2021年中考数学专题复习：一次函数的解答题

专题12 一次函数-面积问题函数的学习中，自然离不开点、线、面，如求点的坐标、直线、曲线解析式、图形的面积，并且点、线、面之间的相互转化，本专题以一次函数为背景下求多边形面积，即由点或线的条件下求图形的面积，反之，也可以由面积求点的坐标，由面积求直线或曲线的解析式等，本专题的面积问题的巩固，为后面学习函数综合题的面积问题有极大帮助！一、单选题1．（2020·广西博白·期末）如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，动点E 从B 点出发，沿B ﹣C ﹣D ﹣A 运动至A 点停止，设运动的路程为x ，△ABE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：当点E 在BC 上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积=12AB BC ⋅=1432⨯⨯=6；当点E 在DC 上运动时，三角形的面积为定值6．当点E 在AD 上运动时三角形的面不断减小，当点E 与点A 重合时，面积为0． 故选B ．考点： 动点问题的函数图象．2．（2020·广西灵山·期末）一次函数24y x =-+的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则OAB ∆的面积是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】由题意先根据坐标轴上点的坐标特征确定A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（0，4），然后根据三角形面积公式即可求得△OAB 的面积．【详解】∵一次函数y=-2x+4图象与x 轴交点为A ，与y 轴的交点为B ，∴A （2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴△AOB 的面积=12OA•OB=12×2×4=4．故选：D ． 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，注意掌握与x 轴交点的纵坐标为0；与y 轴交点的横坐标为0．3．（2020·广西大化·初二期末）若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 的值为（ ）A ．±B ．±C ．D ．-【答案】B【解析】首先计算出直线y ＝−4x ＋b 与两坐标轴的交点是（0，b ）（4b，0），再根据三角形的面积公式可得12×|b×4b |＝5，再解即可． 【详解】当x ＝0时，y ＝b ，当y ＝0时，x ＝4b， ∴直线y ＝−4x ＋b 与两坐标轴的交点是（0，b ）（4b，0），∵与两坐标轴围成的三角形的面积是5，∴12×|b×4b |＝5，解得：b ＝±故选：B ．【点拨】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，关键是根据三角形的面积公式列出方程． 4．（2020·山东枣庄·初三其他）如图，一次函数y ＝2x +1的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解析】由一次函数解析式分别求出点A 和点B 的坐标，即可作答． 【详解】一次函数y ＝2x +1中，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣0.5；∴A （﹣0.5，0），B （0，1），∴OA ＝0.5，OB ＝1 ∴△AOB 的面积10.5124=⨯÷=，故选：A ．【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于结合函数图象进行解答.二、填空题5 ．（2020·甘肃省庆阳市第五中学初二期末）已知直线8y kx =+与轴和轴所围成的三角形的面积是4，则k 的值是________． 【答案】8±【解析】直线8y kx =+与两坐标轴的交点为()0,8，8,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线8y kx =+与坐标轴围成的面积为：18-842k⨯⨯=，求解即可；【详解】直线8y kx =+与两坐标轴的交点为()0,8，8,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭，则直线8y kx =+与坐标轴围成的面积为：18-842k⨯⨯=，若0k ＜，直线8y kx =+过一、二、四象限，解得：-8k =， 若0k ＞，直线8y kx =+过一、二、三象限，解得：8k ；则8k =±．故答案是8±．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征，准确计算是解题的关键．6．（2020·湖南隆回·初三二模）一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴所围成的三角形面积S =__________． 【答案】4【解析】先求出直线y=2x -4与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可解答．【详解】由函数的解析式可知，函数图象与x 轴的交点坐标为（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，-4）， 直线y=2x -4与两坐标轴围成的三角形面积=12×2×4=4． 故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属简单题目，解答此题的关键是熟知两坐标轴上点的坐标特点，及三角形的面积公式．7．（2020·湖北曾都·初二期末）若直线y=kx+b （k≠0）的图象经过点（0，2），且与坐标轴所围成的三角形面积是2，则k 的值为_______【答案】±1．【解析】∵直线y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0,2)，∴b=2，∴直线y=kx+b(k≠0)为y=kx+2，当y=0时,x=−2k，∴12222k⨯⨯-=，解得k=±1.故答案为±1.8．（2020·长沙市南雅中学初二期末）函数y=2x+6 的图象与x、y 轴分别交于A、B 两点，坐标系原点为O，求△ABO 的面积___________．【答案】9【解析】先求出A，B两点的坐标，然后再求面积即可．【详解】当x=0时，y=6，故B点坐标为：（0，6），当y=0时，0=2x+6，解得x=-3，∴A点的坐标为（-3，0），∴OA=3，OB=6，∴S△ABO=12×3×6=9，故答案为：9．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求出A，B两点的坐标是解题关键．9．（2020·湖南渌口·初二期末）已知一次函数y＝kx+4（k＜0）的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8，则k的值为_____．【答案】-1．【解析】先分别求出函数图像与x轴、y轴的交点坐标，再由三角形面积可得S＝12×（﹣4k）×4＝﹣8k＝8并解答即可．【详解】一次函数y＝kx+4与x轴的交点为（﹣4k，0），与y轴的交点为（0，4），∵k＜0，∴函数图象与坐标轴围成三角形面积为S＝12×（﹣4k）×4＝﹣8k＝8，∴k＝﹣1，故答案为﹣1．【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特点；求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键．10．（2019·山西初二期末）如图所示，点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，该一次函数的图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为_____．【答案】152【解析】把点A （﹣3，4）代入y ＝﹣3x+b 求出点B 的坐标，然后得到OB=5,利用A 的坐标即可求出△AOB 的面积.【详解】 ∵点A （﹣3，4）在一次函数y ＝﹣3x+b 的图象上，∴9+b=4，∴b=-5， ∵一次函数图象与y 轴的交点的纵坐标就是一次函数的常数项上的数, ∴点B 的坐标为:（0，-5）,∴OB=5,而A （﹣3，4）, S △AOB =1155322⨯⨯= .故答案为: 152. 【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，解决本题的关键是找到所求三角形面积的底边以及底边上的高的长度.三、解答题11．（2020·福建宁化·期中）已知直线l 的表达式为y=﹣x+8，与x 轴交于点B ，点P （x ，y ）在直线l 上，且x >0，y >0，点A 的坐标为（6，0）． （1）求出B 点的坐标；（2）设△OPA 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式(并写出自变量的取值范围)．【答案】（1）B （8，0）；（2）()32408S x x =-+<<【解析】（1）令y=0求得x 即可；（2）由点P （x ，y ）在直线l 上且x ＞0，y ＞0即80y x =-+>，可得0＜x ＜8，再由三角形面积公式可知答案．【详解】（1）在8y x =-+中令0y =，得80x -+=，∴8x =，∴B （8，0）；（2）∵点P （x ，y ）在直线l 上，点A 的坐标为（6，0），∴S=()1682x ⨯⨯-+． 即324S x =-+（08x <<）．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与坐标轴相交问题及一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．12.（2020·甘肃徽县·初二期末）如图，直线l 1的解析式为y ＝﹣x +2，l 1与x 轴交于点B ，直线l 2经过点D （0，5），与直线l 1交于点C （﹣1，m ），且与x 轴交于点A （1）求点C 的坐标及直线l 2的解析式； （2）求ABC 的面积．【答案】（1）C （﹣1，3），y ＝2x +5；（2）274． 【解析】（1）首先利用待定系数法求出C 点坐标，然后再根据D 、C 两点坐标求出直线l 2的解析式； （2）首先根据两个函数解析式计算出A 、B 两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出ABC 的面积即可．【详解】（1）∵直线l 1的解析式为y ＝﹣x +2经过点C （﹣1，m ）， ∴m ＝1+2＝3， ∴C （﹣1，3），设直线l 2的解析式为y ＝kx +b ，∵经过点D （0，5），C （﹣1，3），∴53b k b =⎧⎨-+=⎩，解得：25k b =⎧⎨=⎩，∴直线l 2的解析式为y ＝2x +5； （2）由25y x =+得： 当y ＝0时，2x +5＝0， 解得：52x =-，则5,0,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭由2y x =-+，当y ＝0时，﹣x +2＝0，解得x ＝2，则B （2，0），ABC ∴的面积152723224⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，同时考查了坐标与图形的面积，掌握以上知识是解题的关键．13．（2020·湖北下陆·初二期末）在平面直角坐标系中，原点为O ，已知一次函数的图象过点A （0，5），点B （-1，4）和点P （m ，n ）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当n =2时，求直线 AB ，直线 OP 与 x 轴围成的图形的面积； （3）当OAP △的面积等于OAB 的面积的2倍时，求n 的值． 【答案】（1）5y x =+；（2）5；（3）n 的值为7或3． 【解析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）设直线AB 交x 轴于C ，如图，则C （-5，0），然后根据三角形面积公式计算OPCS 即可；（3）利用三角形面积公式得到 11521522m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计算出对应的纵坐标即可．【详解】（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b ， 把点A （0，5），点B （-1，4）的坐标代入得：45k b b -+=⎧⎨=⎩ ，解得：15k b =⎧⎨=⎩, 所以这个一次函数的解析式是y=x+5； （2）设直线AB 交x 轴于C ，如图， 当y=0时，x+5=0，解得x=-5，则C （-5，0），当n=2时，15252OPCS=⨯⨯=， 即直线AB ，直线OP 与x 轴围成的图形的面积为5； （3）∵当OAP △的面积等于OAB 的面积的2倍，()0,5,A ∴11521522m ⨯⨯=⨯⨯⨯，∴m=2或m=-2， 即P 点的横坐标为2或-2， 当x=2时，y=x+5=7，此时P （2，7）； 当x=-2时，y=x+5=3，此时P （-2，3）； 综上所述，n 的值为7或3．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：考查了直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握以上知识是解题的关键．14．（2020·昆明市官渡区第一中学初二月考）已知一次函数22y x =--． （1）画出函数图象；（2）求图象与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标; （3）求图象与坐标轴围成的图形的面积．【答案】（1）见解析；（2）A(-1，0)，B(0，-2)；（3）1 【解析】（1）根据描点法，可得函数图象； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）x 的取值范围为全体实数， 列表：；（2）∵图象与x 轴交点纵坐标为0，与y 轴交点横坐标为0， ∴令y=0，220x --=，解得-1x =，A （-1，0）， 令x=0，y=-2，B （0，-2）； （3）11212S =⨯⨯=． 【点拨】本题考查了一次函数图象，利用描点法画函数图象，利用自变量与函数值的对应关系求出相应的交点坐标．15．（2018·安徽初二期末）如图，直线PA 是一次函数1y x =+的图象，直线PB 是一次函数24y x =-+的图象.（1）求A 、B 、P 三点坐标； （2）求PAB △的面积；（3）已知过P 点的直线把PAB △分成面积相等的两部分，求该直线解析式.【答案】（1）()1,0A -，()2,0B ，()1,2P ；（2）3；（3）42y x =-.【解析】（1）把y =0分别代入1y x =+、24y x =-+求出x 即可得到A 、B 的坐标，联立两个函数解析式得到方程组，解方程组即可得到点P 的坐标；（2）根据A 、B 、P 三点的坐标及三角形面积公式即可求解；（3）设过P 点直线交x 轴于点D ，根据面积相等及两个三角形同高，可知AD=BD ，据此求出点D 坐标，再利用待定系数法求解析式即可.【详解】（1）直线1y x =+，当0y =时，1x =-，∴()1,0A -， 直线24y x =-+，当0y =时，2x =，∴()2,0B ，联立函数解析式得方程组124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()1,2P ；（2）过P 点作PC ⊥x 轴，垂足为C ，∵()()()1,0,2,0,1,2A B P -，∴AB=2－(－1)=3，PC=2， ∴S △ABP =12×3×2=3； （3）设过P 点直线交x 轴于点D ，∵S △PAD = S △PBD ，且两个三角形同高，∴AD=BD ， 设D 点坐标为(),0x ，∴()12x x --=-，解得12x =，∴1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过P 、D 两点直线解析式为y kx b =+，则2102k bk b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得42k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线解析式42y x =-. 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点、表达式的求法，三角形面积，及一次函数与二元一次方程组的联系，熟练掌握待定系数法求表达式，求得图形关键点坐标是解题的关键.16．（2019·山东初一期末）如图，已知一次函数y =−x +2的图像与y 轴交于点A ，一次函数y =kx +b 的图像过点B(0，4)，且与x 轴及y =−x +2的图像分别交于点C 、D ，D 点坐标为(−23，n). （1）求n 的值及一次函数y =kx +b 的解析式. （2）求四边形AOCD 的面积.【答案】(1) n =83；y=2x+4；(2）S=103【解析】（1）根据点D 在函数y =－x +2的图象上，即可求出n 的值；再利用待定系数法求出k ，b 的值； （2）用三角形OBC 的面积减去三角形ABD 的面积即可． 【详解】（1）∵点D （－23，n ）在直线y =－x +2上，∴n =23+2=83．∵一次函数经过点B （0，4）、点D （－23，83），∴{b =4−23k +b =83 ，解得：{k =2b =4．故一次函数的解析式为：y =2x +4；（2）直线y =2x +4与x 轴交于点C ，∴令y =0，得：2x +4=0，解得：x =－2，∴OC =2．∵函数y =－x +2的图象与y 轴交于点A ，∴令x =0，得：y =2，∴OA =2．∵B （0，4），∴OB =4，∴AB =2．S △BOC =12×2×4=4，S △BAD =12×2×23=23，∴S 四边形AOCD =S △BOC ﹣S △BAD =4﹣23=103．【点拨】本题考查了一次函数的交点，解答此题时，明确二元一次方程组与一次函数的关系是解决此类问题的关键．第（2）小题中，求不规则图形的面积时，可以利用整体减去部分的方法进行计算．17．（2019·内蒙古初二期中）如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，与x 轴交于点C ．（1）写出点A 、B 、C 的坐标；（2）求此一次函数的解析式；（3）求△AOC 的面积．【答案】（1）A （2，4），B （0，2），C （2,0-）；（2）2y x =+；（3）4【解析】（1）由图观察可得A ，B ，C 的坐标；（2）由图可知A ，B 两点的坐标，把两点坐标代入一次函数y kx b =+即可求出,k b 的值；进而得出结论； （3）由C 点坐标可求出OC 的长，再由A 点坐标可知AD 的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）由图观察可知：A （2，4），B （0，2），C （2,0-）（2）由（1）知A （2,4），B （0,2），代入y kx b =+得242k b b +=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩ 故一次函数解析式为：2y x =+（3）由（1）知C （2,0-），A （2，4）∴OC=2，AD=4 ∴1124422AOC S OC AD ∆=⋅⋅=⨯⨯= 故AOC ∆的面积为4【点拨】此题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，先根据一次函数的图象得出A 、B 、C 三点的坐标是解答此题的关键．18．（2019·内蒙古初三月考）一次函数CD ：y kx b =-+与一次函数AB ：22y kx b =+，都经过点B （-1,4）.（1）求两条直线的解析式；（2）求四边形ABDO 的面积.【答案】（1）直线CD 的解析式为：3y x =-+；直线AB 的解析式为：26y x =+；（2）四边形ABDO 的面积为7.5.【解析】（1）将B （﹣1,4）代入一次函数CD ：y kx b =-+与一次函数AB ：22y kx b =+，可以得到关于k 、b 的二元一次方程组，解方程组即可得到k 、b 的值，即可求出两条直线的解析式.（2）由图可知四边形ABDO 不是规则的四边形，利用割补法得到ABDO ABC COD S SS =-,分别算出△ABC与△DOC 的面积即可算出答案.【详解】（1）∵一次函数CD ：y kx b =-+与一次函数AB ：22y kx b =+，都经过点B （﹣1,4），∴将点B （﹣1,4）代入一次函数CD ：y kx b =-+与一次函数AB ：22y kx b =+，可得：4422k b k b =+⎧⎨=-+⎩ 解得：13k b =⎧⎨=⎩； ∴直线CD 的解析式为：3y x =-+；直线AB 的解析式为：26y x =+；（2）∵点A 为直线AB 与x 轴的交点，令y=0得：26=0x +解得：=3x ﹣，∴A （﹣3,0）；∵C 为直线CD 与x 轴的交点，令y=0得：3=0x -+解得：=3x ，∴C （3,0）；∵D 为直线CD 与y 轴的交点，令x=0得y=3∴D （0,3）；∴AC=6,OC=3,OD=3; 由图可知1164337.522ABDO ABC COD S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=; ∴四边形ABDO 的面积为7.5.【点拨】本题考查一次函数解析式的求法以及平面直角坐标系中图形面积的求法.会利用割补法求平面直角坐标系中图形面积是解题关键，在平面直角坐标系中求面积，一般以平行于坐标轴或在坐标轴上的边为底边，这样比较好算出图形的高.19．（2017·山东省济南兴济中学初二单元测试）两个一次函数的图象如图所示，（1）分别求出两个一次函数的解析式；（2）求出两个一次函数图象的交点C 坐标；（3）求这两条直线与y 轴围成△ABC 的面积．【答案】(1)l 1为y ＝－14x ＋1，l 2为y ＝－32x －3；(2)C (－165，95)；(3)325. 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出两个一次函数的解析式；（2）运用两个一次函数的解析式联立得出方程组求解即可．（3）利用三角形的面积求解．试题解析：解：（1）设l 1的解析式为y =k 1x +b 1，l 2的解析式为y =k 2x +b 2，把（﹣2，0），（0，﹣3）代入l 1，（4，0），（0，1）代入l 2得，111023k b b =-+⎧⎨-=⎩ ，222041k b b =+⎧⎨=⎩， 解得：11323k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ，22141k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．所以l 1的解析式为y =﹣32x ﹣3，l 2的解析式为y =﹣14x +1； （2）联立方程组332114y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ ，解得：16595x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两个一次函数图象的交点坐标（165-，95）； （3）三角形的面积=116425⨯⨯=325． 点拨：本题主要考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是能正确求出一次函数的解析式． 20．（2020·安徽初二期末）在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，点()()()3,2,1,1,0,4A B C -.（1）求直线AB 的解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）一次函数32y ax a =++（a 为常数）.①求证：一次函数32y ax a =++的图象一定经过点A ；②若一次函数32y ax a =++的图象与线段BC 有交点，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）1544y x =-+；（2）112；（3）①见解析，②1243a -≤≤且0a ≠. 【分析】（1）根据待定系数求解析式即可；（2）设直线AB 与y 轴的交点为D 点，求出点D 的坐标，然后根据ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可得出结果； （3）①把一次函数32y ax a =++整理为()32y a x =++的形式，再令x+3=0，求出y 的值即可； ②根据直线32y ax a =++一定经过点A,而且与线段BC 有交点，可得直线32y ax a =++在绕着点A从直线AC 顺时针旋转到直线BC 之间的区域，再结合a ≠0从而得出结果.【详解】（1）设直线AB 的解析式是y kx b =+，将点()3,2A -，点()1,1B 代入的，得321k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得，1454k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB 的解析式是1544y x =-+；（2）设直线AB 与y 轴的交点为D 点，则点D 的坐标为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 151511434124242ABC ACD BCD S S S ∆∆∆⎛⎫⎛⎫=+=⨯-⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）①证明：∵()3232y ax a a x =++=++，令x+3=0，得x=-3,此时y=2.∴32y ax a =++必过点()3,2-，即必过A 点；②当直线32y ax a =++与直线AC 重合时，可得4=3a+2,解得a=23, 当直线32y ax a =++与直线AB 重合时，可得1=a+3a+2,解得a=14-, ∴a 的取值范围是：1243a -≤≤且0a ≠. 【点拨】本题是一次函数的综合题，考查了是利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点以及与几何图形的综合问题，有一定的难度.21．（2020·湖北房县·初二期末）如图1，直线l ：y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．已知点C （﹣2，0）．（1）求出点A ，点B 的坐标．（2）P 是直线AB 上一动点，且△BOP 和△COP 的面积相等，求点P 坐标．（3）如图2，平移直线l ，分别交x 轴，y 轴于交于点A 1，B 1，过点C 作平行于y 轴的直线m ，在直线m 上是否存在点Q ，使得△A 1B 1Q 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）点A 的坐标为（﹣4，0），点B 的坐标的坐标为（0，2）；（2）点P 坐标为（4，4）；（3）点Q 为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，43）． 【解析】（1）根据求与,x y 轴交点坐标的方法，列出方程即可得到结论；（2）设1,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据面积公式列出方程即可得出结论； （3）如图2，①当点1B 是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得出结论；②当点1A 是直角顶点时，111A B AQ =，根据平移的性质得到直线11A B 的解析式为12y x b =+，根据两点间的距离公式即可得到结论；③当点P 是直角顶点时，过点Q 作QH y ⊥轴于点H ，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）设y ＝0，则12x +2＝0，解得：x ＝﹣4， 设x ＝0，则y ＝2，∴点A 的坐标为（﹣4，0），点B 的坐标的坐标为（0，2）；（2）∵点C （﹣2，0），点B （0，2），∴OC ＝2，OB ＝2，∵P 是直线AB 上一动点，∴设P （m ，12m +2）， ∵△BOP 和△COP 的面积相等，∴12×2|m |＝12⨯2×（12|m |+2）， 解得：m ＝±4，当m ＝﹣4时，点P 与点A 重合，∴点P 坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，∴B1Q＝B1A1，∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，在△A1OB1和△B1HQ中，111111111AOB B HQOA B HB QA B B Q∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，∴B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，∵B（0，2），∴点B1（0，2）（不合题意舍去），∴Q（﹣2，2），②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，∵直线AB的解析式为y＝12x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝12x+b，∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，∵A1B1⊥A1Q，∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b∴Q（﹣2，4﹣4b），∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2-40b+20，∴20b2﹣40b+20＝5b2，∴b＝2或b＝23，∴Q（﹣2，-4）或（﹣2，43）；③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，∴A1Q＝B1Q，∵∠QA 1C 1+∠A 1QC ＝90°，∠A 1QC +∠CQB 1＝90°，∴∠QA 1C ＝∠CQB 1，∵m ∥y 轴，∴∠CQB 1＝∠QB 1H ，∴∠QA 1C ＝∠QB 1H在△A 1QC 与△B 1QH 中，11111190QA C QB H A CQ B HQ A Q B Q ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△A 1QC ≌△B 1QH （AAS ），∴CQ ＝QH ＝2，B 1H ＝A 1C ，∴Q （﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q 为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，43）． 【点拨】此题目是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，判断111AOB B HP ∆≅∆是解本题的关键．。

