初级中学数学几何试题

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴△FCB和△BEF都为直角三角形．∵点P是BF的中点，∴CP＝12BF，EP＝12BF，∴PC＝PE．（2）PC＝PE理由如下：如图2，延长CP，EF交于点H，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EH//CB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFP(AAS)，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝12CH，∴PC＝PE．（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，DAF,,,EAFFDA FEAAF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF≌△EAF(AAS)，∴AD＝AE，在△DAP≌△EAP中，,,,AD AEDAP EAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAP≌△EAP (SAS)，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD//BC//PM，∴DM FPMC PB=，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C 和点D 关于AF 对称，∴AD ＝AC ＝6，∵∠AND ＝90°，∴DN ＝12AD ＝12⨯6＝3， ∴CM +NM 最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得12x =-+ 22x =--（舍去）．当2x =-+QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)42422x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．4．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证△ADB ≌△AOB ；②求点H 的坐标．（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD22AD AC-，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-34）=30334-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（3430334+综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延长BE交AD于点F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB2F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜223）m =6或m 17﹣3． 【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+． （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩， 解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 17﹣3173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．7．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可； （3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=， AD的最小值为DEC ∴∆的周长的最小值为4+【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．二、初三数学 圆易错题压轴题（难）9．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ．（1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）证明：连接CM ，∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°．∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ．∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ．∴． 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线．（2）∵A 点坐标（5，0），AC=3∴在Rt △ACO 中，． ∴545(x )x 5)12152-=--（，∴，解得10OD 3=． 又∵D 为OB 中点，∴1552+．∴D 点坐标为（0，154)． 连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有解得．∴直线AD 为．∵二次函数的图象过M （56，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=154． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=154交于点P ， ∴PD+PM 为最小．又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=154的交点． 当x=154时，45y (x )x 5)152=--（． ∴P 点的坐标为（154，56）． （3）存在． ∵，5y a(x )x 5)2=--（又由（2）知D （0，154)，P （154，56）， ∴由，得，解得y Q =±103．∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，又∵该图象过点D （0，154)，∴，解得a=512． ∴二次函数解析式为．又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103． ∴当y Q =103时，，解得x=1552-或x=1552+；当y Q =512-时，，解得x=154． ∴点Q 的坐标为（15524-，103)1552+103)，或（154，512-）．【解析】试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OBtan OAC AC OA∠==，从而求出OB的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．10．在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、 AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC=x ，ACO OBDS S=y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【解析】 【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC 的长.(2)分别作OH ⊥AB ，DG ⊥AB ，用含x 的代数式表示△ACO 和△BOD 的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB ∥AD 和OA ∥BD 两种情况讨论. 【详解】解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB=8， ∴OD ⊥AB ，AC=12AB=4， 在Rt △AOC 中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴22AO AC -，∴OD=5， ∴CD=OD ﹣OC=2；（2）如图2，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x ， ∴CH=|x ﹣4|，在Rt △HOC 中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OCDG CD=， ∴DG=OH CD OC ⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ）∴y=ACO OBDS S=()323582x x -（0＜x ＜8）（3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145．②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.11．在△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC 于点N ．（1）如图1，把△AMN 沿直线MN 折叠得到△PMN，设AM=x ． i ．若点P 正好在边BC 上，求x 的值；ii ．在M 的运动过程中，记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值．（2）如图2，以MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形AMQN ．试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i ．当x=2时，点P 恰好落在边BC 上；ii ． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．12．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OC；（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积. 【详解】解：（1） ∵DF ＝2OD ， ∴OF ＝3OD ＝3OC ，∴13OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ， ∴△COE ∽△FOE ，∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°， ∴CF 是⊙O 的切线； （2）∵∠COD ＝∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ， ∵BC ＝8， ∴CE ＝4， ∵CE ⊥AD ， ∴OE 2+CE 2＝OC 2， ∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去）， ∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32； （3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点，∴AO：OF=BD：DM=2，又∵BD=DC，∴DM=CM，∴FM为中位线，∴FM=32 2，∴S△AOF: S△BDM=(32:26)234 =；∵111118(322)42 22222BDM BCDS S BC DE∆∆==⨯•=⨯⨯⨯-=；∴S△AOF=3424⨯=32；【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.13．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；（2）当m＝2时，求BE的长度；（3）在点B的整个运动过程中，①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．②连接EH，FH，当tan∠FHE＝512时，直接写出△FHD与△EFH面积比．【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m＝2或226【解析】【分析】（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝25，cos∠ABC＝5，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB22AC BC5，∴cos∠ABC＝BCAB 5，∴BH＝BC•cos∠ABC25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE ＝32AC ＝6， ∵CD ＝CB ＝m ， ∴Rt △CDE 中，由勾股定理得：62+21m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝m 2， ∵m ＞0，∴m ＝42；综上所述，①当BC ＝3CE 时，m ＝22或42．②如图4，过F 作FG ⊥HE 于点G ，∵CH ⊥AB ，HB ＝HD ，∴CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ， ∴FHDEFH S S ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH 22FG HG +22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF 22FG EG +22(5)k k +26k ，∴FHDEFH SS ＝26k 26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．14．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3（3）51+和22 【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O 作OP ⊥AB ，垂足为点P ；OQ ⊥BC ，垂足为点Q ，∵BO 平分∠ABC ，∴OP=OQ ，∵OP ，OQ 分别是弦AB 、BC 的弦心距，∴AB= BC ；（2）∵OA=OB ，∴∠A=∠OBD ，∵CD=CB ，∴∠CDB =∠CBD ，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD ，∴∠AOD =∠CBO ，∵OC=OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD ，∵AO ⊥OB ，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D 作DH ⊥AO ，垂足为点H ，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan ∠AOD =HD OH ∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD ‖OB ， ∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴3AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO=， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴BC =5+1；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=22EB OB =， ∵OB=2，∴EB =2 ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴BC =2EB =22．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．15．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ∆恰好与坐标系中的OAB ∆重合，现将CDE ∆绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180︒到△1C DE 的位置．（1）求1C 点的坐标；（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式；（3）如图③，G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ∆∆=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13)C ；（2）23333y x x =-；（3）32333y x =+；（4）1283834,,2,33M M ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出．（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论．【详解】解：（1）将等边CDE ∆绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180︒到△1C DE ， 则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3，根据等边CDE ∆的边长是2，利用等边三角形的性质可得1C ；（2）抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，把(2,0)A，C '代入，得42093a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3a =，3b =- ∴抛物线解析式为2y x x =-；（3）90ABF ∠=︒，60BAF ∠=︒，30AFB ∴∠=︒，又2AB =，4AF ∴=，2OF ∴=， (2,0)F ∴-，设直线BF 的解析式为y kx b =+，把B ，(2,0)F -代入，得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得3k =3b =， ∴直线BF的解析式为y x =+； （4）①当M 在x轴上方时，存在2()M x ，211:[4)]:[216:322AMF OAB S S ∆∆=⨯⨯⨯=，得2280x x --=，解得14x =，22x =-，当14x =时，23238344y =⨯-⨯=， 当12x =-时，232383(2)(2)y =⨯--⨯-=， 183(4,)M ∴，283(2,)M -； ②当M 在x 轴下方时，不存在，设点2323(,)M x x x -， 213231:[4()]:[23]16:322AMF OAB S S x x ∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=， 得2280x x -+=，240b ac -<无解，综上所述，存在点的坐标为183(4,)M ，283(2,)M -． 【点睛】此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．16．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,5FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1855AB =． 【解析】【分析】 （1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出OCD ODC ∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出HO OF GO OK=，从而计算AB ． 【详解】（1）连接OC ，CD因为AC AD =，所以COA DOA ∠=∠ OC OD =，,OA CD CD AB ∴⊥∴⊥;(2)连接BC ，,BC BD BA CD =⊥所以AB 平分CBD ∠，设ABD ABC α∠=∠=2CBD α∴∠=CD CE ∴=2CBE CBD α∴∠=∠=，3EBA α∴∠=3EBA ABD ∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a ===作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证：,CMB CNB BM BN ∆≅∆=。

人教版数学七年级上学期第四章单元测试考试时间:100分钟;总分:120分一、单选题(每小题3分，共30分)1．(2019·四川初一期中)有以下五种立体图形:①正方体;②三棱柱;③四棱柱;④长方体;⑤圆柱．其中有六个面的立体图形是( )A ．4B ．3C ．2D ．12．(2019·西安交通大学附属中学初一月考)用如图所示的图形，旋转一周所形成的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．(2019·河北初二期中)一副三角板按如图方式摆放，已知∠1=5∠2，则∠1的度数是( )A ．15°B ．18°C ．72°D ．75°4．(2019·山西初三)如图，点O 是直线AB 上的一点，AOC 40∠=，OM 平分BOC ∠，则BOM ∠等于( )A ．60B ．65C ．70D ．755．(2019·贵州省织金县第六中学初一期中)将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创“相对的字是( )A．文B．明C．城D．市6．(2019·福建聚龙外国语学校初二月考)下列说法正确的是( )A．延长线段AB和延长线段BA的含义相同B．射线AB的长度为12cmC．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线D．延长直线AB7．(2019·济宁高新区第五中学初一期末)下面说法错误的是( )A．两点确定一条直线B．射线AB也可以写作射线BAC．等角的余角相等D．同角的补角相等8．(2019·广东正德中学初一月考)下列说法正确的有()①长方体、正方体都是棱柱;②圆锥和圆柱的底面都是圆;③若直棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等;④棱锥底面的边数与侧棱数相等;⑤直棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形，侧面都是长方形．A．2个B．3个C．4个D．5个9．(2018·河北省保定市第十七中学初一期末)已知线段AB=6cm，线段BC=8cm，则线段AC 的长度为( ) A．14cm B．2cm C．14cm或2cm D．不能确定10．(2019·山东初一期中)如图，在正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＝( )A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题(每小题4分，共24分)11．(2019·河北初一期中)如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，若∠AOC＝76°，则∠EOB＝_______．12．(2019·重庆市第一一0中学校初一期中)三条直线两两相交，它们的交点个数是________个。

江苏省盐城市亭湖区康居路初级中学2023-2024学年七年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列方程中，是一元一次方程的是（．34x y +=B 471x -=．如图所示几何体的主视图为（A ．B ．C ．4．方程313x -．．C．．．如果a b=，那么下列等式不一定成立的是（）13．若1x +与35x -互为相反数，则14．如图所示的是从不同方向观察一个长方体得到的视图，则左视图的面积为15．某商品按价格180元出售仍可获利20%16．若方程26x =和方程30x a +=的解相同，则17．关于x 的一元一次方程3kx =的解是整数，则符合条件的所有整数为．18．记()1f x x x =++，则方程()(f f x 三、解答题19．解下列方程：(1)3912x +=；(2)6622x x +=-；(3)()3252x x -=+；(4)3121124x x +--=．20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是知三角形ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出三角形ABC 向下平移5个单位得到的三角形111A B C ；(2)画出三角形ABC 沿直线l 翻折后的三角形222A B C ．21．定义新运算“⊕”：32m n m n ⊕=-，如：4534252⊕=⨯-⨯=(1)求()32-⊕的值；(2)已知()()3135x x -⊕+=，请根据上述运算，求x 值．22．一艘轮船从甲地顺流而下4小时到达乙地，原路返回要6小时才能到达甲地，已知水流速度是3千米/时，设轮船在静水中的速度是a 千米/时．(1)顺流速度是______千米/时，逆流速度是______千米/时；(2)求a 的值．23．作图题：(1)请在方格中画出该几何体的三个视图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加块小正方体．24．某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾．（1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？25．如图，长方形纸板ABCD 中，AD 长为20米，AB 长为a 米．下面我们将研究用不同裁剪方法，将该纸板制作成长方体纸盒．(1)如图①所示，用EF 把长方形ABCD 分成2个长方形，如图②所示，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF 做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒．若4a =，请你求这个纸盒底面的周长．(2)如图③、④所示，用EF 把长方形ABCD 分成2个长方形，将长方形盒的侧面，将长方形CDEF 沿GH 剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒．①若4a =，请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长．②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等？如果相等，求出此时a 的值．如果不相等，请说明理由．26．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是时针60分钟移动一周的112是30︒，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转12度．【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为90︒；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，206120︒⨯=，时针转动的角度，120102⨯=︒，(1209010-+分时，时针与分针所成角度是20︒，【问题解决】(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______︒，三点四十分时，时针与分针所成角度是______︒；(2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻：(3)当时针和分针所成角度为180︒时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美妙时刻．。

