周末辅导-立体几何

第七讲 立体几何【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

5.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.6.空间平行与垂直关系的论证.7. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.8.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.【考点预测】在今后的高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥13Sh ;台体的体积公式: V =棱台1()3h S S ';球的体积公式: V =球343r π. (2)球的表面积公式: 24S R π=球.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系. 5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理. 6．多利用空间向量解决空间角与空间距离。

1.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.（I ）证明：在梯形ABCD 中，∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，∠ABC ＝60，∴ 2AB = ……………2分 ∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC ∴ 222BC AC AB +=∴ BC ⊥AC ………………… 4分∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD ∴ BC ⊥平面ACFE ……………6分（II ）解法一：由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB …………8分 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ 取1=x ，则()λ-=3,3,11n ， …………10分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量 ∴()()122212||11cos ||||133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+………12分∵ 03λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos 有最小值77， 当3λ=时，θcos 有最大值12。

∴ 71cos ,72θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…………15分解法二：①当M 与F 重合时，取FB 中点为G ，连结AG CG 、 ∵ 222AF AC CF =+=, ∴ AB AF = ∴AG ⊥FB∵ 1CF CB == ∴ CG ⊥FB ∴ ∠AGC =θ∵ BC ⊥CF ∴ 2FB =∴22CG =,142AG = ∴ 2227cos 27CG AG AC CG AG θ+-==⋅ …………8分… ②当M 与E 重合时，过//,B BN CF BN CF =作且使, 连结EN FN 、，则平面MAB ∩平面FCB ＝BN , ∵ BC ⊥CF ，又∵AC ⊥CF ∴ CF ⊥平面ABC ∴ BN ⊥平面ABC ∴ ∠ABC ＝θ ∴ θ=60,∴ θcos =12……………10分③当M 与E F 、都不重合时，令(03)FM λλ=<< 延长AM 交CF 的延长线于N ,连结BN ∴ N 在平面MAB 与平面FCB 的交线上 ∵ B 在平面MAB 与平面FCB 的交线上 ∴ 平面MAB ∩平面FCB ＝BN过C 作CG ⊥NB 交NB 于G ，连结AG ， 由（I ）知，AC ⊥BC , 又∵AC ⊥CN, ∴ AC ⊥平面NCB∴ AC ⊥NB, 又∵ CG ⊥NB ，AC ∩CG=C ， ∴ NB ⊥平面ACG ∴AG ⊥NB ∴ ∠AGC=θ在NAC ∆中，可求得NC ＝33λ-，从而，在NCB ∆中，可求得CG ＝()2333λ-+∵ ∠ACG ＝90o∴ AG ＝()()222233433AC CG λλ-++=-+ ∴ ()21cos 34CGAGθλ==-+∵ 03λ<<∴71cos 72θ<< ………14分 综合①②③得，71cos ,72θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ………15分2. （本题满分15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为棱形，∠BAD =60o ，Q 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA =PD , 求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）设点M 是线段PC 上的一点，PM =tPC ，且PA ∥平面MQB .（ⅰ）求实数t 的值；（ⅱ）若PA =PD =AD =2，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M –BQ –C 的大小. 证明：（1）Q 为AD 的中点.PA =PD ，AD PQ ∴⊥又Q 为AD 的中点，底面ABCD 为棱形，∠BAD =60oAD BQ ∴⊥，AD ∴⊥面PBQ ，∴平面PQB ⊥平面PAD（2）（ⅰ）13t =（ⅱ）求二面角M –BQ –C 的大小为3π. 18．（本小题满分15分）已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，（1）证明平面；（2）若为正三角形，求二面角的余弦值．18.（1）证明：、分别是正方形的边、的中点.且 四边形是平行四边形平面而平面ABCD E F ，AB CD ，ADE △DE BF ∥ADE ACD △A DE C --E F ABCD AB CD //,ED FD ∴EB FD ＝，∴EBFD //BF ED ∴ED ∴⊂AED ，BF ⊄AED A B CD E F平面………………6分（2）过点用平面垂足为连接为正三角形在的垂直平分线上。

