一.第三讲随机变量的函数与特征函数

随机变量的特征函数的求法
随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质，如期望、方差等。

特征函数的求法有多种方法，下面将介绍其中的两种常用方法。

一、定义法
特征函数的定义为：
$$\varphi_X(t)=E(e^{itX})$$
其中，$X$为随机变量，$t$为实数。

根据定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$
其中，$f_X(x)$为$X$的概率密度函数。

二、矩母函数法
矩母函数是随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种矩，如一阶矩、二阶矩等。

矩母函数的定义为：
$$M_X(t)=E(e^{tX})$$
根据矩母函数的定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=M_X(it)$$
因此，只需要求出随机变量的矩母函数，就可以得到其特征函数。

总结：
特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质。

特征函数的求法有多种方法，其中定义法和矩母函数法是常用的两种方法。

在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的方法来求解特征函数。

概率论特征函数
概率论中的特征函数是一个非常重要的概念，它可以通过数学函数的形式描述随机变量的特征。

特征函数的定义如下：对于任意一个随机变量X，它的特征函数φ(t)定义为：
φ(t) = E(e^(i*t*X))
其中，i是虚数单位，E表示数学期望。

特征函数的主要作用是描述一个随机变量的矩，特别是它的所有阶矩。

通过特征函数，我们可以轻松地求出一个随机变量的均值、方差、偏度和峰度等统计量。

特征函数还可以用于分析随机变量之间的独立性和相关性等问题，因此在概率论和统计学中得到了广泛的应用。

需要注意的是，特征函数是一个复数函数，通常用实部和虚部分别表示它的实部函数和虚部函数。

特征函数有许多重要的性质，例如它是连续的、有界的和解析的等等。

同时，特征函数还有许多重要的应用，例如它可以用于求解随机过程中的协方差函数和自相关函数等问题。

总之，特征函数在概率论和统计学中扮演着非常重要的角色，它是研究随机变量特征的有力工具。

概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。

特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。

特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。

特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。

特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。

这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。

对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。

另一个重要的性质是独立性的性质。

如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。

即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。

这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。

特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。

特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。

对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。

这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。

特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。

它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。

它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。

特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。

第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。

对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。

因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。

随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。

● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。

特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。

第四章 大数定律与中心极限定理4、1特征函数内容提要1、 特征函数得定义 设X 就是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 得特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 得特征函数)(t ϕ总就是存在得、2、 特征函数得性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ得共 轭;(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 就是常数、则);()(at e t X ibt Y ϕϕ= (4) 若X 与Y 就是相互独立得随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ就是非负定得,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 与n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )与)(t ϕ分别为X 得分布函数与特征函数,则对F (x )得任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )得任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量得分布函数有其特征函数唯一决定;(10) 若连续随机变量X 得密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3、 常用得分布函数特征表习题与解答4、11、 设离散随机变量X 得分布列如下,试求X 得特征函数、解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2、 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 得特征函数,并以此求E(X )与V a r(x )、解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ, ()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3.设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 得特征函数、解 设r X X X ,,,21 就是相互独立同分布得随机变量,且都服从参数为p 得几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 得特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p 、 又因为r X X X X +++= 21,所以X 得特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ、 4.求下列分布函数得特征函数,并由特征函数求其数学期望与方差、(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0)、解 (1)因为此分布得密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布得特征函数为010()22itx ax itx axa at e e dx e e dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰00(cos sin )(cos sin )22ax axa a tx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰ =.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布得密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x所以此分布得特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx ax tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)得数学期望不存在、注:⎰+∞∞-+=dx a x e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中得留数理论来计算,方法如下:t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5、 设),,(~2σμN X 试用特征函数得方法求X 得3阶及4阶中心矩、 解 因为正态分布),(2σμN 得特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==i X E ,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==iX E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 得3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6、 试用特征函数得方法证明二项分布得可加性:若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p)、证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 得独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正就是二项分布b(n + m, p)得特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P )、7、 试用特征函数得方法证明泊松分布得可加性:若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2)、证:因为 ,)(,)()1()1(21====ititeY eX e t e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正就是泊松分布 P (λ1+λ2)、得特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2)、 、8、 试用特征函数得方法证明伽玛分布得可加性:若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++、证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 得独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正就是伽玛分布),(21λa a Ga +得特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++、9、试用特征函数得方法证明2χ分布得可加性:若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ证 因为2)21()(n X it t --=ϕ,2)21()(mY it t --=ϕ,所以由X 与Y 得独立性得2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=ϕϕϕ,这正就是2χ分布2χ(n+m)得特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ10、 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~ =λ、试用特征函数得方法证明:∑==ni i n n Ga X Y 1),(~λ、证 因为1)1()(--=λϕitt i X ,所以由诸i X 得相互独立性得n Y 得特征函数为n Y itt n--=)1()(λϕ,这正就是伽玛分布),(λn Ga 得特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n 、11、 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下:+∞<<-∞-+⋅=x x x p ,)(1)(22μλλπ,其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,(1) 试证X 得特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布得可加性; (2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+,但就是X 与不独立; (3) 若n X X X ,,,21 相互独立,且服从同一柯西分布,试证:)(121n X X X n+++ 与X i 同分布、证 (1) 因为μ-=X Y 得密度函数为+∞<<-∞+⋅=x yx p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 得特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-、由此得μ+=Y X 得特征函数{}{}t t i t t i t t Y Y X λμϕμϕϕμ-===+exp )(exp )()(、下证柯西分布得可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,得柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1)(22=+∞<<-∞-+⋅=i x x x p i i μλλπ、若1X 与2X 相互独立,则(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμϕϕϕ+-+==+,这正就是参数为2121,λλμμ++柯西分布得特征函数、所以由唯一性定理知,21X X +服从参数为2121,λλμμ++得柯西分布、(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(ϕ,{}t t Y -=exp )(ϕ,所以 )2()()(2t t t X X Y X ϕϕϕ==+{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ϕϕ=、 由于Y=X,当然X 与Y 不独立、此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+不能推得X 与Y 独立、(3) 设i X 都服从参数为λμ,得柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμϕ-=exp )(、由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 得特征函数为 []{}t t i n t nλμϕ-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 11与X 1具有相同得特征函数,由唯一性定理知它们具有相同得分布、12、设连续随机变量X 得密度函数为p (x ),试证:p (x )关于原点对称得充要条件就是它得特征函数就是实得偶函数、证:记X 得特征函数为)(t X ϕ、先证充分性,若)(t X ϕ就是实得偶函数,则)()(t t X X ϕϕ=-或)()(t t X X -=-ϕϕ,这表明X 与-X 有相同得特征函数,从而X 与-X有相同得密度函数,而-X 得密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点就是对称得、再证必要性、若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同得密度函数,所以X 与-X 有相同得特征函数、由于-X 得特征函数为)(t X ϕ,所以)()(t t X X ϕϕ=-=________)(t X ϕ,故)(t X ϕ就是实得偶函数、13、设n X X X ,,,21 独立同分布,且都服从N (2,σϕ)分布,试求∑==ni iX n X 1___1得分布、解:因为X j 得特征函数为2/22)(t t i j e t σϕϕ-=,所以由诸X i 互相独立得___X 得特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σϕϕϕ-==这就是正态分布N (n /,2σϕ)得特征函数,所以由唯一性定理知∑==ni i X n X 1___1~N (n /,2σϕ)。

随机变量特征函数教程一：复习一维随机变量概率分布刻画方式 一般随机变量，通用方式－cdf 离散随机变量，概率分布律－pmf 连续随机变量，概率密度函数－pdf二：其他一些随机变量概率刻画方式，母函数，矩母函数，特征函数 其中，特征函数适合所有随机变量，但是也是最为复杂的一种方式。