一、选择题1．(0分)[ID：68657]如图，已知点C为线段AB的中点，则①AC＝BC；②AC＝12 AB；③BC＝12AB；④AB＝2AC；⑤AB＝2BC，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．52．(0分)[ID：68656]给出下列各说法：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个是平的，1个是曲的；③球仅由1个面围成，这个面是平的；④正方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的为（）A．①②B．②③C．②④D．③④3．(0分)[ID：68650]如图所示的四个几何体中，从正面、上面、左面看得到的平面图形都相同的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．(0分)[ID：68638]如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（）A．AB=2ACB．AC+CD+DB=ABC．CD=AD-12 ABD．AD=12（CD+AB）5．(0分)[ID：68632]如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝13∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（）①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(0分)[ID ：68621]已知线段8AB =，在线段AB 上取点C ，使得:1:3AC CB =，延长CA 至点D ，使得2AD AC =，点E 是线段CB 的中点，则线段ED 的长度为（ ）． A ．5 B ．9 C ．10 D ．167．(0分)[ID ：68618]“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）． A ．点动成线，线动成面B ．线动成面，面动成体C ．点动成线，面动成体D ．点动成面，面动成线8．(0分)[ID ：68615]将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） A ． B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：68601]如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为A ．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B ．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C ．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D ．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 10．(0分)[ID ：68599]如果∠1的余角是∠2，并且∠1＝2∠2，则∠1的补角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 11．(0分)[ID ：68592]若∠A=20°18′，∠B=20°15″，∠C=20.25°，则有（ ） A ．∠A ＞∠B ＞∠C B ．∠B ＞∠A ＞∠C C ．∠A ＞∠C ＞∠B D ．∠C ＞∠A ＞∠B 12．(0分)[ID ：68588]体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q13．(0分)[ID ：68571]由A 站到G 站的某次列车，运行途中停靠的车站依次是A 站——B 站—C 站——D 站——E 站——F 站——G 站，那么要为这次列车制作的火车票有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．21种 D ．42种14．(0分)[ID ：68564]用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．(0分)[ID ：68561]小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：68716]线段3AB cm =，在线段AB 的延长线上截取1BC cm =，则AC =__________．17．(0分)[ID ：68697]若∠A=4817︒',则它的余角是__________；它的补角是___________。

动态几何与函数10题(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出1y ，2y 的图象，并写出1y 的一条性质；
(3)求当12y y >时，t 的取值范围．
(1)求出12,y y与x的函数关系式，并注明
(2)先补全表格中1y的值，再画出
x123456
y12632
1
(3)在直角坐标系内直接画出2y的函数图像，结合1y和2y的函数图像，x的取值范围．(结果取精确值)
(1)请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式，并说明x 的取值范围；
(2)在图2中画出1y 关于x 的函数图象，并写出一条这一函数的性质：(3)若12103
y y -≥，请结合函数图像直接写出x 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
4．
（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿折线A B C D →→→运动，当它到达D 点时停止运动；同时，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AD 运动，过Q 点做直线l 平行于AB ，点M 为直线l 上的一点，满足AMQ △的面积为2，设点P 点Q 的运动时间为t （0t >），ADP △的面积为1y ，QM 的长度为2y ．
(1)分别求出1y ，2y 与t 的函数关系，并注明t 的取值范围；
(2)在坐标系中画出1y ，2y 的函数图象；
(3)结合函数图象，请直接写出当12y y <时t 的取值范围．。

第四章图形认识初步测试1 立体图形与平面图形学习要求观察认识生活中的简单立体图形和平面图形．通过学习立体图形的三视图和它的展开图，了解如何把立体图形转化为平面图形来研究和处理，体会立体图形与平面图形的关系．课堂学习检测一、填空题1．把下面几何体的标号写在相对应的括号里．长方体： { } 棱柱体： { }圆柱体： { } 球体： { }圆锥体： { }2．讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，请说明下面的三幅图分别是从哪个方向看到的？①②③3．用如图所示的平面图形可以折成的多面体是______．二、选择题4．人民英雄纪念碑的中间部分是一个长方体，它的形状类似于()(A)棱柱(B)圆柱(C)圆锥(D)球5．奥运会的标志是五环，这五环中的每一个环的形状与下列哪个形状类似()(A)三角形(B)正方形(C)圆(D)长方形6．下图中，不是左图所示物体视图的是()7．下列四张图中，能经过折叠围成一个棱柱的是()．三、解答题8．下图中哪些图形是立体的，哪些是平面的？综合、运用、诊断一、填空题9．分别写出表面能展开成如图所示的五种平面图的几何体的名称．(1)_______(2)_______(3)_______(4)_______(5)_______10．如果将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开拼接后得到标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空．A与________对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应．二、选择题11．如下图所示，电视台的摄像机①、②、③、④在不同位置拍摄了四幅画面，则A图像是______号摄像机所拍，B图像是______号摄像机所拍，C图像是______号摄像机所拍，D 图像是______号摄像机所拍．12．几何体( )展开后如左图．(A)棱柱(B)球(C)圆柱(D)圆锥13．不能折成左图的长方体的是()．三、做一做14．如图，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折．15．如下图，这是从上面看到的由四个小正方体搭成的立体图形得到的平面图形，画出从正面看这四个小正方体搭成的立体图形的平面图形．16．如下图，这是一个多面体的展开图，每个面上都标注了字母．请根据要求回答问题：(1)如果A面在多面体的底部，那么哪一面会在上面？(2)如果E面在前面，从左面看是F面，那么哪一面会在上面？(3)从下面看是C面，D面在后面，那么哪一面会在上面？拓展、探究、思考17．把正方体的6个面分别涂上不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花朵数的情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个在同一平面上放置的长方体 ， 如下图所示 ， 那么长方体的下底面共有______朵花 ．18 ． 如果图(1)～(10)均是正方体A 的展开图 ， 正方体的每一面分别有1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6六个数 ， 请你在图(2)～(10)的空格上填上相应的数 ．(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8) (9) (10)19 ． 有一个长方形的硬纸正好可以分成15个小正方形 ， 如图 ， 试把它剪成3份 ， 每份有5个小正方形相连 ， 折起来都可以成为一个无盖的正方体纸盒 ， 应该怎样剪 ？测试2 点 、 线 、 面 、 体学习要求知道点是几何学中最基本的概念 ． 点动成线 ， 线动成面 ， 面动成体 ．课堂学习检测一 、 填空题1 ． 面与面相交得到______线与线相交得到______圆锥的侧面和底面相交成______条线 ， 这条线是______的(填“直”或“曲”) ．2 ． 如图所示的几何体是四棱锥 ， 它是由______个三角形和一个形组成的 ．3 ． 三棱柱有______个顶点 ， ______个面 ， ______条棱 ， ______条侧棱 ， ______个侧面 ， 侧面形状是______形 ， 底面形状是______形 ．4 ． 笔尖在纸上划过就能写出汉字 ， 这说明了______ ； 汽车的雨刮器摆动就能刮去挡风玻璃上的雨滴 ， 这说明了______ ； 长方形纸片绕它的一边旋转形成了一个圆柱体 ， 这说明了______ ． 二 、 选择题5 ． 按组成面的侧面“平”与“曲”划分 ， 与圆柱为同一类的几何体是( ) ．(A)圆锥 (B)长方体 (C)正方体 (D)棱柱 6 ． 圆锥的侧面展开图不可能是( ) ．(A)小半个圆 (B)半个圆 (C)大半圆 (D)圆7．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如下图所示的立体图形的是()．8．下列说法错误的是()．(A)长方体、正方体都是棱柱(B)棱柱的侧棱长都相等(C)棱柱的侧面都是三角形(D)如果棱柱的底面各边长相等，那么它的各个侧面的面积一定相等综合、运用、诊断三、解答题9．如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，用线连一连．10．如图，说出下列各几何体的名称，哪些可以由平面图形的旋转得到？11．观察图中的圆柱和棱柱：(1)棱柱、圆柱各由几个面组成？它们都是平的吗？(2)圆柱的侧面与底面相交成几条线，它们是直的吗？(3)棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？12．图(1)、(2)是否是几何体的展开平面图，先想一想，再折一折，如果是，请说出折叠后的几何体名称、底面形状、侧面形状、棱数、侧棱数与顶点数．(1)(2)13．已知一个长方体，它的长比宽多2cm，高比宽多1cm，而且知道这个长方体所有棱长的和为48cm，则这个长方体的长、宽、高各是多少？拓展、探究、思考14．下面有编号Ⅰ～Ⅸ的九个多面体．(1)如果我们用V表示多面体的顶点数，E表示多面体的棱数，F表示多面体的面数．请分别数一下这些多面体的V，E，F各是多少？(2)想一想，V，E，F之间有什么关系？①面数F是否随顶点数V的增大而增大？答：____________________________________________________________；②棱的数目E是否随顶点的数目V的增大而增大？答：____________________________________________________________；③V＋F与E之间有何关系？答：____________________________________________________________．测试3 直线、射线、线段学习要求理解两点确定一条直线的事实，并体会它们在解决实际问题中的作用；掌握直线、射线、线段的表示方法，建立初步的符号感；理解直线、射线、线段的联系和区别，进一步发展抽象概括的能力．课堂学习检测一、填空题1．要把木条固定在墙上至少要钉______个钉子，这是因为____________________．2．经过一点的直线有______条；经过两点的直线有______条；并且______一条；经过三点的直线______存在，如点C不在经过A、B两点的直线AB上，那么______经过A、B、C 三点的直线．3．把线段向一个方向延长，得到的是________；把线段向两个方向延长，得到的是______．4．线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．5．如图，点O在线段AB______；点B在射线AB______；点A是线段AB的一个______．6．如图，图中有______条射线，______条线段，这些线段是__________．7．如图，AC，BD交于点O，图中共有______条线段，它们分别是______．8．如图，图中有______条线段，它们是______图中以A点为端点的射线有______条，它们是______图中有______条直线，它们是______．二、选择题9．根据“反向延长线段CD”这句话，下图表示正确的是()．10．如图所示，有直线、射线和线段，根据图中的特征判断其中能相交的是()11．下列说法中正确的有()①钢笔可看作线段②探照灯光线可看作射线③笔直的高速公路可看作一条直线④电线杆可看作线段(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个12．下列说法中正确的语句共有()①直线AB与直线BA是同一条直线②线段AB与线段BA表示同一条线段③射线AB与射线BA表示同一条射线④延长射线AB至C，使AC＝BC⑤延长线段AB至C，使BC＝AB⑥直线总比线段长(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个三、读句画图13．(1)点P在直线AB上，点M在直线AB外．(2)直线AB、CD交于点O，点M在直线AB上，但不在CD上．(3)经过点O的三条直线a，b，c．14．按要求画图：(1)画直线BD．(2)画射线AC和AD．(3)延长线段AB．(4)反向延长线段AB．15．看图写话：(1)(2)综合、运用、诊断16．判断题．()(1)下图中，射线EO和射线ED是同一条射线．()(2)下图中，射线EO和射线OE是同一条射线．()(3)下图中，射线EO和射线OD是同一条射线．()(4)下图中，线段DE和线段ED是同一条线段．()(5)下图中，直线DO和直线ED是同一条直线．()(6)两条线段最多有一个公共点．()(7)反向延长射线AB．()(8)延长直线AB到C．()(9)射线是直线长度的一半．()(10)在一条直线上取n个点可以得到2n条射线．()(11)三点能确定三条直线．()(12)如果直线a和b有两个公共点，那么它们一定重合．()(13)延长线段AB就得到直线AB．()(14)若三条直线两两相交，则交点有3个．17．解答下列问题：(1)两条直线在同一平面内的位置关系有几种？(2)画图表示，两条直线可以把一个平面分成几个部分？三条直线呢？(3)平面上4条直线最多可以把平面分成多少个部分？拓展、探究、思考18．填表19．解答下列问题：(1)过三个已知点，一定可以画出直线吗？(2)经过平面上三个点中的每两点可以画多少条直线？(3)经过平面上四个点中的每两点可以画多少条直线？(4)若在平面上有n个点，过其中任意两点画直线，最多可以画几条？测试4 线段的比较学习要求理解线段的性质，线段的中点和两点间的距离，能对线段进行度量和比较．课堂学习检测一、填空题1 ．(1)把一条线段二等分的______叫做这条线段的______ ．(2)______叫做两点间的距离．(3)若A、B、C、D为直线l上顺次四点，则AB＋BD＝AC＋______；AC＋BD＝AD＋______．(4)若点C在线段AB的延长线上，则AC与AB的大小关系是______ ，并且AB＋BC＝______，AC－AB＝______．(5)线段的基本性质是__________________________________________．(6)如图，A是直线BC外一点，请用不等号分别连接下列各式：AB＋AC______BC；AB＋BC______AC；AC＋BC______AB：想一想：AB－AC________BC2．根据图形填空：(1)如图，若AB＝BC＝CD＝DE，那么①AE＝______AB，②AC＝______AE；③AD＝______AE，④CE＝______AD．(2)如图，已知D、E分别是线段AB、BC的中点，①若AB＝3cm，BC＝5cm，则DE＝______cm；②若AC＝8cm，EC＝3cm，则AD＝______cm．二、选择题3．在所有连接两点的线中()(A)直线最短(B)线段最短(C)弧线最短(D)射线最短4 ． 在下列说法中 ， 正确的是( )(A)任何一条线段都有中点(B)射线AB 和射线BA 是同一射线 (C)延长线段AB 就得到直线AB (D)连接A ， B 就得到AB 的距离5 ． 如图 ， 下列关系式中与右图不符合的是( )(A)AC ＋CD ＝AB －BD (B)AB －CB ＝AD －BC (C)AB －CD ＝AC ＋BD (D)AD －AC ＝CB －DB综合 、 运用 、 诊断一 、 选择题6 ． 如下图 ， 从A 地到B 地有多条道路 ， 人们会走中间的直路 ， 而不会走其他的曲折的路 ， 这是因为( ) ．(A)两点确定一条直线 (B)两点之间线段最短(C)两直线相交只有一个交点 (D)两点间的距离7 ． 对于线段的中点 ， 有以下几种说法 ： ①因为AM ＝MB ， 所以M 是AB 的中点 ； ②若AM＝MB ＝21AB ， 则M 是AB 的中点 ； ③若AM ＝21AB ， 则M 是AB 的中点 ； ④若A ， M ， B 在一条直线上 ， 且AM ＝MB ， 则M 是AB 的中点 ． 以上说法正确的是 ) ．(A)①②③ (B)①③ (C)②④ (D)以上结论都不对8 ． 已知A ， B ， C 为直线l 上的三点 ， 线段AB ＝9cm ， BC ＝1cm ， 那A ， C 两点间的距离是( ) ． (A)8cm (B)9cm (C)10cm (D)8cm 或10cm 9 ． 已知线段OA ＝5cm ， OB ＝3cm ， 则下列说法正确的是( )(A)AB ＝2cm (B)AB ＝8cm (C)AB ＝4cm (D)不能确定AB 的长度 ． 10 ． 已知线段AB ＝10cm ， AP ＋BP ＝20cm ． 下列说法正确的是( )(A)点P 不能在直线AB 上 (B)点P 只能在直线AB 上 (C)点P 只能在线段AB 的延长线上 (D)点P 不能在线段AB 上 11 ． 能判定A ， B ， C 三点共线的是( )(A)AB ＝3 ， BC ＝4 ， AC ＝6 (B)AB ＝13 ， BC ＝6 ， AC ＝7 (C)AB ＝4 ， BC ＝4 ， AC ＝4 (D)AB ＝3 ， BC ＝4 ， AC ＝512 ． 已知数轴上的三点A ， B ， C 所对应的数a ， b ， c 满足a ＜b ＜c ， abc ＜0和a ＋b ＋c ＝0 ， 那么线段AB 与BC 的大小关系是( ) ． (A)AB ＞BC (B)AB ＝BC (C)AB ＜BC (D)不确定 二 、 解答题13 ． 已知C 为线段AB 的中点 ， AB ＝10cm ， D 是AB 上一点 ， 若CD ＝2cm ， 求BD 的长 ． 14 ． 已知C ， D 两点将线段AB 分为三部分 ， 且AC ∶CD ∶DB ＝2∶3∶4 ， 若AB 的中点为M ，BD 的中点为N ， 且MN ＝5cm ， 求AB 的长 ． 15 ． 如图 ， 延长线段AB 到C ， 使,21AB BCD 为AC 的中点 ， DC ＝2 ， 求AB 的长 ．拓展 、 探究 、 思考16 ． 已知 ： 如图 ， 点C 在线段AB 上 ， 点M 、 N 分别是AC 、 BC 的中点 ．(1)若线段AC ＝6 ， BC ＝4 ， 求线段MN 的长度 ； (2)若AB ＝a ， 求线段MN 的长度 ； (3)若将(1)小题中“点C 在线段AB 上”改为“点C 在直线AB 上” ， (1)小题的结果会有变化吗 ？ 求出MN 的长度 ．17 ． 如图 ， 这是一根铁丝围成的长方体 ， 长 、 宽 、 高分别为6cm 、 5cm 、 4cm ． 有一只蚂蚁从A 点出发沿棱爬行 ， 每条棱不允许重复 ， 则蚂蚁回到A 点时 ， 最多爬行多少厘米 ？ 把蚂蚁所走的路线用字母按顺序表示出来 ．测试5 角的度量学习要求理解角的概念 ， 掌握角的表示方法 ， 能利用画图工具作一个角 ， 会度量一个角的大小(在角度制下) ， 能进行简单的计算 ． 理解周角 、 平角的概念 ．课堂学习检测一 、 填空题1 ． (1)____________的图形叫做角 ， ____________________叫做角的顶点 ， _____________________叫做角的边 ．(2)角也可以看作是由一条___________绕着它的___________而形成的图形 ， 这条射线的起始位置叫做角的______ ， 其终止位置叫做角的__________ ．(3)一条射线绕其端点O 按逆时针方向旋转得到∠AOB ， 当角的终边OB 旋转到与角的始边OA 成一条直线时 ， 称∠AOB 为______ ； 若角的终边继续旋转 ， 当角的终边OB 与角的始边OA 重合时 ， 称∠AOB 为______ ． (4)以度 、 分 、 秒为单位的角度制规定 ， 把一个周角______ ， 每一份叫做1度 ， 记作______ ； 把1度的角______ ， 每一份叫做1分 ， 记作______ ； 把1分的角______ ， 每一份叫做1秒 ， 记作______ ． 这样 ， 1周角是______° ， 1平角是______° ， 1°＝______' ， 1′＝______″ ．2 ． 用三个字母表示图中所注的∠1 、 ∠2 、 ∠3 ：(1) (2) (3)∠1是______；∠1是______；∠1是______；∠2是______；∠2是______；∠2是______；∠3是______；∠3是______；∠3是______；∠4是______．3．图中以OC为边的角有______个，它们分别是______二、选择题4．下列说法中正确的是()．(A)两条射线组成的图形叫做角(B)平角的两边构成一条直线(C)角的两边都可以延长(D)由射线OA、OB组成的角，可以记作∠OAB5．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是)6．如图，图中共有()个角．(A)6(B)7(C)8(D)97．如图所示，点O在直线AB上，图中小于180°的角共有()．(A)7个(B)8个(C)9个(D)10个8．下列说法正确的是()(A)一个周角就是一条射线(B)平角是一条直线(C)角的两边越长，角就越大(D)∠AOB也可以表示为∠BOA9．从早晨6点到上午8点，钟表的时针转过的角的度数为()．(A)45°(B)60°(C)75°(D)90°10．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有()(A)2对(B)3对(C)4对(D)6对练合、运用、诊断一、填空题11．如图，图中能用一个大写字母表示的角有几个？分别把它们表示出来．_________________________ ．12．图中共有______个小于平角的角，它们分别是__________________ ，其中以D为顶点的小于平角的角有______个．13．计算：(1)0.4°＝______' ；(2)0.6′＝______″；(3)24′＝______°；(4)12″＝______′；(5)57.32°＝______°______′______″；(6)17°14′24″＝______°；(7)17°40′÷3＝______°______′______″；(8)25°36′18″×6＝______°______′______″．(9)18.6°＋42°34′(10)360°÷7(精确到1′)(11)32°16′25″×4－78°25′(12)180°－37°5′×4＋93.1°÷5二、解答题14．时钟的时针1小时旋转多少度？时钟的分针1分钟旋转多少度？15．5点整时，时钟的时针与分针之间的夹角是多少度？16．时钟在8：30时，时针与分针的夹角为多少度？拓展、探究、思考17．已知：如图，AOB是直线，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，求∠DOB的度数．18．如图，PQ是一条线段，有一只蚂蚁从点C出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到点C ， 则蚂蚁共转了____________的角 ．19 ． 如图 ， (1)中有______个角 ， (2)中有______个角 ； (3)中有______个角 ． 以此类推 ， 若一个角内有n 条射线 ， 则可有______个角 ．测试6 角的比较与运算学习要求会比较两个角的大小 ， 能进行角的运算(和 、 差 、 倍 、 分) ． 理解角的平分线以及直角 、 锐角 、 钝角的概念 ．课堂学习检测一 、 填空题1 ． 要比较∠α 和∠β 的大小 ， 可先让∠α 的顶点与∠β 的顶点______ ， ∠α 的始边与∠β 的始边也______ ， 并且∠α 的终边与∠β 的终边都在它们的始边的同一侧 ． 若∠α 的终边落在∠β 的内部 ， 则称∠α ______∠β ； 若∠α 的终边落在∠β 的外部 ， 则称∠α ______∠β ；若∠α 的终边恰与∠β 的终边重合 ， 则称∠α ______∠β ．(如图所示 ， ∠AOB ＝α ； ∠AOC ＝β )2 ． 如图 ， 若OC 是∠AOB 的平分线 ， 则______＝______ ； 或______＝______21=______ ； 或______＝2______＝2______ ．3 ． 如图 ， OM 是∠AOB 的平分线且∠AOM ＝30° ， 则∠BOM ＝______ ； ∠AOB ＝______ ．4 ． 如图 ， 在横线上填上适当的角 ：(1)∠AOC ＝______＋______ ； (2)∠AOD －∠BOD ＝______ ； (3)∠BOC ＝______－∠COD ；(4)∠BOC ＝∠AOC ＋______－______ ． 5 ． 按图填空 ：(1)∠ABC 是∠ABD 与∠DBC 的______ ； (2)∠BDC 是∠ADC 与∠ADB 的_______ ． 6 ． 如图 ， (1)若∠AOB ＝∠COD ，则∠AOC ＝∠______ ． (2)若∠AOC ＝∠BOD ， 则∠______＝∠______ ．二 、 选择题7 ． 在小于平角的∠AOB 的内部取一点C ， 并作射线OC ， 则一定存在( ) ．(A)∠AOC ＞∠BOC (B)∠AOC ＝∠BOC (C)∠AOB ＞∠AOC (D)∠BOC ＞∠AOC 8 ． 如图 ， ∠AOB ＝∠COD ， 则( ) ．(A)∠1＞∠2 (B)∠1＝∠2 (C)∠1＜∠2(D)∠1与∠2的大小无法比较9 ． 射线OC 在∠AOB 的内部 ， 下列四个式子中不能判定OC 是∠AOB 的平分线的是( ) ． (A)∠AOB ＝2∠AOC (B)∠BOC ＝∠AOC (C)∠AOC 21∠AOB (D)∠AOC ＋∠BOC ＝∠AOB10 ． 不能用一副三角板拼出的角是( ) ．(A)120° (B)105° (C)100° (D)75°11 ． 如图 ， OC 是∠AOB 的平分线 ， OD 平分∠AOC ， 且∠COD ＝25° ， 则∠AOB ＝( ) ．(A)100° (B)75° (C)50° (D)20°12 ． 如果∠AOB ＝34° ， ∠BOC ＝18° ， 那么∠AOC 的度数是( ) ．(A)52° (B)16° (C)52°或16° (D)52°或18° 13 ． 如图 ， 射线OD 是平角∠AOB 的平分线 ， ∠COE ＝90° ， 那么下列式子中错误的是( ) ．(A)∠AOC ＝∠DOE(B)∠COD ＝∠BOE (C)∠AOD ＝∠BOD (D)∠BOE ＝∠AOC14 ． 已知α 、 β 是两个钝角 ， 计算)(61β+a 的值 ， 四位同学算出了四种不同的答案 ， 分别为24° ， 48° ， 76° ， 86° ， 其中只有一个答案是正确的 ， 那么你认为正确的是( ) (A)24° (B)48° (C)76° (D)86° 三 、 解答题15 ． 下面是小马虎解的一道题 ．题目 ： 在同一平面上 ， 若∠BOA ＝70° ， ∠BOC ＝15° ， 求∠AOC 的度数 ． 解 ： 根据题意可画出下图 ．∵∠AOC ＝∠BOA －∠BOC＝70°－15° ＝55° ，∴∠AOC ＝55° ． 若你是老师 ， 会给小马虎满分吗 ？ 若会 ， 说明理由 ． 若不会 ， 请将小马虎的错误指出 ， 并给出你认为正确的解法 ．综合 、 运用 、 诊断16 ． 如图 ， OT 平分∠AOB ， 也平分∠COD ，那么∠AOT ＝∠______ ，∠AOC ＝∠______ ，∠AOD ＝∠______17 ． 如图 ， OA ⊥OB ， OC ⊥OD ， ∠AOD ＝146° ， 则∠BOC ＝______ ．18 ． 读语句画图并填空 ：画平角∠AOC ， 用量角器画∠AOC 的平分线OB ， 因为OB 平分∠AOC ， 所以∠AOB =∠=AOC 21_______ ， 再用量角器画∠BOC 的平分线OD ， 图中∠AOD ＝∠______＋∠______＝______° ． 19 ． 作图 ．(1)用一副三角板可以画出多少个小于平角的角 ？ 请用一副三角板画出15° ， 75°角 ．(2)作∠MPQ 的平分线PR ， 则∠______＝∠______21=∠______ ．(3)利用圆规和直尺画一个角 ．已知 ： ∠AOB ，求作 ： ∠A ′O ′B ′ ， 使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．20 ． 如图 ， OD 、 OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线 ， ∠AOD ＝40° ， ∠BOE ＝25° ， 求∠AOB 的度数 ．解 ： ∵OD 平分∠AOC ， OE 平分∠BOC ，∴∠AOC ＝2∠AOD ， ∠BOC ＝2∠______ ．∵∠AOD ＝40° ， ∠BOE ＝25° ， ∴∠BOC ＝______ ， ∠AOC ＝______ ． ∴∠AOB ＝____ ．21 ． 已知 ： 如图 ， ∠ABC ＝∠ADC ， DE 是∠ADC 的平分线 ， BF 是∠ABC 的平分线 ．求证 ： ∠2＝∠3 ．证明 ： ∵DE 是∠ADC 的平分线 ，∴∠2＝______ ．∵BF 是∠ABC 的平分线 ， ∴∠3＝______ ．又∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠2＝∠3 ．拓展 、 探究 、 思考22 ． 已知 ： ∠AOB ＝31.5° ， ∠BOC ＝24.3° ， 求∠AOC 的度数 ．23 ． 如图 ， 从O 点引四条射线OA 、 OB 、 OC 、 OD ， 若∠AOB ， ∠BOC ， ∠COD ， ∠DOA 度数之比为1∶2∶3∶4 ．(1)求∠BOC 的度数 ．(2)若OE 平分∠BOC ， OF 、 OG 三等分∠COD ， 求∠EOG ． 24 ． 如图 ， ∠AOB 的平分线为OM ， ON 为∠MOA 内的一条射线 ， OG 为∠AOB 外的一条射线 ，某同学经过认真的分析 ， 得出一个关系式是∠MON ＝21(∠BON －∠AON ) ， 你认为这个同学得出的关系式是正确的吗 ？ 若正确 ， 请把得出这个结论的过程写出来 ．测试7 余角和补角学习要求理解一个角的余角和补角的概念 ， 理解方向角的概念 ， 并能解决有关角的计算问题 ．课堂学习检测一 、 填空题1 ． 如果两个角的______ ， 那么称这两个角______余角 ， 即其中一个角是____________ ．2 ． 如果两个角的______ ， 那么称这两个角______补角 ， 即其中一个角是____________ ．3 ． 若∠α ＝n ° ， 则∠α 的余角是______ ， ∠α 的补角是______ ．4 ． 若一个角的补角是150° ， 则这个角的余角是____________ ．5 ． 若∠1与∠2分别是∠3的余角 ， 则∠1______∠2 ．6 ． 若∠1是∠3的余角 ， ∠2是∠4的余角 ， 且∠3＝∠4 ， 则∠1____∠2 ．7 ． 如图 ， ∠AOD 的余角是______ ， 补角是______ ．8．若∠β 与∠α 互补，∠γ 与∠α 互余，则∠β 与∠γ 的差为____________．9．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为____________．10．若轮船甲自A岛沿北偏东45°的方向行驶30海里到达B岛，轮船乙自A岛沿南偏西70°的方向行驶50海里到达C岛，则∠BAC＝____________．二、选择题11．已知∠α ＝35°19′，则∠α 的余角等于()．(A)144°41′(B)144°81′(C)54°41′(D)54°81′12．下列说法中正确的是()．(A)大于直角的角叫钝角(B)小于平角的角叫钝角(C)不大于直角的角叫锐角(D)大于0°且小于直角的角叫锐角13．∠A的补角是∠C，∠C又是∠B的余角，则∠A一定是()．(A)锐角(B)钝角(C)直角(D)无法确定14.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是)．(A)互余(B)互补(C)相等(D)无法确定15．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°，那么从A观测此时的C处的方向为()．(A)南偏东32°(B)东偏南32°(C)南偏东68°(D)东偏南68°16．下面说法中正确的是()．(A)一个锐角的余角比这个角大(B)一个锐角的余角比这个角小(C)一个锐角的补角比这个角大(D)一个钝角的补角比这个角大17．下列说法中，正确的是()．(A)一个角的余角一定是钝角(B)一个角的补角一定是钝角(C)锐角的余角一定是锐角(D)锐角的补角一定是锐角18.已知点C，O，B三点共线，∠COD＝90°，∠COD绕点O由图(1)的位置旋转到图(2)的位置后，∠COB与∠AOD的关系是()．(1) (2) (A)相等 (B)互补 (C)相等或互补 (D)不能确定三 、 解答题19 ． 在图中画出表示下列方向的射线 ：(1)南偏西30° (2)南偏东25°(3)北偏西20° (4)北偏东65° (5)东北方向 (6)西南方向20.(1)一个角的余角为54°求这个角的补角的度数 ．(2)两个角的比是7∶3 ， 它们的差是72° ， 求这两个角的度数 ． 21 ． 如图 ， 分别指出A ， B ， C ， D 在O 的什么方向 ？综合 、 运用 、 诊断22 ． 若一个角的余角比它的补角的92还多1° ， 求这个角 ． 23 ． 用1∶10000的比例尺画图 ， 并按要求填空(精确0.1cm) ：(1)如下图 ， 甲从O 点向北偏西60°走了200米 ， 到达A 处 ； 乙从O 点向南偏西60°走了200米 ， 到达B 处 ， 用刻度尺量出AB ＝______cm ， AB 的实际距离是______ ． A 在B 的__________方向 ．(2)如下图 ， 某人从O 点向东北方向走了200米到达M 点 ， 再从M 点向正西方向走了282米 ， 到达N 点 ， 用刻度尺量出ON ＝______cm ， ON 实际距离是______ ， 此时N 在O 的______方向 ．(3)某人在O 点的北偏东60°方向上 ， 距O 点300米 ， 他向正南方向走了600米 ， 到达A 处后 ， 想去O 点 ， 那么他要向______方向 ， 走______米 ．24 ． 已知∠α 的余角是∠β 的补角的,31并且,23αβ∠=∠求∠α ＋∠β 的值 ． 25 ． 作图题 ．(1)已知 ： ∠α ．求作 ： ∠α 的补角 ， 并画出∠α 的补角的平分线 ．(2)已知 ： ∠α ．求作 ： ∠α 的余角 ， 并画出∠α 的余角的平分线 ．26 ． 填写下列空白和理由 ：(1)如图所示 ，∵∠α 与∠β 互余 ，∴∠α ＋∠β ＝90° ．(理由 ： ______________)(2)如图所示 ，∵A ， O ， B 三点在同一直线上 ，∴∠________＋∠________＝180° ．(理由 ： __________________.)∴∠AOC 与∠BOC 互补 ．(理由 ： __________________.)(3)如图 ，∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝1周角，∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°．(理由_____________________.)∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝180°．(理由：__________________)又∵∠BOC＝42°，∴∠AOD＝180°－∠BOC＝180°－42°＝__________．。

微专题将军饮马模型通关专练一、单选题1(2023·福建厦门·校考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为()A.4B.4+22C.8D.4+42【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可．【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，故点P与点O重合时，四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，∵E和E 关于BD对称，则OE=OE ,EO+OF=E O+OF=4连接E P，同样E P=PE，EP+PF=E P+PF>E F而E F=E O+OF=4，即EP+PF>E F所以当P与O重合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于()A.4cmB.2cmC.3cmD.1cm【答案】C【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故选C.3(2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()A.7B.6C.5D.4【答案】D【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4.故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4(2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习)如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=15，点P、Q 分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为()A.35B.40C.50D.60【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+ PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15(cm)，∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20(cm)，∴AP=AB-BP=70-20=50(cm)∴AP=AQ′=50(cm)，∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50(cm)，∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5(2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习)如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是()A.PAB.PCC.PBD.PD【答案】C【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项．【详解】解：∵点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，∴PB<PC<PA<PD，∴线段最短的是PB；故选C．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．6(2023秋·福建宁德·八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A.(-2，0)B.(0，0)C.(2，0)D.(4，0)【答案】C 【分析】作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，求出C (的坐标，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入求出解析式是y =x -2，把y =0代入求出x 即可．【详解】如图：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，则此时AP +PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A (-2，4)，∴C (-2，-4)，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入得：{2=4k +b -4=-2k +b，解得：k =1，b =-2，∴y =x -2，把y =0代入得：0=x -2，x =2，即P 的坐标是(2，0)，故选C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．7(2023·福建·校联考零模)如图，等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC 于A ，AB =CA =DC =2，M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，在直线BM 上有一点E ，连接CE ．12BE +CE 的最小值为()A.πB.263C.63D.6【答案】D 【分析】由M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，得M 为△ABC 的费马点，以AC 为边向外作正三角形ACF ，据费马点的特征，直线BM 和直线BF 为同一条直线，由题意容易求得∠MBC =30°，以BF为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，显然12BE +CE =CE +EH ；再过点C 作BG 的垂线，垂足为H ，由垂线段最短，知12BE +CE =CE +EH ≥CH ；因为易得BC =22，又∠GBC =60°就容易求得CH 就是12BE +CE 的最小值．【详解】解：如下图以AC 为边向外作正三角形ACF ，以BF 为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，过点C 作BG 的垂线，垂足为H由∠FBG =30°，HE ⊥BG 知HE =12BE ∴12BE +CE =CE +EH ≥CH 下面计算CH∵AB =AC =2且AB ⊥AC∴BC =22；∵M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时∴M 为△ABC 的费马点由费马点的特点知BM 与BF 为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF =60°又AB ⊥AC∴∠BAF =150°又AB =AC =AF∴∠ABF =15°又∠ABC =45°∴∠FBC =30°∴∠GBC =60°在RT △BCH 中CH =BC sin ∠GBC =BC sin60°=22⋅32=6∴12BE +CE 的最小值为6．故选：D ．【点睛】此题是几何最值问题--费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．8(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD 中，∠C =α°，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为()A.αB.2αC.180-αD.180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD 的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=α，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，∴AF=A″F，AE=A E，∴∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，则A A″即为△AEF的周长最小值，∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA E+∠A″=180°-180°-α=α，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=α，∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．9(2023秋·八年级单元测试)如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是()A. B.C. D.【答案】C【详解】解：要得到满足题意的点，首先要作A点(或B点)关于直线l的对称点，然后将此对称点与B(A)点连接，所得连线与直线l的交点即为所求点，观察选项，只有C符合.故选：C．10(2023·福建·九年级专题练习)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，tan∠ABC=4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12【答案】C 【分析】连接AD ，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD ⊥BC ，利用正切的定义解得AD BD=4，再由垂直平分线的性质得到点C 关于直线EF 的对称点为点A ，根据轴对称-最短路线解题即可．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵BC =4，∴BD =2，∴tan ∠ABC =AD BD =4，解得AD =8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=(CM +MD )+CD =AD +12BC =8+12×4=10．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11(2023春·福建福州·九年级统考期中)在平面直角坐标系xOy 中，点B ，P ，Q 的坐标分别为5,0 ，a ,2 ，a +2,2 ，则△BPQ 周长的最小值为．【答案】25+2【分析】由题意，PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，推出当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小．【详解】解：∵B 5,0 ，P a ,2 ，Q a +2,2 ，∴PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，∴当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小，如图，作点G 关于x 轴的对称点L ，连接FL 交x 轴于点E ，此时EG +FE 的值最小，∵L 3,-2 ，EG +EF 的最小值=FL =22+42=25，∴△BPQ 的周长的最小值为25+2．故答案为：25+2．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12(2023秋·福建南平·八年级统考期末)如图，∠AOB =22°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，记∠MQP =α，∠OPN =β，当MQ +QP +PN 最小时，则α与β的数量关系为．【答案】β-α=44°【分析】作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，易知∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，∴∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，∴∠PQN =12180°-α =∠AOB +∠MPQ =22°+12180°-β ，∴β-α=44°，故答案为：β-α=44°．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023秋·福建莆田·八年级统考期中)如图，在锐角△ABC 中，∠ACB =50°，边AB 上有一定点P ,M ,N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C +∠EPF =180°，由∠ACB =50°，易求得∠D +∠G =50°，继而求得答案；【详解】∵PD ⊥AC ，PG ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =90°，∴∠C +∠EPF =180°，∵∠C =50°，∵∠D +∠G +∠EPF =180°，∴∠D +∠G =50°，由对称可知：∠G =∠GPN ，∠D =∠DPM ，L∴∠GPN +∠DPM =50°，∴∠MPN =130°-50°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．14(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，AC =2cm ，S △ABC =3cm 2，边BC 的垂直平分线为l ，点D 是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则△PCD 的周长的最小值是．【答案】4【分析】连接BD ，由于AB =BC ，点D 是AC 边的中点，故BD ⊥AC ，再根据三角形的面积公式求出BD 的长，再根据直线l 是线段BC 的垂直平分线可知，点C 关于直线l 的对称点为点B ，故BD 的长为CP +PD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接BD ，∵AB =BC ，点D 是BC 边的中点，∴BD ⊥AC ，∴S △ABC =12AC •BD =12×2×BD =3，解得BD =3，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴点C 关于直线l 的对称点为点B ，∴AB的长为CP+PD的最小值，AC=3+1=4．∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+12故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15(2023秋·八年级课时练习)如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.16(2023秋·福建三明·八年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为度．【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=12180°-∠ACB-∠BCD=15°，∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．三、解答题17(2023秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图所示，点A(1,1)，点B(4,2)，点C(3,4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．(2)y轴上是否存在一点P，使得PA+PB的和最小．若存在，请你找出点P的位置．(保留作图痕迹)(3)求出△A1B1C1的面积．【答案】(1)画图见解析，A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4(2)见解析(3)72【分析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，进而得点A1、B1、C1的坐标；(2)连接AB1或A1B，与y轴交点即为点P；(3)根据网格利用割补法计算即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4；(2)如图，点P 即为所求；(3)S △A 1B 1C 1=3×3-12×1×3-12×1×2-12×2×3=72．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．18(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期末)如图，在正方形网格上有一个△ABC (三个顶点均在格点上)．(1)作△ABC 关于直线HG 的轴对称图形△A 1B 1C 1(不写作法)；(2)画出△ABC 中BC 边上的高AD ；(3)在HG 上画出点P ，使PB +PC 最小．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析．【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；(2)根据三角形的高的概念过点A 作AD 垂直于线段CB 的延长线，垂足为D 即可；(3)连接CB 1，交HG 于点P ，点P 即为所求．【详解】(1)解：如图1，△A 1B 1C 1为所求作的三角形；(2)解：如图2，过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高；(3)解：如图3，根据两点之间，线段最短，连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期末)(1)如图1，在△ABC中∠A=60º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC=度；②求证：BC=BE+CD．(写出求证过程)(2)如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是．(直接写出答案)；　②若∠A=20°，则△BCE的周长等于．(直接写出答案)．【答案】(1)①120；②证明见解析；(2)①2sn(或m2-n24)；②m【详解】试题分析：(1)①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A=60º即可得∠BOC的值；②采用截长法在BC上截取BF=BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO ≌△FCO，即可得证；(2)①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：(1)①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A，∵∠A=60º，∴∠BOC=90°+12×60º=120°；故答案为120°；②证明：由(1)①∠BOC=120°，∴∠BOE=∠COD=180°-120°=60°，在BC上截取BF=BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠FBO，又∵BO=BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC-∠BOF=120°-60°=60°=∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO=∠FCO，又∵CO=CO(公共边相等)∴△DCO ≌△FCO (ASA )∴CD =CF ，∴BC =BF +CF =BE +CD ；(2)①如图：当AM ⊥BC 时，与BC 交于点D ，过M 作MN ⊥AC 交AC 与点D ，∵CE 平分∠ACB ，∴DM =DN ，∴AD =AM +MD =AM +MN ,此时，AM +MN 的值最小，由S △ABC =12BC ·AD ，BC =n ，△ABC 的面积为S ，得AD =2s n，或∵AB =AC , AD ⊥BC , AB =AC =m ，BC =n ，∴BD =CD =n 2,在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD =m 2-n 24；故答案为2s n(或m 2-n 24)；②如图：在CA 上截取CD =CB ,以E 为圆心EC 为半径画弧，与AC 交于点F ，∵AB =AC =m ，∠A =20°，∴∠B =∠C =80°,∵CE 平分∠ACB ,∴∠BCE =∠DCE =40°,∵CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠CDE =∠B =80°,∠DEC =∠BEC =60°,BE =DE ,∴∠CDE =40°,∵EC =EF ,∴∠EFC =∠ECF =40°,∴∠DEF =∠CDE -∠DFE =40°,∴DE =DF ,∠AEF =∠DFE -∠A =40°-20°=20°,∴EF =AF ,∴BE =DF ,CE =AF ,∴△BCE 的周长=BC +CE +BE =CD +AF +DF =AC =m .点睛：此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.20(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A 1,1 ，B 4,2 ，C 3,4 .(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并简要说明理由.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】(1)先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可画出图形；(2)作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，即可得到结论；【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)解：作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，则AP+BP=AP+B P=AB ，根据两点之间，线段最短，此时△PAB的周长最小，△PAB如图所示．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．21(2023春·福建三明·七年级统考期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；(3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出所有满足条件的△BCD(点D与点A不重合)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)找到△ABC关于直线l对称的点，再依次连接即可；(2)连接B1C，与直线l交于点P即可；(3)根据全等三角形的判定画图即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，点P即为所求；(3)如图，△BCD即为所求，共有3个．【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定，最短路径，解题的关键是掌握相应的画图方法．