1HB高中数学奥赛辅导专题——立体几何（传统方法与向量方法）立体几何（传统方法）知识精要1． 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．2． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．3．解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在直线 都是异面直线，求k 的最大值．解答 考察如图所示的正方体上的四条 线段AC ，BC1，D 1B 1， A 1D ，它们所 在直线两两都是异面直线．又若有5条 或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K 的最大值是4． 练习1：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、中，问共线的三点组的个数是多少 解答：两端点都为顶点的共线三点组共有872⨯=有6132⨯=个；型的共线三点组，所以总共有2831849++=例题2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sin α．解答：如右图所示，平面BCD 与正方体的12条棱的夹角都 等于α，过A 作AH 垂直平 面BCD ．连DH ，则ADH α=∠．设正方 体的边长为b ，则02sin 6033DH b ==AH ==所以sin sin 3AH ADH AD α=∠==． 练习2：如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F (0)AE CFEB FDλλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数． 解答：因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG AC 交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且CG AE CFGB FD FD==，所以G F 平行BD ． 所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以()f λ为常数．例题3：三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨x 是否有最值．解答：当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的3练习3：若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．解答：若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4：在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值． 解答：将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，1A D '==练习4：已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ（102λ<≤）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值． 解答：当12λ=时，2παβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小值为2π．例题5：在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．解答：当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为(2)n nπ-． 练习5：已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积． 解答：联结DP 、DN ，在三角形MDN 为直角三角形，且DP =MN /2=1，又由已知角BAD =600，角ADC =1200，所以点P 的轨迹以点D 为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D 以及三个面围成的几何体的体积为31421639ππ⨯⨯=．立体几何（向量方法）知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零．2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式cos ||||θαβαβ= 求解．3．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，.OA OB OA OP OBOP ∴⊥⊥⊥ ，，()O OP z O xyz -以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，,0,0,,0,,0,0AB a A B C ⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝设，则()0,0,.OP h P h =设，则()D PC 为的中点，Ⅰ 1,0,,,0,2OD h PA h ⎛⎫⎫∴==- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又，11 (2)OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴平面∥∥()2,PA a = Ⅱ,h∴ ,OD ⎛⎫∴=⎪ ⎪⎝⎭,PBC n ⎛=- ⎝ 可求得平面的法向量cos ,OD n OD n OD n ⋅∴〈〉==⋅OD PBC θ设与平面所成的角为，sin cos ,OD n θ=〈〉= 则OD PBC ∴ 与平面所成的角为． 练习1如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离解答 在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直 角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为30DBA ∠=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(2E D （Ⅰ）1((1,0,1)2AE BF ==-co A E AE AE∴< 14-=即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量m = 设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量．(BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩020x x x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy=⎧⎪⇒=取(1n =∴cos ,m n m n m n <>===即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为 （Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<> ||||||AB nAB AB n = ||||5AB n n === 所以点A 到平面BDF 5例题2 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO 所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一图11A个法向量，由,3.0,0331=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅zyzyxO取得)3,0,1(=n．设二面角O—AC—O1的大小为θ，由、1BO的方向可知=<θ，1BO>，所以COS<=cosθn，1BO.43||||1=⋅BOn即二面角O—AC—O1的大小是.43arccos练习2如图,在直三棱柱111ABC A B C-中，13,4,5,4AC BC AB AA====，点D为AB的中点(Ⅰ)求证1AC BC⊥；(Ⅱ) 求证11AC CDB平面；(Ⅲ)求异面直线1AC与1B C所成角的余弦值解答∵直三棱锥111ABC A B C-底面三边长3,4,5AC BC AB===，1,,AC BC CC两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC=-=,11110,AC BC AC BC∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB与1C B的交点为E，则E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4)2DE AC=-=-111,//2DE AC DE AC∴=∴111,,DE CDB AC CDB⊂⊄平面平面1//AC CDB∴平面(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB=-=111111cos,||||AC CBAC CBAC CB∴<>==∴异面直线1AC与1B C5例题3 在ΔABC中，已知66cos,364==BAB，AC边上的中线BD=5，求SINA．解答以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限由630sin =B ，则4,)(,3BA B B == ，设=（x ，0），则43(,6x BD += ，由条件得5)352()634(||22=++=x ，从而x=2，314-=x （舍去），故2(,3CA =- ．于是141439809498091698098||||cos =+⋅++-=⋅=CA BA A ∴1470cos 1sin 2=-=A A 练习3 在平面上给定ABC ∆，对于平面上的一点P ，建立如下的变换 :f AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为'P ，'()f P P =，求证 f 只有一个不动点（指P 与'P 重合的点）．解答：依提意，有12AQ AP = ，且111()224AR AB AQ AB AP =+=+ ，'1111()2248AP AC AR AC AB AP =+=+++ ，要使'P 与P 重合，应111248A P A C A B A P =++ ，得1(42)7AP AC AB =+ ，对于给定的ABC ∆，满足条件的不动点P 只有一个．例题4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC ． 已知,21,2,2===AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小．解答 （Ⅰ）以D 为原点，、、分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>111).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、CE 的距离为1．（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，Y ，Z ）．由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y ,即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，M ，N ），则 ).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角． 故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π练习4如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB =2，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值．解答（I ）以B 为原点，1BB 、分别为Y 、Z 轴建立 空间直角坐标系． 由于BC =1，BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C - 设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EB EA a E )0,2,23()2,,23(0a a --⋅--=,432)2(432+-=-+=a a a a.,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE ． 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14143||=+=，故异面直线AB 、EB 1的距离为1． （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量A B 与11的夹角．.22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B。

