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注:蒲丰投针问题在概率史上非常著名.既然可以通 过反复试验和计数的方法来估计概率大小 p ,那么我 们得
21 π= ap
这给出了计算圆周率的另一种方法.
以上我们根据实际问题的特点给出了两个常见的概率 模型.一般说来,建立概率模型是我们研究随机现象 的基础,但是建立一个恰当的模型需要大量的背景知 识和实际经验,因此, 我们将不学习如何建立模型. 本课程的重点是在给定概率模型的前提下,学习如何 分析模型的性质和特点,如何由简单事件的概率推算 出较为复杂事件的概率,学习如何应用数学方法处理 模型的理论和技巧.
模型特点: 1. 只有有限多个基本结果,
= {ω1 ,ω 2 , ,ω n }
2. 每个结果出现的可能性都相同,
P({ω1}) = = P({ω n })
根据规范性, 我们推出
1 P ({ω1}) = = P({ω n }) = n 并且对任何事件 A , | A| P( A) = n 其中,| A | 表示 A 所包含的基本结果的个数.
| A| P( A) = ||
这样我们得到几何概率模型( , F, P ).
根据实分析我们可以获得有关 P 的一些基本性质(当 运算有意义时):
( = 规范性 1. P () = 0 , P ) 1 (规范性 规范性); ( ) 非负性 2. 0 ≤ P A ≤ 1 (非负性 非负性);
( =( ) ( 3. 如果 A , B 不相交,那么 P A + B) P A + P B) (可加性 可加性); 可加性
= {( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}
2.
= {x : 0 ≤ x ≤ 1}
尽管每个点出现仍是等可能的,但可能性是 0.
因此,我们需要选择另一种方式来刻画该随机现象的 规律. 例如, 1. 落点在半径为 1/2 的园内的可能性为多少? 2. 所取的数比 1/3 大的可能性为多少? 记 A 为我们所关心的事件, P ( A ) = ?
A1 A2 An
令A =
∪A
n =1
∞
n
,称 A 为 An 的极限. 由定义可以看出, A
仍是一个事件,其概率大小为
P( A) = lim P( An )
n →∞
证明: 类似地,假设 A1 , A2 , 是一列单调减少的事件,即
A1 A2 An
令A =
∩A
n =1
∞
n
,称 A 为 An 的极限. A 仍是一个事件,
P (∑ An ) = ∑ P ( An ) .
n =1 n =1
∞
∞
用测度论的话说,概率是定义在σ-代数上的规范化的 测度.
三元体 ( , F , P ) 就构成一个概率空间(probability space)
为说明这三要素,我们可分析一下离散概率模型和几 何概率模型.
2. 性质
在前面我们已经给出过一些概率性质,但或多或少都 与具体的概率定义有关,这里我们仅从概率空间定义 出发,给出一些基本性质.值得注意的是,
�
Hale Waihona Puke 二,几何概率模型在前面我们介绍了古典概率模型,也称离散概率模型, 一个特点就是只有有限多个基本结果,每个事件所包含 的结果个数也是有限的.
下面我们将讨论另一种模型,它含有不可数多个基本 结果, 如 1. 向单位圆上任意掷一点,落点的位置 2. 从[0,1]中任意取一个数
这时, 样本空间中基本结果都是不可数的. 1.
古典概率模型, 第二讲 古典概率模型,几何概率模型
在前一讲中, 我们介绍了有关随机现象的 一些基本概念,并说明了概率的含义和统计计算 方法. 回忆一下, 代表随机现象的样本空间, A为所关心或感兴趣的事件, P(A)为其发生的概 率大小. 在本讲, 我们将介绍两个简单,但非常有 用的概率模型.
一, 古典概率模型
: 样本点ω的全体.
F 满足以下条件:(σ-代数或σ-域) F1. ∈F ; F2. 若 A ∈F , 则 A ∈F ; F3. 若 A1 ,, An , ∈F , 则
∪ A ∈F
n n =1
∞
.
P :F → [0,1]满足以下条件 (公理):
P1.(非负性)对任一 A∈ F , P(A)≥0; P2.(规范性) P () = 1; P3.(可列可加性)若 A1 ,, An , 是 F 中两两互不 相容的事件,则
4. 如果 A B ,那么 P ( A) ≤ P ( B ) (单调性 单调性). 单调性
模型尽 管看 上去 很简 单, 但却 有着 广泛 的应 用,并富有很强的趣味性.一旦确定可以 用古 典概率模型来描述,问题的关键在于计算 基本 结果的总数 n 和 A 所包含的基本结果个数.这需 要一些 技巧 和方 法, 我们 希望 通过 例子 来说 明.