22(2023秋·福建福州·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)写出△ABC各顶点的坐标；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)在y轴上作出点P，使得AP+BP的值最小．【答案】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)(2)见解析(3)见解析【分析】(1)按要求写出横纵坐标即可；(2)关于y轴对称的时候，x值变成相反数，其余不变；(3)连接B和A的对称点A1，该直线与y轴的交点就是AP+BP值的最小【详解】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)；(2)如图△A1B1C1就是所求的图形；(3)如图所作的点P即为所求．【点睛】本题考查图形的对称，平面直角坐标系，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23(2023春·福建泉州·七年级统考期末)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；(3)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1；(2)根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得△A2B2C2；(3)连接A2C交直线m于点P即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.(3)解：如图，点P即为所求.由(2)作图可知，点A与点A2是关于直线m的对称点，∴PA=PA2，∴PC+PA=PC+PA2=A2C，∴PC+PA最小，∵△ACP的周长=AC+PC+PA，∴△ACP的周长最小．【点睛】本题考查平移作图，作轴对称图形，利用轴对称求最小值，熟练掌握平移性质、轴对称的性质是解题的关键．24(2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末)如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)画直线AB和射线CB；(2)连接AC，过点C画直线AB的垂线，垂足为E；(3)在直线AB上找一点P，连接PC、PD，使PC+PD的和最短．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据直线和射线的定义，即可求解；(2)根据垂线的定义，即可求解；(3)根据题意可得：PC+PD≥CD，从而得到当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短，即可求解．(1)解：直线AB和射线CB即为所求，如图所示；(2)如图，直线CE即为所求；(3)连接CD交AB于点P，如图所示，点P即为所求根据题意得：PC+PD≥CD，∴当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、垂线的定义，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足是解题的关键．25(2023秋·福建南平·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1；B1；C1(2)在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标．(3)若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .【答案】(1)见详解，A1(-2，-3)；B1(-3，-2)；C1(-1，-1)；(2)见详解，P(0，1)；(3)1.5．【分析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用对称点求最短路线的性质得出答案;(3)根据格点求出三角形的面积.【详解】解：(1)如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；(2)如图，点P的坐标为：(0，1)．(3)S△ABC=2×2-12×1×2-12×1×2-12×1×1=1.5【点睛】【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【答案】（1）解：∵而同理：∴∴（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：（3）解：仍然成立.理由如下：∵又∵∴【解析】【分析】（1）先计算出再根据（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．2．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．图①图②（1）若，求的度数；（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．【答案】（1）解：，∵、分别是和的角平分线，∴∴（2）解：在△中， + ，，（3）解：【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.3．如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且 OA+50=OB，点B对应数是90．（1）求A点对应的数；（2）如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t秒，问当t为何值时，点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；（3）如图3，将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q为线段MN的中点，R为线段OP的中点，求22RQ﹣28RO﹣5PN的值．【答案】（1）解：如图1，∵点B对应数是90，∴OB=90．又∵ OA+50=OB，即 OA+50=90，∴OA=120．∴点A所对应的数是﹣120（2）解：依题意得，MN=|（﹣120+7t）﹣2t|=|﹣120+5t|，PM=|2t﹣（90﹣8t）|=|10t﹣90|，又∵MN=PM，∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|，∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣（10t﹣90）解得t=﹣6或t=14，∵t≥0，∴t=14，点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离（3）解：依题意得RQ=（ 45+4t）﹣（﹣60﹣4.5t）=105+8.5t，RO=45+4t，PN=（90+8t）﹣（﹣120﹣7t）=210+15t，则22RQ﹣28RO﹣5PN=22（105+8.5t）﹣28（45+4t）﹣5（210+15t）=0【解析】【分析】（1）根据点B对应的数求得OB的长度，结合已知条件和图形来求点A 所对应的数；（2）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t；（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO 及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．4．如图，直线l上有A、B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．（1）OA=________cm，OB=________cm．（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长．（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ=8．②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为________ cm．【答案】（1）16；8（2）解：设CO=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，∵AC=CO+CB，∴16﹣x=x+8+x，∴x= ，∴CO=（3）48【解析】【解答】解：（1）∵AB=24，OA=2OB，∴20B+OB=24，∴OB=8，0A=16，故答案分别为16，8．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，t= ，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）=8，t=16，∴t= 或16s时，2OP﹣OQ=8．②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）=16，t=16，∴点M运动的路程为16×3=48cm．故答案为48cm．【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）=8，解方程即可．②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）=16由此即可解决．5．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）①当t=________秒时，OM平分∠AOC？（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．【答案】（1）2.25；45（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，∵∠AON=90°+10t，∴∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，∵∠AOM=10t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°（3）3（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°．【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，∴∠AOM= =22.5°，∴t=2.25秒，∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；故答案为：2.25，45；·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∴∠AOC=45°+5t，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM= AOC，∴10t= （45°+5t），∴t=3秒，故答案为：3．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB 的下方．（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC∴∠BOM=∠BOC=60°又∵∠MON=90°∴∠BON=∠MON−∠BOM=90°−60°=30°（2）解：设的余角为x°，则由题意得：，x=15,3x=45，所以的度数为45°（3）解：（0°< <90°）．．【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）APCDB AFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、NBC的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2A 2 D 1C 1B 1CBDA A 1B2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）F4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．FPDE CBAAPCBA CBPDEDCB A A CBPD经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

上海市八初级中学数学旋转几何综合单元达标训练题（Word 版 含答案）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：2222345AB AD +=+=， ∵S △ABD 12=BD•AE=12AB•AD ，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．2．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8+)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，-8)，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

2022中考考点必杀500题 专练14（几何压轴大题）（30道）1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB 的半径8OA =，90AOB ∠=︒，点C ，D 分别在半径OA ，OB 上（点C 不与点A 重合），连结CD ．(1)当4sin 5ODC ∠=，BD CD =时，求OC 的长． (2)点P 是弧AB 上一点，PC PD =．①当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求证：PC PD ⊥． ①当4OC =，90PDO ∠=︒时，求PCDOCDS S △△的值． 2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P 在射线AB 的上方，060PAM ︒<∠<︒、4PA =，点M 是射线AB 上的动点（点M 不与点A 重合），现将点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，将点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，连接,,AQ PM PN ，作直线QN ．(1)求证：AM QN =；(2)直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时APN ∠和PAM ∠的关系，若不存在，请说明理由；(3)若50PAB ∠=︒，当以点P 为圆心，PN 长为半径的圆经过点Q 时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．3．（2022·河北保定外国语学校一模）在ABC 中，10AC BC ==，4sin 5A =，点D 是线段AB 上一点，且不与点A 、点B 重合．(1)当点D为AB中点时，AD的长为__________；(2)如图1，过点D作DM AC⊥于点M，DN BC⊥于点N．DM DN+的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；(3)将B沿着过点D的直线折叠，使点B落作AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；①如图3，设AD a=，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，直接写出a的取值范围．4．（2022·四川成都·二模）已知在正方形ABCD中，E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，BF交AE于点G，连结DF．(1)如图1，求DFB∠的度数；(2)如图2，过点D作DM BF⊥交BF的延长线于点M，连结,CM CF．若DF CM=，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD，在AG上截取=GT GB，点P，Q分别是,AD BD上的动点．若正方形ABCD的面积为32，直接写出PTQ周长的最小值．5．（2022·安徽芜湖·二模）在△ABC中．①C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．(1)图1，若①AEF =①BDF ，求证：CD ACCE BC=； (2)如图2．若D 为BC 的中点，AE =EF ．求证：AC =BF ； (3)如图3．若AE =CD ，BD =AC ．求①AFE 的度数．6．（2022·安徽合肥·二模）已知，在△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ，CD 是AB 边上的中线，点E 为CD 上一点，连接BE ，作FB ①BE ，且FB=EB ，连接FE 和FC ，FE 交BC 于点G ．(1)如图1，若点E 与点D 重合，求证：点G 是BC 的中点； (2)如图2，求证：CF //AB ；(3)如图3，若BE 平分△DBC ，AB =2，求CG ：BC 的值．7．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD 中，12,9AB BC ==．P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），延长CB 到Q ，使1,,2=BQ BP AP DQ 交于点E ，连接BE 并延长交AD 于点F ．(1)若6BP =，求证：ADE PQE ∆∆≌；(2)探究：当点P 运动时，点F 的位置是否发生变化？请说明理由； (3)求C ，E 两点距离的最小值．8．（2022·四川眉山·二模）如图ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1连结BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证： ①ABE ACD △≌△； ①BP CD ⊥(2)如图2把ADE 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连结BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若3BC AD ==， ①求证：BDP CDA △∽△； ①求PDE △的面积．9．（2022·吉林长春·一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．例如：在图(1)中，AB AC AD ==，求证：2BAC BDC ∠=∠．(请写出证明过程) 证明：方法运用：如图(1)已知AB AC AD ==，2BAC BDC ∠=∠，44BAC ∠=︒，则①CAD 的度数为______． 方法拓展：如图(2)在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF △沿EF所在直线折叠得到EB F '△，连结B D '，则B D '的最小值是______．10．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD ≌，所以BF CD =． 解决问题：（1）将图①中的Rt DEF △绕点O 旋转到图①的位置，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论． （2）如图①，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系．（3）如图①，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角ACB EDF α∠=∠=，请直接写出BF 与CD 之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．11．（2022·浙江嘉兴·一模）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图1，在AOB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒．【基础巩固】（1）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°得到DCB （如图2），连结OC ．求证：OC OB =． 【思考探究】（2）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到DCB （如图3），使12BC BO =，连结OC ，AD ． ①求证：OBC ABD △△①用等式表示AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到DCB （如图4），使12BC BO =，连结OC ，AC ，AD ．当OC OB =时，求ACAD的值． 12．（2022·山东济南·一模）图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE △叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE △，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；①求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE △，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．13．（2022·重庆·一模）在ABC 中，点D 在边AB 上，AE CD ⊥于F 交BC 于E ，AE CD =，2ACD BAE ∠=∠．(1)如图1，若ACE为等边三角形，2CD=，求AB的长；(2)如图2，作EG AB⊥，求证：AD=；(3)如图3，作EG AB⊥，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BFCE的值．14．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）将正方形ABCD绕点A逆时针旋α到正方形AEFG．(1)如图1，当0°＜α＜90°时，EF与CD相交与点H．求证：DH＝EH；(2)如图2，当0°＜α＜90°，点F、D、B正好共线时，①求①AFB度数；①若正方形ABCD的边长为1，求CH的长：(3)连接DE，EC，FC．如图3，正方形AEFG在旋转过程中，是否存在实数m使AE2＝DE2＋mFC2－EC2总成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．（2022·安徽六安·一模）如图1，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，CO①BE交AB于F．EF交CB 延长线于G．(1)当E为AD中点时，求证：BC＝2BG；(2)如图2，当BG＝BC时，求证：2=⋅；AE AF AB(3)在（2）的条件下，连接OD，求tan①EOD的值．16．（2022·辽宁沈阳·一模）如图1，在ABC中，AB ACBC=，在ABCAB=，6⊥于点O，5=，AO BC△，点E是线段AO所在直线上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕的外部以AB为边作等边ABD点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，连接EF．(1)求AO的长；(2)如图2，当点E在线段AO上，且点F，E，C三点在同一条直线上时，求BF的长；(3)连接DF，若BDF的面积为3，请直接写出BF的长．∠=∠，17．（2022·安徽芜湖·二模）如图．P是菱形ABCD的对角线BD上一点，E是BC边上一点，EAP ABD AE 交BD于点F．(1)求证：∽ABP FBE；(2)过点P 作PH AE ⊥于点H ，若34=AP AD ，求AHBD的值． 18．（2022·广东广州·一模）如图，矩形ABCD 中AB =10，AD =6，点E 为AB 边上的动点（不与A ，B 重合），把△ADE 沿DE 翻折，点A 的对应点为G ，延长EG 交直线DC 于点F ，再把△BEH 沿EH 翻折，使点B 的对应点T 落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ．(1)求证：△GDE ①△TEH ；(2)若点G 落在矩形ABCD 的对称轴上，求AE 的长；(3)是否存在点T 落在DC 边上？若存在，求出此时AE 的长度，若不存在，请说明理由． 19．（2022·上海市进才中学一模）已知：AB =5，tan ①ABM =34，点 C 、D 、E 为动点，其中点 C 、D 在射线 BM 上（点 C 在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC =AD ，AB =AE ，①CAD =①BAE ．(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED ，求 ED 的长； (2)当 EA BM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积； (3)联结 CE ，当①ACE 是等腰三角形时，求点 B 、C 间的距离．20．（2022·山东临沂·一模）知识再现：已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，连接AM 、AN 、MN ，且45MAN ∠=︒，延长CB 至G 使BG DN =，连接AG ，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN BM DN =+．(1)知识探究：如图1中，作AH MN ⊥，垂足为点H ，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并进行证明． (2)知识运用：如图2，四边形ABCD 是正方形，E 是边BC 的中点，F 为边CD 上一点，2FEC BAE ∠=∠，24AB =，求DF 的长．(3)知识拓展：已知45BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，且2BD =，6AD =，求CD 的长．21．（2022·河南·方城县基础教育教学研究室一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE =1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（1）所示．则CF 的长为 ．（直接写出结果，不说明理由）(2)△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（2）所示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连结CF ， ①①ABC 、①BEF 都是等边三角形 ①BA=BC ，BE=BF ，△ABC=△EBF =60° ①①△ABE + =△CBF + ； ①△ABE=△CBF ①①ABE ①①CBF ①△BAE=△BCF =60°又△ABC=60°①△BCF=△ABC①①______①______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．①①点F所经过的路径长为．(3)①ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）BC=，22．（2022·河南·淅川县基础教育教学研究室一模）【问题发现】（1）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6E为边DC上的一个点，连接BE，过点C作BE的垂线交AD于点F，试猜想BE与CF的数量关系．BC=，G为边AB上的一个点，E为边CD延长线【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，4AB=，6上的一个点，连接GE交AD于点H，过点C作GE的垂线交AD于点F，试猜想GE与CF的数量关系并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E从点B出发沿射线BC运动，连接AE，过点B作AE 的垂线交射线CD于点F，过点E作BF的平行线，过点F作BC的平行线，两平行线交于点H．当点E运动的路程为8时，请直接写出点H运动的路径长度．23．（2022·广东佛山·二模）如图1，①O的直径为BC，点A在①O上，①BAC的平分线AD与BC交于点E，与①O交于点D，2AB=，BD=(1)求tan ADB∠．(2)求证：AB AC+=．(3)如图2，点F是AB延长线上一点，且CD DE BF CE⋅=⋅．求证：DF是①O的切线，并求线段DF的长．24．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）在ABC中，2AC BC=，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE并延长至F，且使12EF BE=，连接DF交AC于点G．(1)如图1，连接AF，求证：DF DB=；(2)如图2，若H是CE的中点，连接BH．求证：DF BH=；(3)在（2）的条件下，连接FH，改变ABC∠的大小，当四边形BDFH是正方形时，直接写出BCAB的值．25．（2022·河南新乡·二模）如图1，四边形ABCD为正方形，点E为其边BC上一点，以CE为边在正方形ABCD 右侧作正方形CEFG ．将正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤360°），连接AF 、BG ，交于点M ．(1)当α=90°时，①AMB =________°；当α=270°时，①AMB =________°；(2)在旋转过程中，①AMB 的度数是否为定值？如果是，请就图2的情况予以证明；如果不是，请说明理由．(3)若BC =3，CE =1，当A 、E 、F 三点在同一条直线上时，请直接写出线段 BM 的长度．26．（2022·山东泰安·一模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作点E 关于AD 的对称点F ，连接AF ，FD ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，交AC 的延长线于点M ．(1)判断AF 与BD 的位置关系并证明；(2)求证：BC CN DE DN ⋅=⋅；(3)若34DF DN =，求CM MD的值． 27．（2022·江苏南通·一模）矩形ABCD 中，AB BC <，6AB =，E 是射线CD 上一点，点C 关于BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上．(1)如图，当点E在边CD上时；①若10BC=，DF的长为______；①若9AF DF⋅=时，求DF的长；(2)作①ABF的平分线交射线DA于点M，当12MFBC=时，求DF的长．28．（2022·辽宁沈阳·一模）已知正方形ABCD，在边DC所在的直线上有一动点E，连接AE，一条与射线AE垂直的直线l沿射线AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F．(1)如图1所示，当直线l经过正方形ABCD的顶点B时．求证：AF DE=；(2)如图2所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，CG．求证：GE GC=；(3)直线l继续向上平移，当点P恰好落在对角线BD所在的直线上时，交边CB所在的直线于点H，当3AB=，1DE=，请直接写出BH的长．29．（2022·广东广州·一模）如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，连结CE，过D作DF①CE 于点G，DF交边AB于点F．已知DG＝4，CG＝16．(1)EG的长度是．(2)如图2，以G为圆心，GD为半径的圆与线段DF、CE分别交于M、N两点．①连接CM、BM，若点P为BM的中点，连结CP，求证①BCP＝①MCP．①连接CN、BN，若点Q为BN的中点，连结CQ，求线段CQ的长．30．（2022·河南·模拟预测）如图，在①ABC中，①B=60°，AB=AC，点D为边BC所在直线上任一点，将线段AD能绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．(1)如图1，若点D在线段BC上，BD与CE的数量关系是________________，①ACE的度数是_______；(2)图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)点D运动的过程中，若AD与BD的夹角为15°，直接写出CECD的值．。