暑假教案--立体几何提高教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。

2. 过程与方法：通过观察、实践、思考、交流等环节，培养学生的空间思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对立体几何的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作精神。

二、教学内容：1. 第一章：立体几何的基本概念1.1 立体图形的定义与分类1.2 点的空间位置关系1.3 直线的空间位置关系2. 第二章：平面与立体图形的相互关系2.1 平面与立体图形的交线2.2 平面与立体图形的平行关系2.3 平面与立体图形的垂直关系3. 第三章：立体图形的性质与定理3.1 立体图形的面积与体积3.2 立体图形的对角线3.3 立体图形的稳定性4. 第四章：空间向量与立体几何4.1 空间向量的基本概念4.2 空间向量在立体几何中的应用4.3 空间向量的运算规则5. 第五章：立体几何中的解析几何方法5.1 立体几何中的坐标系5.2 立体几何中的直线与平面方程5.3 立体几何中的曲线与方程三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、发现问题。

2. 利用多媒体课件、模型等教学资源，增强学生的空间想象力。

3. 组织小组讨论、课堂展示等活动，培养学生的团队协作能力。

4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导与关爱。

四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业与练习：检查学生完成作业的质量与速度。

3. 章节测试：定期进行立体几何知识测试，了解学生的掌握情况。

4. 创新与拓展：鼓励学生参与课题研究、制作立体模型等，评价学生的创新意识与实践能力。

五、教学课时安排：1. 第一章：4课时2. 第二章：4课时3. 第三章：4课时4. 第四章：4课时5. 第五章：4课时六、第六章：立体几何中的全等与相似6.1 立体图形的全等条件6.2 立体图形的相似性质6.3 立体图形的变换七、第七章：立体几何中的三角剖分7.1 三角剖分的概念与意义7.2 三角剖分的方法与技巧7.3 三角剖分在立体几何中的应用八、第八章：立体几何中的最值问题8.1 立体几何中的距离最值8.2 立体几何中的体积最值8.3 立体几何中的表面积最值九、第九章：立体几何与现实生活的联系9.1 立体几何在建筑中的应用9.2 立体几何在艺术创作中的体现9.3 立体几何在其他领域的应用十、第十章：复习与拓展10.1 复习立体几何的重点知识与方法10.2 分析立体几何中的难题与解题策略10.3 探索立体几何的拓展与应用六、教学方法与评价：1. 采用案例分析、实际操作的方法，让学生体验立体几何在现实生活中的应用。