专题七一次函数学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________一、单选题1．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)a y a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数c y x =的图象如图所示，则一次函数c y x b a=-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b ,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b 的解是（ ）A ．x=20B ．x=5C ．x=25D ．x=15 4．若定义一种新运算：(2)6(2)a ba b a b a b a b 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （1，﹣1），B （﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）6．点1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．三、解答题7．如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ．（1）求交点P 的坐标；（2）求PAB 的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．8．如图，在直角坐标系中，直线y 1＝ax+b 与双曲线y 2＝k x（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A （m ，4），B （6，n ）两点，与x 轴相交于C 点．已知OC ＝3，tan ∠ACO ＝23． （1）求y 1，y 2对应的函数表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＜0时，不等式ax+b ＞k x的解集．9．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于()1,2A ，(),1B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P 的坐标．10．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？11．小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y （单位：千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z （单位：元/千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？12．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．13．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）14．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A ，B 两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A ，B 两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B 型口罩的销售利润是A 型口罩的1.2倍．（1）求每只A 型口罩和B 型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B 型口罩的进货量不超过A 型口罩的1.5倍，设购进A 型口罩m 只，这10000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？15．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．16．小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A 型画笔，第二次超市推荐了B 型画笔，但B 型画笔比A 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B 型画笔． （1）超市B 型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？17．为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?18．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D2．B3．A4．A5．＜.6．m ＜n7．（1）()2,2-；（2）3；（3）2x <8．（1）y 1＝﹣23x+2，y 2＝﹣12x；（2）9；（3）x ＜﹣3 9．（1）一次函数的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为2y x=；（2）（3，0）或（-5，0）10．（1）y=140t+100，140m 3/h ；（2）8h11．解：（1）日销售量的最大值为120千克. （2）()()y 10x? 0x 12{y 15x 300? 12x 20=≤≤=-+<≤ （3）第10天的销售金额多.12．（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元. 13．（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．14．（1）每只A 型口罩和B 型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元；（2）药店购进A 型口罩4000只、B 型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元15．（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．16．（1）超市B 型画笔单价为5元；（2） 4.5,120410,20x x y x x ⎧=⎨+>⎩，其中x 是正整数；（3）小刚能购买65支B 型画笔．17．（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.18．（1）211433y x x =-++；（2）2PN =，当2m =时，PN 有最大值，最大值为3． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，822Q ⎛- ⎝⎭．。

2021年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：一次函数与几何变换1（附答案）1．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移两个单位长度后．得到的直线的函数关系式为（）A．y＝﹣2x+5B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+72．如图，直线l：与y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75°后，所得直线的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x﹣C．y＝﹣x+D．y＝x+3．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（）A．y＝2x﹣10B．y＝﹣2x+14C．y＝2x+2D．y＝﹣x+54．将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣25．将直线y＝﹣2x+1向上平移2个单位长度，所得到的直线解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝﹣2x﹣1C．y＝2x+3D．y＝﹣2x+36．将直线y＝﹣2x+1向下平移2个单位，平移后的直线表达式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x﹣1D．y＝﹣2x+37．将直线y＝x平移，使得它经过点（﹣2，0），则平移后的直线为（）A．y＝x﹣2B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣2D．y＝x+28．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．6D．129．把直线y＝2x﹣1向下平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y＝2x﹣2B．y＝2x+1C．y＝2x D．y＝2x+210．将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3 11．将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣112．在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，得到的直线的函数表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣5C．y＝2x+1D．y＝2x﹣113．将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为．14．如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是．15．把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．16．将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为．17．把直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位，得到的直线解析式是．18．在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3x+3图象向右平移5个单位长度，则平移后的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积为．19．将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是．20．将直线y＝﹣2x+3向下平移5个单位，得到直线．21．将直线y＝2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为．22．在平面直角坐标系中，把直线y＝x沿y轴向上平移后得到直线AB，如果点P（m，n）是直线AB上的一点，且m﹣n+8＝0，那么直线AB的函数表达式为．23．在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别（2，4），（﹣3，1）．（1）在平面直角坐标系中，描出点A；（2）若函数y＝mx的图象经过点A，求m的值；（3）若一次函数y＝kx+b的图象由（2）中函数y＝mx的图象经过平移，且经过点B得到，求这个一次函数的表达式，并在直角坐标系中画出该函数对应的图象．24．已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴交点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出y＞0时，x的取值范围．25．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：x…﹣10123456…y……（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有（填正确答案的序号）．①函数图象关于y轴对称；②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，求b的值．26．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A，B两点．（1）在图中画出该一次函数并求其表达式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图形，并直接写出新函数图象对应的表达式．27．有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是；（2）如表是x与y的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值为；（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．小明得出的结论中正确的是．（只填序号）28．已知正比例函数的图象经过点A（2，3）；（1）求出此正比例函数表达式；（2）该直线向上平移3个单位，写出平移后所得直线的表达式，并画出它的图象．29．一次函数y＝2x+a的图象与x轴交与点（2，0），（1）求出a的值；（2）将该一次函数的图象向上平移5个单位长度，求平移后的函数解析式．30．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．31．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x、y轴分别相交于点A、B，此直线向下平移后与y轴相交于点C、与x轴相交于点D，四边形ABCD的面积为18．（1）求直线CD的表达式；（2）如果点E在直线CD上，四边形ABED是等腰梯形，求点E的坐标．参考答案1．解：直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝﹣2x+3+2＝﹣2x+5，故选：A．2．解：由直线l：可知，直线与x轴的夹角为60°，∴与y轴的夹角为30°，∴直线l绕点A顺时针旋转75°后的直线与y轴的夹角为45°，∴旋转后的直线的斜率为1，∵直线l：与y轴交于点A，∴A（0，）．∴旋转后的直线解析式为：y＝x+，故选：D．3．解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，∵直线AB恰好过点（6，2），∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，故选：A．4．解：根据题意，得直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．故选：A．5．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x+1上平移2个单位长度后所得直线的解析式为：y＝﹣2x+1+2，即y＝﹣2x+3故选：D．6．解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣2x+1﹣2＝﹣2x﹣1，即．所得直线的表达式是y＝﹣2x﹣1．故选：C．7．解：设平移后直线的解析式为y＝x+b．把（﹣2，0）代入直线解析式得0＝﹣2+b解得b＝2所以平移后直线的解析式为y＝x+2．故选：D．8．解：设平移的距离为k（k＞0），则将一次函数y＝3x向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k）＝3x+3k．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k，0）、（0，3k）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：•3k＝24，解得k＝4或﹣4（舍去）．故选：A．9．解：根据题意，把直线y＝2x﹣1向下平移1个单位后得到的直线解析式为：y＝2x﹣1﹣1，即y＝2x﹣2，故选：A．10．解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．11．解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y＝3x﹣1．故选：B．12．解：由题意得：平移后的解析式为：y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1．故选：D．13．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x+1上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1+3，即y＝2x+4，故答案为：y＝2x+4．14．解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，解得b＝﹣1．所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．15．解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．16．解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．17．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位后所得直线的解析式为：y＝﹣2x+5﹣2，即y＝﹣2x+3．故答案为：y＝﹣2x+3．18．解：根据题意知，平移后直线方程为y＝3（x﹣5）+3＝3x﹣12．所以A（4，0），B（0，﹣12）．故OA＝4，OB＝12．所以S△AOB＝OA•OB＝＝24．故答案是：24．19．解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1；故答案为y＝2x﹣1．20．解：原直线的k＝﹣2，b＝3．向下平移5个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝﹣2，b＝3﹣5＝﹣2．∴新直线的解析式为y＝﹣2x﹣2．故答案为：y＝﹣2x﹣2．21．解：直线y＝2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为y＝2x+2．故答案为y＝2x+2．22．解：设直线AB的解析式为y＝x+b．将（m，n）代入y＝x+b，得m+b＝n，则m﹣n+8＝0，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝x+8．故答案为y＝x+8．23．解：（1）点A（2，4），如图所示：（2）∵函数y＝mx的图象经过点A，∴4＝2m，∴m＝2；（3）由（2）可得经过点A的函数为y＝2x，∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x经过平移，且经过点B，∴，解得，∴这个一次函数的表达式为y＝2x+7，依题意画出图象如图所示；24．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴﹣3＝2k﹣4，则，∴，（2）图象向上平移6个单位长度，∴，当y＝0时，x＝﹣4，∴平移后的图象与x轴交点的坐标为（﹣4，0），（3）y＞0时，x的取值范围为x＞﹣4．25．解：（1）补充表格：x…﹣10123456…y…﹣2﹣1012222…画出函数图象如图所示：（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．故答案为②③；（3）直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，根据图象直线y＝+b经过点（3，2），∴2＝+b，∴b＝．26．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，5），B（﹣1，﹣1）两点，∴，得，即该一次函数的表达式是y＝3x+2；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝3x+2的图象上，∴﹣a＝3（a﹣3）+2，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝3x+2向下平移3个单位后可得：y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，图象如图：27．解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，故答案为：x为任意实数；（2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1，故答案为1；（3）画出函数的图象如图：；（4）由函数图象可知，①函数有最小值为0，正确；②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确；③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；．故答案为：①②③．28．解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx，把A（2，3），代入得到k＝，∴正比例函数的解析式为y＝x．（2）将直线y＝x向上平移3个单位，得直线y＝x+3，如图；29．解：（1）∵一次函数y＝2x+a的图象与x轴交与点（2，0），∴4+a＝0，解得a＝﹣4；（2）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移5个单位长度，得到y＝2x﹣4+5，即y＝2x+1，故平移后的函数解析式为y＝2x+1．30．解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝3x+1；（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3如图，解得，∴两直线的交点为A（1，4），∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为B（0，3），∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：AB＝＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+＝0，解得a＝；②当第三点在直l上时，2×＝a﹣3，解得a＝7；③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）＝，解得a＝；∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a 的值为或7或．31．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点，∴，解得，即该一次函数的表达式是y＝2x﹣1；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝2x﹣1的图象上，∴﹣a＝2（a﹣3）﹣1，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝2x﹣1向下平移3个单位后可得：y＝2x﹣1﹣3＝2x﹣4，图象如图：32．解：（1）∵直线y＝﹣x+8与x、y轴分别相交于点A、B，∴A（6，0）B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∴S△AOB＝＝24，四边形ABCD的面积为18．∴S△COD＝24﹣18＝6，∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴＝（）2，即＝，∴OC＝4，∴C（0，4），∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4；（2）作DM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∵四边形ABED是等腰梯形，∴AD＝BE，∠DAB＝∠EBA，∵∠DMA＝∠ENB＝90°，∴△ADM≌△BEN（AAS），∴AM＝BN，∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，∴D（3，0），∴OD＝3，∴AD＝6﹣3＝3，∵∠AMD＝∠AOB，∠DAM＝∠BAO，∴△ADM∽△ABO，∴＝，即，∴AM＝，∴BN＝AM＝，∴MN＝10﹣2×＝，∴ED＝MN＝，∵OD＝3，OC＝4，∴CD＝＝5，∴CE＝DE﹣CD＝﹣5＝，作EH⊥x轴于H，则EH∥OC，∴，即＝，∴OH＝，∴E的横坐标为﹣，把x＝﹣代入直线CD：y＝﹣x+4得y＝，∴点E的坐标为（﹣，）．。

2021年九年级中考数学一轮复习专题《一次函数：动点综合》1．在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4过定点C，B（0，m）（其中0＜m＜8），点A在x轴的正半轴上且满足∠ACB＝90°．（1）如图1，直接写出定点C的坐标，直接写出点A的坐标．（用含m的式子表示）（2）如图2，作矩形AOBD，连接CD．①当0＜m＜4时，求的值．②是否存在m的值使得OA＝2CD？若存在，求出m的值，若不存在，举反例并说明理由．2．直线y＝k（x﹣6）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，且△AOB的面积等于27．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，P为线段AB上一点，过点B作BD∥x轴，交OP的延长线于点D，设点P的横坐标为m，线段BD的长为d．求d与m之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连接AE交OP于点F，且DE+EF＝AF，Q为EP延长线上一点，若∠AQD＝90°，求PQ的长．3．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB 上一点C'重合，求线段CF的长度；（3）如图③，动点P（x，y）在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别交于点C、B，与直线y＝x交于点A．（1）求点A的坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则点P的坐标是；（3）点Q在线段AB上，使△OAQ的面积等于6，求点Q的坐标．5．如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．（1）求直线AB的函数解析式；（2）若点C在直线AB上，△AOC的面积等于20，求C点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．（1）若θ＝30°时，求点A的坐标；（2）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论．7．如图，在平面直角坐标系中，一条直线y＝kx+3经过A（1，1）和C（﹣2，m）两点．（1）求m的值；（2）设这条直线与y轴相交于点B，求△OBC的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（﹣5，﹣3）和E（﹣2，0），AB＝AC，∠BAC＝90°，将△ABC平移可得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F．（1）求点C的坐标；（2）求直线EF与y轴的交点坐标．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x 轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．（1）无论k取什么值，直线l一定经过一个定点，求这个定点坐标．（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，求C点坐标．（3）若k＞0，C在直线l左侧，则OC+AC的最小值为．10．如图，直线y＝与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C，在如图线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P，Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q做x轴的垂线，交直线AB、OC于点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．参考答案1．解：（1）∵y ＝kx ﹣4k +4＝k （x ﹣4）+4， ∴当x ＝4时，y ＝4，∴定点C 坐标为（4，4），当4＜m ＜8时，如图1，过点C 作CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，∴CE ＝CF ＝4，∠CFB ＝∠CEA ＝90°＝∠AOB ， ∴∠ECF ＝90°＝∠ACB ， ∴∠FCB ＝∠ECA ，∴△ACE ≌△BCF （ASA ）， ∴BF ＝AE ＝4﹣m ，∴OA ＝4+4﹣m ＝8﹣m ，∴点A （8﹣m ，0），当0＜m ≤4时，同理可求点A （8﹣m ，0）， 故答案为：（4，4），（8﹣m ，0）； （2）①∵四边形ADBO 是矩形， ∴AD ＝OB ＝m ，OA ＝BD ＝8﹣m ， ∴点D （8﹣m ，m ），∴CD ＝＝（4﹣m ），∴＝＝；②当m ＝4时，点C 与点D 重合，不合题意舍去； 当0＜m ＜4时，∵OA ＝2CD ， ∴8﹣m ＝2（4﹣m ），∴m ＝，当4＜m ＜8时，∵OA ＝2CD ，∴8﹣m ＝2（m ﹣4），∴m ＝，综上所述：m ＝或．2．解：（1）∵直线y ＝k （x ﹣6）交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ， ∴点B （0，﹣6k ），点A （6，0），∵△AOB 的面积等于27，∴×6×（﹣6k ）＝27，∴k ＝﹣， ∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣（x ﹣6）＝﹣x +9； （2）∵k ＝﹣，∴点B （0，9），∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的纵坐标为﹣m +9， ∵BD ∥x 轴，∴△BDP ∽△AOP ，∴，∴d ＝；（3）如图3，延长DB ，AE 交于点M ，过点A 作AG ⊥EQ 于G ，过点D 作DH ⊥EQ 于H ， ∵点P （m ，﹣m +9）， ∴点E （0，﹣m +9），∴直线AE解析式为y＝，∵DB⊥y轴，∴点M纵坐标为9，∴点M的横坐标为，∴MB＝BD，又∵DM⊥BE，∴ME＝DE，∵DE+EF＝AF，∴ME+EF＝AF，∴MF＝AF，∵DB∥OA，∴△DMF∽△OAF，∴，∴MD＝OA＝6，∴BD＝MB＝3，∴3＝，∴m＝2，∴点P（2，6），设点Q坐标为（a，6），∵DH⊥EQ，AG⊥EQ，∴∠DHQ＝∠AGQ＝90°＝∠DQA，∴∠DQH+∠AQG＝90°＝∠DQH+∠HDQ，∴∠AQG＝∠HDQ，∴△DHQ∽△QGA，∴，∴，∴a＝9或a＝0（舍去），∴点Q（9，6），∴PQ＝7．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，∴点C的坐标（8，6）；（2）∵BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，∴BC'＝AB﹣AC'＝4，∵BF2＝C'F2+C'B2，∴（8﹣CF）2＝CF2+16，∴CF＝3；（3）设点P（a，2a﹣6），当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F，∵△BPD是等腰直角三角形，∴BP＝PD，∠BPD＝90°，∴EF∥BC，∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，∴∠BPE ＝∠PDF ，∴△BPE ≌△PDF （AAS ），∴PF ＝BE ＝6﹣（2a ﹣6）＝12﹣2a ，EP ＝DF ， ∵EF ＝EP +PF ＝a +12﹣2a ＝8， ∴a ＝4，∴点P （4，2）；当点P 在BC 的上方时，如图④，过点P 作EF ∥BC ，交y 轴于E ，交AC 的延长线于F ，同理可证△BPE ≌△PDF ，∴BE ＝PF ＝2a ﹣6﹣6＝2a ﹣12， ∵EF ＝EP +PF ＝a +2a ﹣12＝8， ∴a ＝，∴点P （，），综上所述：点P 坐标为（4，2）或（，）．4．解：（1）联立方程组得：，解得：，∴A 点坐标是（2，3）；（2）设P 点坐标是（0，y ），∵△OAP 是以OA 为底边的等腰三角形，∴OP ＝PA ，∴22+（3﹣y ）2＝y 2， 解得y ＝，∴P 点坐标是（0，），故答案为（0，）；（3）∵直线y ＝﹣2x +7与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ， ∴B （0，7），C （，0）， ∴S △AOB ＝×7×2＝7＞6， 设点Q 的坐标是（x ，y ）， 作QD ⊥y 轴于点D ，如图， 则QD ＝x ，∴S △OBQ ＝S △OAB ﹣S △OAQ ＝7﹣6＝1，∴OB •QD ＝1，即×7x ＝1，∴x ＝， 把x ＝代入y ＝﹣2x +7，得y ＝，∴Q 的坐标是（，）．5．解：（1）∵A（4，3）∴OA＝OB＝＝5，∴B（0，﹣5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣5；（2）设C（x，2x﹣5），当C在第一象限时，S△AOC＝S△BOC﹣S△AOB＝×5x﹣×5×4＝20，解得x＝12，∴C（12，19）；当C在第四象限时，S△AOC＝S△BOC+S△AOB＝×（﹣5x）+×5×4＝20，解得x＝﹣4，∴C（﹣4，﹣13），综上，C的坐标为（﹣4，﹣13）或（12，19）．6．解：（1）作AD⊥y轴于D，∵∠AOD＝30°，OA＝4，∴AD＝，OD＝OA＝2，∴A（2，2）；（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．∵直线OM的解析式为y＝x，∴∠MON＝45°．∵∠MOE＝90°，∴∠EON＝45°．在△MON和△EON中，，∴△MON≌△EON（SAS），∴MN＝EN＝CN+AM．∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB，∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．7．解：（1）∵一条直线y＝kx+3经过A（1，1），∴1＝k+3，解得：k＝﹣2，所以直线解析式为：y＝﹣2x+3，把C（﹣2，m）代入y＝﹣2x+3中，得：m＝7；（2）令x＝0，则y＝3，所以直线与y轴的交点B为（0，3），由（1）得点C的坐标为（﹣2，7），所以△OCB的面积＝＝3．8．解：（1）如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，则∠AMB＝∠CNA＝90°，Array∴∠ABM+∠BAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAN，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM＝CN，BM＝AN．∵A（﹣4，0），B（﹣5，﹣3），∵OA＝4，BM＝3＝AN，OM＝5，∴CN＝AM＝OM﹣OA＝1，ON＝OA﹣AN＝1，∴点C的坐标为（﹣1．﹣1）；（2）∵在平移过程中，点B（﹣5，﹣3）对应点E（﹣2.0），点（C（﹣1，﹣1）对应点F，∴F（2，2），设直线EF的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线EF的函数表达式为y＝0.5x+1，在y＝0.5x+1中，当x＝0时，y＝1，∴直线EF与y轴的交点坐标为（0，1）．9．解：（1）∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4），∴无论k取什么值，直线l一定经过一个定点（4，0）；（2）∵直线l经过点（2，﹣3），∴﹣3＝2k﹣4k，解得k＝，∴直线l：y＝x﹣6，∴A（4，0），B（0，﹣6），∴OA＝4，OB＝6，作CD⊥y轴于D，如图1，∵△ABC是以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBD＝∠OAB，在△CBD和△BOA中，，∴△CBD≌△BOA（AAS），∴CD＝OB＝6，BD＝OA＝4，∴OD＝OB﹣BD＝6﹣4＝2，∴C（﹣6，﹣2）；（3）由（1）可知直线l一定经过一个定点（4，0）；∴A（4，0），∴OA＝4，∴OC+AC的最小值为4，故答案为4．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝8，∴点A（8，0），点B（0，4），∴BO＝4，AO＝8，∴，当t秒时，QO＝FQ＝t，则EP＝t，∵EP∥BO，∴＝，∴AP＝2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，∴8﹣3t＝t，解得：t＝2；如图2，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ＝t，PA＝2t，∴OP＝8﹣2t，∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，解得：t＝4，综上所述：当t＝2或4时，矩形PEFQ为正方形；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ＝t，PA＝2t，∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（8﹣3t）•t＝8t﹣3t2，当t＝﹣＝时，S矩形PEFQ的最大值＝＝，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ＝t，PA＝2t，∴2t＞8﹣t，∴t＞，∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（3t﹣8）•t＝3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴＜t≤4，∴t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝3×42﹣8×4＝16，综上所述，当t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝16．。

