江苏省宿迁市高中数学第2章推理与证明第3课时演绎推理导学案无答案苏教版选修

第8课时 本章复习与小结【教学目标】1.能利用合情推理提出猜想，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它进行一些简单的推理；2.3.【自主学习】【合作探究】1.给出一个“三角形”的数表如下：0 1 2 3 … 996 997 998 9991 3 5 … 1993 1995 19974 8 … 3988 399212 (7980)此表构成的规则是：第一行是0,1,2，……999，以后下一行的数是上一行相邻两个数的和。

问第四行的数中能被999整除的数是什么？2.已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：8)11)(11)(11(≥---cb a .3.已知)1,0(,,∈c b a ，求证： a c c b b a )1(,)1(,)1(---不等能都大于41.4.(理科做)试比较n n+1与(n+1)n(n *N ∈)的大小，分别取n=1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明【学以致用】1. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO 并延长交边于A 1,B 1,C 1,则1111111OA OB OC AA BB CC ++=,这是一道平面几何题，其证明采用“面积法”： 111111OA OB OC AA BB CC ++=1==++∆∆∆∆∆∆∆∆ABCABCABC OAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S S S ，那么在空间四面体A-BCD 中存在怎样的结论？2. 已知x>0，由不等式 ,34224,2122≥++=+≥+x x x xx x x ，启发我们可以得到推广结论：*)(1N n n xmx n ∈+≥+，则m=_________________。

3. (理科做)已知点P n (a n ,b n )满足a n+1=a n b n+1,b n+1=2(*)14nnb n N a ∈-且点P 1的坐标为（1，-1）. （1） 求过点P 1，P 2的直线l 的方程；（2） 试用数学归纳法证明：对于*n N ∈，点P n 都在（1）中的直线l 上。

江苏省泰兴中学高二数学讲义（46）演绎推理【学习目标】1.结合以及学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性2.掌握演绎推理的基本模式，并能用它进行一些简单的推理3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别【重点难点】重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理难点：演绎推理的含义及一般模式：“三段论”【预习导引】1.推理“①矩形是平行四边形 ②三角形不是平行四边形 ③所以三角形不是矩形”中的小前提是_________________2.“因对数函数y=是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以log a x x y 31log =是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）x y 31log =A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错【典型例题】例1. 用三段论的形式写出下列演绎推理（1）若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等（3）把下列推理恢复成完全的三段论：①不能被2整除； ②函数的图像是一条直线.1021+52+=x y 例2.已知a .b .m 均为正实数，，求证：.b a <b b m a a m+<+例3.求证：函数是奇函数，且在定义域上是增函数.1212+-=x x y[学习反思]1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义.公理.定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程2.演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前提. 小前提都是真实的，那么结论必是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论3.演绎推理的特点：（1）_________________ ______________________________ （2）_____________________ __________________________（3）_____________________ ________________________江苏省泰兴中学高二数学课后作业（46）班级:姓名:学号：1.推理“因对数函数是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），log a y x =13log y x = 所以是增函数（结论）”，其推理错误的原因是___________13log y x =2.把下列推理写成完整的三段论形式：（1）因为ABC 的三边长为5，12，13，所以ABC 是直角三角形；∆∆ （2）函数y=的图象是双曲线.1x3.下面推理是否正确？将其中有错误的地方用波浪线画出：也是无理数+都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，必是无理数.4.为保证信息安全，小明利用一个简单的加密函数对数字进行逐个加密，3log (1)y x =+如数字2经过加密后变成1，若某人收到1002的加密数字，则原数字是_________.5.指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， （2）无理数是无限小数，－3是整数， 是无限小数，1(0.333)3=K —————————— ———— ———————－3是自然数是无理数136.已知实数p 满足不等式，试判断方程有无实根，并证明2102p p +<+22250x x p -+-=你的结论.7.设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项， 求证：. 2a cx y+=8.已知a ，b ，c 表示ABC 的边长,m>0. 求证:> .∆a b a m b m +++cc m+。

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:实验、观察概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33) [处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.归纳推理的一般模式:S1具有性质P,S2具有性质P,S3具有性质P,……S n具有性质P(S1,S2,S3,…,S n是A类事物的具体对象).所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a 2==;当n=3时,a 3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以,DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:⇒mb<ma⇒ab+mb<ab+ma⇒<⇒<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0),(大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1.“若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为△ABC三边长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,(大前提)△ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)△ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线,(大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①③④.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?②问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③公式③的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+ 1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔平面三角形↔棱锥梯形↔棱台进而有梯形底边长↔棱台底面积三角形面积↔棱锥体积梯形面积↔棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),④其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下),⑤其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)⑥的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.4.“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是-.五、课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,。