考向4.1 几何图形初步常考知识点专题例1、（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A 、B 、C 三点在同一直线上，已知AC ＝2a +1，BC ＝a +4，AB ＝3a ，这三点的位置关系是（ ）A ．点A 在B 、C 两点之间B ．点B 在A 、C 两点之间 C ．点C 在A 、B 两点之间D ．无法确定解：①当点A 在B 、C 两点之间，则满足BC AC AB =+，即4213a a a +=++， 解得：34a =，符合题意，故选项A 正确； ②点B 在A 、C 两点之间，则满足AC BC AB =+，即2143a a a +=++， 解得：32a =-，不符合题意，故选项B 错误； ③点C 在A 、B 两点之间，则满足AB BC AC =+，即3421a a a =+++，解得：a 无解，不符合题意，故选项C 错误；故选项D 错误； 故选：A ．例2、（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料：立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD A B C D ''''-（图1）．因为在平面AA C C ''中，//CC AA ''，AA '与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA '所成的BAA '∠就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC '所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD A B C D ''''-，求既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小．（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ； ②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BAC ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，连接NM '，与AB交于点P ，连接MP ，则PM PN PN PM NM ''+=+=，过点N 作BC 垂线，并延长与M M '交于点E ，∵点M 到BC 的距离是5，点N 到BC 的距离是3，∴8NE =，∵点M 到AB 的距离是2，点N 到BD 的距离是4，∴6EM '=，∴22226810NM EM NE ''=+=+=，故PM PN +最小值为10．【点拨】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾最小时的情况是解题的关键．股定理等知识点，读懂题意，明确PM PN1、《几何初步知识》几何重要的必考点是直线的性质公理、线段公理、垂线段公理、互补、互余的运用，在复习阶段的主要任务是把此知识点与后面的知识综合加以运用上；2、例题1运用了分讨论思想，例题2是线段公理的运用，这此知识点都将在中考中作为常考知识点出现。

上海南洋模范初级中学数学几何模型压轴题单元综合测试（Word 版含答案）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直； （2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．2．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示．()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥； ()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）7，725． 【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ≅，得出AC=BD ， 延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC ⊥.(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC AB即可解决问题【详解】 ()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．∵90AOB COD ∠=∠=，∴AOC DOB ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD ≅，∴AC BD =，CAO DBO ∠=∠，∵90DBO GOB ∠+∠=，∵OGB AGE ∠=∠，∴90CAO AGE ∠+∠=，∴90AEG ∠=，∴BD AC ⊥．()2解：如图3中，设AC x =，∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，∴ABC 是直角三角形，∴222AC BC AB +=，∴222(17)25x x ++=，解得7x =，∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=，∴ABC α∠=∠，∴7sin sin 25AC ABC AB α=∠==． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.3．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DFEF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】 （1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形.AM MC ∴=，GN BN =.又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =， 120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，333DM FN a==， 333MF NE b==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，3DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF . （2）3EF DF =，DF EF . 理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=.又CE EB =，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ，∴四边形LCMF 为矩形，90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒.GEB 为等边三角形，60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在RtDEF △中，3tan 33DE DF F F E DF ===∠； （3）①3EF DF =，DFEF .选择题图进行证明： 如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF BNF ∴≅.AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠.//AD NB ∴.18060O ADC ∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=︒，OCP OBE ∴∠=∠.DCE NBE ∴∠=∠.又GEB 是等边三角形，GE BE ∴=， 又AD BN CD ==，()SAS DCE NBE ∴≅.DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.BEN BED CED BED ∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC ∠=∠=︒.DEN ∴是等边三角形.又DF FN =，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF 并延长到点N ，使得FN DF =，连接NB ，DE ，NE ，NB 与CD 交于点O ，EB 与CD 相交于点J ， 在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF BNF ∴≅.AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠.//AD NB ∴.120NOC ADC ∴∠=∠=︒.60BOJ ∴∠=︒，60JEC ∠=︒.又OJB EJC ∠=∠，OBE ECJ ∴∠=∠.AD CD =，AD NB =，CD NB ∴=. 又GEB 是等边三角形，CE BE ∴=.()SAS DCE NBE ∴≅.DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠，即60NED BEC ∠=∠=︒. DEN ∴是等边三角形.又DF FN =，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.4．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．5．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【解析】【分析】（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵FA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵PA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，∵PF2+FQ2=PQ2，∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.6．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得B A=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB2F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x=-+；（2）2＜m＜223）m=6或m17﹣3．【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（20），设抛物线的解析式为24y ax=+，把A（220）代入可得a=12-，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为()21242y x m=--，由()221421242y xy x m⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y得到222280x mx m-+-=，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m mmm⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （22，0）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩， 解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 17﹣3173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m =6或m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．8．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）如图1，求证：△CDE 是等边三角形． （2）设OD ＝t ，①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t 为何值时，△DEB 是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t ＝2或14. 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC ，即可得到结论； （2）①当6＜t ＜10时，由旋转的性质得到BE=AD ，于是得到C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D 与点B 重合时，D ，B ，E 不能构成三角形；当0≤t ＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE ＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t ；当6＜t ＜10时，此时不存在；当t ＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==10．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．11．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴APm＝52810mAP，解得m＝或﹣（舍弃），∴DE＝2m＝．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．12．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB 为直径的O过点E．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π-【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案.试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形∵90AB AEB ∠∴=︒是直径∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒ ∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)． 【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-， 移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.14．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33（351和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即△COE~△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan∠AOD =HDOH=33，∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴3AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO=， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与A 、B 重合），D 为的AC 中点，过点D 作弦DE ⊥AB 于F ，P 是BA 延长线上一点，且∠PEA ＝∠B ．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE，BE，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴23 PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010 AH aAG a==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．16．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q （P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1），理由如下：CE 平分，AE 平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．2．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）①当t=________秒时，OM平分∠AOC？（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．【答案】（1）2.25；45（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，∵∠AON=90°+10t，∴∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，∵∠AOM=10t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°（3）3（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°．【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，∴∠AOM= =22.5°，∴t=2.25秒，∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；故答案为：2.25，45；·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∴∠AOC=45°+5t，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM= AOC，∴10t= （45°+5t），∴t=3秒，故答案为：3．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．3．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）解：∵∠ABC=80°，∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，∵BF平分∠ABE，∴∠EBF= ∠ABE=50°，∵BF∥CD∴∠BCD=∠EBF=50°（2）解：∵∠FBE是△EBC的外角，∴∠F=∠EBF-∠ECF∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，∵∠ABE=180°-∠ABC，∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，∴∠F= （∠A+∠D-180°），∵∠A=105º，∠D=125º，∴∠F= （105º +125º -180°）=25°（3）解：结论：∠F= （∠A+∠D-180°）理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，∴∠F=∠EBF-∠ECF∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，∵∠ABE=180°-∠ABC，∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，∴∠F= （∠A+∠D-180°）【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解；（2）由平行线的性质可得：∠ABC+∠A=180°；∠BCD+∠D=180°；由已知条件可得：∠ABC=180°-∠A；∠BCD=180°-∠D；由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；∠BCF=∠BCD，由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF，于是∠F=∠FBE-∠BCF，把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解；（3）结合（1）和（2）的结论可求解：∠F=（∠A+∠D-180°）。

一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A 2B 3C 5D ．134．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<5．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．907．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．1608．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21=S S 且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠9．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．310．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A 3λB 2C 2λD 511．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ）A ．14B ．34-C ．1D ．1212．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A．45B．2C．22D．3二、填空题13．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC截面PQMN；②AC BD⊥；③AC BD=；④异面直线PM与BD所成的角为045.14．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且1PA PB PC===，则球O的表面积为____________.15．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A B、两点间的球面距离______________．16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．17．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.18．已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________．19．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1AOM ．20．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．三、解答题21．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ； （2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．（2）设2AB AP ==，3AD =，若13PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//BC AD ，AB BC ⊥，2PA =，1AB =，22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：//CM 平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的余弦值．24．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AACC 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.25．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB =，11112A B AC ==，11AB BC ⊥.（1）求1AA 的长；（2）求二面角11B AC C --的正弦值.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，4PA AD ==，//BC AD ，AB AD ⊥，2AB BC ==，()01PE PC λλ=≤＜．（1）若12λ=，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，若234cos θ=，求λ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++，解得2a =. 故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.2．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.3．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为2．【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：2221cos 222()1a a b bβ==<⋅+⋅+，故(,)32ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=，故αβγ<<. 故答案为A.【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角. 5．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ，连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan 22，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．6．D解析：D【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2，则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DNA M DN θ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．7．