2021年中考数学总复习第三章《函数》第三节一次函数的实际应用一、选择题1.［人八下课本 P109，T13 高仿］一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 4 min 内只进水不出水，在随后的 8 min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（L）与时间 x （min）之间的关系如图所示，则每分钟的进水量与出水量分别是（）A． 5 L，3.75 L B． 2.5 L，5 LC． 5 L，2.5 L D． 3.75 L，5 L（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·河北模拟］星期天，鹤翔骑电动车从奶奶家出发回家，速度为 20 km/h．当他行驶了 40 km 后发现忘记带课本了，于是给奶奶打电话，同时自己按原速返回．奶奶 30 分钟后骑自行车从家出发，1 h 后与鹤翔相遇．鹤翔与奶奶之间的距离 y（km）与时间x（h）的关系如图所示．则奶奶骑车的速度为（）A． 10 km/h B． 45 km/hC． 40 km/h D． 80 km/h3.［2020·攀枝花］甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离 s（km）与运动时间 t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）A．两人出发 1 h 后相遇B．赵明阳跑步的速度为 8 km/hC．王浩月到达目的地时两人相距 10 kmD．王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地（第 3 题图）二、填空题4.［2020·郴州］小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至4 日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 _________．5. ［2020·上海］小明从家步行到学校需走的路程为1 800 米．图中的折线 OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程 s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 ______ 米．（第 5 题图）三、解答题6.［2020·金华］某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 ℃，气温 T（℃）和高度 h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为 5 百米时的气温；（2）求 T 关于 h 的函数表达式；（3）测得山顶的气温为 6 ℃，求该山峰的高度．（第 6 题图）日期 x（日） 1 2 3 4成绩 y（个）40 43 46 497.［人八下课本 P109，T15 改编］2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只；（2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．8.［2020·石家庄四区联合］甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的八五折出售，乙商场只对一次购物中超过 200 元后的价格部分按原价的七五折出售，某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为 x（x＞0）元，让利后的购物金额为 y 元.（1）分别就甲、乙两家商场写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由.9.［2020·石家庄桥西区模拟］甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段 OA 表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系；折线 BCDA 表示小亮与甲地的距离 y2（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明步行的速度是 ______ 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 ______ 米/分钟；（2）线段 OA 与 BC 相交于点 E，求点 E 的坐标；（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值．（第 9 题图）一、选择题1.［2020·遵化一模］某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过 a 件，则每件 3 元，超过 a 件，超过部分每件 b 元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数 x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（）A． a=20B． b=4C．若工人甲一天获得薪金 180元，则他共生产 50 件D．若工人乙一天生产 m件，则他获得薪金 4m 元（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·连云港］快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程 y（km）型号价格项目（元/只）甲乙成本12 4售价18 6与它们的行驶时间 x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了 0.5 h；②快车速度比慢车速度多 20 km/h；③图中 a=340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③ B．②③C．②④ D．①④二、填空题3.［2020·重庆］A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40 km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止．两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线 CD-DE-EF 所示．其中点 C 的坐标是（0，240），点 D 的坐标是（2.4，0），则点 E 的坐标是________．（第 3 题图）三、解答题4.［2020·唐山路北区三模］某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午 7：40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林，离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数关系如图 2 所示.（第 4 题图）（1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式；（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间；（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则直接写出：①小聪最早能够坐上第几班车？②假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变，如果小聪坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？5.［2020·天水］天水市某商店准备购进 A，B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多20元，用 2 000 元购进 A 种商品和用 1 200 元购进B种商品的数量相同．商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元．（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1 560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m（10＜m＜20）元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 m 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案．1.［2020·原创］如图 1 是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用 x 个如图 1 所示的图形拼出来的总长度 y 会随着 x 的变化而变化，y 与 x 的关系式为 y=________．（第 1 题图）第三节一次函数的实际应用（答案）夯实基础1. A提示：由题意可得，每分钟的进水量为：20÷４＝５（Ｌ），每分钟的出水量为：［５×８－（30－20）］÷８＝3.75（Ｌ）．2. Ａ提示：设奶奶骑车的速度为ｘｋｍ/ｈ，根据题意可得：40=20×1.5+x，解得 x=10，∴奶奶骑车的速度为 10 km/h．3. C 提示：由图象可知，两人出发 1 h 后相遇，故选项 A 正确；赵明阳跑步的速度为24÷3=8（km/h），故选项 B 正确；王浩月的速度为：24÷1-8=16（km/h），王浩月从开始到到达目的地用的时间为：24 ÷16 =1.5（h），故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5=12（km），故选项 C 错误；王浩月比赵明阳提前 3-1.5=1.5（h）到目的地，故选项 D 正确．4. y=3x+375. 350 提示：当 8≤t≤20 时，设 s=kt+b，将（8，960），（20，1 800）代入，得解得∴s=70t+400；当 t=15 时，s=1 450，1 800-1 450=350（米），∴当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 350 米．6. 解：（1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 2×0.6=1.2（℃），∴13.2-1.2=12（℃），∴高度为 5 百米时的气温大约是 12 ℃；（2）设 T 关于 h 的函数表达式为 T=kh+b，则解得∴T 关于 h 的函数表达式为 T=-0.6h+15；（3）当 T=6 时，6=-0.6h+15，解得 h=15．∴该山峰的高度大约为 15 百米．7. 解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 x 万只和 y 万只，由题意可得解得答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 15 万只和 5 万只；（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 a 万只和（20-a）万只，利润为 w 万元，由题意可得 12a+4（20-a）≤216，解得 a≤17，∵w=（18-12）a+（6-4）（20-a）=4a+40，∵k=4＞0，∴w 随 a 的增大而增大，∴a=17 时，w 有最大值为 108 万元.答：安排生产甲种型号的防疫口罩 17 万只，乙种型号的防疫口罩 3 万只，最大利润为 108 万元．8. 解：（1）甲商场 y1关于 x 的函数解析式为y1=0.85x，乙商场 y2关于 x 的函数解析式为 y2=200+（x-200）×0.75=0.75x+50（x＞200），y2=x（0＜x≤200）；（2）当 x≤200 时，到甲商场购物更省钱；当 x＞200 时，由 y1＞y2，得 0.85x＞0.75x+50，x＞500，当 x＞500 时，到乙商场购物会更省钱；由 y1=y2，得 0.85x=0.75x+50，x=500 时，到两家商场购物花费一样；由 y1＜y2，得 0.85x＜0.75x+500，x＜500，当200＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱；综上所述，x＞500 时，到乙商场购物会更省钱，x=500 时，到两家商场购物花费一样，当0＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱.9. 解：（1）50，150；（2）点 E 的横坐标为：1 500÷（50+150）=7.5，纵坐标为：50×7.5=375，即点 E 的坐标为（7.5，375）；（3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．理由：两人相遇前，（50+150）x+100=1 500，得 x=7，两人相遇后，（50+150）x-100=1 500，得x=8，小亮从甲地到追上小明前，50x -100 =150（x-10），得 x=14，即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．能力提升1. D提示：由题意和图象可得， a =60 ÷3=20，故选项 A 正确；b=（140-60）÷（40-20）=80÷20=4，故选项 B 正确；若工人甲一天获得薪金 180 元，则他共生产：20+=20+30=50（件），故选项 C 正确；若工人乙一天生产 m 件，当 m≤20 时，他获得的薪金为 3m 元；当 m＞20 时，他获得的薪金为 60+（m-20）×4=（4m-20）元，故选项 D 错误．2. B提示：根据题意可知，两车的速度和为 360÷2=180（km/h），相遇后慢车停留了 0.5 h，快车停留了 1.6 h，此时两车距离为 88 km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6-2.5）=80（km/h），则快车的速度为 180-80=100（km/h），所以快车速度比慢车速度多 20 km/h，故②结论正确；88+180×（5-3.6）=340（km），所以图中 a=340，故③结论正确；（360-2×80）÷80+2.5=5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误，所以正确的是②③．3.（4，160）提示：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4-40=60（km/h），∴乙货车从 B 地到A 地所用时间为：240÷60=4（小时），当乙货车到达A 地时，甲货车行驶的路程为：40×4=160（千米），∴点 E 的坐标是（4，160）．4. 解：（1）由题意得，可设函数表达式为 y=kx+b（k≠0）.把（20，0），（38，2 700）代入 y=kx+b 得，解得∴第一班车离入口处的路程 y（米）与时间x（分）的函数表达式为 y=150x-3 000（20≤x≤38）；（2）把 y=1 500 代入 y=150x-3 000 中，解得 x=30，则 30-20=10（分），∴第一班车到达塔林所需时间为 10 分钟；（3）①第 5 班车②7 分钟提示：设小聪坐上第 n 班车，25-20+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，∴小聪最早坐上第 5 班车.等班车时间为 5 分钟，坐班车所需时间：1 200÷150=8（分），步行所需时间：1 200÷（1 500÷25）=20（分），20-（8+5）=7（分）.∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早了 7 分钟.5. 解：（1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是（x-20）元，由题意得：，解得 x=50，经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意，50-20=30（元）.答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；（2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 商品（40-a）件，由题意得：解得，∵a 为正整数，∴a=14，15，16，17，18，∴ 商店共有 5 种进货方案；（3）设销售 A，B 两种商品共获利 y 元，由题意得：y=（80-50-m）a+（45-30）（40-a）=（15-m）a+600，①当 10＜m＜15 时，15-m＞0，y 随 a 的增大而增大，∴ 当 a=18 时，获利最大，即购进 18 件 A商品，22 件 B 商品；②当 m=15 时，15-m=0，y 与 a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同；③当 15＜m＜20 时，15-m＜0，y 随 a 的增大而减小，∴ 当 a=14 时，获利最大，即购进 14 件 A商品，26 件 B 商品．核心素养1. 5x+2提示：观察图形可知：当两个图 1 拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图 1 拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用 x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：7+5×（x-1）=5x+2，∴y 与 x 的关系式为 y=5x+2．。

； ； ； ．2021 年九年级数学中考一轮复习练习题函数——一次函数时间 90 分钟 满分：120 分一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ）1. 如果y 关于x 的函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ） A.k ≠ 0B. k ≠± 1C. 不能确定D.一切实数2. 在直角坐标平面内，任意一个正比例函数的图像都经过点（ ）A.(1, 1)B.(1, 0)C.(0, 1)D.(0, 0)3. 下列正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ）A.y = 0.2xB. 1 y = xC. 5D.y = 2x4. 下列函数中，是一次函数的有（ ）1(1)y = πx ；(2)y = 2x−1 (3)y = x (4)y = 2−3x (5)y = x 2−1A.4个B.3个C.2个D.1个 A (x ,3) B (x ,5) x x5. 一次函数y = 2x + m 的图象上有两点 1 2 ， 2 ，则 1与 2的大小关系是（ ）A. x 1 < x 2B. x 1 > x 2C.x 1 = x 2D.无法确定6. 一次函数y = −4x−2的图象和性质，叙述正确的是（ ）A.y 随x 的增大而增大B.在y 轴上的截距为2C. 与x 轴交于点(−2,0)D. 函数图象不经过第一象限7. 已知一次函数y = kx + b(k < 0, b < 0)，那么一次函数的图象不经过第（ ） 象限．A.一B.二C.三D.四8. 已知直线y = kx + b 经过点(2, 1)，则方程kx + b = 1的解为（ ）A.x = 0B.x = 1C.x = 2D.x =± 29. 一次函数y = kx + b (k ≠ 0)中变量x 与y 的部分对应值如下表x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 8 6 4 2 0 ⋯下列结论： ①随的增大而减小；②点(6,−6)一定在函数y = kx + b 的图像上；③当x > 3时， y > 0；④当x < 2时，(k−1)x + b < 0.其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1 10. 如图，已知直线l:y = 3 3 x ，过点A(0, 1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为（ ）A.(0, 128)B.(0, 256)C.(0, 512)D.(0, 1024)二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计 12 分 ）11. 把直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式是. 12. 直线y = x−a 不经过第四象限，则关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有 个实数解．13. 在平面直角坐标系内，若点(3,0),(m,2),(0,−3)在同一直线上，则m 的值为. 14. 某高速列车公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y （元）是行李质量x （kg ）的一次函数．已知行李质量为30kg 时，需付行李费4元；行李质量为40kg 时，需付行李费12元．则旅客最多可免费携带kg 行李． 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计 78 分 ）15.(9 分) 已知一次函数y = (2m + 1)x + 3 + m.(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)若图象经过点(−1,1)，求m的值，画出这个函数图象．16.(9 分) 在平面直角坐标系中，直线l1:y1= k1x + b1与x轴交于点B(12, 0)，与直线l2:y2= k2x交于点A (6, 3)．(1)分别求出直线l1和直线l2的表达式；(2)直接写出不等式k1x + b1 < k2x的解集.17.(10 分) 平面直角坐标系xOy内，一次函数y = 2x−2经过点A(−1,m)和B(n,2)(1)求m，n的值；(2)求该直线与x轴的交点坐标．18.(10 分) 已知一次函数y1= kx + b和y2= mx + n的图象如图所示．(1)求y1和y2的函数表达式，并求出它们的交点坐标．(2)利用图象直接写出当y1 < y2时，x的取值范围．19.(10 分) 如图：已知函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P，点P的横坐标为1.{x−y = −1，(1)关于x，y的方程组ax−y = −3的解是；(2)a = ；(3)求出函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x轴围成的几何图形的面积．20.(10 分) 某水果超市以每千克20元的价格购进一批水果，规定每千克水果售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，水果的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示.每千克售价x（元）⋯25 30 35 ⋯日销售量y（千克）⋯110 100 90 ⋯(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当每千克水果的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？21.(10 分) 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,15)，点B的坐标为(20,0).(1)求直线AB的表达式；(2)若点C的坐标为(m,9)，且S △ ABC = 30，求m的值；(3)若点D的坐标为(12,0)，在射线AB上有两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△ OPD全等，求点P的坐标．22.(10 分) 某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．现因临近春节，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套．设保暖内衣售价为x元，每星期的销量为y件．(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？(2)求y与x之间的函数关系式；(3)当每件售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大销售利润是多少？参考答案一、 选择题1.D【解答】解：∵ 函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，∴ k 2 + 1 ≠ 0，∴ k 取全体实数.故选D ．2.D【解答】解：由题意，设正比例函数的解析式为y = kx(k ≠ 0)， 则当x = 0时，y = 0，所以任意一个正比例函数的图像都经过点(0, 0)． 故选D .3.B【解答】解：由题意可知，在正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小， 则k < 0，故只有B 选项正确.故选B .4.B【解答】解：(1)y = πx 是正比例函数，是特殊的一次函数；(2)y = 2x−1是一次函数；(3)y = 1x 不满足一次函数的定义，不是一次函数；(4)y = 2−3x 是一次函数；2 (5)y = x 2−1不满足一次函数的定义，不是一次函数． 所以是一次函数的有3个．故选B ．5.A【解答】解：在一次函数y = 2x + m 中，∵ k = 2 > 0，∴ y 随x 的增大而增大.3 ∵ 2 < 5，∴x 1 < x 2. 故选A .6.D【解答】解：A ，由y = −4x−2可知，y 随x 的增大而减小，故A 选项错误；B ，令x = 0，得y = −2，则在y 轴上的截距为−2，故B 选项错误；1 C ，令y = 0，得x = − ， (−1，0)则与x 轴交于点 2 ，故C 选项错误； D ，k = −4，b = −2，根据一次函数的性质可知，函数图象不经过第一象限，故D 选项正确.故选D .7.A【解答】解：∵ k < 0，∴ 一次函数y = kx + b 的图象经过第二、四象限．{又∵ b < 0时，∴ 一次函数y = kx + b 的图象与y 轴交与负半轴．综上所述，该一次函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限． 故选A ．8.C【解答】解：∵ 直线y = kx + b 经过点(2, 1)，∴ 当x = 2时，1 = kx + b ，∴ 方程kx + b = 1的解为x = 2.故选C .9.C【解答】解：把x = 0，y = 6和x = 1，y = 4分别代入y = kx + b ，得b = 6, k + b = 4.{k = −2,解得： b = 6.∴ 该一次函数的表达式为y = −2x + 6.∵ k = −2 < 0，∴ y 随x 的增大而减小，故①正确；∵ 当x = 6时，则y = −2 × 6 + 6 = −6，∴ 点(6,−6)在一次函数图像上，故②正确；∵ 当x = 3时，y = 0，y 随x 的增大而减小，∴ 当x > 3时，y < 0，故③错误；∵ k = −2，b = 6，∴ y = (k−1)x + b = −3x + 6.∵ −3 < 0，∴ 函数y = −3x + 6，y 随x 的增大而减小，又∵ 当 x=2 时，y = −3 × 2 + 6 = 0，∴ 当x < 2时，y > 0，即当x < 2时，(k−1)x + b = −3x + 6 > 0，故④错误. 综上所述，正确的有①②共2个.， ＝ ， A 4 4 256 故选C .10.B【解答】3 ∵ 直线l 的解析式为；y = 3 x ，∴ l 与x 轴的夹角为30 ∘，∵ AB // x 轴，∴ ∠ABO ＝30 ∘ ，∵ OA ＝1，∴ OB ＝2，∴ AB = 3，∵ A 1B ⊥ l ，∴∠ABA 1＝60 ∘ ∠BA 1O 30 ∘ ∴A 1O ＝4， ∴A 1(0, 4)，同理可得A 2(0, 16)， …4 ∴ 纵坐标为 ＝ ，∴ A 4(0, 256)．二、 填空题11.y = −2x + 6【解答】解：∵ 直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位长度，所得到的直线解析式是y = −2x + 6.故答案为：y = −2x + 6.12.2或1【解答】解：∵ 直线y = x−a不经过第四象限，∴ −a ≥ 0，∴ a ≤ 0，∴ −4a ≥ 0.∵ ax2 + 2x + 1 = 0，当a ≠ 0时，Δ = b2−4ac = 22−4a = 4−4a > 0，此时方程有2个实数解；当a = 0时，方程为2x + 1 = 0，此时有1个实数解；∴ 方程ax2 + 2x + a = 0有2个或1个实数解.故答案为：2或1.13.5【解答】解：设这三点所在的直线的解析式为y = kx + b.把点(3,0)，(0,−3)代入y = kx + b，得{3k + b = 0,b = −3，{ k = 1,解得b = −3.∴ 这三点所在的直线的解析式为y = x−3.把(m,2)代入y = x−3，得m−3 = 2.{ 解得m = 5.故答案为：5.14.25【解答】解：设一次函数y = kx + b (k ≠ 0)，由题意，得4 = 30k + b ， 12 = 40k + b ， 4 k = ，5 解得： b = −20.4y = x−20 故一次函数的解析式为： 5 .4 当y = 0时，5x−20 = 0，解得x = 25，故旅客最多可免费携带25kg 行李． 故答案为：25．三、 解答题15.解：(1)由题意得：2m + 1 < 0，1m < − 解得：2． (2)将点(−1,1)代入可得：1 = −(2m + 1) + 3 + m ，解得：m = 1，∴ y = 3x + 4.令x = 0，则y = 4，∴ 函数图象经过点(−1,1)，(0,4)，作出函数图象如图所示.{ l 1 1 2 2 l 2 216.解：(1)把点A(6, 3)，B(12, 0)代入直线l 1:y 1 = k 1x + b 1，1{ 6k 1 + b 1 = 3， k = − ， 2 得 12k 1 + b 1 = 0， 解得 b 1 = 6， 1y = − x + 6 ∴ 直线 的表达式为 2 .将A(6, 3)代入直线l 2:y 2 = k 2x ，1 k = 解得 ，1 y = x ∴ 直线 的表达式为2 .(2)由图象可知：不等式k 1x + b 1 < k 2x 的解集为x > 6.17.解：(1)将A(−1,m)和B(n,2)代入一次函数y = 2x−2中，{m = −1 × 2−2,得 2 = 2n−2,{m = −4,解得 n = 2.(2)令y = 0，得2x−2 = 0，解得x = 1，所以该直线与x 轴的交点坐标为(1,0).18. 1 {解：(1)由图象可知y 1过点(0,3)，(3,0)，代入y 1 = kx + b ，得y 1 = −x + 3．y 2过点(0,5)，(−5,0)，代入y 2 = mx + n ，得y 2 = x + 5．{y = −x + 3, {x = −1,联立方程组 y = x + 5, 解得 y = 4,所以y 1和y 2交点的坐标为(−1,4)．(2)依图象可得当y 1 < y 2时，x > −1．19.解：(1)把x = 1代入y = x + 1，得出y = 2，所以点P 的坐标为(1, 2)，函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P(1, 2)，即x = 1，y = 2同时满足两个一次函数的解析式．{x−y = −1， {x = 1， 所以关于x ，y 的方程组 {x = 1， ax−y = −3 的解是 y = 2. 故答案为： y = 2.(2)把P(1, 2)代入y = ax + 3中，可得2 = a + 3，解得a =−1． 故答案为：−1.(3)因为函数y = x + 1与x 轴的交点为(−1, 0)，y = −x + 3与x 轴的交点为(3, 0)，所以这两个交点之间的距离为3−(−1) = 4，因为P(1, 2)，所以函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x 轴围成的几何图形的面积为： 1 × 4 × 2 = 42 ． 20.时， ， 解：(1)设y = kx + b(k ≠ 0)，将(25, 110)，(30, 100)代入，{110 = 25k + b ， 得： 100 = 30k + b ， {k = −2， 解得： b = 160，∴ y = −2x + 160.(2)设超市日销售利润为w 元，w = (x−20)(−2x + 160)= −2x 2 + 200x−3200= −2(x−50)2 + 1800，∵ −2 < 0，∴ 当20 ≤ x ≤ 40时，w 随x 的增大而增大，∴ 当x = 40时，w 取得最大值为：w = −2(40−50)2 + 1800 = 1600.答：当每千克水果的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元. 21.解：(1)∵ 点A (0,15)在直线AB 上，故可设直线AB 的表达式为y = kx + 15.又∵ 点B (20,0)在直线AB 上，∴ 20k + 15 = 0，3k = − ∴ 4，3 ∴ 直线AB 的表达为y = −4x + 15 .(2) 过C 作CM//x 轴交AB 于M ，∵ 点C 的坐标为(m,9)，∴ 点M 的纵坐标为9.3当y = 9 −4x + 15 = 9152 + 202 时， ， 解得x = 8，∴ M(8,9)，∴ CM = |m−8|，∴S △ ABC = S △ AMC + S △ BMC1 = CM ⋅ (y A −y M ) +2 1 CM ⋅ (y M −y B ) 21 = CM ⋅ OA =2 15 |m−8| 2 .∵ S △ ABC = 30，15 ∴ 2 |m−8| = 30，解得m = 4或m = 12 .(3) ①当点P 在线段AB 上时，若点P 在B ，Q 之间，当OQ = OD = 12，且∠POQ = ∠POD 时，△ OPQ ≅ △ OPD .∵ OA = 15，OB = 20，∴ AB = = 25.设△ AOB 中AB 边上的高为h ，则AB ⋅ h = OA ⋅ OB ，∴ h = 12，∴ OQ ⊥ AB ，∴ PD ⊥ OB ，∴ 点P 的横坐标为12.3当x = 12y = −4x + 15 = 6 ∴ P 1(12,6) .若点P 在A ，Q 之间，当PQ = OD = 12，且∠OPQ = ∠POD 时有 △ POO ≅ △ OPD ，则 ，时， ， 则BP = OB = 20，∴ BP:AB = 20:25 = 4:5，4∴ S △ POB = 5S △ AOB .作PH ⊥ OB 于H ，1 S △ POB = 2OB ⋅ PH 1 4 OB ⋅ PH = ∴2 5 1 × OB ⋅ OA2 ，∴ PH = 4 4 OA = 5 5 × 15 = 12 .3 当y = 12时，−4x + 15 = 12， 解得x = 4，∴ P 2(4,12).②当点P 在AB 的延长线上时，若点Q 在B ，P 之间，且PQ = OD ，∠OPQ = ∠POD 时， △ POQ ≅ △ OPD ， 作OM ⊥ AB 于M ，PN ⊥ OB 于N ，则PN = OM = 12，∴ 点P 的纵坐标为−12，3当y = −12−4x + 15 = −12 解得x = 36，∴ P 3(36,−12).若点Q 在BP 的延长线上或BP 的反向延长线上，都不存在满足条件的P ，Q 两点． 综上所述，满足条件的点P 为P 1(12,6)，P 2(4,12)，P 3(36,−12). 22.解：(1)由题意得：(130−100) × 80 = 2400（元），∴ 商家降价前每星期的销售利润为2400元 .(2)y = 130−x × 20 + 80 5 由题意可得：，即y = −4x + 600 ．(3) 设每星期的销售利润为w 元，则w = (x−100)y= (x−100)(−4x + 600)= −4(x−125)2+ 2500，∴ 当每件售价定为125元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润是2500元.。

