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勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABCC∠=︒．∆中，90⑴已知6AC=，求BC的长AB=，15AC=，8BC=．求AB的长⑵已知17跟踪练习：1.在ABC∠=︒.C∆中，90（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C分别对的边为a，b，c，则下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（）A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（）A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，CD=2，那么BD等于（）A、4B、6C、8D、9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、2S、3S之间有何关系并说明理由。
1（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、1S、3S之间有何关系2面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、12米B 、13米C 、14米D 、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A 、8米B 、10米C 、12米D 、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41 那么△DEF 是直角三角形吗为什么注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
初二（上）数学知识点第三章——勾股定理1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方∵ ∴例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是8 cm 2、10 cm 2、14 cm 2，则正方形D 的面积是_______cm 2．（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a ，b ，c 三个方形的面积和为（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．例2：(1)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝3，则AC ＝_______．BC ＝______．(2)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝3，则AC ＝_______．BC ＝______. (3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC:AB=3:4，AB ＝25，则AC ＝_______．BC ＝______. (4).在Rt △ABC 中, AB ＝6，AC ＝8，则BC= .例3：（1）如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD 长．（2）已知△ABC 中，AB ＝13， AC ＝15，AD ⊥BC ，且AD=12，求BC 的长.例4：（1）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，BC ＝6, 求AC 和BC ． （2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，BC ＝3，求AB 和AC ．（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长． （4）等腰三角形ABC 的面积为12，底上的高AD 为4，求它的腰长 （5）等腰三角形的周长是20 cm ，底边上的高是6 cm ，求它的面积.例5：（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，DE 垂直平分AB ，求BE 的长. （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AE 平分∠CAE ，ED ⊥AB,求BE 的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD ，是点D 落在 边BC 上的点F 处，折痕为AE ，AB=CD=6， AD=BC=10，试求EC 的长度.2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形∵ ∴例1：每个小正方形的边长为1.(1)求ΔABC 的面积 (2)判断ΔABC 的形状例2：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，BC ＝13 cm ，CD ＝12 cm ，∠A ＝90°，求四边形ABCD 的面积．例3：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AD ＝9，BD ＝1，CD ＝3试问：△ABC 是直角三角形吗？为什么？例4：如图，在△ABC 中，AB=17 cm ，BC=16 cm ，BC 边上的中线AD=15 cm ，求AC3、勾股数： 常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；7、、；8、、；9、、；例：下列命题中，是假命题的是( )．A ．在△ABC 中，若∠B ＝∠C ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形4、补充：①长方体盒子内最长的线段d；=②长方体盒子外小虫爬行的最短路线d；=其二、例1：如图，一块长方体砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？例2：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A．10 B．8C．5 D．4例3：如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．例4：如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为 m5、勾股定理的应用（1）一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e 例1：／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，树折断之前有_______m．例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B'，那BB'等于( )A．3m B．4 m C．5 m D．6 m例3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少米？（2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是多少米？例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A ”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B 与“车速检测仪A ”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．例5：铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少千米处？例6：如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1 km ，BD ＝3 km ，CD ＝3 km 现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD 边上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？作业选做：1、如图，圆柱高8 cm ，底面半径2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行最短路程( 取3)是_______cm ．2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 到点C 的距离为5，如果一只蚂蚁要D沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，那么它需要爬行的最短距离是 ( ) A ．5 B ．25 C ．15 D ．353、如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处，若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,蜘蛛走过的路程是多少厘米？4、在长和宽都是3、高是8的长方体纸箱的外部．一只蚂蚁从顶点A B 点，那么它所行的最短路线的长是_________．5、甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里／时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里／时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距_______海里6、已知DC=6m ，AD=8 m ，∠ADC=90°，BC=24 m ，AB=26 m ．求图中阴影部分的面积．7、某开发区有一空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4 m ，AD ＝12 m ，CD ＝13 m ，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？8、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？9、A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125 km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动。
2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03）理想文化教育培训中心 学生姓名：__________ 得分：_______一、知识点梳理：1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a 2＋b 2＝c 2。
（1）变式：a cb cb ab ac 222222;;-=-=+=（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果c b a 222=+，那么△ABC 是直角三角形.勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等. 二、典型例题：例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。
（2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.（3）蚂蚁沿图3中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米）图(1) 图(2) 图(3)课堂练习1：（1）要登上12 m 高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m ，则梯子的长度至少为（ ） A ．12 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m （2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．1.5，2，2.5 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．20，30，40 （3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ）①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5 ③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 (第4题图)“路”4m3mCB ADAD（4）如图，1====DE CD BC AB ，且AB BC ⊥，AC CD ⊥，AD DE ⊥，则线段AE 的长为（ ）A ．23 B ．2 C ．25D ．3 例2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB ，垂足为D ，求CD 、BD 的长。
怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学 第三章小结与思考2主备：叶兴农 审校 ：吴树荣 日期：2013年10月22日教学目标：掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
教学重点：勾股定理及其逆定理的应用 教学难点：勾股定理及其逆定理的应用． 教学内容： 一、自主探究1.已知：如图，在Rt △ABC 中 ，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． 问题1：直角三角形的周长 问题2问题3：直角三角形的角的关系问题4：直角三角形的边的关系2.已知：如上图，在△ABC 中 ， a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． 问题1：从角来判断： 问题2：从边去判断：二、自主合作3.在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
4. 在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
5.下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A ．1.5，2，3 B. 8，15，17 C ．6，8，10 D. 3，4，5 6.如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是三、自主展示7.已知，如图、∠ACB=90°，AD=BD, AB=5cm,AC=3cm.求BD 的长8.已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．hDCBA四、自主拓展9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
10.如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=90°，求四边形ABCD 的面积.11.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A 的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米／时的速度向D 移动，已知AD 是城市A 距台风中心的距离最短，且AD ＝100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?五、自主评价课堂小结：布置作业：：课本习题P91第3题. 教学反思：ABCD。
勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考热点：主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理： １．勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
２.勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（22a b +＞2c ）和钝角三角形（22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用（重点）①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c b ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB×点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．DAO=BAD=AD=×=×，×=CE==．（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为5．解：∵==线的所有□ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解析：由勾股定理，得AC ＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE 一定经过AC 中点O ，当DE ⊥BC 时，DE 最小，此时OD ＝32，所以最小值DE ＝3 （2013•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使B 点落在AD 上一点E处，折痕的两端点分别在AB 、BC 上（含端点），且AB=6，BC=10。
设AE=x ，则x 的取值范围是 . 答案：2≤x ≤6解析：如图，设AG ＝y ，则BG ＝6－y ，在Rt △GAE 中，x 2＋y 2＝（6－y ）2，即x =8(0)3y ≤≤，当y ＝0时，x 取最大值为6；当y ＝83时,x 取最小值2，故有2≤x ≤62013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C 在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C 的坐标 （0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0） ． ﹣ABC 的面积是 CA ．48B ．60C ．76D ．80（2013鞍山）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC 的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC 的长，然后利用勾股定理即可求得BC 的长．解答：解：∵cosA=，∴AC=AB •cosA=8×=6， ∴BC===2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． （2013鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．图1考点：三角形中位线定理；勾股定理．分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（），BE=，B==8却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）x∴x=（﹣（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是6或2．=，AB=2CD=2，EF==3，或．（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是10．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 .（2013•包头）如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE ′C= 135 度．______________．【答案】（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．的点．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3 m（容器厚度忽略不计）.2013•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是2或﹣2．上的点的横坐标是=2（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为A、5B C D、5（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD 的长为（）．．．×5=×××，h=×=•BD=。