D解析：D【解析】设直四棱柱1111ABCD A BC D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC ,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.8．D解析：D【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 9．C解析：C【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =， 由题意23sin 21CE CMCE CM k α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221kα≤=≤+22k ≤≤， 所以k 2当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2023120222n DE y z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩， 取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos n m n m θ⋅==⋅，所以sin 63θ=tan 2θ= C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.10．D解析：D【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||25||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为5 故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 11．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】 ()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．D解析：D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-， 由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.13．①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件若不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为是正方形所以所以平面又平面平面于所以所解析：①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件，若P Q M N 、、、不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为PQMN 是正方形，所以//PQ MN ，所以//PQ 平面ACD ，又平面ACD ⋂平面ABC 于AC ，所以//AC PQ ，所以//AC 截面PQMN ，故①正确；同理可得//BD MQ ，所以AC BD ⊥，即②正确；又//BD MQ ，PMQ 45∠=︒，所以异面直线PM 与BD 所成的角为045，故④正确；根据已知条件，无法确定AC BD 、长度之间的关系，故③错.故答案为①②④【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关知识点即可求出结果，属于常考题型. 14．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考 解析：3π【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -所以球的半径为所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】 本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++（其中,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．15．【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北解析：5arccos 8R 【分析】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，3r R =，且ABC 是等边三角形，即3AB R =，AOB 中，由余弦定理得AOB ∠的值，利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.【详解】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，130OAO ∠=， 则3cos30r R R ==， 根据A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，可得160AO B ∠=， 1AO B ∴是等边三角形，即3AB r R ==， ABC 中，由余弦定理可得2222232cos 4AB R R R R AOB ==+-⋅∠，求得5cos 8AOB ∠= ,5arccos 8AOB ∴∠=， ,A B ∴两点间的球面距离5arccos 8AB R AOB R =⋅∠=⋅.故答案为：5arccos8R ⋅ 【点睛】 本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.16．（）（）（）【解析】（）中①⑤②④③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状根据熟悉的柱锥台球的图形明确几何体的展开对应关系结解析：（2）（3）（4）【解析】（1）中①⑤、②④、③⑥相对，（2）中①④、②⑤、③⑥相对，（3）中①④、②⑤、③⑥相对，（4）中①④、②⑤、③⑥相对．点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系17．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线 ，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 18．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直【解析】试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A BC D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADDA ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min 1(cos )CD CA α=== 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．19．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点 解析：43【分析】证明出1AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论.【详解】因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =， O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，由余弦定理可得22211112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22211AO AO AA ∴+=， 1AO AD ∴⊥， 平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11A ADD ，所以，1AO ⊥平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O 、(13A 、31,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点()1,,0N t ，设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-， 由11111120330m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+， 可得()3,23,6m t t =-+， 设平面1AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02OM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由12223032n OA z nOM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =， 因为平面DNC ⊥平面1AOM ，则()3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得43t =. 因此，当43AN =时，平面DNC ⊥平面1AOM . 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.20．【解析】连接因为所以根据即所以则而根据余弦定理得点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解以及余弦定理的应用同时考查了空间象限能力计算推理的能力属于中档试题立体几何是高中数学中的重要内容也是高考重点考查 解析：85【解析】连接AC ，因为04,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =, 根据cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠''，即12cos 2A AC '=∠⋅，所以045A AC ∠='，则0135C CA ∠=', 而5,5AC AA '==,根据余弦定理得85AC '=.点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）4214. 【分析】（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值． 【详解】解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥， 又,BC BE ⊥BEEH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE 所以平面ABED ⊥平面;BCFE（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =， 以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，(()()13333,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,2222P A C F D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()131,1,0,0,2,0,1,2DF BA BF ⎛∴=-== ⎝⎭设平面ABF 的法向量为,,,nx y z由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有013022y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()3,0,2n =-.42sin 14||||n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法 （1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 22．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2）361. 【分析】（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角P AC E --为θ，由cos m n m nθ⋅=⋅求解.【详解】（1）点E 是PD 的中点，如图所示：连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 11123020x y z +=⎧⎨=⎩，令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230403x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令 22233,2,2x y z ==-=，则33,2,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61m n m nθ⋅==⋅，所以 22213361sin 1cos 161θθ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见详解；（2）3. 【分析】（1）取AP 的中点E ，先证明四边形BCME 为平行四边形，即得//CM BE ，再利用线面平行判定定理即证得结论；（2）根据垂直关系建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即求得结果. 【详解】解：（1）证明：如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴，且1=2EM AD ，又//BC AD 且2AD BC =即12BC AD =，//,EM BC EM BC ∴=，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//CM ∴平面PAB ；（2）因为//BC AD ，AB BC ⊥，故AB AD ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，故,,PA AB AD两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,1,0C ，()002P ,,，()0,1,1M ， ()1,1,0AC ∴=，()0,1,1AM =，()0,0,2AP =，设平面MAC 的法向量(),,n x y z =，则00AC n x y AM n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1y =-，则1x =，1z =，()1,1,1n ∴=-.PA ⊥平面ABCD ，AP ∴为平面ACD 的一个法向量，3cos ,23AP n AP n AP n⋅∴<>===⨯⋅ 二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --3【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错； （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量； （4）利用法向量求二面角. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）22. 【分析】（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ，由平几知识可证得1//AC OD ，再由线面平行的判定可得证；（Ⅱ）方法一：由已知可得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =，再由线面垂直的判定可得AO ⊥平面11BB C C ，从而有1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角，解三角形可解得直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，运用线面角的空间向量的求解方法可求得答案． 【详解】解：（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ， 四边形11BB C C 是平行四边形，O 为1BC 中点，D 为AB 中点，得1//AC OD ，又OD ⊂平面1CDB ，故1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）方法一：由12AB AC ==，12AC AB ==，且O 为1BC ，1BC 的中点， 得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =， 又1BC ，1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线，得AO ⊥平面11BB C C ，故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角； 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，2BC =，得四边形11BB C C 为菱形，又11B C BC =，故四边形11BB C C 为正方形，122BC =， 则1ABC 为等腰直角三角形，且12BAC π∠=，故14AC B π∠=，12sin 2AC B ∠=， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()13,0A -，()13,0B ， 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，ABC 为正三角形， 故CD AB ⊥，又1B D AB ⊥，所以AB ⊥平面1CDB ， 设()0,,C y z ，由2CA =，123CA =得(22223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩即326y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3260,C ⎛ ⎝⎭， 由11B C BC ，得12326C ⎛- ⎝⎭，所以12326AC ⎛= ⎝⎭，()13,0BB =-，3261,BC ⎛=- ⎝⎭； 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =，由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,33260,x y x z ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可取(3,1,2n =，设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ， 则1112sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅===， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22. 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法：1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.}2. 向量法：直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n .直线a 的方向向量和平面α所成的角θ满足: ||sin .||||n m n m θ⋅=⋅25．（1）22215.【分析】（1）连接1A B ，先证得11AC ⊥平面11ABB A ，得111AC AB ⊥，然后由已知得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥，在直角梯形11AA B B 中，可求得1AA ；（2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，然后求得二面角11B AC C --的两个面的的法向量，由法向量的余弦值得二面角的正弦值． 【详解】解：（1）如图，连接1A B .1AA ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，则111AC A A ⊥，又1111AC A B ⊥，1111AA A B A =，∴11AC ⊥平面11ABB A ，而1AB ⊂平面11ABB A ， 故111AC AB ⊥. 又11AB BC ⊥，1111AC BC C ，可得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥， 故1111111112tan tan 224AA A BA A AB A BA A AB AA AA ∠=∠⇒∠=∠⇒=⇒=（2）如图，以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(12,0,2B ，()10,2,22C()4,0,0AB =为平面1AC C 的一个法向量.设(),,n x y z =为平面11B AC 的一个法向量，则112220002220x z n AB n AC y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 取1z =，得()2,2,1n =--，则4210cos ,45n AB -〈〉==-， ∴15sin ,n AB 〈〉=. 故所求二面角的正弦值为15． 【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查空间向量法求二面角．求二面角的常用方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补求解． 26．（1）470；（2）13λ=．【分析】（1）首先证明PA ⊥平面ABCD ，再以点A 为原点，{},,AB AD AP 为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量，再求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）首先求平面ABE 和平面AEC 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，求λ的值． 【详解】解：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直． 以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．因为4PA AD ==，2AB BC ==，所以()0,0,0A ,()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，（1）若12λ=，即E 为PC 中点，则()1,1,2E ， 所以()1,3,2DE =-，()2,0,0AB =，()1,1,2AE =．设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AB m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111120,20.x x y z =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得12y =-，所以平面ABE 的一个法向量为()0,2,1m =-．设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin cos ,35DE m α===． （2）因为()01PE PC λλ=≤<，则()2,2,44E λλλ-．设平面ABE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()222220,22440.x x y z λλλ=⎧⎨++-=⎩令22y =，得21z λλ=-， 所以平面ABE 的一个法向量为0,2,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．设平面AEC 的一个法向量为()333,,l x y z =，则00l AC l AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即333220,40.x y z +=⎧⎨=⎩ 令31x =，得31y =-，所以平面AEC 的一个向量为()1,1,0l =-．（或证明CD ⊥平面PAC ，从而CD 为平面PAC 的一个法向量）因为二面角B AE C --的大小为θ，且cos17θ=， 得cos ,174n l ==+ 整理得23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍）．所以13λ=． 【点睛】方法点睛：本题考查线线，线面，面面关系中的垂直问题，空间直角坐标法解决线面，面面角，一般求线面角和二面角有如下公式：1.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，θ=<>求解.利用公式sin cos,a nθ=<>, 2.建立空间直角坐标系，设两个平面的法向量为m和n，利用公式cos cos,m n。

一、选择题1．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行；②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直；③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面；④一定存在过AB 且与α垂直的平面β.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(3B ．22⎤⎥⎝⎦C ．3,23D ．(]2,4 3．在长方体1111ABCD A BC D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ）A ．728B ．728-C 37D ．3714- 4．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326D ．6，22 5．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==27BC =P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．5673B ．5273C ．4973D 147 6．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（ ）A ．6πB ．12πC ．43πD ．83π 7．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）．A ．[10,19]B ．[11,19]C ．[10,25]D ．[11,25] 8．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 9．在正方体1111ABCD A BC D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43的体积为（ ）A ．43πB 6πC ．323πD ．86π 10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ）A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d = 11．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（ ）A ．32B ．62C ．322D ．34二、填空题13．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为___________．（写出所有正确结论编号）15．三棱锥P ABC -三条侧棱两两垂直，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，P 与D 在面ABC 异侧，则所成多面体外接球的体积是_________．16．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．17．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____18．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）19．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________．20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，23AB AC ==，2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.三、解答题21．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC .22．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，AC ⊥平面11BCC B ，D ，E 分别是棱1AA ，1BB 的中点.（1）求证：//AE 平面11B C D ；（2）求证：1CC ⊥平面ABC ；（3）若12AC BC AA ===，求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.23．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．24．