一次函数考点1：一次函数图象与性质1．（2021·辽宁丹东市·中考真题）若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根.且k b <.则一次函数y kx b =+的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【分析】根据一元二次方程的解法求出k 、b 的值.由一次函数的图像即可求得． 【详解】∵实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根.且k b <. ∵3,1k b =-=,∵一次函数表达式为31y x =-+.有图像可知.一次函数不经过第三象限． 故选：C ．2．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知反比例函数ky x=.当0x <时.y 随x 的增大而减小.那么一次的数y kx k =-+的图像经过第（ ） A ．一.二.三象限 B ．一.二.四象限 C ．一.三.四象限 D ．二.三.四象限【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性得到0k >.再利用一次函数的图象与性质即可求解．解：∵反比例函数ky x=.当0x <时.y 随x 的增大而减小. ∵0k >.∵y kx k =-+的图像经过第一.二.四象限. 故选：B ．3．（2021·湖北中考真题）下列说法正确的是（ ） A ．函数2y x =的图象是过原点的射线 B ．直线2y x =-+经过第一､二､三象限C ．函数()20y x x=-<.y 随x 增大而增大 D ．函数23y x =-.y 随x 增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】A 、函数2y x =的图象是过原点的直线.则此项说法错误.不符题意；B 、直线2y x =-+经过第一､二､四象限.则此项说法错误.不符题意；C 、函数()20y x x=-<.y 随x 增大而增大.则此项说法正确.符合题意； D 、函数23y x =-.y 随x 增大而增大.则此项说法错误.不符题意； 故选：C ．4．（2020•成都）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 值的增大而增大.则常数m 的取值范围为 ．【分析】先根据一次函数的性质得出关于m 的不等式2m ﹣1＞0.再解不等式即可求出m 的取值范围．【解析】∵一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2中.函数值y 随自变量x 的增大而增大.∵2m ﹣1＞0.解得m ＞12．故答案为：m ＞12．考点2：一次函数解析式的确定5．（2021·甘肃武威市·中考真题）将直线5y x =向下平移2个单位长度.所得直线的表达式为（ ） A ．52y x =- B ．52y x =+C ．()52y x =+D ．()52y x =-【答案】A只向下平移.让比例系数不变.常数项减去平移的单位即可． 【详解】解：直线5y x =向下平移2个单位后所得直线的解析式为5-2y x = 故选:A6．（2021·安徽）某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm.44码鞋子的长度为27cm.则38码鞋子的长度为（ ） A ．23cm B ．24cmC ．25cmD ．26cm【答案】B 【分析】设y kx b =+.分别将()22,16和()44,27代入求出一次函数解析式.把38x =代入即可求解． 【详解】解：设y kx b =+.分别将()22,16和()44,27代入可得：16222744k bk b =+⎧⎨=+⎩. 解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ .∵152y x =+. 当38x =时.1385242y cm =⨯+=.故选：B ．7．（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中.若将一次函数21y x m =+-的图象向左平移3个单位后.得到个正比例函数的图象.则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m 的值． 【详解】解：将一次函数21y x m =+-的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：2(3)1y x m =++-. 化简得：25y x m =++.∵平移后得到的是正比例函数的图像.∵50m+=.解得：5m=-.故选：A．8．（2021·山东中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象.各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0.1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述.写出满足上述性质的一个函数表达式为_______．【答案】y=-x+1（答案不唯一）．【分析】设一次函数解析式为y=kx+b.根据函数的性质得出b=1.k＜0.从而确定一次函数解析式.本题答案不唯一．【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b.∵函数的图象经过点（0.1）.∵b=1.∵y随x的增大而减小.∵k＜0.取k=-1.∵y=-x+1.此函数图象不经过第三象限.∵满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．9．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数m yx =的图象相交于A(2.3).B(6.n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l.l与两坐标轴分别相交于M.N.与反比例函数的图象相交于点P.Q.求PQMN的值【答案】（1）一次函数y=142x-+.（2）12PQMN=．【分析】（1）利用点A(2.3).求出反比例函数6yx=.求出B(6.1).利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用平移求出y=142x--.联立1426y xyx⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt∵MON中.由勾股定理MN=45PQ=5【详解】解：（1）∵反比例函数myx=的图象过A(2.3).∵m=6,∵6n=6.∵n=1.∵B（6,1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数6yx=的图象相交于A(2.3).B(6.1)两点.∵61 23 k bk b+=⎧⎨+=⎩.解得124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩.一次函数y=14 2x-+.（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l.得y=14 2x--.当y=0时.1402x.8x=-.当x=0时.y=-4.∵M（-8.0）.N（0.-4）.1426y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去y 得28120x x ++=. 解得122,6x x =-=-. 解得1123x y =-⎧⎨=-⎩.2261x y =-⎧⎨=-⎩.∵P (-6,-1),Q (-2,-3), 在Rt ∵MON 中.∵MN 2245OM ON +=, ∵PQ ()()22261325-++-+=∵251245PQ MN ==．考点3：一次函数与方程、不等式的关系10．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）点(),P a b 在函数43y x =+的图象上.则代数式821a b -+的值等于（ ）A ．5B ．-5C ．7D ．-6【答案】B 【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式可以求得a 、b 间的数量关系.所以易求代数式8a -2b +1的值． 【详解】解：∵点P （a .b ）在一次函数43y x =+的图象上. ∵b =4a +3.8a -2b +1=8a -2（4a +3）+1=-5.即代数式821a b -+的值等于-5． 故选：B ．11．（2020•乐山）直线y ＝kx +b 在平面直角坐标系中的位置如图所示.则不等式kx +b ≤2的解集是（ ）A ．x ≤﹣2B ．x ≤﹣4C ．x ≥﹣2D ．x ≥﹣4【分析】根据待定系数法求得直线的解析式.然后求得函数y ＝2时的自变量的值.根据图象即可求得．【解析】∵直线y ＝kx +b 与x 轴交于点（2.0）.与y 轴交于点（0.1）. ∵{2k +b =0b =1.解得{k =−12b =1 ∵直线为y =−12x +1.当y ＝2时.2=−12x +1.解得x ＝﹣2.由图象可知：不等式kx +b ≤2的解集是x ≥﹣2. 故选：C ．12．（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图.直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P .根据图象可知.方程x +5＝ax +b 的解是（ ）A ．x ＝20B ．x ＝5C ．x ＝25D ．x ＝15【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【解析】∵直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P （20.25） ∵直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P 为x ＝20．故选：A ．考点4：一次函数的实际应用13．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图1.小刚家.学校、图书馆在同一条直线上.小刚骑自行车匀速从学校到图书馆.到达图书馆还完书后.再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离()m y 与他所用的时间()min x 的函数关系如图2所示．（1）小刚家与学校的距离为___________m .小刚骑自行车的速度为________m/min ； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中.y 与x 的函数表达式； （3）小刚出发35分钟时.他离家有多远?【答案】（1）3000.200；（2）()20090002045y x x =-+≤≤；（3）2000m 【分析】（1）从起点处为学校出发去处为图书馆.可求小刚家与学校的距离为3000m.小刚骑自行车匀速行驶10分钟.从3000m 走到5000m 可求骑自行车的速度即可； （2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程.利用待定系数法求解析式即可；（3）小刚出发35分钟.在返回家的时间内.利用函数解析式求出当35x =时.函数值即可． 【详解】解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆.从起点3000m 处为学校出发去5000m 处为图书馆.∵小刚家与学校的距离为3000m.小刚骑自行车匀速行驶10分钟.从3000m 走到5000m. 行驶的路程为5000-3000=2000m. 骑自行车的速度为2000÷10=200m/min. 故答案为：3000.200；（2）小刚从图书馆返回家的时间：()500020025min ÷=．总时间：()252045min +=． 设返回时y 与x 的函数表达式为y kx b =+. 把()()20,5000,45,0代入得：205000450k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得.2009000k b =-⎧⎨=⎩.()20090002045y x x ∴=-+≤≤．（3）小刚出发35分钟.即当35x =时.2003590002000y =-⨯+=.答：此时他离家2000m ．14．（2021·贵州毕节市·中考真题）某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲､乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人1000元,经协商,甲旅行社的优惠条件是:老师､学生都按八折收费:乙旅行社的优惠条件是:两位老师全额收费,学生都按七五折收费,（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x 名,y 甲,y 乙（单位:元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用,求y 甲,y 乙关于x 的函数解析式； （2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少?【答案】（1）甲800y x = ,乙750500y x =+ （2）当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等． 【分析】（1）根据旅行社的收费=老师的费用+学生的费用,再由总价=单价×数量就可以得出y 甲 ､y 乙与x 的函数关系式;（2）根据（1）的解析式,若y y =甲乙,y y >甲乙,y y <甲乙,分别求出相应x 的取值范围,即可判断哪家旅行社支付的旅游费用较少． 【详解】 （1）由题意,得甲10000.8800y x x =⨯⨯=,乙1000210000.75(2)750500y x x =⨯+⨯-=+,答：y 甲 ､y 乙 与x 的函数关系式分别是: 甲800y x = ,乙750500y x =+（2）当y y =甲乙时,800750500x x =+,解得10x = , 当y y >甲乙时,800750500x x =+,解得10x >, 当y y <甲乙时,800750500x x =+,解得10x <,答：当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等．15．（2021·辽宁大连市·中考真题）如图.四边形ABCD 为矩形.3AB =.4BC =.P 、Q 均从点B 出发.点P 以2个单位每秒的速度沿BA AC -的方向运动.点Q 以1个单位每秒的速度沿BC CD -运动.设运动时间为t 秒． （1）求AC 的长； （2）若BPQSS =.求S 关于t 的解析式．【答案】（1）5AC =；（2）223,023123,455228,4t t S t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩【分析】（1）由题意易得90B ∠=︒.然后根据勾股定理可求解； （2）由题意易得∵当点P 在AB 上时.即302t ≤≤.则2,BP t BQ t ==.∵当点P 在AC 上.点Q 在BC 上时.即342t <≤.过点P 作PE ∵BC 于点E .然后可得()382,825PC t PE t =-=-.∵当点P 与点C 重合.点Q 在CD 上时.即4t >.则有4,7BP CQ t ==-.进而根据面积计算公式可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形.∵90B ∠=︒.∵3AB =.4BC =. ∵225AC AB +BC ；（2）由题意得当点P 到达点C 时.点Q 恰好到达点C .则有：当点P 在AB 上时.即302t ≤≤.如图所示：∵2,BP t BQ t ==. ∵211222S BP BQ t t t =⋅=⨯⨯=； 当点P 在AC 上.点Q 在BC 上时.即342t <≤.过点P 作PE ∵BC 于点E .如图所示：∵82PC t =-.由（1）可得3sin 5PCE ∠=. ∵()3sin 825PE CP PCE t =⋅∠=-. ∵()21133128222555S BQ PE t t t t =⋅=⨯⨯-⨯=-+； 当点P 与点C 重合.点Q 在CD 上时.即4t >.如图所示：∵4,4BP CQ t ==-. ∵()11442822S BP PQ t t =⋅=⨯⨯-=-； 综上所述：S 关于t 的解析式为223,023123,455228,4t t S t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩． 16．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发.沿着同一方向到达乙地.甲乙两地之间的距离是720米.先到乙地的人原地休息.已知小刚先从甲地出发4秒后.小亮从甲地出发.两人均保持匀速前行．第一次相遇后.保持原速跑一段时间.小刚突然加速.速度比原来增加了2米/秒.并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S （米）与小亮出发时间t （秒）之间的函数图象.如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m =_______.n =______；（2）求CD 和EF 所在直线的解析式；（3）直接写出t 为何值时.两人相距30米．【答案】（1）160163，；（2）80(4880)CD S t t =-+≤≤；40057201443EF S t t ⎛⎫-+≤≤ ⎝=⎪⎭；（3）t 为46 .50.110.138时.两人相距30米．【分析】（1）依次分析A 、B 、C 、D 、E 、F 各点坐标的实际意义：A 点是小刚先走了4秒.B 点小亮追上小刚.相遇.C 点是小刚开始加速.D 点是小刚追上小亮.E 点是小刚到达乙地.F 点是小亮到达乙地.则根据A 点的意义.可以求出m 的值.根据E 点的意义可以求出n 的值；（2）根据题意分别求得C 、D 、E 、F 各点坐标.代入直线解析式.用待定系数法求得解析式；（3）根据题意分别求出写出,,,BC CD DE EF 四 条直线的解析式.令S=30.即可求解．【详解】（1）∵小刚原来的速度1644=÷=米/秒.小亮的速度7201445=÷=米/秒B 点小亮追上小刚.相遇4165m m ∴⨯+=⨯=16m ∴E 点是小刚到达乙地720805160[(80)80](65)423-⨯∴+-⨯-=+ 1603n ∴=． （2）由题意可知点C 横坐标为801616482-+= ∵小刚原来的速度1644=÷=米/秒.小亮的速度7201445=÷=米/秒∵纵坐标为()()54481632-⨯-=()48,32C ∴设11(48,32)(80,0)CD S k t b C D =+，，11114832800k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：11180k b =-⎧⎨=⎩ 80(4880)CD S t t ∴=-+≤≤E 的横坐标为7208054008063-⨯+= E 的纵坐标为40016080(65)33⎛⎫--= ⎪⎝⎭400160(,)33E ∴ (144,0)F 设22EF S k t b =+代入可得2222400160331440k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得：225720k b =-=40057201443EF S t t =⎛⎫∴-+≤≤ ⎪⎝⎭． （3）(16,0)B ,()48,32C .(80,0)D .400160(,)33E .(144,0)F 设33(48,32)(16,0)BC S k t b C B =+，， 33334832160k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：33=16k b -=1， ()161648BC S t t ∴<≤=- 设44400160(80,0),(,)33DE S k t b D E =+， 444440016033800k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得：441,80k b ==-40083008DE S t t ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝=⎭- 当S=30时 1630,46BC S t t =-==. 8030,50CD S t t =-+==. 80=30,110DE S t t =-=. 5720=30,138EF S t t -+== ∴t 为46 .50.110.138时.两人相距30米.。

第3题图
微专题 一次函数的交点问题
4. 规定：对于给定的一次函数y＝k1x＋b1(其中k1，b1为常数，且k1≠0)，其关联函数
为k1 x b1 x 0
k2 x
b2
x
x
0 2 x ，0(其中k1－k2＝0，b1＋b2＝0)．例如，一次函数y＝x＋2，其关联函
y
数为
x 2x 0
.
问题解决： (解1)点：A(1()－一5次，函2)数在y一＝次x＋函m数的y＝关x联＋函m数的为关联y 函数x 的m 图x象0上，，求m的值；
第5题解图②
微专题 一次函数的交点问题
∵DE的解析式为y＝mx＋10，∴ D
10 ,0 m
∴点N的横坐标为 2m 5 ，纵坐标为 5 +2 ，
m
m
∵BN＝NE，∴ E 4 10 , 10
mm
把点E坐标代入直线DE的解析式得
10 m
m4
10 m
10 ，解得 m
10 .
2
2
∴4 1 4 b ，解得b＝2
2
∴b的取值范围为1＜b≤2.
第2题解图
微专题 一次函数的交点问题
类型二 直线与线段的交点问题
例4 (2020保定一模)如图，已知点A(2，0)，B(0，1)，以AB为边作菱形ABCD，使
点C，D在第一象限，且对角线BD∥x轴，点P(－2，4)总在直线l：y＝kx＋2k＋4(k≠0)
(5)当一次函数y＝3x－b的图象与线段AB有交点时，b的取值范围为_0___b__9__； (6)当一次函数y=-x+b与线段AC所在的直线交点在第二象限时，b的取值范围为-_5__b__52．
微专题 一次函数的交点问题

