函数的基本性质之最值以及应用

函数的基本性质之最值

题型一 利用函数的图象求最值

例1：已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.

求f (x )的最大值、最小值.

变式练习1. 画出函数x

y 1=的图像，并求函数在以下区间上的最值： （1）]7,1[ （2）)0,5[- ]5,0(

2.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=21,11

21,)(2x x

x x x f ，求f(x)的最大值、最小值

3. (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )

A.f (－2)，f (3)

B.0,2

C.f (－2)，2

D.f (2)，2

(2)画出函数(][)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-+∞-∈-=,0,120,,2)(2x x x x x x f 的图象，并写出函数的单调区间及函数

的最小值.

题型二利用单调性求函数的最值

例2：求函数f(x)＝x

x－1

在区间[2,5]上的最大值与最小值.

变式练习已知函数y =(x [2，6])，求函数的最大值和最小值。题型三闭区间上二次函数的最值问题

例3.已知函数f(x)＝x2－2x＋2,求f(x)在区间[1

2

，3]上的最大值和最小值

例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].

(1)若a＝1，求函数f(x)的最值；

(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值.

变式练习1. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].

(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数.

题型四：利用函数最值或分离参数求解恒成立问题

例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x

，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12

时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.

变式练习1设f (x )＝x 2＋4x ＋3，不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.

课后练习

1.函数)

1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A.54 B.45 C.43 D.34

2.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( )

A.为增函数，且最小值为－5

B.为增函数，且最大值为－5

C.为减函数，且最小值为－5

D.为减函数，且最大值为－5

3.已知关于x 的不等式x 2－x ＋a －1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是

( )

A.(－∞，54

) B.(－∞，54] C.(54

，＋∞) D.[54，＋∞) 4.函数y ＝1x －2

，x ∈[3,4]的最大值为

5.函数y ＝－x 2＋x ＋2的最大值为________，最小值为________.

6.函数y ＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈－1，4]

的最小值为________，最大值为________.

7.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值.

8.若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.

9.已知函数f (x )＝x －1x ＋2

. (1)求证：f (x )在[3,5]上为增函数；

(2)求f (x )在[3,5]上的最大、小值．