
1 1 n0n!
1
或 z沿实轴从1点 的右侧趋向1于 limez1 z1 1
z沿实轴从1点 的左侧趋向1 于
lim e z1
z1
0,
1
limez1极限不存在，且不为
上式也可写成 其中 g (z)
=
cf(mz+) c(mz+1 (1 zz0)zm 0)g+(zc)， m+（ 2( z） z0)2 +...
,
在 |zz0|< 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .
反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且
g(z)在 解z 0 析，g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m阶极点.
第五章 留数
一.孤立奇点的分类(一类特殊的奇点) 二.留数－－－(孤立奇点的数字特征)
留数定理－－（计算复变函数积分的基本方法） 三.利用留数定理计算定积分－－（留数的应用）
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预备知识
若 f(z)在 z0解析，泰 f(z)勒 n 0级 f(nn )(!z数 0)(z： z0)n
f(z)在 z0的去心 0z邻 域 1内的洛朗级
f
(z)
ez 1 z2
1 z2
(
n0
zn n!
1)
1 1 zn, z n0(n2)!
z0是f(z)的一级极 . （点 定义）
或 (ez 1 ） 0 ,(ez 1 ) 0 z 0是ez 1的一级零
z 0
z 0
z2 (z2) 0 ,(z2) 0 ,
f(z0)f(z0)f(m1)(z0)0, f(m)(z0)a00.
反之
泰勒级数c的 n 系 f(n（ ） n!数 z0),
c0 c 1 cm 1 0 , cm 0,
f( z ) c m ( z z 0 ) m c m 1 ( z z 0 ) m 1
(z z0)m [c m c m 1 (z z0) ](zz0)mg(z)
定义： 若 f(z）z在 0不解析 0， zz0但 内 在解
则称z0为f (z)的一个孤立奇.点
若z0为f (z)孤立奇,点
则f (z)在z0的去心邻域（圆环域）
0 z z0 上解析.
z0
f(z)在0 zz0 上的罗朗展开式
cn(z z0)n 存在
n-
我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进行分类：
Qnm(z)是一(个 n-m )次多项在 式z0解 ， 析Q ， nm(z且 0)0, 所以， z0是Pn(z)的m阶零点。
问题： z 0 f(z)zsinz 零点的阶数？
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推f论(z0()充要f条(件z0）) z0是 ff((zm ) 的 1)(m z0阶 )0,零f (m 点 )(z0)0.
存
在且
不
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的
类型.
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例4 判定下列函数的孤立奇点的类型。
ez 1 (1)
z
z 0为孤立奇点
ez lim
1
(ez
lim
1)' limez
1
z
1为可去奇点。
z0 z
z0 (z)'
z0
（洛比塔法则）
sin z (2) z4
z 0为孤立奇点
当 mn时z， a为 ((zz))的 (mn)阶零点， 2020/当 6/16 mn当 时 mz， n时 a为 ， z( (zz))a的 为 ( n((zzm ))的 )阶可 极去 点 . 奇1， 7 点
例8下列函数有什么如奇果点是？极点，指数出。其阶
ez 1 1) f (z) z2
解 奇点为 z0.
g(z)为 2020/6/16 对应的 g(z)和 在 z0解 函析 g 数 (z0)， ， cm013
例 5：考察f(函 z)z数 sinz在原点的性质 解： f(z)在z0解析 f (0) 0
f'(z)1cozs f'(0)0
f"(z)sinz f"(0)0 f"'(z)cozs f"'(0)10
5
(2)极点：罗朗级限 数多 中(z个 含 z0有 )负幂项； 如果在罗朗级数中只有有限多个zz0的负幂项,且其中
关于(zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即
f (z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+...
(m1, cm0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m阶极点.
证明： 若z0是f(z)的m阶零点 即 f(z)(zz0)m (z) ( (z)在 z0处,泰 解勒 析 (z) 级 a 0 a 1 ( 数 z z0 ) ： )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f( z ) a 0 ( z z 0 ) m a 1 ( z z 0 ) m 1 a 2 ( z z 0 ) m 2
f(z)(zz0)m (z）(m ， 1 )
其 (z ) 中 在 z 0 解析 (z 0 ) 0 ,则 且 z 0 为 称 f(z )的 m 阶.零
例4： 多项式函数是最简单的解析函数。
若 z 0 是 n 次多 P n (z )的 m 项 重 (m 式 根 n )则 , P n(z)(zz0)m Q nm (z)
z 2是可去奇点， (见7,例 m3n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见7,m 例 03n)
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5.1.3孤立奇点 的定义及分类
定义： 距离原点无限远的点，统称为无穷远点 ，记作
由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个 奇点。我们关心的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？
1z 1
sin
(1)n
( 1)2n1
1z n0(2n1)!1z
1(1)1(1)3 ( 1 )n (1)2 n 1 1 !z 1 3 !z 1 (2 n 1 )! z 1
有无穷多负幂项。
z0为f(z)本性奇 点 zl izm 0 f(z)不存 (也 在 不 ） 为。
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z 0
z 0
z 0
z 0是z2的二级零点，
z0是f (z)的一级极 . (见 点7,m 例 12n)
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sin z z 2) z3
解：奇点为 z 0
函数z在0的去心邻域内对朗应级的数罗为：
sin z
z3
z
n0
(1)n
z2n1 (2n1)! z3
z1
3!
z2 5!
z4
m阶极点的判定：
（1）定义 计f算 (z)在 z0的去心 0z邻 z0域 内的罗
若其中含有负幂负项幂，项且次数最 m高为 (2)若 f(z)(z1z0)mg(z)其中 g(z)在 ， z0解析 g(z， 0)0。 且 （3）根据零点与极点间的关系，定理5.3，定理5.2的推论
(4) 例7的结论
若 z a 分别 (z )与 ( 是 z ） m 阶 的 n 阶 与 ,则 零点
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如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有
例 2： f(z)(z2z1)z(21)3
解： z 1, i 为孤立奇点。