2021年中考数学第三轮冲刺解答题：平面直角坐标系一次函数 专题复习1、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ． （1）求交点P 的坐标； （2）求PAB ∆的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．2、定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB=43．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线kyx=的一个分支过点O'．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．5、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OB=．OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．6、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)-，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，2过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA 与PM 的数量关系为 PA PM = ，其理由为： ．（2）在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格：猜想：（3）请根据上述表格中P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ，猜想曲线L 的形状是 ． 验证：（4）设点P 的坐标是(,)x y ，根据图1中线段PA 与PM 的关系，求出y 关于x 的函数解析式． 应用：（5）如图3，点(B -，C ，点D 为曲线L 上任意一点，且30BDC ∠<︒，求点D 的纵坐标D y 的取值范围．7、将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(2,0)A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）． （Ⅰ）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分为四边形，O P '，O Q '分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分的面积为S ，当13t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．8、如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题： （1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数ky x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 、BC 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的两个根（BC ＞AB ），OA ＝2OB ，边CD 交y 轴于点E ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点E 出发沿折线段ED ﹣DA 向点A 运动，运动的时间为t （0≤t ＜6）秒，设△BOP 与矩形AOED 重叠部分的面积为S ． （1）求点D 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为M ，9OM =． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PEOD的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若DHE DPH ∠=∠，GQ FG -，求点P 的坐标．11、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +3与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，点C 在射线BO 上，点D 在射线BA 上，且BD ＝OC ，以CO ，CD 为邻边作▱COED ．设点C 的坐标为（0，m ），▱COED 在x 轴下方部分的面积为S ．求： （1）线段AB 的长；（2）S 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．参考答案2021年中考数学第三轮冲刺解答题：平面直角坐标系一次函数 专题复习1、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ． （1）求交点P 的坐标； （2）求PAB ∆的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）由11222y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得22x y =⎧⎨=-⎩， (2,2)P ∴-；（2）直线112y x =--与直线22y x =-+中，令0y =，则1102x --=与220x -+=， 解得2x =-与1x =，(2,0)A ∴-，(1,0)B ， 3AB ∴=，11||32322PAB P S AB y ∆∴==⨯⨯=； （3）如图所示：自变量x 的取值范围是2x <．2、定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分ET＝DT、ET＝ED、DE＝DT三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②点T（，），则ET2＝（t﹣）2，DE2＝（t﹣3）2+（2t+3）2，DT2＝（3﹣）2+（）2，当ET＝DT时，（3﹣）2+（）2＝（t﹣）2，解得：t＝﹣；当ET＝ED时，无解；当DE＝DT时，无解；故点E的坐标为（﹣，﹣）．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB=43．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线kyx=的一个分支过点O'．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解方程：x2-9x+20=0，得x1=4，x2=5，∵OA<AB，∴OA=4，AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，∵tan∠OCB=43，BD=OA=4，OD=AB=5，∴CD=3，∴OC=8，∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）∵AB//OC，OQ=AB=5，∠AOQ=90º，∴四边形AOQB为矩形，∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ=O Q'=5，∴O B'==3，∴A O'=2，∴O'(2, 4)，∴248k=⨯=；（3）存在．①以O '，Q 为边时，点M 的坐标为50,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当点M 的坐标为50,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为13(3)2N -，；当点M 的坐标为10,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为21(4)3N --，；当点M 的坐标为150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点N 的坐标为31(3)4N -，； ②以O '，Q 为对角线时，点M 的坐标为()2,0M ，此时点N 的坐标为4(5)N ，4，综上所述，点N 的坐标为：13(3)2N -，，21(4)3N --，，31(3)4N -，，4(5)N ，4．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝6．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD ＝30°时，求点C 的坐标；（2）设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为时，求OA 的长；（3）当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值．【解答】解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．5、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OB ．OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，//AE DF ，//AD EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， 四边形ABCD 是正方形，AC AB OC OB ∴===，90ACE ABD ∠=∠=︒， E ，D 分别是OC ，OB 的中点， CE BD ∴=，()CAE ABD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=，∴四边形AEFD 是菱形．（2）解：如图1中，连接DE ．184162ADB ACE S S ∆∆==⨯⨯=， 14482EOD S ∆=⨯⨯=， 264216824AED ABD EOD ABOC S S S S ∆∆∆∴=--=-⨯-=正方形， 248AED AEFD S S ∆∴==菱形．（3）解：如图1中，连接AF ，设AF 交DE 于K ， 4OE OD ==，OK DE ⊥，KE KD ∴=，OK KE KD ∴===，8AO=，AK∴=，3AK DK∴=，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN x⊥轴于N，交AC于M，设AM t=．菱形PAQG∽菱形ADFE，3PH AH∴=，//HN OQ，QH HP=，ON NP∴=，HN∴是PQO∆的中位线，8ON PN t∴==-，90MAH PHN AHM∠=∠=︒-∠，90PNH AMH∠=∠=︒，HMA PNH∴∆∆∽，∴13 AM MH AHNH PN PH===，33HN AM t∴==，83 MH MN NH t∴=-=-，3PN MH=，83(83)t t∴-=-，2t ∴=，22(8)12OP ON t ∴==-=，(12,0)P ∴．如图3中，过点H 作HI y ⊥轴于I ，过点P 作PN x ⊥轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：AMH HNP ∆∆∽， ∴13AM MH AH HN PN HP ===，设MH t =， 33PN MH t ∴==，38AM BM AB t ∴=-=-， HI 是OPQ ∆的中位线，2OP IH ∴=，HIHN ∴，8924t t ∴+=-，4t ∴=，22(8)24OP HI t ∴==+=，(24,0)P ∴．②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5两种情形： 如图4中，3QH PH =，过点H 作HM OC ⊥于M ，过D 点P 作PN MH ⊥于N ．M H 是QAC ∆的中位线，142MH AC ∴==， 同法可得：HPN QHM ∆∆∽， ∴13NP HN PH HM MQ QH ===， 1433PN HM ∴==， 43OM PN ∴==，设HN t =，则3MQ t =， MQ MC =，4383t ∴=-， 209t ∴=， 5649OP MN t ∴==+=， ∴点P 的坐标为56(9，0)．如图5中，3QH PH =，过点H 作HM x ⊥轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN HM ⊥于N ．IH 是ACQ ∆的中位线，2CQ HI ∴=，4NQ CI ==， 同法可得：PMH HNQ ∆∆∽， ∴13MH PM PH NQ HN HQ ===，则1433MH NQ ==， 设PM t =，则3HN t =，HN HI =，4383t ∴=+， 289t ∴=， 849OP OM PM QN PM t ∴=-=-=-=， 8(9P ∴，0)． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H作HM y⊥轴于于点M，交AB于I，过点P作PN HM⊥于N．//HI x轴，AH HP=，4AI IB∴==，4PN IB∴==，同法可得：PNH HMQ∆∆∽，∴13 PN HN PHHM MQ HQ===，312MH PN∴==，4HI M H M I=-=，HI是ABP∆的中位线，28BP IH∴==，16OP OB BP∴=+=，(16,0)P∴，综上所述，满足条件的点P的坐标为(12,0)或(24,0)或56(9，0)或8(9，0)或(16,0)．6、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)-，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为PA PM=，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是(,)x y，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点(B-，C，点D为曲线L上任意一点，且30BDC∠<︒，求点D的纵坐标y的取值范围．D【解答】解：（1）分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，GH∴是AM的垂直平分线，点P是GH上一点，∴=（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），PA PM故答案为：PA PM=，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点(2,0)P a-，(0)M-时，设点(2,)a<=，PA PM∴-=，a2∴=-，a∴点(2,2)P--，当点(4,0)M 时，设点(4,)P b ，(0)b <PA PM =，b ∴-，5b ∴=-，∴点(4,5)P -，故答案为：(2,2)--，(4,5)-； （3）依照题意，画出图象，猜想曲线L 的形状为抛物线， 故答案为：抛物线；（4）PA PM =，点P 的坐标是(,)x y ，(0)y <，y ∴-= 2114y x ∴=--；（5）点(B -，C ，2BC ∴=，2OB ，2OC ，BC OB OC ∴==， BOC ∴∆是等边三角形， 60BOC ∴∠=︒，如图3，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，交抛物线L 与点E ，连接BE ，CE ，30BEC ∴∠=︒，设点(,)E m n ， 点E 在抛物线上，2114n m ∴=--，2OE OB ==，∴2，12n ∴=-22n =+（舍去）， 如图3，可知当点D 在点E 下方时，30BDC ∠<︒，∴点D 的纵坐标D y 的取值范围为2D y <-7、将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(2,0)A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）． （Ⅰ）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分为四边形，O P '，O Q '分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O PQ '与OAB ∆重叠部分的面积为S ，当13t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P 作PH OA ⊥于H ．90OAB ∠=︒，30B ∠=︒， 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒， 906030OPH ∴∠=︒-︒=︒， 1OP =，1122OH OP ∴==，cos30PH OP =︒=，1(2P ∴．（Ⅱ）①如图②中，由折叠可知，△O PQ OPQ '≅∆，OP O P ∴='，OQ O Q ='，OP OQ t ==， OP OQ O P O Q ∴=='='，∴四边形OPO Q '是菱形，//QO OB ∴'， 30ADQ B ∴∠=∠=︒，(2,0)A ，2OA ∴=，2QA t =-，在Rt AQD ∆中，242DQ QA t ==-，34O D O Q QD t '='-=-，∴423t <<．②①当点O '落在AB 上时，重叠部分是PQO ∆'，此时23t =，22()3S == 当223t <时，重叠部分是四边形PQDC，2224)S t =--=+-，当127x ==时，S有最大值，最大值=，当1t =时，S =，当3t =时，1122S =⨯=，437S ． 8、如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题： （1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数ky x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）线段 的长是方程 的一个根， 解得：9x =或2-（舍)，而点A 在x 轴正半轴，(9,0)A ∴，12OB OA =，9(0,)2B ∴，（2）6OE =，(6,0)E ∴-，设直线AB 的表达式为y kx b =+，将点A 和B 的坐标代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，AB ∴的表达式为：1922y x =-+，点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为3-，代入AB 中，6y =，则(3,6)C -，反比例函数ky x=经过点C ， 则3618k =-⨯=-；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形111DM PN中，1M和点A重合，1(9,0)M∴，此时1(9,12)P；在四边形33DP BN中，点B和M重合，可知M在直线3y x=+上，联立：31922y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14xy=⎧⎨=⎩，(1,4)M∴，3(1,0)P∴，同理可得：2(9,12)P-，4(7,4)P-，5(15,0)P-．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为1(9,12)P，2(9,12)P-，3(1,0)P，4(7,4)P-，5(15,0)P-．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵BC＞AB，∴BC＝4，AB＝3，∵OA＝2OB，∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴点D的坐标为（﹣2，4）；（2）设BP交y轴于点F，如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴＝，即＝，∴OF＝，∴S＝OF•PE＝••t＝；如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，∵OE∥AD，∴△OBF∽△ABP，∴＝，即＝，∴OF＝，∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；综上所述，S＝；（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），∵B（1，0），E（0，4），∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，则P（﹣2，2）；②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，则P（﹣2，）；③当BE ＝PE 时，17＝m 2﹣8m +20，解得m ＝4±，则P （﹣2，4﹣）； 综上，P （﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．10、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为M ，9OM =． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PEOD的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若DHE DPH ∠=∠，GQ FG -，求点P 的坐标．【解答】解：（1）CM y ⊥轴，9OM =，9y ∴=时，394x =，解得12x =， (12,9)C ∴，(12,0)A ∴，OA OB =，(0,12)B ∴-，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有12120b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得112k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为12y x =-．（2）如图2中，90CMO MOA OAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形OACM 是矩形，12AO CM ∴==，9NC OM ==，1293MN CM NC ∴=-=-=，(3,9)N ∴，∴直线ON 的解析式为3y x =，设点E 的横坐标为4a ，则(4,0)D a ，把4x a =，代入34y x =中，得到3y a =，(4,3)E a a ∴，3DE a ∴=， 把4x a =代入，3y x =中，得到12y a =，(4,12)P a a ∴，12PD a ∴=，1239PE PD DE a a a ∴=-=-=， ∴94PE OD =．（3）如图3中，设直线FG 交CA 的延长线于R ，交y 轴于S ，过点F 作FT OA ⊥于T ．//GF x 轴，90OSR MOA ∴∠=∠=︒，90CAO R ∠=∠=︒，90BOA BSG ∠=∠=︒，OAB AFR ∠=∠，90OFR R AOS BSG ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形OSRA 是矩形，OS AR ∴=，12AR OA ==，OA OB =，45∴∠=∠=︒，OBA OAB∴∠=︒-︒=︒，904545FAR∴∠=∠，FAR AFR∴==，FR AR OS⊥，OF FQ∴∠=∠=∠=︒，OSR R OFQ90∴∠+∠=︒，OFS QFR90QFR FQR∠+∠=︒，90∴∠=∠，OFS FQROFS FQR AAS∴∆≅∆，()∴=，SF QR∠=∠=︒，SFB AFR45∴∠=∠=︒，45SBF SFB∴==，SF SB QR∠=∠，∠=∠，BSG RSGB QGR∴∆≅∆，()BSG QRG AAS∴==，SG GR6设FR m=，AF，12 =，则AR mQR SF m==-，-，GQ FG∴+-=+，GQ m m66222=+，GQ GR QR222∴+=+-，m m(6)6(12)解得4m=，∴=，4FS8AR=，OAB FAR ∠=∠，FT OA ⊥，FR AR ⊥，4FT FR AR ∴===，90OTF ∠=︒，∴四边形OSFT 是矩形，8OT SF ∴==，DHE DPH ∠=∠，tan tan DHE DPH ∴∠=∠， ∴DE DH DH PD=， 由（2）可知3DE a =，12PD a =， ∴312a DH DH a=， 6DH a ∴=，12tan 26PD a PHD DH a∴∠===， PH D FH T ∠=∠，tan 2TF FHT HT∴∠==， 2HT ∴=，OT OD DH HT =++，4628a a ∴++=，35a ∴=， 125OD ∴=，3361255PD =⨯=， 12(5P ∴，36)5．11、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ ＝AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S （S ≠0），求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．【解答】解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝，b＝4，∴直线BC的解析式；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交OA于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAE＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMPQ为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R作RH⊥MQ于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR＝，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．∵点R的纵坐标为﹣，∴RK＝，∵sin∠BCO＝，∴CR＝，BR＝，∴，a＝，∴BQ＝30a＝3，∴5+＝3，t＝，∴P（），∴，∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，∴OM＝，∴M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线PM的解析式为y＝．12、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝，因此：线段AB的长为5．（2）当CD∥OA时，如图，∵BD＝OC，OC＝m，∴BD＝m，由△BCD∽△BOA得：，即：，解得：m＝；①当0＜m≤时，如图1所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，S＝0 （0＜m≤）；②当＜m≤3时，如图2所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴，∴DF＝，同理：BF＝m，∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣4m，即：S＝m2﹣4m，（＜m≤3）③当m＞3时，如图3所示：过点D作DF⊥y轴，DG⊥x轴，垂足为、FG，同理得：DF＝，BF＝m，∴OF＝DG＝m﹣3，AG＝m﹣4，∴S＝S△OGE﹣S△ADG＝＝∴S＝，（m＞3）答：S＝。

专题20：一次函数的图像和性质-2021年中考数学考点靶向练习一、单选题1．将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）2．直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）. A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ∠=︒，4AB =，6BC =，30BAD ∠=︒．动点P 沿路径A B C D →→→从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点D 运动．过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ．设点P 运动的时间为x （单位：s ），APH 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知正比例函数(0)y kx k =≠的图象过点()2,3，把正比例函数(0)y kx k =≠的图象平移，使它过点()1,1-，则平移后的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a bab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-7．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ） A ．(2,0)B ．(-2,0)C ．(6,0)D ．(-6,0)8．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x 1,y 1)与点B(x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当-1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④9．下列命题正确的是（ ） A ．相似三角形的面积比等于相似比 B ．等边三角形是中心对称图形C ．若直线(2)3y m x =-+经过一、二、四象限，则2m >D ．二次函数222y x x =+-的最小值是3-10．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k < B ．2k >C ．0k >D ．k 0<二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．12．如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A 的坐标是_____．13．如图，∠MON ＝60°，点A 1在射线ON 上，且OA 1＝1，过点A 1作A 1B 1⊥ON 交射线OM 于点B 1，在射线ON 上截取A 1A 2，使得A 1A 2＝A 1B 1；过点A 2作A 2B 2⊥ON 交射线OM 于点B 2，在射线ON 上截取A 2A 3，使得A 2A 3＝A 2B 2；…；按照此规律进行下去，则A 2020B 2020长为_____．14．如图，已知直线:a y x =，直线1:2b y x =-和点()1,0P ，过点1P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ，过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ，过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ，…，按此作法进行下去，则点2020P 的横坐标为____．15．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系： 日期x （日） 1 2 3 4成绩y （个） 40 434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 16．将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．17．直线y =﹣2x +b 过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____．18．若一次函数y=kx+b （b 为常数）的图象过点（3，4），且与y=x 的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．19．如图，点O 为直线AB 外一定点，点P 线段AB 上一动点，在直线OP 右侧作Rt △OPQ ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P 从点A 运动到点B 时，点Q 运动的路径长是________．20．若直线y x m =+与函数223y x x =--的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线y x m =+与函数223y x x =--的图象有四个公共点，则m 的取值范围是__________．三、解答题21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y （本）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x 元（1215x ，且x 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件）是每件售价x （元）（x ．为正整数．．．．）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若用w （元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w 关于x 的函数解析式； （3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =﹣12x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B (如图)．抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．26．甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．27．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）28．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y ，(元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y (元) ，且22.y k x =其函数图象如图所示．()1求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义； ()2求打折前的每次健身费用和2k 的值；()3八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．29．已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．30．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？参考答案1．A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 2．D 【分析】根据直线y x a =+不经过第二象限，得到0a ≤，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线y x a =+不经过第二象限， ∴0a ≤，∵方程2210ax x ++=，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=2444b ac a -=-， ∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论. 3．D 【分析】分点P 在AB 边上，如图1，点P 在BC 边上，如图2，点P 在CD 边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断． 【详解】解：当点P 在AB 边上，即0≤x ≤4时，如图1， ∵AP=x ，30BAD ∠=︒， ∴13,22PH x AH x ==， ∴211332228y x x x =⋅⋅=；当点P 在BC 边上，即4＜x ≤10时，如图2， 过点B 作BM ⊥AD 于点M ，则132,23,422PH BM AB AM AB MH BP x =======-， ∴()11234223422y AH PH x x =⋅=+-⨯=+-；当点P 在CD 边上，即10＜x ≤12时，如图3， AD =236+，12PH x =-， ∴()()()()12361233122y x x =⨯+⨯-=+-；综上，y 与x 的函数关系式是：()()()()()230423441033121012y x x y x x y x x ⎧=≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪=+-<≤⎪⎪⎩，其对应的函数图象应为：．故选：D ．【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．4．D【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点()1,1-求出一次函数解析式，即可求解．【详解】 解：把点()2,3代入(0)y kx k =≠得23k =解得32k ， ∴正比例函数解析式为32y x =， 设正比例函数平移后函数解析式为32y x b =+， 把点()1,1-代入32y x b =+得3=12b +-， ∴5=2b -， ∴平移后函数解析式为3522y x =-，故函数图象大致．故选：D【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．5．A【分析】根据(2)6(2)a ba b a b a b a b ，可得当22(1)x x 时，4x ≤，分两种情况当4x ≤时和当4x >时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．【详解】解：当22(1)x x 时，4x ≤，∴当4x ≤时，(2)(1)(2)(1)213x x x x x x ， 即：3y =，当4x >时，(2)(1)(2)(1)621625x x x x x x x ，即：25y x =-，∴20k =>，∴当4x >时，25y x =-，函数图像向上，y 随x 的增大而增大，综上所述，A 选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键6．B【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点，再各函数中令y=x ，对应方程无解即不存在“好点”.【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：x =经检验x =即“好点”为）和（，），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；故选B.【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.7．B【分析】先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x 的方程，解方程即可求得答案.【详解】根据函数图象平移规律，可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+，此时与x 轴相交，则0y =，∴360x +=，即2x =-，∴点坐标为(-2，0)，故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键. 8．C【分析】把顶点坐标代入y=-x+1即可判断①；根据勾股定理即可判断②；根据在对称轴的右边y 随x 的增大而减小可判断③；；根据在对称轴的右边y 随x 的增大而增大可判断④.【详解】把（m ，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故①正确；当-(x-m)2-m+1=0时，x 1=m 2=m +若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，即m 2-m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x 1<x 2，且x 1+x 2>2m 这说明A,B 两点的中点在对称轴右侧，∴B 离对称轴比A 点远 ∴y 1>y 2，故③错误；∵-1<0, ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∴m≥2，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本体的关键. 对于二次函数y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.其顶点坐标是(h ，k )，对称轴为直线x =h .9．D【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数图像特点，二次函数的最值分别判断得出即可．【详解】解：（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方，此命题错误；（2）等边三角形不是中心对称图形，此命题错误；（3）若直线(2)3y m x =-+经过一、二、四象限，则20m -<，2m <，故此选项错误；（4）二次函数222y x x =+-可化为()213y x =+-，故二次函数222y x x =+-的最小值是3-，此命题正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的性质定理做出判断是解题关键．10．B【解析】【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k 的取值范围．【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y 随x 的增大而增大，∴k-2＞0，∴k ＞2，故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x 的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．11．（-1，0）【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形．12．（4，125）【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．【详解】解：在542y x=+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x=+，解得x=8-5，∴A（8-5，0），B（0，4），由旋转可得△AOB ≌△A1O1B，∠ABA1=90°，∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=85，OB=O1B=4，∴∠OBO1=90°，∴O1B∥x轴，∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为48-5=125；横坐标为O1B=OB=4，故点A1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．13）2019【分析】解直角三角形求出A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，探究规律利用规律即可解决问题．【详解】解：在Rt △OA 1B 1中，∵∠OA 1B 1＝90°，∠MON ＝60°，OA 1＝1，∴A 1B 1＝A 1A 2＝OA 1•tan60°∵A 1B 1∥A 2B 2， ∴222111A B OA A B OA =，11+=， ∴A 2B 2，同法可得，A 3B 32，……由此规律可知，A 2020B 20202019，）2019．【点睛】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 14．10102【分析】根据题意求出P 1,P 5,P 9…的坐标，发现规律即可求解．【详解】∵()1,0P ，1P 在直线:a y x =上 ∴1P （1,1）； ∵过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，2P 在直线1:2b y x =-上 ∴2P （-2,1）同理求出P 3（-2，-2），P 4（4，-2），P 5（4，4），P 6（-8，4），P 7（-8，-8），P 8（16，-8），P 9（16，16）… 可得P 4n+1(22n , 22n )(n≥1，n 为整数)令4n+1=2021解得n=505∴P 2021(10102,10102 )∴2020P 的横坐标为10102．【点睛】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质，找到坐标规律进行求解． 15．y=3x+37．【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得： 40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．16．122y x =+ 【分析】根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键． 17．y =﹣2x +3【分析】将(3，1)代入y =﹣2x +b ，即可求得b ，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．【详解】解：将(3，1)代入y =﹣2x +b ，得：1=﹣6+b ，解得：b =7，∴y =﹣2x +7，将直线y =﹣2x +7向下平移4个单位后所得直线的解析式是y =﹣2x +7﹣4，即y =﹣2x +3.故答案为：y =﹣2x +3．【点睛】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式，一次函数图象的平移，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.18．y=x+1【分析】根据平行直线的解析式的k 值相等求出k ，再把经过的点的坐标代入解析式中计算求出b 值，即可得解．【详解】解：∵直线y kx b =+与直线y x =平行，又∵一次函数y kx b =+（b 为常数）的图象过点（3，4），∴34k b +=，∵1k =，∴1b =，∴这个一次函数的解析式为1y x =+，故答案为：1y x =+．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法，根据平行直线的解析式中的k 值相等得到k 的值是解题的关键，也是本题的突破口．19【分析】首先根据题意可知所有的Rt △OPQ 都是相似的，从而得出点Q 实质就是在一条竖直的直线上运动，据此我们假设点O 在点A 的正上方，且设点O （0，3），点A （0，0），点B （3，0），点P （x p ，0），其中0≤x p ≤3，通过待定系数法求出直线OP 的解析式为：33p y x x =-+，由此得出直线OQ 的解析式为：33p x y x =+，据此利用特殊角的三角函数值得出()()222OQ OP =⎝⎭，最后在此基础上作进一步分析即可. 【详解】 由题意得：所有的Rt △OPQ 都是相似的，∴点Q 实质就是在一条竖直的直线上运动，∴假设点O 在点A 的正上方，再设点O （0，3），点A （0，0），点B （3，0），点P （x p ，0），其中0≤x p ≤3， ∴设直线OP 的解析式为：y kx b =+，则30p b kx b =⎧⎨=+⎩， ∴33p b k x =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线OP 的解析式为：33p y x x =-+， ∵OP ⊥OQ ，∴直线OQ 的解析式为：33p x y x =+，∴点Q （x Q ，33p Q x x +）， ∴(tan30°)2=()()2223OQ OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴2223273,9p Q p x x x +==+∴x Q =3，y Q =33p x +， 又∵0≤x p ≤3， ∴3≤y Q ≤3+3，∴点Q 运动的长度为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一次函数与特殊角三角函数值的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20．()3,0 1314m <<【分析】作出223y x x =--和y x m =+的图象，根据图象性质即可求出． 【详解】①作出223y x x =--和y x m =+的图象，如图所示观察图形即可看出，当直线y x m =+过（3，0）时，与函数223y x x =--的图象只有一个交点，所以答案为（3,0）；②联立223y x m y x x =+⎧⎨=-++⎩， 消去y 后可得：230x x m -+-=，令=0，可得14(3)0m --=，134m =， 即m=134时，直线y=x+m 与函数223y x x =--的图象只有3个交点， 当直线过点（-1，0）时，此时m=1，直线y=x+m 与函数223y x x =--的图象只有3个交点，直线y=x+m与函数y=|2-2x-3的图象有四个公共点时，m 的范围为：1314m <<； 故答案为：①(3,0)；②1314m <<． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点问题，正确作出函数图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 21．（1）501100y x =-+；（2）销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得w 与x 的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式是(0)y kx b k =+≠，把12x =，500y =和14x =，400y =代入，得 1250014400k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：501100k b =-⎧⎨=⎩， 501100∴=-+y x ；（2）根据题意，得(10)=-w x y()()10501100x x =--+250160011000=-+-x x()250161800x =--+；500=-<a ，w ∴有最大值，且当16x <时，w 随x 的增大而增大，1215,x x 为整数，15x ∴=时，w 有最大值，且w 最大()250151618001750=--+=（元）． 答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（1）1y x =+；（2）2m ≥【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到，∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =，∴m 的取值范围为2m ≥．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．23．（1）y=-10x+300；（2）w =-10x 2+410x-3300；（3）售价为20元或21元，利润最大，为900元．【分析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解；（2）利用利润=销售量×（售价-成本）即可表示出w ；（3）根据（2）中解析式求出当x 为何值，二次函数取最大值即可．【详解】解：（1）设y=kx+b ，由表可知：当x=15时，y=150，当x=16时，y=140，则1501514016k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：10300k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 关于x 的函数解析式为：y=-10x+300；（2）由题意可得：w =（-10x+300）（x-11）=-10x 2+410x-3300，∴w 关于x 的函数解析式为：w =-10x 2+410x-3300；（3）∵()410210-⨯-=20.5， 当x=20或21时，代入，可得：w=900，∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．【点睛】本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．24．（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： 55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+；（2）由题意得：()()502180600x x --+=，整理得214048000x x -+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =--+22(70)800x =-+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．25．（1）（2）y =﹣14x 2+52x ；（3）﹣110＜a ＜0． 【分析】（1）先求出A ，B 坐标，即可得出结论；（2）设点C （m ，-12m+5），则|m ，进而求出点C （2，4），最后将点A ，C 代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y=﹣12x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣12x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB（2）设点C(m，﹣12m+5)．∵B(0，5)，∴BC|m|．∵BC|m∴m=±2．∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得100100 424a ba b+=⎧⎨+=⎩，∴1452ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线y=﹣14x2+52x；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y =ax 2﹣10ax =a (x ﹣5)2﹣25a ，∴抛物线的顶点D 坐标为(5，﹣25a )，将x =5代入y =﹣12x +5中，得y =﹣12×5+5=52， ∵顶点D 位于△AOB 内，∴0＜﹣25a ＜52， ∴﹣110＜a ＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D 的坐标是解本题的关键．26．（1）80；（2）8040y x =-；（3）不能，理由见解析．【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；（2）根据题意求出点E 的横坐标，再利用待定系数法解答即可；（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80180÷=千米/小时；故答案为：80；（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：()24080802-÷=（小时），∴点E 的坐标为（3.5，240），设线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，则： 1.5803.5240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得8040k b =⎧⎨=-⎩， ∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为8040y x =-；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290800.5 4.125÷+=（小时），从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），∵4.125＞4，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 27．（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b ， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100608070k b k b ⎩+⎨+⎧＝＝， 解得：2220k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）设药店每天获得的利润为W 元，由题意得：w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，∵-2＜0，函数有最大值，∴当x=80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．28．（1）k 1=15，b=30；k 1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；（2）打折前的每次健身费用为25元，k 2=20；（3）方案一所需费用更少，理由见解析．【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得1k 和b 的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；（2）设打折前的每次健身费用为a 元，根据（1）中算出的1k 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到2k 的值；（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．【详解】解：（1）由图象可得：11y k x b =+经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：13018010b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：13015b k =⎧⎨=⎩， 即k 1=15，b=30，k 1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元； （2）设打折前的每次健身费用为a 元，由题意得：0.6a=15，解得：a=25，即打折前的每次健身费用为25元，k 2表示每次健身按八折优惠的费用，故k 2=25×0.8=20；（3）由（1）（2）得：11530y x =+，220y x =，当小华健身8次即x=8时，115830150y =⨯+=，2208160y =⨯=，∵150<160，∴方案一所需费用更少，答：方案一所需费用更少．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 29．（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得。

