八年级下学期数学第17章《勾股定理》练习题及答案 (48)

第 1 页 共 2 页 2020年八年级下数学第17章《勾股定理》练习题及答案

1．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．

（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；

（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．

解：（1）∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∵AB、AC长分别为13米、20米，

∴BC=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√132+202=√569m，

答：固定点B、C之间的距离为√569m；

（2）∵BC＝21，

∴BD＝21﹣CD，

∵AD⊥BC，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

∴132﹣BD2＝202﹣（21﹣BD）2，

∴BD＝5，

∴AD=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=√132−52=12．

2．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=13ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数，并求出满足条件的直角三角形的三边长．

解：由勾股定理可得c2＝a2+b2，

又∵c=13ab﹣（a+b），

∴c2＝[13ab﹣（a+b）]2=19（ab）2−23ab（a+b）+（a+b）2，

即a2+b2=19（ab）2−23ab（a+b）+（a+b）2， 第 2 页 共 2 页 整理得ab﹣6（a+b）+18＝0，即（a﹣6）（b﹣6）＝18，

∵a，b，c均为正整数，不妨设a＜b，

可得{𝑎−6=1𝑏−6=18或{𝑎−6=2𝑏−6=9或{𝑎−6=3𝑏−6=6，

解得{𝑎=7𝑏=24𝑐=25或{𝑎=8𝑏=15𝑐=17或{𝑎=9𝑏=12𝑐=15，

∴满足条件的直角三角形有3个．

3．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a+b＝4，ab＝1，c=√14，求证△ABC为直角三角形．

证明：∵a+b＝4，

∴（a+b）2＝42，

∴a2+2ab+b2＝16，

∵ab＝1，

∴a2+b2＝14，

∵c=√14，

∴c2＝14，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC为直角三角形．