抛物线的参数方程(教师版)

抛物线的参数方程抛物线的参数方程是在数学中研究特殊数学曲线的重要方程。

抛物线又称二次曲线，它是一类几何图形，具有两个控制点，即它们位于抛物线上下两个对称的位置。

它们之间的距离称为抛物线的焦距。

抛物线的参数方程是用来研究这类曲线的特殊方程。

抛物线的参数方程，可以用一般式来表示：y=ax^2+bx+c其中，a,b,c 为参数，而 a≠0，它们代表抛物线的不同参数，即抛物线的形状受到这些参数的影响。

关于抛物线的参数方程，它的定义域主要有以下三种：1、标准参数方程：x=at^2+bt+cy=mt^2+nt+p2、任意参数方程：x=at^2+bt+c+dy=mt^2+nt+p+q3、双参数方程：x=at^2+bt+c+u*vy=mt^2+nt+p+u*v这三种定义域的抛物线参数方程，都具有相同的特点，即抛物线的两个控制点都是对称的，而且在抛物线上存在一个焦点，也就是通过抛物线的两个控制点，可以求得抛物线的焦点。

由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦点的坐标。

抛物线的焦点的坐标为：（-b/2a, -D/4a）其中，D=b^2-4ac由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦距：c=2√AD/a其中，A=D/b而参数方程，可以求得抛物线的离心率：e=c/a抛物线的参数方程，也可以用来计算抛物线的重心、面积和弧长。

首先，求抛物线的重心：重心的坐标为：（-b/3a, -D/6a）然后，求抛物线的面积：A=πa/3*(b^2+3D)最后，求抛物线的弧长：l=2π√(a^3/D)以上就是抛物线的参数方程的主要内容，随着数学发展，抛物线的参数方程也在不断发展。

抛物线的参数方程不仅可以用来描述抛物线的特征，而且也在许多应用领域，如机械、电子、结构分析等方面发挥着重要的作用。

抛物线参数方程抛物线参数方程：一、定义：1.抛物线：抛物线是一种由平面曲线，由弧线或曲线形成的图形，一般是上半部分是渐开线，下半部分也称为下凹处是渐封线，它的凹陷处最高点为焦点；2.抛物线参数方程：抛物线的参数方程是表示抛物线形状的一种数学方法，它是一种特殊的二元二次函数方程，包含两个未知数a, b，和三个未知数x, y, c。

二、抛物线参数方程的表示形式：1.概括形式：ax² + by + c = 0；2.对称形式：(x - a)² + b = 0；3.双曲线形式：y² = -4a(x - a) + b；4.标准参数形式：x² = 4ay + b；5.焦点和指数形式：(x - x_0)² = 4ae^(y/a) + b；三、抛物线参数方程的特征：1.焦点：通过参数方程可以确定一条抛物线的焦点，焦点的坐标一般由参数方程的系数确定，如果一条抛物线没有一个明显的焦点，则参数方程中的系数a和b都为零，x和y也可以确定将焦点位置；2.指数形式：抛物线参数方程也可以表示为指数形式，这种形式的抛物线的焦点可以和参数方程的系数a和b确定，指数形式的抛物线一般是从下凹处开始开口向上或向下延伸；3.双曲线形式：参数方程的双曲线形式表示的是双曲线，这种参数方程的系数a和b决定了这种双曲线的起始点位置，双曲线一般以一个拱形形状展开；4.位移形式：双曲线也可以通过任意位置相邻点的位移形式表示，也就是其参数方程的系数a和b可以确定两点的距离，从而确定双曲线的位置；5.标准参数形式：参数方程的标准参数形式表示的就是标准抛物线，这样的抛物线一般是以放射性增长，而且系数a只会影响抛物线曲率，不会影响抛物线的坐标。