B D A CB DC浙教版八年级数学周末辅导特殊三角形一、直角三角形中的几条线段1．在⊿ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，CD ⊥AB 于点D ．（1）如图1，说明：∠A ＝∠BCD ；（2）如图2，若BE 是∠ABC 的平分线，交CD 于点F ，求证：⊿CEF 是等腰三角形；（3）如图3，CF 是斜边上的中线，CE 是角平分线，求证：∠FCE ＝∠DCE ．2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ．（1）求证：BC ＝CD ； (2)说明AC 是线段BD 的中垂线．3．如图，⊿ABC 是边长为6的等边三角形，点P 、Q 分别是AC 和CB 的延长线上的点，并分别从点A 、B 出发，以相同的速度作匀速运动，PE ⊥AB 于E ．（1）当点P 是AC 中点时，求BE 的长；（2）当∠BQD ＝30°时，求AP 的长；（3）在P 、Q 运动过程中，ED 的长是否会变化，若变化，说明理由，若不变，求出长度．图1 图2 图3F D A B C EE4．在等腰直角三角形ABC 中，点D 是斜边AC 的中点，点E 是AB 上一点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F .若AE ＝4，CF ＝3，求EF 的长．5.在梯形ABCD 中，DC ∥A B ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A ＝60°，过D 作DE ⊥AB 于点E ，过C 作CF ⊥BD 于点F ，求证：⊿DEF 是等边三角形．6．（1）用几何画板演示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边的三等分点呢？（2）如图，边长为4的等边三角形的两个顶点在一个直角上滑动，则点F 到点B 的距离有一个最小值，这个最小值是 ；（3）在上1题中，若是以DE 为边的正方形呢？等腰直角三角形呢？正六边形呢？作业部分：1．等腰三角形一边长为1cm ，另一边长为5cm ，它的周长是___11__cm ．2．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，BC =10 cm ，BD =6cm ，则DE ＝____4____ cm ．3． 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为___8___.4． 在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y5. ）A ． 线段B ． 角C ． 等腰三角形D ． 直角三角形6. 下列判断正确的是……………………………………（ D ）A ． 顶角相等的的两个等腰三角形全等B ． 腰相等的两个等腰三角形全等C ． 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等7. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于…（A ）A ．4B ．5C ．6D ．148. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？l321S 4S 3S 2S 1B 第2题图9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．10. 如图l，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点．(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值．。

【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：1、平面的基本性质与推论2、空间中的平行关系二. 教学目的掌握平面的基本性质与推论、空间中的平行关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】（一）平面的基本性质与推论1、平面的基本性质基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．如果空间中的几个点或几条直线都在同一平面内，那么我们就说它们共面．基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．基本性质2的条件是“过不在同一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”，条件中的“三点”是条件的主干，不会被忽视，但“不在同一条直线上”这一条件则易被遗忘．结论中的“有且只有一个”，其中“有”是说平面存在，“只有一个”是说平面惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用．基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

★：三个基本性质的符号语言和图形语言的表述符号语言图形语言基本性质1基本性质2A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使基本性质3注：在用集合语言表示点、线、面关系时，将点看成元素，直线和平面均看成集合，且在表示直线、平面相交关系时，一定写成等式的形式，如，而不能写成。

（1）基本性质1是判定直线是否在平面内的依据，利用基本性质1可以证明直线在平面内或证明直线上的点在平面内．（2）基本性质2及三个推论是确定平面的依据．确定一个平面包含两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．（3）基本性质3是确定两个平面相交于一条直线的依据．应用基本性质3可以证明点共线问题．2、平面基本性质的推论推论 l 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．3、我们可以把空间看作点的集合，这就是说，点是空间的基本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子集．于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．例如，点A在平面内，记作；点A不在内，记作；直线l在平面内，记作；直线l不在平面内，记作；平面与平面相交于直线，记作；直线和相交于点A，记作。

暑假教案-立体几何提高教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。

2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对立体几何的学习兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。

二、教学内容1. 第一课时：立体几何的基本概念空间点、线、面的位置关系平面、直线、圆柱、圆锥、球等基本几何体的特征和性质2. 第二课时：立体图形的展开与折叠了解立体图形的展开方式，学会将立体图形展开成平面图形学会通过展开图折叠成立体图形，加深对立体图形结构的理解3. 第三课时：立体图形的计算体积、表面积的计算公式及应用学会利用立体图形的性质解决实际问题4. 第四课时：立体几何的定理与性质了解并证明立体几何的基本定理，如欧拉公式、斯梅尔若夫定理等掌握立体几何的基本性质，如对角线定理、平行线定理等5. 第五课时：立体几何的综合应用学会将立体几何知识应用于实际问题，如建筑、艺术设计等提高空间想象能力，解决复杂的空间几何问题三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、发现和解决问题。

2. 利用多媒体技术、教具模型等辅助教学，增强学生的直观感受。

3. 创设丰富的教学情境，组织学生进行合作学习、讨论交流。

4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导和支持。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业与练习：检查学生完成作业和练习的情况，评估学生的掌握程度。

