2015-2016汕头金山中学高三理科数学期末考试试题命题人：彭志敏第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2(1)(1)i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （） A. 5 B.10 C.5 D.253.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅ 4．定义域为R 的函数2009()f x xx a b =++是奇函数的充要条件是（） :0A ab = :0B a b +=:0bC a= 22:0D a b +=5．已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是( ) A ．5 B ．8 C.25+ D.171-6. 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212121212121112211111A.C C C C B.C C C C C.C C C C C C D.C C C C m n n m m n n m m n n m m n m n m n+++++++++7．某几何体的三视图如图7-1所示，若这个几何体的4 44 h正视图侧视图体积为24，则h =（）A ．2B ．3C ．4D ．58 ．已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ）A ．10≤≤aB ．31≤≤aC ．1≤aD ．3≥a9.设m ，n ∈R ，若直线(m +1)x +(n +1)y －2＝0与圆(x －1)2+(y －1)2＝1相切，则m+n 的取值范围是( ) A ．［13-，13+］ B ．(－∞，13-］∪［13+，+∞)C ．［222-，222+］D ．(－∞，222-］∪［222+，+∞) 10．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时()22+4f x x x =-，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n -- 11.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f (x )取得最大值,则下列结论正确的是( )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)12．已知函数:2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++,2342015()12342015x x x x g x x =-+-+-- 设函数()(3)(5)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知411e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为14.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为.15.已知实数,x y 满足221x y +=，则x y +的最大值是.16、已知函数()23log (1)1132x x kf x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是三．解答题（共6小题，前五题为必答题，每题满分12分，后三题为选做题，每题满分10分） 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积53S =，b ＝5，求sin sin B C ⋅的值． 18. 数列{}n a 的前n 项和为nS , 已知 nn Sa n +=-(*n N ∈) 恒成立.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) ln(1),n n na nb a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求{}n b 的前2n 项和T 2n .19. 在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,22,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB 的值．20．已知直线330x y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()0,2-的直线l 与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，若AOB ∠为钝角，求直线l 斜率k 的PDCBA取值范围；（3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P 作圆O ：222x y +=的两条切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：221143mn+为定值．21．已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ．()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求C ∠BA ．23、选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C:22143x y +=，直线:l 3323x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．24、选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．高三理数期末考试参考答案 DCADDCBC DBBD ；-12；(],1-∞；-2；[1,3]；17解：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，……2分解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．……3分 因为0＜A ＜π，所以A ＝3π.……5分（2）由S ＝12bc sin A ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.……7分 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，……9分故由正弦定理得sin B ⋅sin C ＝2sin 5()7A bc a ⋅=.……12分 18解：（1）由 n n S a n +=-得 n=1时，1111111, 2S a S a a +=-=∴=-…….1分 2n ≥时,1nn n a S S -=-…….2分1111 (1) ()1n n n n n n n n S a n S a n S a S a ----+=-⇒+=--∴+-+=- 11212(1)1n n n n a a a a --∴=-∴+=+…….3分1111111100 2212n n a a q a -++=-+=≠∴==≠+ {}1n a ∴+是以12为首项，公比12q =的等比数列…….4分 1111(1)2n n n a a q -∴+=+=112n n a ∴=-…….6分 (2)ln 2,112n nn n b n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数，…….8分2422111ln 2[13(21)]()22211ln 2[1()]34n n T n n n n=-⋅+++-++++-=-⋅+--…….12分19．（Ⅰ）证明：因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . …………1分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . …………………………3分z yxPD CB A（Ⅱ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,22,0)D ，(2,22,0)C . ………4分所以(4,22,0)BD =-，(2,22,0)AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)22222000BD AC ⋅=-⨯+⨯+⨯=，(4)0220040BD AP ⋅=-⨯+⨯+⨯=. 所以BD AC ⊥，BD AP ⊥. ……………6分因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC . …………………………………7分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=.所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,22,44)CQ λλ=---+. ……………8分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.因为sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，得2234(42)8326(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+. 解得7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. …………12分法2：(II) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=， 所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥…..4分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥…..6分因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC . ………7分20.（1）依题椭圆的右焦点为()1,0，上顶点为()0,3，故1c =，3b =，222a b c =+=，∴ 可求出椭圆标准方程为22143x y +=．……3分（2）设直线l 方程为2y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y由222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)1640k x kx +-+=， ∵ 21230k ∆=->，∴ 214k >， 又1221643k x x k +=+，122443x x k =+ ∵ AOB ∠为钝角，∴ 0OA OB ⋅<， 即12120x x y y +<， ∴ 1212(2)(2)0x x kx kx +--<，∴ 21212(1)2()40kx x k x x +-++>，∴ 222416(1)2404343k k k k k +⋅-⋅+<++，即221216043k k -+<+， ∴ 243k >，解得233k <-或233k >，∴ 所求直线斜率的取值范围是2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……8分 （3）设点()00,Px y ，则以OP 为直径的圆的方程为()()000x x x y y y -+-=④，④式与圆O ：222x y +=方程两式相减可得切点弦MN 的方程为002x x y y +=， 令0y =，得02m x =，令0x =得02n y =， ∴ 02x m =，02y n=，又点()00,P x y 在椭圆C 上， ∴ 2222143m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22111434m n +=，∴ 221143m n +为定值．……12分21解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………2分（2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤…………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=-…………7分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈…………………12分22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠EDC ＝∠DCB ， 所以BC ∥DE ． …4分 （Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ． 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π7， 所以∠BAC ＝2x ＝2π7．…10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92． 由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35， cos θ＝－ 45． 故P (－ 8 5， 335)．…10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2；3x ，x ≥ 12 且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}；…4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x －a 2|＋|x ＋1|＋|x －a 2|≥|1＋a 2|＋0＝|1＋a2| 当且仅当(x ＋1)(x －a 2)≤0且x －a2＝0时，取等号． 所以|1＋a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分ADBFCE。