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =，求异面直线1AB 与BF 所成角的大小； （2）求证：1AB //平面1BFC .25．如图，ABC 中，2AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．GF平面ABC；（1）求证：//（2）求证：AC⊥平面EBC．26．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】对于A，若直线AB与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB平行，错误；α=，过平面α外直线AB上一点对于B，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB M⊥，垂足为C，则在平面α内过点C一定可以作一条直线CD，使得P作PCα⊥，而在平面α内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在CD CM⊥，所以CD ABα内存在无数多条直线与直线AB垂直，若直线AB与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，正确；α=，根据异面直线的判定定理，在平面α对于C，若直线AB与平面α相交，设AB M内，不过点M的直线与直线AB异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB异面，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB异面，正确；α=，过平面α外直线AB上一点对于D，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB M⊥，垂足为C，所以平面ABC与平面α垂直，若直线AB与平面α垂直，则P作PCα过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确．故真命题的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．2．A解析：A【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可.【详解】由题意得BC x =，则21x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有： ∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE平面ADE ， ∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC == ∴2114AE x =-21x AD += 在ADE 中，由三边关系得：22111124x x +>-，22111124x x +<-，③0x >； 由①②③可得03x <<【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.3．C解析：C【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==， 所以2211111122B D D C B C =+=，213110B E =+222415ED CE DC +=+==， 所以222115914D E ED D D ==+=+，由余弦定理得， 从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题. 5．A解析：A【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，由214AB AC ==，27BC =，得72cos 214ACB ∠==，则14sin 4ACB ∠=， 21428sin 14AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，又1114sin 2142777224ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的156777833P ABC V -=⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．6．C解析：C 【分析】先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定球的半径的最大值，计算球的最大体积. 【详解】由三视图知该直三棱柱的高为4，底面正三角形的高为33半径为高的三分之一，即3r =，由于234<，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大值为3，它的体积()343433V ππ==.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33，第二个关键是确定球的最大半径.7．A解析：A 【分析】由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，所以////GK FE DC ，且11222GK FE DC ===， 所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高， 最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，1222EO ED ==， 作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，112KH PO ==，且H 是EO 的中点，122EH EO ==32DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12CD KGCJ -==， 所以3DJ =，由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=， 所以2221910KJ KH HJ =+=+=，10KJ =，22211819DK EH HD =+=+=，19DK =，故选：A. 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.8．A解析：A 【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i ）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分； （ii ）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii ）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分， 故选：A.9．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43 所以)1213344224AB CS S a==⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】3169V d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.11．C解析：C由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】 对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE 平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.12．A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可． 【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=， 在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = ∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则2S S '=二、填空题13．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最 解析：42【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=， 则2442AA '=⨯=．故答案为：42．【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．14．①③④【分析】由题意在正方体中结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果【详解】对于①由平面平面并且四点共面同理可证故四边形一定是平行四边形故①正确；对于②若是正方形有又且平面又平面与经过平解析：①③④ 【分析】由题意，在正方体中，结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果 【详解】对于①，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且 B 、E 、F 、1D 四点共面，1//F ED B ∴，同理可证，1//FD EB ，故四边形1BFD E 一定是平行四边形，故①正确； 对于②，若1BFD E 是正方形，有1ED BE ⊥，又 11A D BE ⊥，且1111A D ED D =，BE ∴⊥平面11ADD A ，又 AB ⊥平面11ADD A ，与经过平面外一点作已知平面的垂线有且只有一条相矛盾，故②错误；对于③，由图得，1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确； 对于④，当点E 和F 分别是对应边的中点时，:平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，故④正确． 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档题.15．【分析】根据几何体的几何关系可将几何体放在正方体中多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球由此可求外接球的体积【详解】如图所示并且两两互相垂直所以所以正四面体与三棱锥相接且棱长为所以如图所示将此多 解析：32【分析】根据几何体的几何关系，可将几何体放在正方体中，多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由此可求外接球的体积. 【详解】如图所示，AB AC BC ==，并且,,PA PB PC 两两互相垂直，所以222222PA PB PA PC PB PC +=+=+，所以PA PB PC ==，正四面体D ABC -2中，多面体的外接球就是此正方体的外接球，并且棱长为1，正方体外接球的半径22221113R ++3R =则外接球的体积34332V R π==.故答案为：3π【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据多面体的几何关系可采用补体，转化为求正方体的外接球的体积，这样计算就容易了.16．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ， 则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -，根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ()22310r r r +=， 所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ， 210910r ππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=. 故答案为：100π 【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.17．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A 解析：[3,3]【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案． 【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝23，|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值， 于是，有63ACB ππ≤∠≤，∴sin6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤3而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝23∠ACB ． ∴33S ≤．故答案为：[3,3] 【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键.18．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④ 【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确. 【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =；∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴+，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角， 在Rt ABC 中, tan 2ACABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE AD ⊥，又BDAD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCEV V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确. 故答案为：①③④． 【点睛】 思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明.19．【详解】设它们的底面圆的半径为()依题意得化简得所以故答案为： 解析：22【详解】设它们的底面圆的半径为r (0r >)．依题意得3443V π=⨯球V V =+圆柱圆锥221(+)83r r ππ=⨯, 化简得28r =,所以r =故答案为：20．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中【分析】先在等边三角形ABC中求出BC =2r ，从而可求该三棱锥的外接球的半径. 【详解】详解：因为060AB AC BAC ==∠=，所以ABC 为等边三角形，所以BC =ABC 外接圆的半径为23r，如图，三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ， 设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为'O ， 连接,','AO AO OO ，则'OO ⊥平面ABC ， 取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以//PA OO '，则四边形'ADOO 是矩形， 所以在PDO △和'OAO △中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,d R ==.【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由DE EC ⊥，AE DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面ACE ，再由//DE CB ，利用面面垂直的判定定理证明.（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ ，由三角形中位线可得.//OQ DE ，//OP AC ，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ， 则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=， 所以DE ⊥平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点， 所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ， 因为OP OQ O ⋂=， 所以平面//OPQ 平面ABC ， 又PQ ⊂平面OPQ ， 所以//PQ 平面ABC . 【点睛】方法点睛：证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（310 【分析】（1）先证明1//AE DB ，再结合线面平行的判定定理证明//AE 平面11B C D ；（2）由AC ⊥平面11BCC B 得出1AC CC ⊥，再由1CC BC ⊥结合线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且11AA BB =. 因为点D ，E 分别是棱1AA ，1BB 的中点， 所以1//AD B E ，且1AD B E =. 所以四边形1AEB D 是平行四边形. 所以1//AE DB .又因为AE ⊄平面11B C D ，1DB ⊂平面11B C D ， 所以//AE 平面11B C D .（2）因为AC ⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AC CC ⊥. 因为侧面11BCC B 为矩形，所以1CC BC ⊥. 又因为ACBC C =，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥平面ABC .（3）分别以CA ，CB ，1CC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题意得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,2,2B ，()10,0,2C ，()2,0,1D . 所以()2,2,0AB =-，()110,2,0C B =，()12,0,1C D =-. 设平面11B C D 的法向量为(),,n x y z =则1110n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y x z =⎧⎨-=⎩. 令1x =，则0y =，2z =.于是()1,0,2n =. 所以10cos ,10522n AB n AB n AB⋅===-⨯.所以直线AB 与平面11B C D【点睛】关键点睛：在解决第（3）问时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值，属于中档题. 23．（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得；（2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围． 【详解】 （1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N ∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）1232322ABD S ==△，1232313F ABD V -=⨯=， 由长方体性质可得2BF =43BD =30DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥， ∴130152233BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得115233=，∴25h = （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥，∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算． 24．（1）60；（2）证明见解析 【分析】（1）取11AC 中点E ，连接1,,B E EF AE ，可得1//B E BF ，得出1ABE ∠即为异面直线。

上海风华初级中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G 于H ，交直线CD 于M ，交x 轴于N ，∵H （2，）， ∴HM=﹣1=＜1， ∴当点P 不可能在DE 的上方；③∵MN=1，且O （0，0），a （4，0），∴P 与O 或A 重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE 的面积不小于1时，m 的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 考点：二次函数综合题．2．（1）（问题背景）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是直线BC 上的一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接CE ，求证：ABD ACE △≌△； （2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE ，AC 交于点G ，BF AB ⊥交DE 于点F ．求证：2FG AE =；（3）（拓展创新）如图3，A 是BDC 内一点，45ABC ADB ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，3BD =，直接写出BDC 的面积为_____________．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）32【分析】（1）【问题背景】如图1，根据SAS 证明三角形全等即可．（2）【尝试应用】如图2，过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于K ．证明△ECG ≌△DKF （AAS ），推出DF ＝EG ，再证明FG ＝DE ＝2AE 即可．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE ⊥AD 交BD 于E ，连接CE ．利用全等三角形的性质证明CE ＝BD ，CE ⊥BD ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）【问题背景】证明：如图1，∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD ACE SAS △≌△．（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D 作DK DC ⊥交FB 的延长线于K ．∵DK CD ⊥，BF AB ⊥，∴90BDK ABK ∠=∠=︒，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45DBK K ∠=∠=︒，∴DK DB =，∵ABD ACE △≌△，∴135ABD ACE ∠=∠=︒，DB EC DK ==，∴45ECG ∠=︒，∵BF AB ⊥，CA AB ⊥，∴AG BF ∥，∴G DFK ∠=∠，在ECG 和DKF △中，ECG K G DFK CE KD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ECG DKF AAS ≌△△，∴DF EG =， ∵2DE AE =，∴2DF EF AE +=， ∴2EG EF AE +=，即2FG AE =．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE AD ⊥交BD 于E ，连接CE ．∵45ADB ∠=︒，90DAE ∠=︒， ∴ADE 与ABC 都是等腰直角三角形，同法可证ABD ACE △≌△，∴3CE BD ==∵45AEC ADB ∠=∠=︒，∴90CED CEB ∠=∠=︒，∴11333222BDC S BD CE =⋅⋅==△． 故答案为：32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．综合与实践数学问题：（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，过斜边的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，则AB ，BE ，AF 之间的数量关系为______．问题解决：（2）如图2，在任意Rt ABC 内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；图2拓展提升：（3）如图3，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，则MN ，AM ，BN 的数量关系为______．图3（4）在（3）的条件下，若3AC =，4BC =，则MN =______．解析：（1）)2AB AF BE +；（2）135°；（3）222MN AM BN =+；（4）2512【分析】（1）根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系及正方形的性质即可得出数量关系； （2） 延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ，根据正方形的性质易证DFP DEB △△≌，从而可得DP =DB ，进而可证ADP ADB △△≌，从而可得12DAC DAB CAB ∠=∠=∠，12ABD CBD ABC ∠=∠=∠，由三角形内角和定理即可求得∠ADB 的度数； （3）由正方形的对边平行的性质易得AM =DM ，BN =DN ，从而在Rt △MDN 中，由勾股定理即可得MN 、AM 、BN 的数量关系；（4）由（2）知FP =BE ，即可求得DE =DF =1，根据相似三角形的性质可分别求得EM 、FN 的长，从而可得DM 、DN 的长，在Rt △MDN 中，由勾股定理即可求得MN 的长．【详解】（1）∵ABC 是等腰直角三角形，且AB =AC ， ∴2AB AC =，∠A =∠B =45°，∵四边形DECF 是正方形，且D 是AB 的中点，∴DF =FC =CE =DE ，∠DFA =∠DEB =90°，DF ∥BC ，DE ∥AC ，∴∠ADF =∠B =45°，∠BDE =∠A =45°，∴AF =DF ，BE =DE ，∴F 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴CF =BE ，∴AC =AF +CF =AF +BE ， ∴()2AB AF BE =+；（2）延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ．∵四边形DECF 是正方形，∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒．∵FP BE =，90DFC DEB ∠=∠=︒，DF DE =，∴()SAS DFP DEB ≌△△．∴DP DB =．∵AB AF BE =+，AP AF FP =+，FP BE =，∴AP AB =．又∵DP DB =，AD AD =，∴()SSS ADP ADB ≌△△．∴12DAC DAB CAB ∠=∠=∠． 同理可得：12ABD CBD ABC ∠=∠=∠．∵90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒． ∴()1452DAB ABD CAB CBA ∠+∠=∠+∠=︒． ∴()180135ADB DAB ABD ∠=︒-∠+∠=︒．（3）∵DF ∥BC ，DE ∥AC ，∴∠CBD =∠NDB ， ∠DAC =∠ADM ，∵ABD CBD ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∴∠ABD =∠NDB ，∠ADM =∠DAB ，∴BN =DN ，AM =DM ．在Rt △MDN 中，由勾股定理得：22222MD DN MN AM BN ==++故答案为：222MN AM BN =+，（4）∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4，∴由勾股定理得：AB =5，设正方形DECF 的边长为x ，由（2）知，AP =AB =5，BE =FP ，CP =AP -AC =2，∵FP =CP +CF ，BE =BC -CE ，即4-x =2+x ，解得x =1，∴BE =BC -CE =3，AF =AC -CF =2，∵EM ∥AC ，FN ∥BC ，∴△BME ∽△BAC ，△AFN ∽△ACB ∴34ME BE AC BC ==，23FN AF BC AC ==， ∴94ME =，83FN =． ∵DM =ME -DE =54，DN =FN -DF =53，2512MN ==． 故答案为：2512MN =． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，截长补短法作辅助线是本题的关键．4．（了解概念）在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．