3. 单元测试：定期进行立体几何知识点的测试，了解学生的学习成果。

4. 学生自评：鼓励学生自我评价，反思学习过程中的优点和不足。

五、教学资源1. 教材：选用合适的立体几何教材，为学生提供系统的学习资料。

2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，辅助教学。

3. 教具模型：准备各种立体几何模型的教具，帮助学生直观理解。

2112俯视图主视图初一数学周末培优训练十二（期末总复习专题一） 一、几何基础知识及重点类型突破训练：(集资料性与训练于一体) 1．常见的几何体有圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等。

例1、一只蚂蚁行走的路线可解释为__________. 汽车雨刷刷动形成平面可解释为_____________. 宾馆的长方形门绕着它的一条边旋转一周形成圆柱可以解释为__________ . 2．展开图：圆柱、圆锥的表面展开图；正方体的11种表面展开图：3.几何体的截面：（1）正方体截面形状可能是 ；（2）圆柱的截面形状可能是 ； （3）圆锥的截面形状可能是 ；（4）球体的截面形状只能是 . 例2、右图是有几个小立方体所搭的几何体的俯视图，[从正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数]请画出这个几何体相应的主视图和左视图.例3、用小正方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体最多要几个小正方体？最少要几个小正方体？4．从n 边形的一个顶点出发，可以作3-n 条对角线，分别连结这个顶点与其余各顶点，可以把它分割成2-n 个三角形.5、重要公理及定义：▲直线公理：过两点有且只有一条直线。

简称两点确定一条直线。

▲线段公理：“两点之间，线段最短”。

连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

▲线段的中点：若C 是线段AB 的中点，则：AC=BC=21AB 或AB=2AC=2BC 。

例4、如图，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点。

（1）如果AC=8cm ，BC=6cm ，求MN 的长（2）如果AM=5cm ，CN=2cm ，求线段AB 的长例5、如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，且∠AOB=150°，求∠COD 度数。

6.▲角的平分线:若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD▲平行的公理及推论：（1）平行公理：若经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

暑假教案-立体几何提高教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高学生的空间想象能力。

2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等环节，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对立体几何的兴趣，培养学生的创新意识，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 立方体和立方体的性质2. 点、线、面间的位置关系3. 空间中的平行与垂直4. 空间四边形的性质5. 空间几何图形的分类三、教学重点与难点1. 教学重点：立方体和立方体的性质，点、线、面间的位置关系，空间中的平行与垂直，空间四边形的性质。

2. 教学难点：空间中的平行与垂直，空间四边形的性质。

四、教学方法1. 采用直观教学法，通过教具、模型等物品，帮助学生建立空间形象。

2. 采用问题驱动法，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的问题解决能力。

3. 利用多媒体技术，展示立体几何图形，增强学生的直观感受。

五、教学过程1. 导入：通过复习平面几何知识，引出立体几何的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：介绍立方体和立方体的性质，引导学生认识点、线、面间的位置关系。

3. 课堂讲解：讲解空间中的平行与垂直，空间四边形的性质，通过实例演示，让学生充分理解。

4. 练习与讨论：布置相关练习题，组织学生进行讨论，引导学生运用所学知识解决问题。

5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识，布置课后作业。

6. 课后作业：巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六、教学评价1. 评价目标：通过对学生的课堂表现、作业完成情况、练习成绩等方面进行评价，了解学生对立体几何知识的掌握程度。

2. 评价方法：（1）课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，给予相应的评价。

（2）作业完成情况：检查学生作业的完成质量，对正确解题、创新解题等方面给予肯定。

（3）练习成绩：定期进行立体几何知识的练习考试，评价学生的学习成绩。

空间几何体1 .棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

2 、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

3 、棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。

4 、圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

5、 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

6、圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。

7 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。

空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。

空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积 ： 1)3V SS h =+⨯下上（球体的体积：343V R π= （四）空间几何体的三视图和直观图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

★画三视图的原则：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形考点一：三视图：能识别三视图所表示的空间几何体，并进行计算例1．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台例2.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 （ C ）A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π例3. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm 2.1 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（ ）A．B ．1C．D2．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.图1正视图 俯视图侧视图图2俯视83 ．（2013试广东省数学）某四棱台的三视图如图6所示,则该四棱台的体积是 （ B ）A ．4B ．143 C ．163D ．6考点二：空间几何体的表面积和体积理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。