四、抛物线参数方程的应用：1.绘图应用：抛物线参数方程可以帮助我们自动推算出抛物线的形状，根据抛物线参数方程的参数，可以一次性将抛物线画出，这样可以大大减少设计工作的时间，提高工作效率；2.力学与物理方面的应用：抛物线参数方程在物理和力学方面也有着重要的应用，比如抛物线参数方程可以确定物体的运动轨迹，它也可以用于分析重力和物体的水平等速运动；3.测绘与地理方面的应用：抛物线参数方程也可以用于测绘地形及河流模型的绘制，抛物线参数方程可以帮助我们精准测绘出各种曲线，运用他可以准确描绘出海湾、河流等自然地理景观。

1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案一、学习目标(1).双曲线、抛物线的参数方程.(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、学习过程(阅读教材29-34完成)(一)双曲线的参数方程1双曲线),(0012222>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________注：(1)ϕ的范围__________________________(2)ϕ的几何意义___________________________2双曲线),(0012222>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________(二)抛物线的参数方程抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题六、课堂练习：、 的轨迹方程。

，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12___________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。

《抛物线的参数方程》教学案2教学目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.教学过程：一、复习1.圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为);为参数 (.sin ,cos θθθ⎩⎨⎧==r y r x2.圆 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为).为参数 (.sin ,cos θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 3.椭圆)(012222>>=+b a b y a x 的参数方程为)为参数 (.sin ,cos ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x 4.双曲线),(0012222>>=-b a by a x 的参数方程为)为参数 (.tan ,sec ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .，且),[0,2 232πϕπϕπϕ≠≠∈ 二、新课例1. 如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2＝2x 上异于顶点的两动点，且OA ⊥O B ， OM ⊥AB 并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程.探 究点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？课堂练习1. 已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2x 上的三个点，且BC 与x 轴垂直，直线AB ，AC 分别与抛物线的轴交于D ， E 两点.求证：抛物线的顶点平分线段DE .2. 经过抛物线y2＝2x的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.课后作业(根据《学案》P.21第8、9题改编)1. 设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1，0)，点P分M0M的比为2：1，求P 点的轨迹方程.2. 抛物线y2＝4x上有一点A，A在x轴上的射影是M，N是AM的中点，NQ与x轴平行且交抛物线于Q，直线MQ交y轴于T.求|OT|： |AM|的值.教后反思。

抛物线的参数方程抛物线是一条非常常见的曲线，其参数方程表示了抛物线上每一个点的坐标。

参数方程通常由参数t决定，t的取值范围可以是实数集。

抛物线的参数方程可以通过将抛物线的标准方程转化得出。

标准方程的形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数，a ≠ 0。

为了得到参数方程，我们需要在这个方程中引入一个参数t。

我们假设x = f(t)和y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数，然后找到f(t)和g(t)的表达式。

我们可以利用标准方程中的三个已知点来求解参数方程，这三个点中至少有一个点的y坐标为0。

在这种情况下，我们可以先假设一个t值，然后用这个t值代入标准方程，解得x，然后再用x代入标准方程求解y。

我们以一个抛物线的标准方程为例，y=2x^2+3x+1、我们假设x=f(t)和y=g(t)，然后求解f(t)和g(t)。

首先，假设x=f(t)=t，因此，把t代入标准方程，我们得到y=2t^2+3t+1、这样，我们已经得到了x和y的关系，现在我们需要求解g(t)。

如果我们假设y=g(t)=0，我们可以将g(t)代入标准方程，得到0=2t^2+3t+1、然后，我们可以使用求根公式，也就是使用一元二次方程的求根公式，将标准方程转化为一个关于t的方程，求解出t的值。

这个方程的求根公式是 t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

代入a= 2，b = 3，c = 1，我们得到 t = (-3 ± √(9 - 8)) / 4，即 t = (-3 ± 1) / 4、因此，我们得到了两个解 t = -1/2 和 t = -1现在我们已经得到了参数t的两个解，我们需要求解x和y。

首先，我们代入t=-1/2，我们得到x=f(-1/2)=-1/2，然后代入x的值，我们得到y=g(-1/2)=0。

接着，我们代入t=-1，我们得到x=f(-1)=-1，然后代入x的值，我们得到y=g(-1)=0。