（理解运用）（1）在邻等四边形ABCD 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒，若CD 是这个邻等四边形的邻等边，则C ∠的度数为__________；（2）如图，凸四边形ABCD 中，P 为AB 边的中点，ADP PDC ∽，判断四边形ABCD 是否为邻等四边形，并证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，AB 为邻等四边形ABCD 的邻等边，且AB 边与x 轴重合，已知(2,0)A -，(,3)C m ，(2,4)D ，若在边AB 上使DPC BAD ∠=∠的点P 有且仅有1个，则m 的值是__________．解析：（1）130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由见解析；（3）﹣6【分析】（1）根据邻等四边形的定义即可求解；（2）由△ADP ∽△PDC ，可得AP AD PC PD =，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，由P 为AB 的中点，可得AP ＝BP ，则PB AD PC PD=，可证△BPC ∽△ADP ，由相似三角形的性质得出∠A ＝∠B 即可；（3）①若点B 在点A 右侧，如图，由AB 为邻等边，则有∠DAB ＝∠ABC ＝∠DPC ，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，设点P （n ，0），由等腰直角三角形可求∠BAD ＝45°，可求B 、C 横坐标之差为3，B （m +3，0），将AP ，BP ，AD ，BC ，代入得：4232n 2+（m +1）n +2m ﹣18＝0，由题意可知n 只有一个解，可求得m ＝﹣6；②若点B 在点A 左侧，可求得∠BAD ＝135°，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，可求得B 、C 横坐标之差为34232=m ＝﹣5﹣6． 【详解】解：（1）∵CD 为邻等边，∴∠C ＝∠D ，又∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴∠C ＝∠D ＝（360°﹣∠A ﹣∠B ）÷2＝130°，∴∠C ＝130°．故答案为：130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由如下：∵△ADP ∽△PDC ，∴AP ADPC PD=，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P为AB的中点，∴AP＝BP，∴PB ADPC PD=，∴PB PCAD PD=，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四边形ABCD为邻等四边形；（3）若点B在点A右侧，如图，∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，设点P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵点C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝22(22)4++＝42，BC＝2233+＝32，代入APBC＝ADBP得：242332nm n+=+-，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由题意可知n只有一个解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±46，又∵点C在点D右侧，∴m＝﹣5+46；②若点B在点A左侧，如图，此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，由①得：B （m +3，0），C （m ，3），P （n ，0）， AP ＝﹣2﹣n ，BP ＝n ﹣m ﹣3，AD ＝42，BC ＝32， ∴242332n n m --=--， 解得：m ＝﹣5±46， 又∵点C 在点D 左侧， ∴m ＝﹣5﹣46； 综上所述：m ＝﹣5±46． 【点睛】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于n 的一元二次方程是解题关键．5．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE1S2=S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927 【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果． 【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCEABCDSS =．（2）解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9，∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ，∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ， ∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1， ∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．6．如图，已知ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠的度数为__________，线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系是__________； （2）拓展探究如图②，当90ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ．请判断CEB ∠的度数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，AC =2AE =，连接CE 、BD ，在AED ∆绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长解析：（1）60,BE AE CE ︒=+；（2）45,CEB BE AE ∠=︒=+；（3） 【分析】（1）证明△ACE ≌△ABD ，得出CE=AD ，∠AEC=∠ADB ，即可得出结论；（2）证明△ACE ∽△ABD，得出∠AEC=∠ADB ，BD =，即可得出结论；（3）先判断出BD =，再求出AB =，①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根据勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，进而得出BD=BP+DP=8，即可得出结论． 【详解】（1）在△ABC 为等腰三角形，AC=BC ，∠ACB=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB ，∠CAB=60°，同理：AE=AD ，∠ADE=∠EAD=60°， ∴∠EAD=∠CAB ， ∴∠EAC=∠DAB ， ∴△ACE ≌△ABD （SAS ）， ∴CE=AD ，∠AEC=∠ADB ， ∵点B 、D 、E 在同一直线上， ∴∠ADB=180°-∠ADE=120°， ∴∠AEC=120°， ∴60CEB ∠=︒ ∵DE=AE ，∴BE=DE+BD=AE+CE ， 故答案为60°，BE=AE+CE ；（2）45,CEB BE AE ∠=︒=．理由如下：ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形， 90ACB AED ∠=∠=︒，,,45AD AB EAD CAB EDA ∴===∠=∠=∠=︒，EAC DAB ∠=∠∴，AEC ADB ∴∆∆∽，AB AD BDAC AE CE∴===,BD AEC ADB ∴=∠=∠，点B 、D 、E 在同一直线上，180135,135ADB EDA AEC ∴∠=︒-∠=︒∴∠=︒，1359045,2CEB AEC AED EB ED BD AE EC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=+=+． 45,2CEB BE AE CE ∴∠=︒=+；（3）由（2）知，△ACE ∽△ABD ， ∴2BD CE =，在Rt △ABC 中，25AC =， ∴2210AB AC ==；①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP ⊥BD 交BD 的延长线于P ，∵DE ⊥BD ，∴∠PDE=∠AED=∠APD ， ∴四边形APDE 是矩形， ∵AE=DE ，∴矩形APDE 是正方形， ∴AP=DP=AE=2，在Rt △APB 中，根据勾股定理得， 226BP AB AP =-= ∴BD=BP-AP=4， ∴1222CE BD ==； ②当点E 在点D 下方时，如图④，同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4， ∴BD=BP+DP=8， ∴22CE == 即：CE 的长为2242 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出△ACE ∽△ABD 是解本题的关键．7．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则EFAD＝______，sin∠ADE＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝13AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求EFAD和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）解析：（1612；（2）不变；（3）EFAD222cos sinnnαα+-sin∠ADE＝sinnα．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等边三角形，据此求得CE的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，构造直角三角形：△ADG，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E作EG⊥AD于点G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EFCE，∴EFAD．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝12．12；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝30°，AD，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝12．∵∠EDF＝90°，∴EFx．∴EFAD∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝12．（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．∴DG．∴AD＝•x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EFDE nx．∴EFAD，sin∠ADE＝GEDE＝sin xnxα⋅＝sinnα．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．8．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证3，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转90°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=2PA ，PC=P’B ， ∵∠APB=135°， ∴∠BPP’=90°， ∴P’P 2+BP 2=P’B 2， ∴2PA 2+PB 2=PC 2． （3）k=3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’， 可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠=== 60APB ︒∠= 90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC += 3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．9．问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ，B 和C ，D ，AB 和CD 相交于点P ，求tan ∠BPD 的值．方法归纳： 利用网格将线段CD 平移到线段BE ，连接AE ，得到格点△ABE ，且AE ⊥BE ，则∠BPD 就变换成Rt △ABE 中的∠ABE ．问题解决：（1）图1中tan ∠BPD 的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ，B 和 C ，D ，AB 与CD 交于点P ，求cos ∠BPD 的值；思维拓展：（3）如图3，AB ⊥CD ，垂足为B ，且AB ＝4BC ，BD ＝2BC ，点E 在AB 上，且AE ＝BC ，连接AD 交CE 的延长线于点P ，利用网格求sin ∠CPD ．解析：（1）2；（2）22；（3）22 【分析】 （1）由题意可得BE ∥DC ，则∠ABE =∠DPB ，那么∠BPD 就变换到Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，那么∠BPD 就变换到等腰Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC 为边长构造网格，然后把PC 平移到AN ，则∠CPD 就变换成Rt △ADN 中的∠NAD ，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1） 由勾股定理可得：22222222112AE BE =+==+=，，∵CD//BE ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==； （2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°，由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，，∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010AE AB ⨯====⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°， 由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD =+==+=∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552210225255DN AD ⨯====⨯，【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 10．如图1，边长为4的正方形与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．问题发现（1）如图1，AE 与BF 的数量关系为______．类比探究（2）如图2，将正方形CFEG 绕点C 旋转m 度（030m ︒<<︒）．请问（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由．拓展延伸（3）若F 为BC 的中点，在正方形CFEG 的旋转过程中，当点A ，F ，G 在一条直线上时，线段AG 的长度为______．解析：（1）2AE BF ；（2）成立，见解析；（3302302【分析】问题发现：证出AB ∥EF ，由平行线分线段成比例定理得出2AE CE BF CF=论；类比探究：证明△ACE ∽△BCF ，得出2AE AC BF CB ==，即可的结论； 拓展延伸：分两种情况，连接CE 交GF 于H ，由正方形的性质得出AB=BC=4，242AC AB ==，2GF CE CF ==，GH=HF=HE=HC ，得出122CF BC ==，22GF CE ==，2HF HE HC ===，由勾股定理求出2230AH AC HC =-=，即可得出答案．【详解】[问题发现] 解：2AE BF =，理由如下：∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=2CF ，CE ⊥GF ，∴AB ∥EF ，∴2AE CE BF CF∴==， 2AE BF ∴=；故答案为：2AE BF ∴=；[类比探究]解：上述结论还成立，理由如下：连接CE ，如图2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF ，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，2,2CE CF CA CB ==，2CE CA CF CB∴== ∴△ACE ∽△BCF ， 2AE AC BF CB ∴== 2AE BF ∴=；[拓展延伸]解：分两种情况：①如图3所示：连接CE 交GF 于H ，∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形， ∴AB=BC=4，AC=2AB=42，GF=CE=2CF ，HF=HE=HC ，∵点F 为BC 的中点，∴CF=12BC=2，GF=CE=22，GH=HF=HE=HC=2， ∴2222(42)(2)30AH AC HC =-=-=， ∴302AG AH HG =+=+；②如图4所示：连接CE 交GF 于H ，同①得：2 ∴2222(42)(2)30AH AC HC --， ∴302AG AH HG =-= 302302【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．11．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5525510+=⨯；11112233333+=⨯=；0.40.420.40.40.8+=⨯=；1155255+>⨯=；0.2 3.220.2 3.2 1.6+>⨯；1111128282+>⨯ 猜想：如果0a >，0b >，那么存在2a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）． 猜想证明：∵20a b ≥∴①0a b ，即a b =时，0a ab b -=，∴2a b ab +=；②当0a b -≠，即a b 时，20a ab b -+>，∴2a b ab +>． 综合上述可得：若0a >，0b >，则2a b ab +≥成立（当日仅当a b =时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？解析：（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米 【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵0x >，∴10x>， ∴1122y x x x x =+≥⋅， ∴当1x x=时，min 2y =， 此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵3x >，∴30x ->，103x ， ∴()1133233533y x x x x =+-+≥⋅-+=--， ∴当133x x =--时，min 5y =， 此时()231x -=，∴14x =，22x =（舍去）， 即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得： 91263x y +=，即3421x y +=，∵30x >，40y >，∴34234x y x y +≥⋅，即21234x y ⋅≥，整理得：14716xy ≤， 即14716S ≤， ∴当34x y =时max 14716S =， 此时72x =，218y =， 即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米． 【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．12．如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AE BD = ；② 当时，AE BD = （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE DB 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.解析：（1）①52,②52.（2）无变化；理由参见解析.（3）45，1255. 【分析】 （1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出AE BD 的值是多少． ②α=180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC BC AE BD =，求出AE BD的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB ，再根据52EC AC DC BC ==，判断出△ECA ∽△DCB ，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AE BD的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A ，D ，E 所在的直线和BC 平行时；②点A ，D ，E 所在的直线和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt △ABC 中，∠B=90°，∴AC=2222(82)845AB BC +=÷+=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴45252AE ==,BD=8÷2=4， ∴25542AE BD ==． ②如图1，，当α=180°时，可得AB ∥DE ， ∵AC BC AE BD =， ∴45582AE AC BD BC === （2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ，∴∠ECA=∠DCB ，又∵52EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ，∴52AE EC BD DC ==． （3）①如图3，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ，∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45．②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ， ∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2， ∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得52AE BD =， ∴BD=6125552=．综上所述，BD 的长为45或1255． 13．问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P'处．若正方形ABCD 的边长为4 ，AD 的中点为S ，求P'S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B'C '恰好经过点A ，C'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG ＝52，请直接写出FH 的长．解析：问题情境：DN MB EC +=.理由见解析；问题探究：（1）45AEF ∠=︒；（2）P S '2514. 【分析】问题情境：过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF ＝MB ，证明△ABE ≌△BCF 得出BE ＝CF ，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，证明Rt △AHQ ≌Rt △QIE 得出∠AQH ＝∠QEI ，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA ＝∠ADO′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P′作P′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明△APB ≌△CPB 得出∠BAP ＝∠BCP ，证明Rt △PGN ≌Rt △NHP'得出PG ＝NH ，GN ＝P'H ，由正方形的性质得出∠PDG ＝45°，易得出PG ＝GD ，得出GN ＝DH ，DH ＝P'H ，得出∠P'DH ＝45°，故∠P'DA ＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S 作SK ⊥DO'，垂足为K ，即可得出结果；问题拓展：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ，得出AE ＝5，由勾股定理得出BE 22AE AB -3，得出CE ＝BC ﹣BE ＝1，证明△ABE ∽△QCE ，得出QE ＝AE ＝203，AQ ＝AE+QE ＝203，证明△AGM ∽△ABE ，得出AM ＝258，由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，求出B'M ＝2'278AM AB -=，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF ＝25253,DF 4777=-=，证明△DFP ∽△DAQ ，得出FP ＝57，得出FH ＝FP ＝15FP 214=． 【详解】问题情境：因为四边形ABCD 是正方形，所以90ABE BCD AB BC CD DC AB ∠=∠=︒==，，∥.过点B 作BF MN ∥分别交AE CD 、于点G F 、.所以四边形MBFN 为平行四边形.所以NF MB =.所以90BF AE BGE ∠=︒⊥，，所以90CBF AEB ∠+∠=︒，又因为90BAE AEB ∠+∠=︒，所以CBF BAE ∠=∠.ABE BCF △△≌，所以BE CF =.因为DN NF CF BE EC ++=+，所以DN NF EC +=，所以DN MB EC +=.问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI AB ∥，分别交AD BC 、于点H I 、.易得四边形ABIH 矩形. 所以HI AD HI BC ⊥⊥，且HI AB AD ==.因为BI 是正方形ABCD 的对角线，所以45BDA ∠=︒.所以DHQ 是等腰直角三角形，HD HQ =.所以AH QI =.因为MN 是AE 的垂直平分线，所以AQ QE =.所以Rt Rt AHQ QIE △≌△.所以AQH QEI ∠=∠.所以90AQH EQI ︒∠+∠=.所以90AQE ∠=︒.所以AQE 是等腰直角三角形，45EAQ AEQ ∠=∠=︒，即45AEF ∠=︒.（2）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，由题意易得APN 的直角顶点P 在OB 上运动. 设点P 与点B 重合，则点P '与点D 重合；设P 与点O 重合，则点P 的落点为O '.易知45ADO '∠=︒.当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作CD 的垂线，垂足为G ，过点P '作P H CD '⊥，垂足为点H .易证：Rt PGN Rt NHP '△△≌，所以PG NH G H P N '==，，因为BD 是正方形ABCD 的对角线，所以45PDG ∠=︒，易得PG GD =，所以GN DH =.所以DH H P '=.所以45P DH '∠=︒，故45P DA '∠=︒.所以点P '在线段DO '上运动.过点S 作SK DO '⊥，垂足为K ，因为点S 为AD 的中点，所以2DS =，则P S '的最小值为2.问题拓展：解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4：则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ， ∴AE ＝5，在Rt △ABE 中，BE 22AE AB -3，∴CE ＝BC ﹣BE ＝1，∵∠B ＝∠ECQ ＝90°，∠AEB ＝∠QEC ，∴△ABE ∽△QCE ， ∴1520QE AE ,AQ AE QE 333===+= ∵AG ⊥MN ，∴∠AGM ＝90°＝∠B ，∵∠MAG ＝∠EAB ，∴△AGM ∽△ABE ， ∴AM AG AE AB =，即5254AM =， 解得：25AM 8=， 由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，∴B'M 2'27,AC 18AM AB '-==， ∵∠BAD ＝90°，∴∠B'AM ＝∠C'FA ，∴△AFC'∽△MAB'， ∴''1,25788AF AC AF AM MB ==， 解得：25253AF ,DF 4777==-=。