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精锐教育学科教师辅导教案
建议5min
已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD 和BC交于点M．
（1）当AP等于BP时，求∠AMC的度数；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α＜60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论．
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数．
教法指导：此题较难，根据实际情况选择是否跟学生讲
（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化
参考答案：
（1）当AP=BP时，
AM=AC且AM平分∠CAB，
此时∠MAB=∠MBA=30°，
∠AMC=2∠MAB=2×30°=60
（2）不变化．
证明：如图，点E在AP的延长线上，
∠BPE=α＜60°．（只要画出了符合题意的图形即可得分）
∵∠BPC =∠CPD +60°， ∠DPA =∠CPD +60°， ∴∠BPC =∠DPA ． 在△BPC 和△DPA 中， 又∵BP =DP ，PC =PA ，
∴△BPC ≌△DPA ．…（4分） ∴∠BCP =∠DAP ． ∴∠AMC =180°-∠MCP -∠PCA -∠MAC =120°-∠BCP -∠MAC =120°-（∠DAP +∠MAC ）-∠PCA =120°-∠PAC =60°，且与α的大小无关．…（6分）
（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°． 理由：∵△APC 是等边三角形， ∴PA =PC ，∠APC =60°， ∵△BDP 是等边三角形， ∴PB =PD ，∠BPD =60°， ∴∠APC =∠BPD ， ∴∠APD =∠CPB ， ∴△APD ≌△CPB ， ∴∠PAD =∠PCB ，
∵∠QAP +∠QAC +∠ACP =120°， ∴∠QCP +∠QAC +∠ACP =120°， ∴∠AQC =180°-120°=60°
建议10min
（1）请用尺规作图，分别作出如下图形中的线段垂直平分线和角平分线。
（2）请用全等的知识说明如上作图就是垂直平分线和角平分线。
教法说明：引导学生用圆规画出线段的中垂线及角的平分线，总结画图的每一步的操作及理论依据，结合七年级下册全等三角形的判定，证明垂直平分和角平分线。 案例1：线段的垂直平分线
A B
O
B
A
建议70min
知识点一（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 【知识梳理】 【例题精讲】
例1.已知：如图，在△ABC 中，OM 、ON 分别是AB 、AC 的垂直平分线，OM 与ON 相交与点O ．
求证：点O 在BC 的垂直平分线上．
分析：要引导学生想到本例的关键在于分别联结OB 、OA 、OC ． 证明：（略）
【巩固练习】
1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =2AC ，AD 平分∠BAC ，求证：点D 在AB 的垂直平分线上．
证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ， ∵∠C =90°，AD 平分∠BAC ， ∴CD =DE （角平分线的性质）， 在△ADC 和△ADE 中， △ADC ≌△ADE （HL ），
∴AE =AC （全等三角形对应边相等），
O
B
C
A
M
N
O
B
C
A
M
N
【巩固练习】
1.如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且BD CD =．
求证：BE CF =．
证明：∵AD 平分∠BAC （已知） 即∠CAD =∠EAD （角平分线的性质） ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC
∴∠AED =∠AFD =90°（直角的性质） ∵AD =AD (公共边) ∴△AFD ≌△AED (AAS ) ∴FD =DE ,AF =AE ∵BD =CD ,DF =DE ∴RT △CDF ≌RT △EDB (HL ) ∴BE =CF
2.如图，OC 平∠AOB 分，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，
求证：∠PDO +∠PEO =180°。
提示：由于OC 是角平分线，故可过P 点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。
B
A
C
O
P
D E
Ｄ
Ｅ Ｂ Ａ
Ｆ Ｃ
建议15min
1.课堂错题收集
1.学霸笔记本：教师引导学生借助知识脑图总结重难点
建议15min
建议5min
课后巩固
预习思考
1、等边三角形ABC和等边三角形DEF，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM CN
2、想一想，有哪些证明线段相等的方法？
A
B C
E
M
N
D
