第90-93课时数列问题的题型与方法

数列解答题的常见题型及解题策略常见题型一：等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式和性质的基本运算例1．已知等差数列{}n a 的前项和为n s ，1n nb s =，且3312a b =，3521s s +=．⑴．求数列{}n b 的通项公式； ⑵．求证：122n b b b +++<．分析：本题的关键是正确求出等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和，进而求{}n b 的通项公式。

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由3312a b =，331b s = 得332a s =，即112433a d a d +=+，得1a d =， 又3521s s +=，得181321a d +=，解得：11a d ==，所以11n a n n =+-=，(1)2n n n S +∴=2(1)n b n n ∴=+．⑵．由2112()(1)1n b n n n n ==-++，得：12111112[(1)()()]2231n b b b n n +++=-+-++-+ 12(1)21n =-<+ 所以122n b b b +++<常见题型二：n a 和n S 的递推关系型问题解题策略：n a 和n S 的递推关系型问题抓住本质问题12n n S a a a =+++进行变形，常用的方法是少写一项作差，注意首项是否满足要求。

例2．设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*3332123,,n n N a a a a ∈=++++2n 都有S 其中S n 为数列{}n a 的前n 项和。

（Ⅰ）求证：n n n a S a -=22； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设λλ(2)1(31an n n n b ⋅-+=-为非零整数，*N n ∈），试确定λ的值，使得对任意*N n ∈，都有n n b b >+1成立。

分析：本题的入手点在于对3332123na a a a =++++2n S 的变形应用，所以n a 和n S 的递推关系的应用就很重要。

数列全部解题方法及对应题型归纳数列通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 求证：11n a -??是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n ba n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a （2）122 2,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a 拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
数列通常用来解决组合现象，广泛应用于数学实际问题中。

高中数学中，常用数列题
来考察学生对求和公式、等差数列、等比数列规律以及相关技巧的掌握程度。

下面讲解一
下高中数学数列试题的解题方法和技巧分析：
1、确定数列类型：当我们遇到一个数列试题时，首先要弄清楚该序列是等差数列还
是等比数列，因为这两种类型的数列的解法是不一样的。

在观察数列时要注意每项与它的
相邻项的差值是否相等，即等差数列；在观察数列时要注意每项与它的相邻项的比值是否
相等，即等比数列。

2、推导公式：既然确定了数列的类型，接下来就要推导出该类型数列的通项公式。

如果是等差数列，就要找出头项、公差和项数之间的关系；如果是等比数列，就要找出头项、公比和项数之间的关系。

3、求出指定项：当推出了相应数列的通项公式后，就可以求出指定项的值了。

如果
是等差数列，就要通过位移法；如果是等比数列，就可以通过乘幂法求出指定项的值。

4、计算总和：如果试题要求求解数列的总和，这时要用到求和公式。

对于等差数列，有Sn=n(a1+an)/2；对于等比数列，有Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

需要特别注意的是，求和公
式在求解数列总和时只有在数列的末项为无穷项时才能使用，否则就要使用暴力求和的方法。

以上就是高中数学数列试题的解题方法和技巧分析，熟练掌握这些方法和技巧，可以
让我们在数学考试中更加容易把握试题，轻松拿下高分。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要章节，也是一些大学数学专业的基础。

在高中数学中，数列主要涉及到概念、性质、变量、极限、递推公式等方面，还与数学中的很多分支有紧密联系，例如微积分、代数等。

在学习数列的过程中，需要掌握一些解题方法和技巧，以便更好地解决数列题目。

这里就对高中数列试题的解题方法与技巧进行分析。

一、理清概念，确定步骤在解数列题目时，首先需要理清概念，确定题目中所给出的数列的特点，例如是等差数列还是等比数列，以确定所需要使用的方法和技巧。

同时，还需要明确题目所要求的内容，例如求第n项、前n项和、通项公式等。

一般来说，解数列题目的方法大致分为以下几步：1. 确定数列的性质：通过观察数列的前几项，确定数列的性质，如等差数列、等比数列等。

2. 计算数列的公差或公比：对于等差数列，需要计算公差d；对于等比数列，需要计算公比q。

3. 求解所需内容：根据题目所要求的内容，求解相应的表达式，如第n项的值、前n 项和、通项公式等。

4. 检查答案：解答完题目后，应当检查所得结果是否合理。

二、掌握常用的数列公式解数列题目时, 需要掌握一些常用的数列公式, 包括等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式等, 在解题过程中充分利用数列公式, 可以大大缩短时间, 提高求解效率。

等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d三、注意数列中的特殊问题在解数列题目时, 还需要注意一些数列中的特殊问题, 以免造成解题错误, 其中比较常见的问题包括以下几种：1. 分段函数问题：有的数列是分段函数，即在不同的区间内，数列的增长方式不同，需要分别求解。

2. 公比/公差等于1的情况：当公比或公差为1的时候，数列的规律发生了变化，需要特别注意。

3. 合并/拆分数列：有时数列会被分成两部分或合并成一个数列，需要先将数列合并或拆分，再进行计算。

4. 集合求和问题：有时题目中会给出一个集合，要求求出该集合的和，这时可以通过将集合中的元素提取出来，转化为数列，再求解。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中一个重要的概念，也是经常出现的考点。