2021年中考数学专题复习：一次函数与不等式（三）1．已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（1，0）和（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是．2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，2），则不等式mx﹣b≥kx﹣n的解集为．3．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解是．4．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则的解集为．5．同一直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则满足k1x+b＞k2x的x取值范围是．6．如图．函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．7．当a取时，一次函数y＝3x+a+6与y轴的交点在x轴下方．（在横线上填上一个你认为恰当的数即可）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是．9．若直线y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l2：y＝k2x+2．当x≥4时，不等式k1x+b＞k2x+2恒成立，写出一个满足题意的k2的值为．11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是．12．一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax＜4的解集是．13．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x时，y1＜y2．第13题图第14题图14．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣c的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣c的解集是．15．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a 的解集为．16．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为．17．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．18．如图是两个一次函数y1＝mx+n和y2＝kx+b在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是．19．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为．20．若函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集为．参考答案1．解：把（1，0）和（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝2x﹣2，解不等式2x﹣2＜0得x＜1．故答案为x＜1．2．解：∵函数y＝mx+n的图象与y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，2），∴当x≥﹣1时，mx+n≥kx+b，∴不等式mx﹣b≥kx﹣n的解集为x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．3．解：方法1、∵一次函数y＝kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b＝0，b＝2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．故答案为：x＜5方法2、解：将直线y＝kx﹣b向右平移3个单位长度即可得到直线y＝k（x ﹣3）﹣b，如图所示．观察图形可知：当x＜5时，直线y＝k（x﹣3）﹣b在x轴上方．故答案为：x＜5．4．解：∵当x＞﹣2时，y＝x+b＞0，当x＜3时，y＝kx+2＞0，∴的解集为﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．5．解：当x≤﹣3时，直线l1：y1＝k1x+b都在直线l2：y2＝k2x的上方，即k1x+b ＞k2x．∴满足k1x+b＞k2x的x取值范围是x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．6．解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故答案为：x＜2．7．解：一次函数y＝3x+a+6中令x＝0，解得y＝a+6，由于交点在x轴下方，得到a+6＜0，解得a＜﹣6，因而横线上填上一个小于﹣6的数就可以．故本题答案为：﹣7．8．解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．9．解：直线y＝kx+b的图象经过点（1，0），且函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞0的解集是x＜1．故本题答案为：x＜1．10．解：∵直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），∴，解得∴直线l1的表达式为y＝x﹣3，∵当x≥4时，不等式x﹣3＞k2x+2恒成立，∴4﹣3＞4k2+2，∴k2＜﹣，∴取k2＝﹣1满足题意，故答案为﹣1．11．解：联立两函数解析式成方程组，得：，解得：．∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．故答案为：2．12．解：∵一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（1，2），∴当x＜1时，y1＞y2，∴不等式kx﹣1＜ax+3（kx﹣ax＜4）的解集为x＜1．故答案为x＜1．13．解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；故答案为＞a．14．解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣c的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等3x+b＞ax﹣c的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．15．解：由图可得，当0＜mx+n时，x＞2；当mx+n＜﹣x+a时，x＜3；∴不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3，故答案为：2＜x＜3．16．解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象与y轴交于点A（0，3），∴b＝3，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+3，解不等式﹣2x+3＞0得x＜．故答案为x＜．17．解：∵一次函数y＝kx+b的图象过（﹣6，0），∴0＝﹣6k+b，∴b＝6k，∴3kx﹣b＝3kx﹣3k＞0，∵函数图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，∴x﹣1＜0，解得：x＜1．故答案为：x＜1．18．解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x＜1．故答案为：x＜1．19．解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组的解集为：﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．20．解：函数y＝ax+b的图象经过点（2，0），函数值y随x的增大而减小，∴不等式ax+b≥0的解集为x≤2．故本题答案为：x≤2．。

中考复习专题：一次函数综合（考察坐标、长度、面积等）（四）1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于D、B两点，点C（﹣3，m）是BD上一点．（1）b＝，m＝．（2）试判断线段CA与线段BA之间的关系，并说明理由；（3）如图2，若点Q（0，﹣1）是y轴上一点，点M是直线AB上一动点，点N是直线BD 上一动点，当△MNQ是以点Q为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出相应的点M、N的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），直线1经过点B且与x轴平行．（1）直线AB的函数解析式．（2）在直线l上找到一点P，△PAO为等腰三角形，请直接写出点P的坐标；（3）点C在第一象限内，若∠BAC＝90°，AB＝AC，直线BC交x轴于点D．①求点C的坐标；②点E（2，t）是线段AB上一点，点F是线段AD上一点，若直线EF将△ABD平分为面积相等的两部分，请直接写出点F的坐标．3．（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACD＝90°，CD⊥AB于D．①此图中有对相似三角形，（直接写出答案）②求证：＝．（2）如图2，直线y＝2x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，作OC⊥AB于点C，直接写出点C的坐标．（3）如图2，如图2，直线y＝2x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，作点O关于AB 的对称点D，直接写出点D的坐标．（4）如图2，直线y＝2x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，旋转角小于180°，当旋转到∠BAO＝∠BOO′时，直接写出O′的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+4，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在直线BC上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；（3）直线AB与y轴交于点H，将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N 为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的三个顶点A ，O ，C 在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC 所在直线的解析式为y ＝kx ﹣4k （k ≠0）．（1）求A ，C 的坐标；（2）若D 为AC 中点，过D 的直线交y 轴负半轴于E ，交BC 于F ，且OE ＝1，求直线EF 的解析式；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G ，使以C ，D ，F ，G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线l 1：y ＝2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1关于坐标原点中心对称后得到直线l 2，l 2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求直线l 2的表达式；（2）求证：四边形ABCD 为菱形；（3）除菱形ABCD 外，是否在直线l 1上还存在点P ，在直线l 2上还存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P 坐标，若不存在，说明理由．7．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝3x ，直线l 2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点A 的坐标为（4，0），直线l 1与直线l 2交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求直线l 2的解析式；（2）求△OBC 的面积；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，在平面内是否存在点N ，使以O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的点N 的坐标，若不存在，说明理由．8．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，直线y ＝2x ﹣4经过线段OA 的中点D ，与y 轴交于点G ，E 是射线CG 上一点，作点E 关于直线DG 的对称点F ，连结BE ，BF ，FG ．设点E 的坐标为（0，m ）．（1）求点B 的坐标是（ ， ）．（2）如图2，当点F 落在线段BA 的延长线上时，求证：四边形BEGF 为菱形．（3）在点E 的整个运动过程中，①当S △BEG ＝S 正方形OABC 时，求线段CE 的长．②N 为平面内任意一点，当B ，E ，F ，N 四点构成的四边形为矩形时，则m 的值为 ．（请直接写出答案）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，点A 关于原点O的对称点为点D，点C在第一象限，且四边形ABCD为平行四边形．（1）在图①中，画出平行四边形ABCD，并直接写出C、D两点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，动点Q 从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．①若△POQ的面积为3，求t的值；②点O关于B点的对称点为M，点C关于x轴的对称点为N，过点P作PH⊥x轴，问MP+PH+NH是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．10．如图A（﹣10，0），B（﹣8，6），将△ABO沿AB折叠，点O落在点C处．（1）直接写出四边形BOAC是一个什么样的图形．．（2）在y轴上找点P使PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．（3）在直线y＝x+4上找点D，使点D到CA和CB的距离相等，则点D的坐标为．参考答案1．解：（1）对于y＝2x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即y＝2x+2＝0，解得x＝﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（0，2），∵直线过点B，将点B坐标代入上式并解得：故b＝2，则该直线的表达式为y＝x+2，当x＝﹣3时，y＝x+2＝1＝m，即点C（﹣3，1）；故答案为：2，1；（2）由（1）知，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，2）、（﹣3，1），则AB＝＝，同理AC＝，BC＝，则AB2+AC2＝BC2，故∠BAC为直角，且AC＝BC，故线段CA与线段BA之间的关系为垂直且相等；（3）当△MNQ是以点Q为直角顶点的等腰三角形时，∠MQN＝90°，QM＝QN，设点M、N的坐标分别为（s，2s+2）、（t，t+2），过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点H，交过点N与y轴的平行线于点G，∵∠NQG+∠MQH＝90°，∠NQG+∠QNG＝90°，∴∠MQH＝∠QNG，∵∠MHQ＝∠QGN＝90°，MQ＝NQ，∴△MHQ≌△QGN（AAS），∴MH＝GQ，NG＝QH，即2s+2﹣（﹣1）＝﹣t（或﹣1﹣2s﹣2＝﹣t），s＝t+2﹣（﹣1）（或﹣s＝t+2+1），解得：或，故点M、N的坐标分别为（﹣，）、（﹣，）或（﹣，﹣）、（﹣，）．2．解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AB的表达式为y＝﹣x+3，故答案为y＝﹣x+3；（2）设点P（m，3），则PA2＝（m﹣4）2+9，PO2＝m2+9，AO2＝16，当PA＝PO时，即（m﹣4）2+9＝m2+9，解得m＝2；当PA＝AO时，同理可得m＝4±；当PO＝AO时，同理可得m＝±；故点P的坐标为（2，3）或（2，4+）或（2，4﹣）或（2，）或（2，﹣）；（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠BAO+∠CAH＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAH＝∠ABO，∵∠BOA＝∠AHC＝90°，AB＝AC，∴△BOA≌△AHC（AAS），∴OB＝AH＝3，CH＝OA＝4，故点C（7，4）；②当x＝2时，y＝﹣x+3＝，故点E（2，），由点B、C的坐标同理可得，直线BC的表达式为y＝x+3，当y＝0，即y＝x+3＝0，解得x＝﹣21，故点D（﹣21，0），S＝×AD×OB＝×（4+21）×3＝，△ABDS＝×AF×y E＝×AF×＝＝×，△AEF解得AF＝25，故点F（﹣21，0）．3．解：（1）①∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵∠CDA＝∠BDC＝90°，∴△CDB∽△ADC，同理可证△ACD∽△ABC，故△ACB∽△ADC∽△CDB，故相似三角形有3对，故答案为3；②由△CDB∽△ADC得：＝；（2）对于y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），即OA＝4，OB＝2，则AB＝＝＝，如图，过点C作CR⊥OB于点R，。

2021年全国各省市数学中考分类汇编一次函数含答案一、选择题1. (2021·安徽省)某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为（ ）A. 23cmB. 24cmC. 25cmD. 26cm2. (2021·辽宁省丹东市)若实数k 、b 是一元二次方程（x +3）（x -1）=0的两个根，且k ＜b ，则一次函数y =kx +b 的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. (2021·湖南省娄底市)如图，直线y =x +b 和y =kx +4与x 轴分别相交于点A （-4，0），点B （2，0），则{x +b >0kx +4>0解集为（ ）A. −4<x <2B. x <−4C. x >2D. x <−4或x >24. (2021·江苏省扬州市)如图，一次函数y =x +√2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）A. √6+√2B. 3√2C. 2+√3D. √3+√25. (2021·天津市)已知函数y ＝kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，（－2，y 1）、（1，y 2）、（2，y 3）是函数y ＝（k －3）x －1图象上的三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A. y 2<y 3<y 1B. y 1<y 2<y 3C. y 3<y 1<y 2D. y 3<y 2<y 16.(2021·内蒙古自治区包头市)已知二次函数y=ax2-bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.(2021·福建省)如图，一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过点（-1，0），则不等式k（x-1）+b＞0的解集是（）A. x>−2B. x>−1C. x>0D. x>18.(2021·贵州省黔东南苗族侗族自治州)已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)或(1,2)C. (1,1)或(1,2)或(2,1)D. (0,0)或(1,1)或(1,2)或(2,1)9.(2021·辽宁省营口市)已知一次函数y=kx-k过点（-1，4），则下列结论正确的是（）A. y随x增大而增大B. k=2C. 直线过点(1,0)D. 与坐标轴围成的三角形面积为210.(2021·内蒙古自治区赤峰市)点P（a，b）在函数y=4x+3的图象上，则代数式8a-2b+1的值等于（）A. 5B. −5C. 7D. −611.(2021·广东省)直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个12.(2021·广东省)一次函数y=-3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A.y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y2<y1<y3D. y3<y1<y213.(2021·内蒙古自治区赤峰市)甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息.已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米.A. 4B. 3C. 2D. 114.(2021·江苏省苏州市)已知点A（√2，m），B（32，n）在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A. m>nB. m=nC. m<nD. 无法确定15.(2021·湖北省武汉市)一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A.53ℎ B. 32ℎ C. 75ℎ D. 43ℎ二、填空题16. (2021·辽宁省阜新市)育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h 后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s （km ）与七（2）班行进时间t （h ）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了23h 第一次返回到自己班级，则七（2）班需要______h 才能追上七（1）班．17. (2021·江苏省南通市)下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是______ ℃. 18. (2021·广西壮族自治区桂林市)如图，与图中直线y =-x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是______ .19. (2021·广西壮族自治区梧州市)如图，在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y =14x +12与直线l 2：y =kx +3相交于点A ，则方程组{y =14x +12y =kx +3的解为______ .20. (2021·贵州省毕节市)将直线y =-3x 向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______ .21. (2021·湖北省黄石市)将直线y =-x +1向左平移m （m ＞0）个单位后，经过点（1，-3），则m 的值为______ .22.(2021·江苏省无锡市)请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：______ .23.(2021·四川省眉山市)一次函数y=（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是______ .24.(2021·山东省威海市)已知点A为直线y=-2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=4于点B.若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为______ .x25.(2021·广西壮族自治区贺州市)如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC=45°，PC=PO，则点P的标为______ .三、解答题26.(2021·湖南省郴州市)某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.57.5…y…8.0 6.0 5.0 3.0 1.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x 的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？27.(2021·山东省)在2018春季环境整治活动中，某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x 的函数关系式；（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．28.(2021·黑龙江省牡丹江市)在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象.（1）a= ______ ，乐乐去A地的速度为______ ；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间.29.(2021·贵州省毕节市)某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游.甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元.经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费.（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？30.(2021·福建省)某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？31.(2021·黑龙江省)A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等.甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶.甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案.32.(2021·四川省雅安市)某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）.当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？33.(2021·黑龙江省大庆市)如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示______ 槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB 表示______ 槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为______ cm.（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）34.(2021·黑龙江省绥化市)小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息.已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）.小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示.根据所给信息解决以下问题.（1）m= ______ ，n= ______ ；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米.35.(2021·黑龙江省齐齐哈尔市)在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B 地至A地.甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲的骑行速度为______ 米/分，点M的坐标为______ ；（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，______ 分钟时两人距C地的距离相等.36.(2021·黑龙江省双鸭山市)一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶.已知轿车比货车每小时多行驶20km.两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB-BC-CD-DE，结合图象回答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离是______ km；（2）求两车的速度分别是多少km/h？（3）求线段CD的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？37.(2021·吉林省长春市)《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x.纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点.②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）38.(2021·山东省聊城市)为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元.（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？量的1339.(2021·江苏省南京市)甲、乙两人沿同一直道从A地去B地.甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍.在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示.（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间.40.(2021·江苏省宿迁市)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为______ km/h，C点的坐标为______ .（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km.参考答案1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.C8.C9.C10.B11.D12.B13.C14.C15.B16.217.5218.y =x -119.{x =2y =120.y =-3x -221.-322.y =-1x 答案不唯一 23.a ＜-3224.（√2，-2√2）或（-√2，2√2）25.（-2√2，4-2√2）26.解：（1）（2）根据图象设y =kx +b ，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，得{8.0=4.0k +b 6.0=5.0k +b， 解得{k =−2b =16， ∴y =-2x +16，∵y ≥0，∴-2x +16≥0，解得x ≤8，∴y 关于x 的函数表达式为y =-2x +16（x ≤8）；（3）①P =（x -2）y=（x -2）（-2x +16）=-2x ²+20x -32，即P 与x 的函数表达式为：P =-2x ²+20x -32（x ≤8）； ②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，∴x ≤2×200%，即x ≤4，由题意得P =10，∴-2x ²+20x -32=10， 解得x 1=3，x 2=7，∵x ≤4，∴此时销售单价为3元．27.解：（1）设乙队每天能完成绿化面积为am 2，则甲队每天能完成绿化面积为2am 2 根据题意得：400a −4002a=5 解得a =40经检验，a =40为原方程的解则甲队每天能完成绿化面积为80m 2答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m 2、40m 2（2）由（1）得80x +40y =1600整理的：y=-2x+40（3）由已知y+x≤25∴-2x+40+x≤25解得x≥15总费用W=0.6x+0.25y=0.6x+0.25（-2x+40）=0.1x+10∵k=0.1＞0∴W随x的增大而增大∴当x=15时，W最低=1.5+10=11.528.2 200米/分钟29.解：（1）y甲=0.8×1000x=800x，y乙=2×1000+0.75×1000×（x-2）=750x+500；（2）①y甲＜y乙，800x＜750x+500，解得x＜10，②y甲=y乙，800x=750x+500，解得x=10，③y甲＞y乙，800x＞750x+500，解得x＞10，答：当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．30.解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100-x）箱，依题意得70x+40（100-x）=4600，解得：x=20，100-20=80（箱），答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品（1000-m ）箱，依题意得 m ≤1000×30%，解得m ≤300，设该公司获得利润为y 元，依题意得y =70m +40（1000-m ），即y =30m +40000，∵30＞0，y 随着m 的增大而增大，∴当m =300时，y 取最大值，此时y =30×300+40000=49000（元）， ∴批发这种农产品的数量为10000-m =700（箱），答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．31.解：（1）当0h 时，甲车和乙车距C 地为180km ，∴两地的路程为：180+180=360km ，设甲车经过180km 用了x h ，则：x +x +x +1=5.5，∴x =1.5，则甲车速度为：180÷1.5=120（km /h ）； （2）设乙车从C 地到A 地的过程中y 与x 的函数关系式为：y =kx +b （k ≠0）， 将（3，0），（6，180）代入y =kx +b （k ≠0），得：{3k +b =06k +b =180， 解得：{k =60b =−180， ∴乙车从C 地到A 地的过程中y 与x 的函数关系式为：y =60x -180；（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C 地路程之和为180km ， ①甲车从A 地到C 地，乙车从B 到C ，-120x +180+60x +180=180，解得：x =1；②甲车从C 到B ，乙车从C 到A ，-120x -300+60x -180=180，记得：x =113；③甲车从B 到C ，乙车从C 到A ，-120x +660+60x -180=180，解得：x =5．总上所述：分别在1h ，113h ，5h 这三个时间点，两车在途中距C 地的路程之和为180km ．32.解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b （k ≠0），将（12，90），（15，75）代入y =kx +b ，{12k +b =9015k +b =75，解得：{k =−5b =150， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =-5x +150（10≤x ≤21，且x 为整数）．（2）依题意得：w =（x -10）（-5x +150）=-5x 2+200x -1500=-5（x -20）2+500． ∵-5＜0，∴当x =20时，w 取得最大值，最大值为500．答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．33.乙 甲 1634.16160335.240 （6，1200） 4或6或836.18037.解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y =kx +b ，则{b =62k +b =18， 解得：{k =6b =6， ∴y =6x +6；结论应用】应用上述发现的规律估算：①x =12时，y =6×12+6=78， ∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y =90时，6x +6=90，解得：x =14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14=22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．38.解：（1）设A 种花卉每盆x 元，B 种花卉每盆（x +0.5）元，根据题意，得：600x =900x+0.5， 解这个方程，得：x =1，经检验，x =1是原方程的解，并符合题意，此时，x +0.5=1+0.5=1.5（元），∴A 种花卉每盆1元，B 种花卉每盆1.5元，答：A 种花卉每盆1元，B 种花卉每盆1.5元；（2）设购买A 种花卉t 盆，购买这批花卉的总费用为w 元，由题意，得：w =t +1.5（6000-t ）=-0.5t +9000，∵t≤1（6000-t），3解得：t≤1500，∵w是t的一次函数，k=-0.5＜0，∴w随t的增大而减小，∴当t=1500时，w最小，w min=-0.5×1500+9000=8250（元），∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．答：购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．39.解：（1）如图：（2）设甲的速度是v m/min，乙整个行程所用的时间为t min，由题意得：2v•t=（t+1+5）v，解得：t=6，6+1+5=12（min），答：甲整个行程所用的时间为12min．40.100 （8，480）。

