几何画板与椭圆曲线教学整合案例
摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合
【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？
对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：
（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、
深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质
课件使用方法：
（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。输入点m的值，可以得到相应的mf1、mf1+mf2、、a+ex的值，通过观察数据变化过程，我们可以发现mf1+mf2=2a、 =e、mf1=a+ex、mf2=a-ex，这样我们就形象直观地验证了椭圆的基本性质。
（2）利用课件2，如图（2）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值可以得到我们想要的椭圆。拖动点m在椭圆的x轴上方部分运动，容易看出线段mn为椭圆的过左焦点f1
的焦点弦，同时可以得到mn的长及线段mn所在直线的方程。（3）验证椭圆的基本性质：由c= a2-b2计算得半焦距c=2.24，选中c=2.24、y=0.00，图表——绘制点（p），标记点的标签为f2；双击y轴（标记镜面），选中点f2，变换——反射，得到一点，标记点的标签为f1；由e= 计算得到离心率e=0.75；由x= 计算得到x=4.02，选中x=4.02及y=0.00，图表——绘制点（p）得到一点，选中该点及x轴，构造垂线既得到椭圆的右准线；构造椭圆上一点，标记点的标签为m，构造线段mf1、mf2；过m点做椭圆右准线的垂线，垂足标记为点n，构造线段mn；度量mn、mf1及mf2的长度，度量m的横坐标得xm；计算mf1+mf2、、a-exm、a+exm的值；调整并隐藏不必要的图形后如图（1）所示。
（4）椭圆的焦点弦：利用课件1，隐藏除椭圆轨迹、坐标轴、圆c（oa）及c（ob）以外的图形；构造椭圆上的一点m ，过m作x 轴的垂线交圆c（oa）于两点，和m在x轴同侧的点标记为点p，构造直线mp，圆c（oa）于点q；构造线段oq交圆c（ob）于j点；过q构造x轴的垂线l，过j作l的垂线，垂足为n，构造线段mn 既为椭圆上过f1的焦点弦，如图（3）所示。
【案例分析】
（1）在传统教学中讲授这一内容时学生会觉得抽象和难以接受。而利用几何画板，就能很方便地向学生展示圆锥曲线的生成过程，帮助学生建立轨迹的概念；又可以用来验证其相关性质，甚至可以让学生也参与课件的制作，培养学生运用计算机的能力。
（2）使用此课件，直接输入圆锥曲线的参数a、b、c的值，就能得到我们想要的圆锥曲线，既可以节省作图时间，又可以提高解题速度，进而提高教学效率。
（3）用此课件既可以直观地向学生介绍圆锥曲线的焦点弦、焦半径，又可以验证其性质、求其值以及过焦点的直线方程等。利用此课件也可以研究过一定点的直线与圆锥曲线的位置关系。
（4）利用几何画板，我们同样可以高效地完成双曲线、抛物线以及姐妹双曲线的教学。
参考文献
[1]《高中数学第二册（上）》.人民教育出版社中学数学室，2006年出版。
[2]薛金星《高中数学知识手册》.大连出版社，2001年出版。
[3]陶维林《几何画板实用范例教程》.清华大学出版社，2001年，4月第1版。