课题03.演绎推理教学目标1.通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识.2.了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．教学重点正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点正确运用“三段论”证明问题．授课方法讲练结合教学辅助手段教学多媒体教师活动学生活动二次备课课前自学：定义特征一般模式思维过程归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理S1具有性质PS2具有性质P……S n具有性质P(S1，S2，…，S n是A类事物对象)所以A类事物具有性质P实验观察→概括推广→猜测一般性结论类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理A类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质a′，b′，c′(a，b，c与a′，b′，c′相似或相同)所以B类事物可能具有性质d′观察、比较猜测新的结论1.归纳推理：从特殊到一般类比推理：从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．课堂探究：一、创设情景：观察与思考：1．所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．2．一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以，（2100+1）不能被2整除．3．三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）二、探究新知：1．所有的金属都能导电←————大前提铜是金属，←-----小前提所以，铜能够导电←――结论学生结合3个例子，尝试举例，加深概念的理解学生探索，发现问题，总结特征（五号楷体加粗）。

2.1.2 演绎推理学案（苏教版高中数学选修2-2）212演绎推理演绎推理学习目标1.了解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点1所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；2一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论梳理演绎推理的含义及特点含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点1演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别.特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；2在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系；3演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰.令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段答案分为三段梳理三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1“三段论”就是演绎推理2演绎推理的结论一定是正确的3演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理4在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式1平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；2等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；3通项公式为an2n3的数列an为等差数列解1平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论2等腰三角形的两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的两底角，小前提AB.结论3在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an 为等差数列，大前提当通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32n132常数，小前提通项公式为an2n3的数列an为等差数列结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大.小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练1将下面的演绎推理写成三段论的形式1所有椭圆的离心率e的取值范围为0,1，曲线Cx22y21是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为0,12等比数列的公比都不为零，数列2nnN*是等比数列，所以数列2n的公比不为零解1大前提所有椭圆的离心率e的取值范围为0,1小前提曲线Cx22y21是椭圆结论曲线C的离心率e的取值范围为0,12大前提等比数列的公比都不为零小前提数列2nnN*是等比数列结论数列2n的公比不为零类型二演绎推理的应用命题角度1证明几何问题例2如图，D，E，F 分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证EDAF，写出三段论形式的演绎推理证明因为同位角相等，两直线平行，大前提BFD 与A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论反思与感悟1用“三段论”证明命题的格式大前提小前提结论2用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路找出每一个结论得出的原因把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练2已知在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证EF平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，EF为ABD的中位线小前提所以EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.结论命题角度2证明代数问题例3设函数fxexx2axa，其中a为实数，若fx的定义域为R，求实数a的取值范围解若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义，大前提fx的定义域为R，小前提x2axa0恒成立结论a24a0，0a4.即当a0,4时，fx的定义域为R.引申探究若本例的条件不变，求fx的单调增区间解fxxxa2exx2axa2，由fx0，得x0或x2a.0a4，当0a0.在，0和2a，上，fx0.fx的单调增区间为，0，2a，当a2时，fx0恒成立，fx的单调增区间为，当2a4时，2a0，fx的单调增区间为，2a，0，综上所述，当0a2时，fx的单调增区间为，0，2a，；当a2时，fx的单调增区间为，；当2a1，证明函数fx在1，上为增函数证明方法一定义法任取x1，x21，，且x10，且a1，所以21xxa1，而1x10，x210，所以fx2fx10，所以fx在1，上为增函数方法二导数法fxaxx13x1ax13x1.所以fxaxlna3x12.因为x1，所以x120，所以3x120.又因为a1，所以lna0，ax0，所以axlna0，所以fx0.所以fxaxx2x1在1，上是增函数.1下面几种推理过程是演绎推理的是________填序号两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180；某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；在数列an中，a11，an12an11an1n2，由此归纳出an的通项公式答案解析是演绎推理，是归纳推理2在求函数ylog2x2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a0；小前提是log2x2有意义；结论是__________________________考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案ylog2x2的定义域是4，解析由大前提知log2x20，解得x4.3推理“菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，正方形的对角线互相垂直”中的小前提是________答案4把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提_________________________________________________________ _______________；小前提_________________________________________________________ _______________；结论_________________________________________________________ _______________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数yx2x1是二次函数函数yx2x1的图象是一条抛物线5设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根证明若一元二次方程ax2bxc0a0的判别式b24ac0，则方程有两个相异实根大前提方程x22mxm10的判别式2m24m14m24m42m1230，小前提所以方程x22mxm10有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论.证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论.猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.。

