三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形:
分析:欲证 ＡＤ=BC,先证分别含有AD ，BC 的三角形全等,有几种方案:△ADC 与△ＢＣＤ，△A ＯD 与△BOC ，△A ＢD 与△BAC,但根据现有条件，均无法证全等,差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角.
证明:分别延长ＤA,CB,它们的延长交于Ｅ点, ∵AD ⊥ＡＣ BC ⊥ＢＤ （已知） ∴∠CA Ｅ＝∠ＤBE ＝90° (垂直的定义) 在△D ＢE 与△C ＡE 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()
(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E
∴△ＤB Ｅ≌△C ＡE (AAS)
∴ＥD ＝E Ｃ EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED-E Ａ＝EC －EB 即:AD ＝B Ｃ。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。)
二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决．
三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
分析:要证BD ＝2CE ，想到要构造线段２C Ｅ，同时C
A
E F
A
B
C
D
E
1
7-图O
Ｅ与∠A ＢC 的平分线垂直,想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，ＣE 交于点F 。 ∵ＢE ⊥CF (已知)
∴∠ＢEF ＝∠BEC=９0° (垂直的定义）
在△BE Ｆ与△BEC 中,
∵ ⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()
()
(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC(ＡSA ）∴CE=FE=
2
1
C Ｆ （全等三角形对应边相等) ∵∠B ＡC=９0° BE ⊥ＣＦ （已知）
∴∠BAC=∠ＣＡF=9０° ∠１+∠BDA=９0°∠１＋∠B ＦＣ＝90° ∴∠BDA=∠BFC
在△ＡBD 与△ACF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC
∴△ＡBD ≌△A ＣF (ＡAS ）∴BD ＝ＣF (全等三角形对应边相等) ∴B Ｄ=2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
分析:由ＡＢ＝ＤC,∠Ａ=∠Ｄ,想到如取A Ｄ的中点Ｎ,连接NB,ＮＣ,再由S ＡS 公理有△ABN ≌△D ＣN,故B Ｎ＝CN,∠AB Ｎ=∠DCN 。下面只需证∠N ＢC ＝∠ＮＣB,再取B Ｃ的中点M ，连接MN,则由SSS 公理有△ＮBM ≌△NC Ｍ，所以∠N ＢC=∠ＮC Ｂ．问题得证.
证明:取A Ｄ，B Ｃ的中点N 、M,连接ＮB,ＮM,N Ｃ。则ＡN=D Ｎ,B Ｍ=C Ｍ,在△ABN 和△Ｄ
C Ｎ中 ∵ ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=)()
()
(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN 1
11-图D
C
B
A
M N
∴△AB Ｎ≌△DC Ｎ （SAS ）
∴∠ABN=∠D ＣＮ ＮB=NC （全等三角形对应边、角相等)
在△NBM 与△NCM 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧)()()
(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB
∴△N ＭB ≌△ＮC Ｍ,（S ＳS ） ∴∠NBC ＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC+∠AB Ｎ ＝∠ＮC Ｂ+∠DCN 即∠ABC=∠ＤC Ｂ.
巧求三角形中线段的比值
例1。 如图１，在△ABC 中,ＢＤ:DC ＝１：3，AE ：ED=２：3,求
A Ｆ:ＦC 。
解:过点Ｄ作DG//ＡC,交BF 于点G 所以DG ：ＦC ＝ＢD:BC
因为BD:DC=１:３ 所以BD:ＢＣ＝1：4 即DG:ＦC ＝1：4，F Ｃ＝4DG
因为DG:A Ｆ＝D Ｅ：AE 又因为AE:ED ＝2:3 所以D Ｇ：AF ＝3：２ 即 所以AF:FC=：4DG=１：6
例２. 如图２,BC=ＣD,ＡＦ=FC,求E Ｆ：ＦD
解:过点C 作CG//DE 交AB 于点G,则有ＥF ：G Ｃ＝AF:ＡC 因为ＡＦ=FC 所以A Ｆ：AC=1：２
即EF:G Ｃ＝1:２,
因为CG:D Ｅ=BC ：BD 又因为B Ｃ=CD
所以BC ：BD ＝1:2 C Ｇ：D Ｅ=１：２ 即ＤE ＝2G Ｃ 因为F Ｄ＝ＥD-E Ｆ=
所以E Ｆ:ＦD ＝
小结：以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例,让我们感受其中的奥妙！
例3. 如图3,BD：DC＝1:3,AE：EB=2:３，求ＡＦ：FD。
解：过点B作BＧ//AＤ,交CE延长线于点G。
所以DＦ:BG=ＣＤ:CB
因为BＤ：DC=1:３所以CD：CB=3:4
即ＤF：BＧ＝３:4，
因为AF:ＢG=ＡＥ:ＥＢ又因为AE：ＥB=2:3
所以AF:BＧ=2：３即
所以AF：DF＝
例4。如图4,BD：DC=1:３，AF＝FD,求ＥF:FC。
解:过点D作ＤG/／CＥ，交ＡＢ于点G
所以EF:DG=AF:AＤ
因为AＦ＝ＦＤ所以AF:ＡＤ=１:２图4
即EＦ：DG＝1：2
因为ＤG：CE=BD:BC,又因为BD：CD＝１:3，所以BD:ＢC=1：4
即DＧ：CE=1:4,CＥ=4DＧ
因为FC=ＣE-EＦ＝
所以EF：FC=＝1:７
练习:
1. 如图5,BD=DＣ,AE:EＤ=1:５,求AＦ:ＦＢ。
2．如图6，AD:ＤB＝1:３,AE:EC＝3：１，求BF:ＦC。