容易知道 P(A)的有如下基本性质:
( = 规范性 1. P () = 0 , P ) 1 (规范性 规范性); ( ) 非负性 2. 0 ≤ P A ≤ 1 (非负性 非负性); ( = ( ) ( (可加性 3. 如果 A , B 不相交,那么 P A + B) P A + P B) 可加性 可加性);
受离散情形的启发, 我们可以认为
P ( A) = ∑ P ({x})
x∈ A
但一个基本的数学问题出现了:这是一个不可数项和, 同时每个和项为 0.
这时, 我们定义 P ( A ) 为 A 的面积与单位圆面积的比 率.
对一般的 A ,我们怎么定义 P ( A) 呢?这里,我们需要考虑下 列问题:
(1) A 形状
(2) A 的位置
(3) A 的大小
定义:当 A 可求面积时,定义
| A| P ( A) = ||
我们不考虑不可求面积的 A . 注意, 这样的 A 确实存在.
d 将上述概括起来,假设 是 R , d ≥ 1 上的一个具有
正测度(即长度,面 积,或体积) 的区域, F 为 Borel 域,当
A ∈F 时, 定义
1. 有 n 个球, N 个格子 (n ≤ N ) , 球和格子都是可以区 分的,每个球落在各个格子内的概率相同.求 (1) 指定的 n 个格子中各有一球的概率? (2) 有 n 个格子中各有一球的概率?
2. 口袋中有 a 只白球, b 只黑球,现随机地一只一只 摸(不放回),求第 k 次时摸得白球的概率?
3. 某人在口袋中放着两盒牙签,每盒 n 根,使用时随 机取一盒,并从中随机取一根.求当他发现取出的一 盒已经用完时,另一盒恰好有 m 根牙签的概率?
注: 对于上述离散概率模型,计算事件概率的原理很 简单,只要计算样本空间所包含的基本结果的总数和事 件所包含的基本结果的个数.但这两者的计算并不容 易,需要用到组合和排列的知识,有时技巧性也很强, 需要多练习.
i =1
例. 匹配问题 某班有 n 个士兵,各有一支枪.这些枪外形完全一样, 现紧急集合,每人随机取一支枪,求至少有一人拿对 自己枪的概率?
概率的连续性定理
我们知道概率 P 实际上是事件域到[0,1]上的一个函数, 与普通函数类似,也可以定义极限.具体地说,给定一 概率空间( , F, P ), , 假设 A1 , A2 , 是一列单调增加 的事件,即
有限可加性: 有限可加性
P (∑ Ai ) = ∑ P ( Ai )
i =1 i =1
n
n
多还少补原理: 多还少补原理:
P (∪ i =1 Ai ) = ∑ P ( Ai )
i =1
n
n
1≤ i < j ≤ n
∑
P ( Ai Aj )
n n
+
1≤ i < j < k ≤ n
∑
P ( Ai Aj Ak ) + +(1) P (∩ Ai )
4. 如果 A B ,那么 P ( A) ≤ P ( B ) (单调性 单调性). 单调性
例
1. 约会问题: 两人相约 7 点到 8 点在某地会面,先到 者等候另一人 20 分钟,过时离去. 求两人会面的概 率.
2. 蒲丰投针: 平面上画很多平行线,间距为 a. 向此平 面投掷长为 l ( l < a) 的针, 求此针与任一平行线相交的 概率.
一,概率的公理化定义
模型特点: 1. 只有有限多个基本结果,
= {ω1 ,ω 2 , ,ω n }
2. 每个结果出现的可能性都相同,
P({ω1}) = = P({ω n })
1.定义:概率空间( , F , P )的三要素---样本空间 所 关心的事件类 F ,每个事件发生的概率大小 P .
其概率大小为
P ( A) = lim P ( An )
n →∞
例. 独立地投一枚均匀硬币无穷多次,证明一次正面 都没有出现正面的可能性为 0.
证明: 令 An 表示前 n 次投掷中至少出现一次正面, 那么, An An +1 ,记 A = 现. 由概率的连续性
∪A
n =1
∞
n
表示正面一定会出
1 n P ( A) = lim P ( An ) = lim[1 ( ) ] = 1 n →∞ n →∞ 2
