数值分析原理(吴勃英主编)思维导图

1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等

取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。

数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
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§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
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乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |

n1
(
x
)
这里 （a,b）且依赖于 x。
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定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)≡g(x)。
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y1
)
(
(y y1
y0 )( y y0 )( y1
y2 )( y y y2 )( y1
3) y3
)
f
1 ( y2 )
( y y0 )( y y1 )( y y3 ) ( y2 y0 )( y2 y1 )( y2 y3 )
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )( y y0 )( y3
定理2 设 f (n)( x) 在 [a,b] 上连续，f (n1)( x) 在 (a,b) 内存在，节点
a x0 x1 xn b, Ln( x) 是满足拉格朗日插值条件的多项式，则 对任何 x [a,b], 插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln( x)
f ( (n1) )
(n 1)!
2.1 引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规 律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 [a,b] 上存在、 连续，但只能给出 [a,b] 上一系列点的函数值表时，或 者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只 给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研 究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。 因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近 似 f(x)。这就引出了插值问题。

注：
的每一位都是有效数字， 称是有效数 若 x∗ 的每一位都是有效数字，则 x∗称是有效数
特别， 四舍五入” 特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数
Th .1将 x 的近似值 x 表示为x = ±0.a1a2 Lak Lan ×10， 1 1 ×10−(k−1) 是有效数字， 若 ak 是有效数字，则相对误差不超过 ； 21 ∗ ∗ er ，且有 er ≤ ×10−k 反之， 反之，若已知相对误差 ， 2 必为有效数字。 则ak 必为有效数字。
收敛性： 收敛性：方法的可行性
§1
误 差
/* Error */
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
1、从实际问题中抽象出数学模型 、 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 、通过观测得到模型中某些参数（或物理量） —— 观测误差 /* Measurement Error */ 3、数学模型与数值算法之间的误差 、 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 截断误差 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 、由于机器字长有限， —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数 0.2300有 位有效数字， 00023只有 位有效数 只有2 12300如果写成0.123× 如果写成0.123 则表示最多只有3 字。12300如果写成0.123×105，则表示最多只有3 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！ 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！
二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */

共有
3A33
＋C23
A2 2
A2 2
＝30
种．综上组成的三位数能被
3
整除，共有
36＋162＋30
＝228 种．
答案：228
2．(1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起
排，有
A7 7
＝5
040
种方法；第二步再松绑，给
4
个节目排序，有
A4 4
＝24 种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有 5 040×24＝120 960 种安排顺序．
【解析】(1)先排前 4
次测试，只能取正品，有
A4 6
种不同测试方法，再从
4 件次
品中选
2
件排在第
5
和第
10
的位置上测试，有
C2 4
·A22
＝A24
种测法，再排余下 4
件的测试位置有
A4 4
种测法．
所以共有不同测法
A4 6
·A24
·A44
＝103
680 种．
(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正
(2)第一步将
6
个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有
A6 6
＝720
种方
法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这
样相当于
7
个“×”选
4
个来排，一共有
A4 7
＝840 种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有 720×840＝604 800 种安排顺序．

４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0

并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果

( k 1 ) ( k ) i
1 n 1 i ( k 1 ) ( k ) x x ( b a x a x ), i 1 , 2 , n , k 0 , 1 , 2 , i ij ij i j j j 1 j i a ii
或写成向量形式 x（k+1）=x（k）+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
方程组:
a13 a1n a12 b1 x x x x 2 3 n 1 a11 a11 a11 a11 a 23 a2 n a 21 b2 x1 x3 xn x2 a 22 a 22 a 22 a 22 a n1 an 2 a nn 1 bn xn a x1 a x2 a xn 1 a nn nn nn nn
M
k
1 M
x(1) x(0)
, 即
k ln( )/ln M (1) (0) x x
可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步。
ε(1 M )
例如，例1中J-法计算结果如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 x1(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 x2(k) 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255 x3(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364
从而得迭代公式
a a a b (k1) 13 (k) 1 n (k) 12 (k) 1 x x x x 2 3 n 1 a a a a 11 11 11 11 a2n (k) b a21 (k) a23 (k) (k1) 2 x x x x 2 1 3 n a a a a22 22 22 22 an1 (k) an2 (k) ann b (k1) 1 (k) n x x x x n ann 1 ann 2 ann n1 ann

其原理为
计算量 N n flop
注意
(((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
研究生学位课程
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数值分析
例6 ：求解n元线性方程组 a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ (1) an11+an2x2+ … +annxn=bn
应用数值方法 使用MATLAB和C语言
编著 （科学出版社）
Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （机械工业出版社）
数值分析 数值计算方法 计算方法等 数值分析
李庆扬、易大义、王能超 编著 （清华大学出版社）
研究生学位课程
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数值分析
1.2 数值算法的基本概念
数值分析
线 性 方 程 组 Ax b, 当 n 20 时, 用克莱姆（ Cramer） 法 则 求 解运 算 次 数 , 约 为9.7 1020， 用 每 秒 1000 次 的 计 算 机 亿 也要算 年。 300
用高斯（ Gauss） 消 元 法 求 解 算 次 数 ,运 约 为3060 .
研究生学位课程
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数值分析
1.3 误差的基本理论 /* Introduction of error*/
研究生学位课程
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数值分析
用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下 几个环节：
实际 问题
建立数 学模型
确定数值 计算方法
编制程序上 机算出结果
实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值 结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。 数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程 序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的数值结 果。