[高一数学]不等式恒成立问题的处理(最新整理)

y

o m n

y

o m

n

x

⎩

⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 不等式恒成立问题的处理

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③ 其他类不等式恒成立

一、一次函数型

给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a ≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0，则根据函数的图象

⎧ f (m ) > 0 ⎧ f (m ) < 0

（直线）可得上述结论等价于⎨ n ) > 0 同理，若在[m,n]内恒有 f(x)<0，则有⎨ f (n ) < 0

⎩ ⎩

x

例 1．对任意 a ∈[-1,1] ，不等式 x 2 + (a - 4)

分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式，但若把 a 看成主元，则问题可转化为 一次不等式(x - 2)a + x 2 - 4x + 4 > 0 在 a ∈[-1,1] 上恒成立的问题。

解：令 f (a ) = (x - 2)a + x 2 - 4x + 4 ，则原问题转化为 f (a ) > 0 恒成立（ a ∈[-1,1] ）。

当 x = 2 时，可得 f (a ) = 0 ，不合题意。

⎧ f (1) > 0

当 x ≠ 2 时，应有⎨ f (-1) > 0 解之得 x < 1或x > 3。

故 x 的取值范围为(-∞,1) (3,+∞) 。 注：一般地，一次函数 f (x ) = kx + b (k ≠ 0) 在[

,]上恒有 f (x ) > 0 的充要条件为

⎧ f (

) > 0

⎨ f (

) > 0 。

练习：对于满足|a| ≤ 2 的所有实数 a,求使不等式 x 2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,

设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则 f(a)在[-2,2]上恒大于 0，故有：

⎧ f (-2) > 0 ⎨ f (2) > ∴x<-1 或 x>3.

⎧⎪x 2

- 4x + 3 > 0

即⎨⎪x 2 - 1 > 0

⎧x > 3或x < 1 解得： ⎨x > 1或x < -1

例 2. 已知P = (log 2 x - 1)(log a b) 2 - 6 log 2 x · log a b + log 2 x + 1（其中 a 为正常数），若当 x 在区间［1，2］内任意取值时，P 的值恒为正，求 b

的取值范围。解：P 变形为P = [(log a b) 2 - 6 log a b + 1]

log 2 x -

(log a b) 2 + 1

2 ⎩

⎩

设t = log 2 x ，则t ∈[0，1

]

∴ P = f (t) = [(log a b) 2 - 6 log a b + 1]

t - (log a b) 2 + 1

因此，原题变为当 t 在区间［0，1］内任意取值时，f （t ）恒为正，求 b 的取值范围。

由充要条件，当

⎧⎪(log a

b) 2

- 6 log a b + 1 = 0 ⎨

⎧f(0) = -(log （1） 或⎨ a

b) 2 + 1 > 0

（2）

⎪⎩-(log a b) 2

+ 1 > 0

解（1）得-1 < log a

解（2）得-1 < log a

b = 3 - 2 =

b < 1

3 ⎩f(1) =

-6 log a b + 2 > 0

< 1 3

故，当a > 1 时， 1

< b < a

当0 < a < 1时，3 a < b < 1

a

例 3 设P = (log 2 x) 2 + (a - 2) log 2 x - a + 1 ，若当a ∈[-2，2]

时，P>0 恒成立，求 x 的变化范围。

解：设P = f (a) = (log 2 x - 1)a + log 2 2x - 2 log 2 x + 1

当a ∈[-2，2]

时的图像是一条线段，所以 a 在[-2,2]上变动时，P 恒为正值的充要条件

⎧f(-2) > 0 是⎨

f(2) > 0 ⎧⎪log 2 即⎨

⎪⎩log 2 2 x - 4 log 2

x - 1

> 0 x + 3 > 0

解得log 2 x > 3或log 2

x < -1

即 x 的取值范围是⎛

0， 1⎫ (8， + ∞)

⎝

2⎪⎭

二、

二次函数型

（1） 当二次函数的定义域为 R 时： 若二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠0)大于 0 恒成立，则有

⎧a > 0 ⎨

∆ < 0

⎧a < 0

若二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠0)小于 0 恒成立，则有⎨

∆ < ⎩ 0

例 1.若函数 y 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。

略解：要使 y = R 上恒成立，即 mx 2 + 6mx + m + 8 ≥ 0 在 R 上恒成

立。

1

m = 0 时， 8 ≥ 0 ∴ m = 0 成立

1

3 + 2 2

3 a

2