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九年级数学实数的复习人教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容： 实数的复习学习目标：1. 了解数集概念及实数在代数部分所体现的基础性与重要性，会用数轴。
2. 巩固实数概念，平方根的广泛应用，正确使用科学记数法、近似数及有效数字。
3. 实数范围内，掌握多则运算，因式分解受数集大小的影响。
二. 重点、难点 1. 实数及其分类①实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数无理数⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪ ②实数正数正有理数正无理数零负数负有理数负无理数⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪③小数（即实数）有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数即无理数即分数有理数()()⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎭④无理数不可化成分数。
无理数有两种形式，一种类似于π的形式，另一种开不尽的数。
2. 数轴：是初中阶段数形结合的基础。
①三要素：原点、正方向、单位长度 ②实数与数轴上的点一一对应 ③距离公式|-a b |3. 相反数①a 的相反数是-a ，0的相反数是0，成对出现； ②a b +=⇔0a ，b 互为相反数③数轴上看，分居在原点两边，到原点距离相等4. 倒数①非零数a 的倒数是1a，0没有倒数，也成对出现，±1的倒数是它本身； ②ab =⇔1a ，b 互为倒数； ③数轴上看“三点四段”a a <1 a a >1a a <1 a a>1-1 0 1④实数范围内认识倒数 5和15，-114和-47，65+和65-，34和34-，tan 30 和cot 30 5和55⑤负倒数5. 绝对值||a ≥0非负数①||a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000②数轴上看，a 的绝对值就是数a 所表示点到原点的距离。
③性质： <1>||a ≥0 <2>-≤≤||||a a a<3>||||a a =-且||||b a a b -=-<4>||||||ab a b =，特别地||||a a a 222== <5>||||||a b a b =6. 实数比大小 ①利用数轴；②利用绝对值比负数大小；③利用差a b a b a b a b ->⇔>=⇔=<⇔<⎧⎨⎪⎩⎪000④利用商比两正数大小 a>0 b>0a b a b a b a b>⇔>=⇔=<⇔<⎧⎨⎪⎩⎪111⑤利用平方比两正数大小 a>0 b>0 a b a b 22>⇔> ⑥利用被开方数 a b a b n n >⇔>⑦利用幂的性质比幂的大小或数的大小 a b a b a a m n n nm n >⇔>>⇔>7. 平方根①x a x 2=⇒叫a 的平方根，记作±≥a a ，0；②正数有两个平方根a 算术平方根和-a 负的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根；③算术平方根a ≥0非负数；④()()||a a a a a 220=≥=；8. 立方根9. 非负数，正数和零统称非负数 ①||a a R aa R n≥∈≥∈002，；，；a a n ≥≥00，三种非负数②非负数之和仍为非负数，特别地，分别为零时和为零； ③非负数之积为非负数，特别地，至少有一个为零时积为零；10. 完全平方数如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，那么这个正数叫完全平方数，0也是完全平方数。
第一节 实数及其运算知识点一：实数的概念及分类注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.）（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+100等； （3）有特定结构的数，如3.2020020002…等，一定要注意后面要带省略号；（4）某些三角函数，如sin30o ，tan75等注意：0既不属于正数，也不属于负数.知识点二 ：实数的相关概念（一）数轴 （1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
也可以用数轴来比较两个实数的大小。
（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。
（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大注意：1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。
数轴上的点对应任意实数，包括无理数。
2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。
3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
（1）按定义分正有理数有理数 0 有限小数或负有理数 无限循环小数实数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数（2）按正、负性分 正实数 实数0 负实数变式练习．在－3，－1，1，3四个数中，比－2小的数是( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3（二）.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a 、b 互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 注意：a 的相反数为-a ，特别的0的绝对值是0.变式练习：.－2的相反数是( )A. 2B. －2C. 12D. －12【解析】A a 的相反数是－a ，因此－2的相反数为－(－2)＝2.．(易错题) A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是( B ) （三）.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质|a|= a (a ≥0)； |a-b|= a-b(a ≥b)-a(a ＜0). b-a(a ＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b 2=0,则a=b=0.初中阶段认识了3种非负数：○12n a （a ≥0） ○22n a ○3|a|变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.变式练习2.实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a －2.5|＝( )第2题图A. a －2.5B. 2.5－aC. a ＋2.5D. －a －2.5注意：（1）若|x|=a （a ≥0），则x=±a.如：绝对值等于4的是±4（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.[【解析】B从数轴可以看出0＜a＜2.5，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a －2.5)＝2.5－a.变式练习3：．数轴上点A、B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( D )A．－3＋5 B．－3－5C．|－3＋5| D．|－3－5|变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__3－a__．（四）倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) 即零没有倒数，（2）代数意义：a、b 互为倒数 ab=1注意：（1）倒数等于它本身的数有±1.（2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。
第一节：实数及其运算杨桃老师一、实数中的概念（12个）1、正数：像5,，1.5等大于0的数叫做正数2、负数：像-5，-1.5等在正数前面加上“—”号的数叫做负数3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴4、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0 5、绝对值：数轴上点a 与原点的距离叫做a 的绝对值。
记为 6、无理数：无限不循环小数7、倒数：乘积为1的两个实数互为倒数8、近似数：与实际比较接近的数，称为近似数9、有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.10、科学计数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.11、平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
12、立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根。
记做二、实数的分类：1、按定义分2、按正负分：0 实数负数整数 分数无理数 有理数正数整数 分数 无理数 有理数 实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数 负分数正整数 0负整数 (有限或无限循环性数)整数 分数正无理数 负无理数三、实数的运算：1、加法：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3)一个数与0相加，仍得这个数；2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.3、乘法：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； (2)任何数同零相乘都得零；(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.4、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a.5、乘方：(1)求相同因式积的运算，叫做乘方；(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；6、运算律：1、加法：(1)交换律：a+b=b+a ；(2)结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.2、乘法：(1)交换律：ab=ba ；(2)结合律：（ab ）c=a （bc ）； (3)分配律：a （b+c ）=ab+ac . 7、运算顺序：(1)分级：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算。
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新人教版初中数学[中考总复习：实数--知识点整理及重点题型梳理](基础)新人教版初中数学中考总复重难点突破实数—知识讲解（基础）考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.知识网络】考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数。
2.按性质符号分类：正整数、正有理数、正实数、正分数、正无理数、零、负整数、负有理数、负实数、负分数、负无理数。
要点诠释：有理数是指整数和分数的总称，而无理数是指无限不循环小数。
实数则是有理数和无理数的总称。
常见的无理数有以下几种形式：1）字母型：如π是无理数，而不是分数；2）构造型：如2.xxxxxxxx…（每两个1之间依次多一个）就是一个无限不循环的小数；3）根式型：2、5、…都是一些开方开不尽的数；4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等。
考点二、实数的相关概念1.相反数1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，如3和-3互为相反数；2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；3)互为相反数的两个数之和等于0，即a+b=0.2.绝对值1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；2)可用式子表示为：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。
2.减法a-b=a+（-b）；3.乘法同号两数相乘，积为正；异号两数相乘，积为负；4.除法a÷b=a（1÷b）（b0）.要点诠释：实数的四则运算：1）加法的运算规律：交换律、结合律、存在零元素、存在相反元素；2）减法的运算规律：a-b=a+（-b）；3）乘法的运算规律：交换律、结合律、存在单位元素1、存在相反元素；4）除法的运算规律：a÷b=a（1÷b）（b0）.本文介绍了数学中加减乘除、乘方开方等基本运算及其运算律。