演绎推理教学目标：1. 了解演绎推理的含义。

2. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想二．问题情境。

观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tan α是周期函数。

提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二、建构数学演绎推理的定义：从_______________出发，推出________________结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式_________________________________________________________________________________________________________________________3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.三、例题例１． 用三段论的形式写出下列演绎推理．⑴菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．⑵若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．⑶因为∆abc 三边长依此为此3,4,5,所以∆abc 为直角三角形.⑷()R x x y ∈=sin 是周期函数．例2.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1) 整数是自然-3是整数______________-3是自然数(2)无理数是无限小数 1(0.3333.......)3是无限小数_________________________________ 13是无理数 (3)中国的大学分布在中国各地北京大学是中国的大学所以,北京大学分布在中国各地例3.已知,,a b m 均为正实数,b a <求证:b b m a a m+<+例4.如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC, D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E的距离相等AD E CM B四、 回顾小结：演绎推理特点:___________________________________________________演绎推理错误的主要原因是1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。

2.1.2 演绎推理的区别和联系.演绎推理(1)从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法通常称为________．(2)________式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：________，________，________.(3)三段论中包含了3个命题，第一个命题称为________，它提供了一个__________；第二个命题叫________，它指出了一个________，这两个判断结合起来，揭示了________与________的内在联系，从而得到第三个命题——______.预习交流1演绎推理有哪些特点？预习交流2做一做：若△ABC 的三边长为3,4,5，则△ABC 是直角三角形．用“三段论”表示为：大前提：______________.小前提：__________________.结论：________________.答案：预习导引(1)演绎推理(2)三段论 M —P (M 是P ) S —M (S 是M ) S —P (S 是P )(3)大前提 一般性的原理 小前提 特殊对象 一般原理 特殊对象 结论预习交流1：提示：(1)演绎推理的前提是一般性原理．演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的．预习交流2：提示：大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形．小前提：△ABC 的边长为3,4,5，且32＋42＝52.结论：△ABC 是直角三角形．一、把演绎推理写成三段论用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以，若两角不是对顶角，则此两角不相等；(3)0.332是有理数；(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．思路分析：对命题进行分析，找出大前提、小前提、结论，再利用三段论形式写出来．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)指数函数y＝3x在R上是单调增函数．(2)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.(3)通项公式为a n＝n的数列{a n}为等差数列．在演绎推理中，大前提描述的是一般的原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般的原理对特殊情况做出的判断．这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．二、演绎推理的正误判断判断下列几个推理是否正确？为什么？(1)“因为整数是自然数(大前提)，而3是整数(小前提)，所以3是自然数(结论)．”(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”思路分析：分析大前提、小前提和推理形式是否正确．1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为__________(填正确结论的序号)．①大前提错误②小前提错误③推理形式错误④非以上错误2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是__________(填正确结论的序号)．①小前提错②结论错③正确的④大前提错判断演绎推理的结论是否正确的方法：(1)看推理形式是否是由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理．(2)看大前提是否正确．大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件．(3)看小前提是否正确．注意小前提必须在大前提范围之内．(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．三、用三段论证明数学问题在平面四边形ABCD中，AB=CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．思路分析：原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD⇒四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．用三段论计算并指出每一步推理的大、小前提和结论．已知lg 2＝m，计算lg 0.8.三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．1．下面说法正确的有__________(填序号)．①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提是______________________________________________________________________．3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：____________________________________________________________________；小前提：____________________________________________________________________；结论：______________________________________________________________________.4．两条直线相交，对顶角相等，∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B.该证明过程中大前提是________________，小前提是________________，结论是__________．5．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是__________．答案：活动与探究1：解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)∠1和∠2不是对顶角，(小前提)所以∠1和∠2不相等．(结论)(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)0.332是有限小数，(小前提)所以0.332是有理数．(结论)(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝sin x是周期函数．(结论)迁移与应用：解：(1)指数函数y ＝a x，在a ＞1时是R 上的单调增函数，(大前提)函数y ＝3x 是指数函数且3＞1，(小前提)所以指数函数y ＝3x 在R 上是单调增函数．(结论)(2)等腰三角形两底角相等，(大前提)∠A ，∠B 是等腰三角形的两底角，(小前提)所以∠A ＝∠B .(结论)(3)数列{a n }中，当n ≥2且n ∈N *时，a n －a n －1＝d 为常数，则数列{a n }是等差数列，(大前提)通项公式a n ＝n ，若n ≥2且n ∈N *时，a n －a n －1＝n －(n －1)＝1为常数，(小前提)所以通项公式为a n ＝n 的数列{a n }为等差数列．(结论)活动与探究2：解：(1)不正确．大前提错误．因为整数不一定是自然数，非负整数才是自然数．(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足．(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．迁移与应用：1．① 解析：由演绎推理的三段论可知答案应为①.2．③ 解析：在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的．活动与探究3：证明：如图，(1)连结AC .(2)AB ＝CD ，BC ＝AD ，CA ＝AC .(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，(大前提) △ABC 和△CDA 的三边对应相等，(小前提)△ABC 与△CDA 全等．(结论)符号表示：AB ＝CD 且BC ＝DA 且CA ＝AC ⇒△ABC ≌△CDA .(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于： 对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，(大前提)△ABC 和△CDA 全等，(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行，(大前提)∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB 与CD 、AD 与BC 被AC 所截得到的内错角，(小前提) AB ∥CD ，AD ∥BC .(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形，(大前提)四边形ABCD 的两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD 是平行四边形．(结论)迁移与应用：解：因为lg a n ＝n lg a (a ＞0)，(大前提)lg 8＝lg 23，(小前提)所以lg 8＝3lg 2.(结论)因为lg a b＝lg a －lg b (a ＞0，b ＞0)，(大前提)lg 0.8＝lg 810，(小前提)所以lg 0.8＝lg 8－1＝3lg 2－1＝3m－1.(结论)当堂检测1．①③④2．矩形都是对角线相等的四边形3．一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线4．两条直线相交，对顶角相等∠A和∠B是对顶角∠A＝∠B 5．[4，＋∞)解析：log2x－2≥0，log2x≥2，∴x≥4.。

