相似三角形之母子三角形
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA
（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =
△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =
△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）
结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.
【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.
【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2
D C
B
A
【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•
【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
H
G F
E
D C B
A
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：212
AD DE DB =
•。
【练】如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ，求证：QH ⊥DH ．
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2EB DE AE =•。
A
A C
D A
C B
2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ， 求证：（1）2AM MC MB =• （2）∠MPC=∠MBP 。
【练】1.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =•。
2.如图，点A 是⊙O 上一点，以A 为圆心的圆交⊙O 于B 、C 两点，E 为⊙O 上一点，AE 与BC 相交于点D ，求证：2AB AD AE =•
3.如图11，点O 是四边形AEBC 外接圆的圆心，点O 在AB 上，点P 在BA 的延长线上，
B C
E
P B
B A
E
且∠PEA ＝∠ADE ，CD ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点D 。
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）若D 为劣弧BE 的中点，且AH ＝16，BH ＝9，求EG 的长．
【家庭作业】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3
DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60
5、ABC ∆中，90A ∠=，
AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。
6、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，
图11
O P H G
E
D
C
B A
AC=6，AD=3.6，则BC= ．
7、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ∆，ABF ∆是正三角形，求证：DE DF ⊥
8、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点E 是弧CB 的中点，EF ⊥AC 于F. （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接CE 、AE 、CO ，AE 交CO 于N ，若CE=6，AE=8，求的值.
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