2021年中考考点复习专题能力提升专练（二）：《一次函数》一．选择题1．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b 的图象大致是（）A．B．C．D．2．在一次函数y＝（2k+3）x+k+1的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当k＜﹣时，y随x的增大而减小；乙认为无论k取何值，函数必定经过定点（﹣，﹣）．则下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误3．函数y＝（a﹣）x﹣1的函数值y随自变量x的增大而减小，下列描述中：①a＜；②函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）；③函数图象经过第一象限；④点（a+，a2﹣4）在该函数图象上，其中正确的是（）A．①②③B．①④C．①②④D．①②③④4．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝﹣x上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为（）A．9+3B．9 C．18+6D．185．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形CDOE的周长（）A．不变B．逐渐变大C．逐渐变小D．先变小后变大6．已知点M（n，﹣n）在第二象限，过点M的直线y＝kx+b（0＜k＜1）分别交x轴、y轴于点A，B，过点M作MN⊥x轴于点N，则下列点在线段AN的是（）A．（（k﹣1）n，0）B．（（k+）n，0））C．（，0）D．（（k+1）n，0）7．在同一直角坐标系中，将一次函数y＝x﹣3（x＞1）的图象，在直线x＝2（横坐标为2的所有点构成该直线）的左侧部分沿直线x＝2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若关于x的函数y＝2x+b的图象与此图象有两个公共点，则b的取值范围是（）A．8＞b＞5 B．﹣8＜b＜﹣5 C．﹣8≤b≤﹣5 D．﹣8＜b≤﹣58．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论中错误的是（）A．k＜0B．a＞0C．b＞0D．方程kx+b＝x+a的解是x＝39．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A ．x ＞﹣5B ．x ＞﹣2C ．x ＞﹣3D ．x ＜﹣210．若直线y ＝kx +b 平行于直线y ＝3x +4，且过点（1，﹣2），则该直线的解析式是（ ） A ．y ＝3x ﹣2B ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝3x +1D ．y ＝3x +511．直线y 1＝2x ﹣3与直线y 2＝2x +1的位置关系是（ ） A ．相交B ．垂直C ．平行D ．重合12．如图，某商场将一种商品销售30天，该种商品销售量y （单位：件）与时间t （单位：天）之间的函数关系如图①所示，一件该种商品的日销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）之间的函数关系如图②所示（日销售利润＝日销售量×一件商品的日销售利润）．下列结论正确的是（ ）A ．第12天与第30天这两天的日销售量相等B ．第24天的日销售量为150件C ．第10天销售一件商品的利润是10元D ．第30天的日销售利润是700元 二．填空题13．已知函数y＝（m﹣1）+1是一次函数，则m＝．14．已知整数a，使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y ＝（a﹣1）x+a﹣10的图象不经过第二象限，则满足条件的整数a的值有个．15．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．16．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则m的值为．17．一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰，作等腰Rt △ABC，则直线BC的解析式为18．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞﹣1的解集是．三．解答题19．已知一个一次函数的自变量的取值范围是2≤x≤6，函数值的取值范围是5≤y≤9，求这个一次函数解析式．20．在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（3，2）两点，另有一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象．（1）若k＝1，b＝2，判断函数y＝kx+b（k≠0）的图象与线段AB是否有交点？请说明理由．（2）当b＝12时，函数y＝kx+b（k≠0）图象与线段AB有交点，求k的取值范围．（3）若b＝﹣2k+2，求证：函数y＝kx+b（k≠0）图象一定经过线段AB的中点．21．某校数学兴趣小组根据学小函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… 3 2.5 m 1.5 1 1.5 2 2.5 3 …其中m＝．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：（3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律： 序号 函数图象特征函数变化规律示例1 在y 轴左侧，函数图象呈下降状态 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小① 在y 轴右侧，函数图象呈上升状态示例2 函数图象经过点（﹣4，3） 当x ＝﹣4时，y ＝3②函数图象的最低点是（0，1）（4）当2＜y ≤3时，x 的取值范围为 ．22．如图，一次函数y ＝（m +1）x +4的图象与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且△OAB 面积为4．（1）则m ＝ ，点A 的坐标为（ ， ）．（2）过点B 作直线BP 与x 轴的正半轴相交于点P ，且OP ＝4OA ，求直线BP 的解析式； （3）将一次函数y ＝（m +1）x +4的图象绕点B 顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．23．一次函数y 1＝kx +b 的图象经过点A （5，1），且和正比例函数y 2＝2x 的图象交于点B （2，m ）．（1）求一次函数的解析式；（2）在同一直角坐标系中画出两个函数的图象；（3）求直线y＝kx+b和两条坐标轴围成的图形面积；1（4）在x轴上求作点P使PA+PB最小，求出P点坐标，并求出PA+PB的最小值．24．定义符号min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，如min{1，﹣2，3}＝﹣2，min{0，5，5}＝0．（1）根据题意填空：min＝；（2）试求函数y＝min{2，x+1，﹣3x+11}的解析式；（3）关于x的方程﹣x+m＝min{2，x+1，﹣3x+11}有解，试求常数m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；∵kb＜0，∴b＞0，∴图象与y轴的交点在x轴上方，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．2．解：当k＜﹣时，2k+3＜0，即y随x的增大而减小，故甲的说法正确；在y＝（2k+3）x+k+1中，当x＝﹣时，y＝﹣，即无论k取何值，函数必定经过定点（﹣，﹣），故乙的说法正确．故选：C．3．解：∵函数y＝（a﹣）x﹣11的函数值y随自变量x的增大而减小，∴a﹣＜0，∴a＜．故①正确；令x＝0，则y＝﹣1，所以函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）．故②正确；∵函数y＝（a﹣）x﹣1中的a﹣＜0，∴该函数图象经过二、四象限，又∵﹣1＜0，∴该函数图象经过二、三、四象限，故③错误；把x＝a+代入函数y＝（a﹣）x﹣1，得y＝（a﹣）（a+）﹣1＝a2﹣4，即点（a+，a2﹣4）在该函数图象上，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．4．解：观察图象可知，O12在直线y＝﹣x时，OO12＝6•OO2＝6（1++2）＝18+6，∴O12的横坐标＝﹣（18+6）•cos30°＝﹣9﹣9，O 12的纵坐标＝OO12＝9+3，故选：A．5．解：设点C的坐标为（m，﹣m+1）（0＜m＜1），则CE＝m，CD＝﹣m+1，∴C矩形CDOE＝2（CE+CD）＝2，故选：A．6．解：如图所示，过M作MC⊥y轴于C，∵M（n，﹣n），MN⊥x轴于点N，∴C（0，﹣n），N（n，0），把M（n，﹣n）代入直线y＝kx+b，可得b＝﹣n﹣kn，∴y＝kx﹣n（1+k），令x＝0，则y＝﹣n（1+k），即B（0，﹣n（1+k）），∴﹣n（1+k）＞﹣n，∴n（1+k）＜n，令y＝0，则0＝kx﹣n（1+k），解得x＝＝n（），即A（n（），0），∵0＜k＜1，n＜0，∴n（）＜n（1+k）＜n，∴点（（k+1）n，0）在线段AN上．故选：D．7．解：在y＝x﹣3（x＞1）中，令x＝2，则y＝﹣1，若直线y＝2x+b经过（2，﹣1），则﹣1＝4+b，解得b＝﹣5；在y＝x﹣3（x＞1）中，令x＝1，则y＝﹣2，点（1，﹣2）关于x＝2对称的点为（3，﹣2），若直线y＝2x+b经过（3，﹣2），则﹣2＝6+b，解得b＝﹣8，∵关于x的函数y＝2x+b的图象与此图象有两个公共点，∴b的取值范围是﹣8＜b＜﹣5，故选：B．8．解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、三象限，∴k＜0，b＞0，所以A、C正确；∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴的下方，∴a＜0，所以B错误；∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以D正确．故选：B．9．解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．10．解：∵直线y＝kx+b平行于直线y＝3x﹣4，∴k＝3，把（1，﹣2）代入y＝3x+b得3+b＝﹣2，解得b＝﹣5，∴该直线的解析式是y＝3x﹣5．故选：B．11．解：∵k1＝2，k2＝2，﹣3≠1，∴两直线平行，故选：C．12．解：根据图①求出y与t的函数关系为y＝根据图②求出z与t的函数关系为z＝当t＝12时，y＝150，t＝30时，y＝400﹣250＝150 则A正确由图象，当t＝24时，t＝200则B错误；t＝10时，z＝15，故C错误；t＝30时，y＝150，z＝5，则利润为750故，D错误故选：A．二．填空题（共6小题）13．若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．因而有m2＝1，解得：m＝±1，又m﹣1≠0，∴m＝﹣1．14．解：∵关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+a﹣10的图象不经过第二象限，∴a﹣1＞0，a﹣10≤0，∴1＜a≤10，∵，∴3﹣ax+3（x﹣3）＝﹣x，解得：x＝，∵x≠3，∴a≠2，∴1＜a≤10且a≠2，∵当a＝3，5，6，7，10时，x＝为整数；∴满足条件的整数a的值有5个，故答案为：5．15．解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，∵直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），∴BO＝2，OG＝1，BG＝3，易得∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝1，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，∵Rt△BFG中，FG＝＝＝，∴△CDE周长的最小值是．故答案为：．16．解：如图，直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后可得：y＝2x+1+m，即C （0，1+m）在y＝2x+1+m中，令y＝0，则x＝﹣，即D（﹣，0），由直线y＝2x+1，可得A（0，1），B（﹣，0），∵平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，∴S △COD ﹣S △AOB ＝2，即××（m +1）﹣××1＝2，解得m 1＝2，m 2＝﹣4（舍去），故答案为：2．17．解：对于一次函数y ＝﹣x +2，令x ＝0得：y ＝2；令y ＝0，解得x ＝5， ∴B 的坐标是（0，2），A 的坐标是（5，0）．如图，作CE ⊥x 轴于点E ，∵∠BAC ＝90°，∴∠OAB +∠CAE ＝90°，又∵∠CAE +∠ACE ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAO ．在△ABO 与△CAE 中，∴△ABO ≌△CAE （AAS ），∴OB ＝AE ＝2，OA ＝CE ＝5，∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．则C的坐标是（7，5）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：解得∴直线BC的解析式是，当BC⊥AB时，BC＝AB，同法可得点C的坐标为（2，7）所以BC的解析式为：y＝2.5x+2故答案为：或y＝2.5x+2．18．解：把（0，1）和（2，0）代入y＝kx+b，可得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+1，∴﹣x+1＞﹣1，解得x＜4，故答案为：x＜4．三．解答题（共6小题）19．解：设该一次函数的关系式是：y＝kx+b（k≠0）．一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是：2≤x≤6，相应函数值的取值范围是：5≤y≤9，则①当k＞0函数为递增函数，即x＝2，y＝5时，x＝6时，y＝9．根据题意列出方程组：，解得：，则这个函数的解析式是：y＝x+3；②当k＜0函数为递减函数时，则，解得，所以该一次函数的解析式为y＝﹣x+11，综上所述，该一次函数的解析式是y＝x+3，或y＝﹣x+11．20．解：（1）由题意，线段AB解析式为：y＝2（1≤x≤3），当k＝1，b＝2时，一次函数解析式为：y＝x+2，将y＝2代入，得：x＝0，∴此时该函数与线段AB无交点；（2）将b＝12代入y＝kx+b，得一次函数解析式为：y＝kx+12，将y＝2代入，得：，∴，解得：；（3）证明：将b＝﹣2k+2代入y＝kx+b，得一次函数解析式为：y＝kx﹣2k+2 由题意可得，线段AB的中点为（2，2），当x＝2时，y＝2k﹣2k+2＝2，∴（2，2）在一次函数y＝kx﹣2k+2上∴若b＝﹣2k+2，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象一定经过线段AB中点．21．解：（1）在中，令x＝﹣2，则y＝2，∴m＝2，故答案为：2；（2）如图所示：（3）①在y轴右侧，函数图象呈上升状态，即当x＞0时，y随x的增大而增大；②函数图象的最低点是（0，1），即当x＝0时，y＝1；故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y＝1；（4）由图可得，当2＜y≤3时，x的取值范围为﹣4≤x＜﹣2，2＜x≤4．故答案为：﹣4≤x＜﹣2，2＜x≤4．22．解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，＝4，∵S△OAB∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转 45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．＝2x，可得23．解：（1）把B（2，m）代入正比例函数y2m＝4，即B（2，4），＝kx+b，可得把A（5，1），B（2，4）代入一次函数y1，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+6；（2）两个函数的图象如图所示：（3）在y＝﹣x+6中，令x＝0，则y＝6；令y＝0，则x＝6，∴C（0，6），D（6，0），∴OC＝OD＝6，＝×6×6＝18，∴S△COD＝kx+b和两条坐标轴围成的图形面积为18；即直线y1（4）如图，作点A关于x轴的对称点A'（5，﹣1），连接A'B，交x轴于P，则AP+BP 的最小值为A'B的长，设直线A'B的解析式为y＝mx+n，把A'（5，﹣1），B（2，4）代入，可得，解得，∴y＝﹣x+，令y＝0，则x＝，即P（，0），此时A'B＝＝，∴PA+PB的最小值为．24．解：（1）∵＝3，∴min＝3；故答案为：3；（2）由图象得：y＝；（3）当y＝2时，﹣3x+11＝2，x＝3，∴A（3，2），当y＝﹣x+m过点A时，则﹣3+m＝2，m＝5，如图所示：∴常数m的取值范围是m≤5．。

2021年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：一次函数与一元一次方程（附答案）1．如图，已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax ﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝42．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝33．如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣44．已知方程ax+b＝0的解为x＝﹣，则一次函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标为（）A．3B．C．﹣2D．5．如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，则方程kx+b ＝2的解是（）A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝0D．无法确定6．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣7，0），则方程ax+b＝0的解是（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣7D．x＝﹣47．如图，直线y＝kx+b（k≠0）过点A（0，5），B（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是（）A．x＝﹣4B．x＝5C．x＝﹣D．x＝﹣8．若关于x的方程4x﹣b＝0的解为x＝2，则直线y＝4x﹣b一定经过点（）A．（2，0）B．（0，3）C．（0，4）D．（2，5）9．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），则下列结论正确的是（）A．k＞0B．关于x方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＜0D．y随x的增大而增大10．若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣0.5C．x＝﹣3D．x＝﹣411．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝1512．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④13．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为．14．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为．15．已知直线y＝ax+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一元一次方程ax+b＝0的解为．16．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得到关于x的方程kx+b＝5的解是．17．若直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是．18．已知一次函数y＝x+2与一次函数y＝mx+n的图象交于点P（a，﹣2），则关于x的方程x+2＝mx+n的解是．19．函数y＝3x和y＝kx+5的图象相交于点A（m，﹣6），则方程3x＝kx+5的解为．20．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x ＝0的解为．21．若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为．22．规定[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数，例如：[2.4]＝2，（2.4）＝3，[2.4）＝2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.6时，[x]+（x）+[x）＝6；②当x＝﹣2.2时，[x]+（x）+[x）＝﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）＝11的解满足1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点．23．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．24．已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）．（1）求b的值；（2）求关于x的方程kx+b＝0的解；（3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小．25．已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题：（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；（2）根据图象回答：当x＝时，﹣2x+4＝4；（3）根据图象回答：当x时，y＞0．26．已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题：（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；（2）根据函数图象回答：方程﹣2x+4＝0的解是；当x时，y＞2；当﹣4≤y≤0时，相应x的取值范围是．27．定义符号min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，如min{1，﹣2，3}＝﹣2，min{0，5，5}＝0．（1）根据题意填空：min＝；（2）试求函数y＝min{2，x+1，﹣3x+11}的解析式；（3）关于x的方程﹣x+m＝min{2，x+1，﹣3x+11}有解，试求常数m的取值范围．28．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3经过点A（2，7）．（1）求k的值；（2）解关于x的方程5x+k＝2（x+4）．29．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，且经过直线y＝mx+1（m为常数且m≠0）与y轴的交点．（1）请直接写出一次函数y＝kx+b的表达式；（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；（3）根据图象填空：①y的值随着x的值的增大而；②方程kx+b＝0的解为；③当x时，y＞0．30．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？31．已知一次函数y＝kx+1与y＝﹣x+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b ＝0的解．32．小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．参考答案1．解：∵一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点P（3，1），∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3．故选：C．2．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，3），∴方程kx+b﹣3＝0的解是x＝0．故选：A．3．解：∵，∴ax+b＝mx，解得，∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），∴，由ax﹣b＝mx，得，∴，∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，故选：B．4．解：方程ax+b＝0的解为x＝﹣，则一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的坐标为（﹣，0），即一次函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标为﹣．故选：D．5．解：∵点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，∴方程kx+b＝2的解是：x＝﹣1．故选：B．6．解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣7，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣7，故选：C．7．解：∵直线y＝kx+b（k≠0）过点B（﹣4，0），即当x＝﹣4时，y＝0，∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣4．故选：A．8．解：由方程可知：当x＝2时，4x﹣b＝0，即当x＝2，y＝0，∴直线y＝4x﹣b的图象一定经过点（2，0）．故选：A．9．解：由图象可知k＜0，b＞0，y随x的增大而减小，∵直线与x轴的交点为（2，0），∴关于x方程kx+b＝0的解是x＝2，故选：B．10．解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，故选：A．11．解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：A．12．解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确；③当x＞2时，y＜0，正确；④当x＜0时，y＞3，错误；故选：A．13．解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），∴关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝﹣5．故答案为x＝﹣5．14．解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．15．解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标是2，∴一元一次方程ax+b＝0的解是：x＝2．故答案为216．解：观察图象知道一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（4，5），所以关于x的方程kx+b＝5的解为x＝4，故答案为：x＝4．17．解：∵直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解是：x＝﹣3．故答案为：x＝﹣3．18．解：∵一次函数y＝x+2经过点P（a，﹣2），∴﹣2＝a+2，解得：a＝﹣4，∵一次函数y＝x+2与一次函数y＝mx+n的图象交于点P（﹣4，﹣2），∴关于x的方程x+2＝mx+n的解是x＝﹣4，故答案为：x＝﹣4．19．解：∵函数y＝3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，﹣6），∴﹣6＝3m，解得：m＝﹣2，故A点坐标为：（﹣2，6），则方程3x＝kx+5的解为为：x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．20．解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），∴﹣2m＝3，解得：m＝﹣，则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x＝﹣．故答案为x＝﹣21．解：∵关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），∴﹣k+b＝0，∴b＝k，∴方程k（x+2）+b＝0化为方程k（x+2）+k＝0，∴k（x+3）＝0，∴x＝﹣3．故答案为﹣3．22．解：①当x＝1.6时，[x]+（x）+[x）＝[1.6]+（1.6）+[1.6）＝1+2+2＝5，故①错误；②当x＝﹣2.2时，[x]+（x）+[x）＝[﹣2.2]+（﹣2.2）+[﹣2.2）＝（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）＝﹣7，②正确；③∵当1＜x＜1.5，4[x]+3（x）+[x）＝4+3×2+1＝11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1，当x＝0时，y＝[x]+（x）+x＝0+0+0＝0，当0＜x＜0.5时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1，当0.5＜x＜1时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1，∵y＝4x，则x﹣1＝4x时，得x＝﹣；x+1＝4x时，得x＝；当x＝0时，y＝4x＝0，∴当﹣1＜x＜1且x≠﹣0.5时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④正确，故答案为：②③④．23．解：（1）当x＝2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣1，所以代数式k+b的值为﹣1；（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．24．解：（1）根据题意得，解得，即b的值为1；（2）一次函数解析式为y＝x+1，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣；（3）∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2．25．解：（1）如图所示：（2）当x＝0时，﹣2x+4＝4；（3）当x＜2时，y＞0．故答案为：（2）0，＜2．26．解：（1）如图，（2）由图象可得x＝2时，y＝0，所以方程﹣2x+4＝0的解是x＝2；由图象可得x＜1时，y＞2，所以方程﹣2x+4＝0的解是x＝2；由图象可得当2≤x≤4时，﹣4≤y≤0．故答案为x＝2；＜1；2≤x≤4．27．解：（1）∵＝3，∴min＝3；故答案为：3；（2）由图象得：y＝；（3）当y＝2时，﹣3x+11＝2，x＝3，∴A（3，2），当y＝﹣x+m过点A时，则﹣3+m＝2，m＝5，如图所示：∴常数m的取值范围是m≤5．28．解：（1）将A（2，7）代入y＝kx+3中，得2k+3＝7，解得：k＝2；（2）将k＝2代入方程中，得5x+2＝2（x+4），解得x＝2．29．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，∴k＝﹣2，∴y＝﹣2x+b，又∵该直线经过直线y＝mx+1（m为常数且m≠0）与y轴的交点（0，1），∴1＝0+b，即b＝1，∴一次函数y＝kx+b的表达式为：y＝﹣2x+1；（2）y＝﹣2x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝；如图所示：（3）①由图可得，y的值随着x的值的增大而减小；②由图可得，方程kx+b＝0的解为x＝；③由图可得，当y＞0时，x＜．故答案为：减小；x＝；＜．30．解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝1，即y＝x+1，当y＝4时，x+1＝4，解得：x＝3，∴方程kx+b＝4的解为x＝3．31．解：∵一次函数y＝kx+1与y＝﹣x+b的图象相交于点（2，5），∴5＝2k+1，5＝﹣×2+b，解得：k＝2，b＝6，则kx+b＝0为：2x+6＝0，解得：x＝﹣3．32．解：（1）图象如图（2）y＝﹣|x+1|﹣3的图象可以由y＝﹣|x+1|的图象向下平移3个单位得到；（3）①y＝a|x﹣b|+c的图象是一条折线；②该图象关于x＝b对称；③当a＞0时，当x ＜b时，y随x的增大而减少；当x＞b时，y随x的增大而增大；④当a＜0时，当x＜b 时，y随x的增大而增大；当x＞b时，y随x的增大而减少；⑤y＝a|x﹣b|+c可以由y＝a|x﹣b|平移得到，⑥当a＞0时，x＝b时，y的值最小，最小为c；当a＜0时，x＝b时，y的值最大，最大为c；（4）根据图象知，y随x的增大而减小，所以当﹣2≤x≤5时，函数值范围是﹣6≤y≤4。