第5课时间接证明【学习目标】结合已经学习的数学实例，了解反证法是间接证明的一种方法；了解反证法的思考过程和特点.【合作探究】阅读课本内容，填空：1．_____________________的方法通常称为间接证明，______________是一种常用的间接证明的方法；2．用反证法来证明时，要从_____________开始，经过_______________，导致_______________，从而达到新的否定（即肯定原命题）3．反证法的步骤：(1) 反设-------_______________________________________________________________;(2) 归谬-------_______________________________________________________________;(3) 存真-------________________________________________________________________.【展示点拨】例1 求证：正弦函数没有比2π小的正周期.a b c是互不相等的实数，求证：由例 2 已知,,222=++=++=++确定的三条抛物线至少有一条与x y ax bx c y bx cx a y cx ax b2,2,2轴有两个不同的交点.例3 已知ABC 的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证：090B <.例4 .【学以致用】1、用反证法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应反设 ___________________________________________; 用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时，应反设____________________________.2、设实数,,a b c 满足1a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个数不小于_______________.3、设,a b 是异面直线，在a 上任取两点12,A A ,在b 上任取两点12,B B ,试证：1122A B A B 与也是异面 直线.4.5、设二次函数2()(0) f x ax bx c a =++≠中的,,a b c 均为整数，且(0)(1)f f 、均为奇数，求证：方程()=0f x 无整数根.。

高中数学第２章推理与证明2．1．2 演绎推理知识导航学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第2章推理与证明2.1.2 演绎推理知识导航学案苏教版选修1-２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第2章推理与证明2．1.2 演绎推理知识导航学案苏教版选修1-2的全部内容。

2.1.2 演绎推理知识梳理1。

演绎推理是一种由________＿____＿＿____的命题推演出__＿____________＿___命题的推理方法，简单的说，演绎推理是由________＿_＿__＿＿＿___到_＿__________＿_____＿的推理。

2.演绎推理的主要形式是_＿＿__＿_____＿,常用的格式为_＿_＿_＿＿＿_＿＿_____＿＿________＿__＿_．3。

三段论中包含了3个命题,第一个命题称为——_____＿__＿＿________＿,它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫___＿______________＿,它指出了一个特殊对象。

这两个判断结合起来,揭示一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题-—＿___＿______＿___＿___.知识导学本节先以日常生活和数学学习中,以前经常遇到的一些问题为基础,介绍了演绎推理的定义.由一般到特殊的推理方法.从而得到了演绎推理的主要形式为三段论。

认识三段论推理的一般模式包括三步:(1)大前提,（2）小前提,(3）结论。

再从实际应用来认识数学中的证明，主要是通过演绎推理来进行的,从实例中认识其重要作用和具体的做法，最后对合情推理和演绎推理相比较,明确二者在数学中的不同作用.在学习本节时,可以回顾已有知识中证明问题的一般方法及推导结论时依据与结论之间的联系.在学习时，要正确认识演绎推理在数学中的重要作用，既要利用合情推理来发现新的结论，也要用合适的方法来证明结论的成立.疑难突破1。

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。