掌握数列的基本概念和解题技巧对于高中数学的学习和应试都非常重要。

本文将针对数列试题的解题方法与技巧进行分析，帮助同学们更好地掌握数列知识。

一、数列的基本概念数列是指按一定规律排列的一组数。

数列中每一个数叫做项，第一个数叫做首项，第二个数叫做公差，第n个数叫做第n项，数列中相邻两项之间的差值叫做公差。

数列中的规律可以用通项公式或递推公式来表示。

二、数列题的解题方法1. 求首项和公差在解决数列问题的时候，首先要确定数列的首项和公差。

如果已知前几项的值，可以利用数列中相邻两项之间的差值求出公差；如果已知数列的通项公式或递推公式，可以通过代入数值得到首项和公差。

2. 寻找数列的规律数列题的解题关键是要寻找数列的规律。

有些数列的规律比较简单，可以通过观察数列的前几项得出；有些数列的规律比较复杂，需要通过构造新的数列或转化数列来寻找规律。

3. 求和求和是数列题中的一个常见问题。

如果已知数列的通项公式或递推公式，可以通过换元、分离、合并等方法将求和问题转化为求等比数列的和或利用等差数列的求和公式得出求和结果。

4. 求极限当数列的通项公式或递推公式已知，可以通过求通项公式或递推公式的极限来求整个数列的极限。

当数列中的每一项都是正数时，可以利用数列的重要极限定理来求整个数列的极限。

1. 利用差分法寻找规律对于一些比较复杂的数列，可以利用差分法来寻找规律。

差分法是指对数列进行多次求差，得到的数列就是原数列的差分数列，通过观察差分数列的规律可以推出原数列规律。

2. 利用数学归纳法证明结论数学归纳法是一种证明数学命题真实性的基本方法，对于一些需要证明的数列结论，可以采用数学归纳法，证明特殊情况成立，并推广到一般情况，最终得到结论的证明。

3. 利用递推公式解题递推公式是又前面的数推出后面的数的公式，对于一些数列题目，可以利用已知的递推公式求出所需答案。

数列问题的题型与方法一、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法：①若= +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足100m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

二、注意事项1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a a a a 而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意n s 与n a 之间关系的转化。

如：n a =1100nn S S S -≤⎧⎨-≥⎩ 21≥=n n ， n a =∑=--+n k k k a a a 211)(． 三、例题解析例1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nn n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

《数列》基础知识、题型、方法一、数列知识回顾1、等差、等比数列的定义与重要性质记住了吗？（等差：m+n=p+q ；等比：m+n=p+q 若数列n a ｛｝是等差数：111()2(2,*)n n n n n a a d a a a n n N -+--=⇔=+≥∈常数2n n a an b s An Bn ⇔=+⇔=+ 若数列}{n a 是等比数列,则1n n a q a -=(常数)211(2,)0n n n n a a a n n N a -+⎧=⋅≥∈⎪⇔⇔⎨≠⎪⎩1n 1n n n a a q s m m q -=⋅⇔=-⋅ 如：若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）▲注意：证明或研究等差、等比数列时用定义.链接：（2012年广州一模20），秀全中学2011学年高三第一学期上学段考试数学理科试:21等差数列的性质:(1)d n m a a n m )(-+=⇒nm a a d nm --=；(2)若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；等比数列的性质： (1)nm n m qa a -⋅=⇒nmn m a a q =-；(2)若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅； 如.等比数列{n a }中，2a 、98a 是方程032=++mx x （0>m ）的两根，则50a = （-3 ） ▲ 若把条件中的“0>m ”换成“0<m ”呢？（3）▲ 若把条件中的“2a 、98a ”换成“1a 、99a ”呢？（±3）注意：等比中项的符号问题2、等差数列、等比数列前n 项和公式记住了？用等比数列求前n 项和时应注意什么？（q=1时，Sn= ；q ≠1时，Sn= = ）3.数列求和中的分组求和、错位相减法，裂项、叠加相消法、倒序相加法掌握了吗？还有那些求和方法？适用题型分别是什么？重看二轮数列专题《数列的通项与求和》相应的内容。

数列题型及解题方法
数列题型及解题方法
一、数列题型
1. 等比数列：等比数列是指其各项之比为常数的数列，一般表示为$\{a_n\}\ =\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4...$，其中每一项和前一项的比值为$\frac{a_{n+1}}{a_n}$都相等，即$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$且$q≠1$，这里$q$为等比数列的公比。

2. 等差数列：等差数列指其各项之差为常数的数列，一般表示为
$\{a_n\}\ =\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$...，其中每一项和前一项均差为$d$且$d ≠ 0$，这里$d$为等差数列的公差数。

二、解题方法
1. 等比数列：
（1）确定公比q：首先确定等比数列的公比q，一般可从等比数列的前两项找出公比。

（2）求等比数列的和：可以利用公比q求出无穷项的和，然后求出前n项的和。

2. 等差数列：
（1）确定公差d：根据题目中的条件可以求出等差数列的公差d。

（2）求等差数列的和：根据等差数列的公差d可以求出无穷项的和，然后求出前n项的和。