定义：取值实数的随机变量X 的特征函数()itX t Ee ϕ=，这里i =为单位复数，t 为任意实数。

注意：()(cos()sin())(cos())(sin())itX t Ee E tX i tX E tX i E tX ϕ==+=+⋅ 三：例题计算常用随机变量特征函数1、两点分布(1),(0)1P X p P X p ====-1()(0)(1)(1)itXit it itt EeeP X eP X p peϕ⋅⋅===+==-+2、二项分布~(,)X b n p()(1)()(1)(1)nnitXitkk k n kk it k n kit nnnk k t EeeC p p Cpe p pe p ϕ--====-=-=+-∑∑3、Poisson 分布~()X πλ，()!keP X k k λλ-==，k=0,1,2,…syms t real syms k integersyms lamda positiveCharacterfun=symsum(exp(i*t*k)*exp(-lamda)*lamda^k/gamma(k+1),k,0,inf) Characterfun =exp(lamda*(-1+exp(i*t)))4、几何分布~()X ge p ,1()(1)k P X k p p -==- syms t real syms p positive syms k integerCharacterfun=symsum(exp(i*t*k)*(1-p)^(k-1)*p,k,1,inf) Characterfun =exp(i*t)*p/(1+exp(i*t)*(-1+p)) 5、均匀分布~(,)X U a bsyms a b x t realmaple('assume(a<=x,x<=b)');charactorfun=int(exp(i*t*x)/(b-a),x,a,b) charactorfun=-i*(exp(i*a*t)-exp(i*b*t))/t/(a-b)-i (exp(a~ t~ i) - exp(b~ t~ i)) -------------------------------- t~ (a~ - b~) 6、指数分布~()()()x R e f x e I x λξλλ+-→=()()it itxitx xt Eeef x dx e edx ξλϕλ∞∞--∞===⎰⎰syms x t realsyms lamda positivecharacterfunction=int(exp(i*t*x)*lamda*exp(-lamda*x),x,0,inf) characterfunction = -1/(i*t-lamda)*lamda7、正态分布 2~(,)N a d η, 22()2()x a df x --=syms pisyms x t a real syms d positivecharacterfunction=simple(int(exp(i*t*x)/sqrt(2*pi)/d*exp(-(x-a)^2/2/d^2),x,-inf,inf)); characterfunction characterfunction=exp(-1/2*t^2*d^2+t*a*i) 8、柯西分布 syms pisyms x t realcharacterfunction=simple(int(exp(i*t*x)/pi/(1+x^2),x,-inf,inf)); characterfunction characterfunction =1/2*signum(t)*(signum(t)-exp(2*t)+exp(2*t)*signum(t)+1)*exp(-t) >>特征函数性质定理：随机变量序列{},1,2,...,k X k n =独立，假定各自特征函数为()kkiX tX t Ee ϕ=，则1n X X ++ 的特征函数112()()()()nn XX X X X t t t t ϕϕϕϕ++=⨯⨯⨯定理：设随机变量~()X F x ，则，对于任何()F x 的两个连续点12x x <，1221121()()()lim()2itx itx T TT ee F x F x P x X x t dt itϕπ---→∞--=<≤=⎰定理：随机变量特征函数和概率分布函数相互唯一确定定理：随机变量序列{},1,2,...i X i =cf 为()i t ϕ，1,2,...i =，随机变量cf 为()t ϕ，则lim ()()Ln n n X X t t ϕϕ→∞−−→⇔≡ 四：应用证明：随机变量{},1,2,i X i =1、2~(,),1,2i i i X N a d i =，探讨12X X +的分布2、由特征函数求期望与方差公式()()()()'00()itXitXitXX t t t t t EeE eE iXei EX ϕ====''====⨯，因此()'0()X t EX i t ϕ==-⨯()()()()()22()()itXitXitXitXX t EeE e E iX eE Xeϕ''''''====-，令0t =得到()()2()X t t E Xϕ=''=-，因此()()2()Xt E X t ϕ=''=-()()2220()()()()X X t t Var X EXEX t t ϕϕ==⎡⎤'''=-=-+⎢⎥⎣⎦注：若随机变量有EX μ=，2()Var X σ=，那么()'0()X t i t ϕμ=-⨯=得到()'()X t t i ϕμ==，()()()222200()()()X X X t t t t t t σϕϕσϕμ===⎡⎤'''''=-+→=--⎢⎥⎣⎦因此()22()X t t ϕμσ=''=--又因为，若()22(0)()(0)(0)2t t t o tϕϕϕϕ'''=+++，此时可得()2222()12t i t t o tμσϕμ+=+-+以下可以得到Lindeberg-Levvy 中心极限定理的证明。