备战2021中考数学考点专题训练——专题一：一次函数1．快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．（1）甲乙两地之间的路程km；快车的速度为km/h；慢车的速度为km/h；（2）出发小时后，快慢两车相遇；（3）求快慢两车出发几小时后第一次相距150km？2．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）3．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：2 5 20 23 30离开宿舍的时间/min0.2 0.7离宿舍的距离/km（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为km；②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．4．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣1 0y﹣2 1（1）求直线1的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．5．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）小王的速度为km/h，a的值为；（2）求小张加速前的速度和b的值；（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？6．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．（1）求直线CD的解析式；（2）求△EFG的面积．7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距离A地的距离为y（km）．甲车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲车距离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（2）当乙车到达A地时，求甲车距离A地的距离．8．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（5，b），（1）若a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0，求点A，B的坐标；（2）如图1，点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），求m，n应满足怎样的关系式？（3）如图2，将线段AB平移到EF，且点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，当满足S≥S△AOB时，求x的取值范围．△DOE9．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．10．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E的坐标．12．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求直线BD的解析式；（2）求△BOH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．14．如图，直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2）．（1）b＝；k＝；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB 的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标．（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒．①若△MPH的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．16．已知：如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝mx+10m交x轴于B，交y轴于A，△AOB的面积为50．（1）求m的值；（2）P为BA延长线上一点，C为x轴上一点，坐标为（6，0），连接PC，D为x轴上一点，连接PD，若PD＝PC，P点横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过C作CF⊥AB于F，当D在BO上时，过D作DG⊥CP于G，过F 作FE⊥DG于E，连接PE，当PE平分△PDG周长时，求E点坐标．17．问题：如图1，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α．如何用直尺和圆规作出点P，均使得∠APB＝α？（不需解答）尝试：如图2，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．（1）请用直角三角尺（仅可画直角或直线）在图2中画出一个点P，使得∠APB＝45°（2）如图3，若AC＝BC＝，以点A为原点，直线AB为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，直线y＝（b≥0）交x轴于点M，交y轴与点N．①当b＝7+时，请仅用圆规在射线MN上作出点P，使得∠APB＝45°；②请直接写出射线MN上使得∠APB＝45°或∠APB＝135°时点P的个数及相应的b的取值范围；应用：如图4，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α，请用直尺和圆规作出点P，使得∠APB＝α，且AP+BP最大，请简要说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）18．已知，平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k交x轴A，交y轴正半轴于点B，直线y＝﹣x+b经过点A，交y轴正半轴于点C，且BC＝5OC．（1）如图1，求k的值；（2）如图2，点P为第二象限内直线AC上一点，过点P作AC的垂线，交x轴于点D，交AB于点E，设点P的横坐标为t，△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，Q为线段PE上一点，PQ＝PC，连接AQ，过点C作CG⊥AQ 于G，交直线AB于点F，连接QF，若∠AQP＝∠FQE，求点F的坐标．19．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．备战2021中考数学考点专题训练——专题一：一次函数参考答案1．快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．（1）甲乙两地之间的路程km；快车的速度为km/h；慢车的速度为km/h；（2）出发小时后，快慢两车相遇；（3）求快慢两车出发几小时后第一次相距150km？【答案】解：（1）由函数图象可得，甲乙两地之间的路程是560km，快车的速度为：560÷（5﹣1）＝140（km/h），慢车的速度为：560÷（5+4﹣1）＝70（km/h），故答案为：140，70；（2）设出发a小时时，快慢两车相遇，140a+70a＝560，解得，a＝，即出发小时后，快慢两车相遇，故答案为：；（3）快慢两车出发b小时后第一次相距150km，140b+70b＝560﹣150，解得，b＝，即快慢两车出发小时后第一次相距150km2．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【答案】解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式为y＝50x+50；（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，解方程组得，同理可得x＝7h，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．3．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：2 5 20 23 30离开宿舍的时间/min0.2 0.7离宿舍的距离/km（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为km；②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】解：（Ⅰ）由图象可得，在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），故当x＝2时，离宿舍的距离为0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km，在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km，故答案为：0.2，0.7，1；（Ⅱ）由图象可得，①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），故答案为：0.3；②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案为：0.06；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案为：0.1；④当0≤x≤7时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），当58≤x≤68时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案为：6或62；（Ⅲ）由图象可得，当0≤x≤7时，y＝0.1x；当7＜x≤23时，y＝0.7；当23＜x≤28时，设y＝kx+b，，得，即当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y＝．4．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣1 0y﹣2 1（1）求直线1的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．【答案】解：（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线1′的解析式为y＝3x+1；∴直线1的解析式为y＝x+3；（2）如图，解得，∴两直线的交点为（1，4），∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；当a﹣3+＝0时，a＝，当（a﹣3+0）＝时，a＝7，当（+0）＝a﹣3时，a＝，∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．5．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）小王的速度为km/h，a的值为；（2）求小张加速前的速度和b的值；（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？【答案】解：（1）由图象可得，小王的速度为：80÷1＝80（km/h），a＝400÷80﹣1＝4，故答案为：80，4；（2）设小张加速前的速度为xkm/h，2.4x＝（x+20）×（4.4﹣2.4），解得，x＝100，b＝400﹣2.4×100＝160，即小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；（3）由题意可得，相遇前：100x+80（x+1）＝400﹣20解得，x＝，相遇后到小张返回前：100x+80（x+1）＝400+20解得，x＝，小张返回后到小王到达A市前：80×（x+1）＝（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20，解得，x＝4.7（舍去），小王到达A市到小张返回到A市前，（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20＝400，解得，x＝，由上可得，在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km．6．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．（1）求直线CD的解析式；（2）求△EFG的面积．【答案】解：（1）∵直线l1：y＝x+3经过点E（m，4），∴4＝+3，解得m＝2，∴E（2，4），∵直线l1与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣6，0），B（0，3），∵OC＝2OB，∴OC＝6，∴C（6，0），把C（6，0），E（2，4）代入直线l2：y＝kx+b得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6；（2）将直线l1向下平移7个单位得到直线l3：y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴G（0，﹣4），由，解得，∴F的坐标为（，﹣），∴S△EFG＝S△DFG﹣S△DEG＝﹣＝．7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距离A地的距离为y（km）．甲车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲车距离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（2）当乙车到达A地时，求甲车距离A地的距离．【答案】解：（1）设甲车从A到B地对应的函数解析式为y＝kx，1.5k＝180，得k＝120，即甲车从A到B地对应的函数解析式为y＝120x，设甲车从B到A对应的函数解析式为y＝ax+b，甲车从A到B用的时间为：300÷120＝2.5，则函数y＝ax+b过点（2.5，300），（5.5，0），，解得，，即甲车从B到A对应的函数解析式为y＝﹣100x+550；（2）乙车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（km/h），乙车从B到A的时间为：300÷80＝（小时），将x＝代入y＝﹣100x+550，得y＝﹣100×+550＝175，即当乙车到达A地时，甲车距离A地的距离是175km．8．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（5，b），（1）若a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0，求点A，B的坐标；（2）如图1，点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），求m，n应满足怎样的关系式？（3）如图2，将线段AB平移到EF，且点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，当满足S≥S△AOB时，求x的取值范围．△DOE【答案】解：（1）由a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0可知，解得，∴点A（3，6），B（5，2）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+c，把点A（3，6），B（5，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∵点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），∴2m+n＝12；（3）设直线EF的解析式为y＝﹣2x+d，∴E（，0），F（0，d），∵EF＝AB，∴（）2+d2＝（3﹣5）2+（6﹣2）2，解得d＝﹣4或4（舍去），∴直线EF为y＝﹣2x﹣4，E（﹣2，0），∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∴直线AB与x轴，y轴的交点分别为（6，0），（0，12），∴S△AOB＝﹣﹣＝12，∵点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，∴D（x，﹣2x﹣4），∴S△DOE＝×|﹣2x﹣4|＝|﹣2x﹣4|，∵S△DOE≥S△AOB，∴|﹣2x﹣4|≥×12，解得x≤﹣10或x≥6，∴当满足S△DOE≥S△AOB时，x的取值范围是x≤﹣10或x≥6．9．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．【答案】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：（10﹣8）×（600﹣a）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，解这个方程，得a＝350，∴点B坐标为（350，400），设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：，解得，∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．10．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．【答案】解：（1）∵直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∴x＝0时，y＝9，当y＝0时，x+9＝0，解得x＝﹣12．∴A（﹣12，0），B（0，9）．∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝＝＝15，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD＝CO，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），∴BD＝BO＝9，CO＝CD，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣9＝6，设CO＝x，则AC＝12﹣x，CD＝x，∵CD2+AD2＝AC2，∴x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝．∴C（﹣，0）．（2）如图2，当AB为平行四边形的一边时，∵CM∥AB，∴设CM的解析式为y＝x+b，∴，解得b＝，∴直线CM的解析式为y＝．当AB为平行四边形的对角线时，BM∥AC，AM∥BC，∴BM＝AC＝AO﹣OC＝，∴M（﹣，9）．设直线CM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴CM的解析式为y＝﹣3x﹣．综合以上可得：CM所在直线的解析式为y＝x+或y＝﹣3x﹣．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E的坐标．【答案】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（3，0），B（0，6），∴OA＝3，OB＝6，∵AB＝BC，OB⊥AC，∴OC＝OA＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x+6．（2）如图，取点Q（﹣1，3），连接BQ，DQ，DQ交AB于E．∵D（a，2）在直线y＝﹣2x+6上，∴2＝﹣2a+6，∴a＝2，∴D（2，2），∵B（0，6），∴QB＝＝，QD＝＝，BD＝＝2，∴BD2＝QB2+QD2，QB＝QD，∴∠BQD＝90°，∠BDQ＝45°，∵直线DQ的解析式为y＝﹣x+，∴E（0，），∴OE＝，BE＝6﹣＝，∴S△BDE＝××2＝．（3）如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N．∵四边形DEGF是正方形，∴∠EDF＝90°，ED＝DF，∵∠EDF＝∠MDN＝90°，∴∠EDN＝∠DFM，∵DE＝DF，DN＝DM，∴△DNE≌△DMF（SAS），∴∠DNE＝∠DMF＝90°，EN＝FM，∴点F在x轴上，∴当点F与C重合时，FM＝NE＝5，此时E（0，7），同法可证，点F′在直线y＝4上运动，当点F′落在BC上时，E（0，﹣1），综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，7）或（0，﹣1）．12．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求直线BD的解析式；（2）求△BOH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，B（﹣，4），△ODE是由△OCB旋转得到，∴OC＝OD＝4，∴D（4，0），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．（2）∵E（4，），∴直线OE的解析式为y＝x，由，解得，∴H（，），∴OH＝＝，∵OB＝＝，∴S△BOH＝•OB•OH＝××＝．（3）如图，由题意F（0，3），D（4，0），∴OF＝3，OD＝4，∴DF＝＝5，当DM1为菱形的对角线时，M1（﹣4，0），N1（0，﹣3）．当DM＝DF时，M2（﹣1，0）或M3（9，0），可得N2（﹣5，3），3（5，3），当DF为对角线时，M4（，0），可得N4（，3），综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣3）或（﹣5，3）或（5，3）或（，3）．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．【答案】解：（1）如图1中，∵直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（6，0），B（0，8）∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∵AC＝5，∴AC＝BC＝5，∵CD∥OA，∴BD＝OD＝4，∴D（0，4）．（2）如图2，作PF⊥AB于点F，PA＝6﹣tPF＝PA sin∠PAF＝（6﹣t），∴CQ＝5﹣t，S＝•CQ•PF＝（5﹣t）•（6﹣t）＝t2﹣6t+12．（3）如图3中，作OG⊥AD于点G，在Rt△AOD中，AD＝＝＝2，∵S△AOD＝•OD•OA＝•AD•OG∴OG＝＝，∴DG＝＝＝，∵DE＝AE＝，∴GE＝DE﹣DG＝﹣＝，∵∠OED+∠OPR＝90°，∠OED+∠EOG＝90°，∴∠OPR＝∠EOG，∴tan∠OPR＝tan∠EOG＝∵BR＝＝＝﹣t，∵tan∠OPR＝＝，OP＝t，∴OR＝t，当R在y轴的负半轴上，如图3中，OR＝BR﹣8＝﹣t，∴t＝﹣t，解得t＝，当R在y轴的正半轴上，如图4中，OR＝8﹣BR＝t﹣，∴t＝t﹣，解得t＝，综上，当t值为或，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．14．如图，直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2）．（1）b＝；k＝；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2），∴2＝4k﹣6，∴k＝2，∵直线y1＝﹣x+b过点C（4，2），∴2＝﹣2+b，∴b＝4，∴直线解析式为：y1＝﹣x+4，直线解析式为y2＝2x﹣6，∵直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝8，∴点B（0，4），点A（8，0），故答案为：4，2，（0，4）；（2）∵点E在线段AB上，点E的横坐标为m，∴，F（m，2m﹣6），①当0≤m≤4时∴．∵四边形OBEF是平行四边形，∴BO＝EF，∴，解得：；②当4≤m≤8时，2m﹣6﹣（）＝4，解得，综上所述：当或时，四边形OBEF是平行四边形；（3）存在．理由如下：①若以AB为边，AP为边，如图1所示：∵点A（8，0），B（0，4），∴．∵四边形BAPQ为菱形，∴AP＝AB＝4＝BQ，AP∥BQ，∴点Q（4，4），点Q'（﹣4，4），若以AB为边，AP是对角线，如图1，∵四边形ABPQ是菱形，∴OB＝OQ＝4，∴点Q（0，4）；②以AB为对角线，如图2所示：∵四边形APBQ是菱形，∴AP＝BP＝BQ，AP∥BQ，∵BP2＝OP2+OB2，∴AP2＝（8﹣AP）2+16，∴AP＝5，∴BQ＝5，∴点Q（5，4）综上所述：若点P为x轴上一点，当点Q坐标为或剧哦（0，﹣4）或（5，4）时，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB 的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标．（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒．①若△MPH的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】解：（1）设直线AB交CD于E．∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵OC＝BC＝2，四边形AOCD是矩形，∴D（﹣4，2），当y＝2时，2＝x+4，∴x＝﹣2，∴E（﹣2，2）．（2）①如图2﹣1作MF⊥OA于F．在Rt△AMF中，∵∠AFM＝90°，AM＝t，∠MAF＝45°，∴AF＝FM＝t当点P在线段OE上时，S△PHM＝×2×（4﹣t﹣t）＝1解得t＝．如图2﹣2中，当点P在线段DE上时，同法可得：S△PHM＝×2×（t+t﹣4）＝1解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．②如图2﹣3中，BP+PH+HQ存在最小值．连接CQ交AO于H，作HP⊥CD于P，∵BC＝PH，BC∥PH，∴四边形BCHP是平行四边形，∴BP＝CH，∵BP+PH+HQ＝CH+BC+HQ＝BC+CQ＝定值，根据两点之间线段最短，可知此时BP+PH+HQ的值最小，∵B（0，4），A（4，0），∵AQ＝AB，∴Q（﹣8，﹣4），∵C（0，2），Q（﹣8，﹣4），∴直线CQ的解析式为y＝x+2，令y＝0，解得x＝﹣，∴H（﹣，0），∴P（﹣，2）．16．已知：如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝mx+10m交x轴于B，交y轴于A，△AOB的面积为50．（1）求m的值；（2）P为BA延长线上一点，C为x轴上一点，坐标为（6，0），连接PC，D为x轴上一点，连接PD，若PD＝PC，P点横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过C作CF⊥AB于F，当D在BO上时，过D作DG⊥CP于G，过F 作FE⊥DG于E，连接PE，当PE平分△PDG周长时，求E点坐标．【答案】解：（1）由题意可得：A（0，10m），B（﹣10，0），∴S△AOB＝×10×|10m|＝50，∴m＝1或﹣1（舍弃）∴m＝1．（2）如图1中，∵PD＝PC，P点横坐标为t，C（6，0），∴CD＝2|6﹣t|，∴S△PCD＝×2|6﹣t|×|10+t|＝|t2+4t﹣60|，当t＞6时，S＝t2+4t﹣60，当﹣10＜t＜6时，S＝﹣t2﹣4t+60．（3）如图2中，在边CD的下方作⊙K与CD相切于点E，与PD相切于点R，与PC相切于点Q，连接PK，CK，DK，EK，PK交CD于T，作FW⊥PK于W．∵DE＝DR，GE＝GQ，PR＝PQ，∵PD+DE＝PG+EG，∴PE平分△PDG的周长，∴当F，E，K共线时，PE平分△PDG的周长，∵DK平分∠RDG，PK平分∠DPG，∴∠DKP＝∠DGP＝45°，∵∠DTK＝90°，∴∠KDT＝∠DCK＝45°，∴∠DKC＝90°，∴DT＝TC﹣TK＝6﹣t，∵EF⊥DG，DG⊥PC，∴FK∥PQ，∴∠FKW＝∠CPT，∵FW⊥PK，∴tan∠FKW＝tan∠CPT，∴＝，∵BC＝16，△FBC是等腰直角三角形，∴F（﹣2，8），∵K（t，t﹣6），∴＝，解得t＝2，∴P（2，12），D（﹣2，0），K（2，﹣4），∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+18，直线FK的解析式为y＝﹣3x+2，∵DG⊥PQ，∴直线DG的解析式为y＝x+，。

中考复习专题：一次函数综合（考察坐标、长度、面积等）（五）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是一次函数y＝3x﹣20与y＝﹣x+12的交点，过点A分别作x，y轴的垂线段，垂足分别是B和C，动点P和Q以1个单位/秒的速度，分别从点C和B出发，沿线段CA和BO方向，向终点A和O运动，设运动时间为t秒．（1）证明：无论运动时间t（0＜t＜8）取何值，四边形OPAQ始终为平行四边形；（2）当四边形OPAQ为菱形时，请求出此时PQ的长及直线PQ的函数解析式；（3）当OP满足2≤OP≤5时，连接PQ，直线PQ与y轴交于点M，取线段AC的中点N，试确定三角形MNP的面积S与运动时间t之间的函数关系，并求出S的取值范围．2．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边AB＝5，边OA＝4，直线l：y＝2x+b 与矩形OABC的边OC和AB都有交点，交点分别是点D与点E．（1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D，E；（2）当四边形ADCE为平行四边形时，求b的值；（3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若在线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，图①中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）如图②，已知点A（﹣1，2）在直线x＝﹣1上，四边形ABCD为直线x＝﹣1的“理想矩形”，直接写出点D的坐标；（2）如图③，已知一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象是直线l，点A（1，2）在直线l 上，求直线l的“理想矩形”ABCD的面积；（3）已知点A（1，3）在直线l上，若直线l的“理想矩形”ABCD是正方形，求点D的坐标．4．如图，▱ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，已知OA＝3，OB＝5，OD＝4．（1）▱ABCD的面积为；（2）如图1，点E是BC边上的一点，若△ABE的面积是▱ABCD面积的，求点E的坐标．（提示：可通过求直线BC的解析式，得出E点坐标）5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积为32．（1）求一次函数的解析式；（2）动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，点P出发的同时，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴正半轴运动，当点P停止运动时，动点Q也随之停止运动，连接PQ，设点P的运动时间为t，△BPQ的面积为S．求S与t 的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，D为AB中点，连接OD，交直线PQ于点F，若OF＝3DF，求线段QF的长．6．如图，直线l1的解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标及b的值；（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．①点D的坐标为．点E的坐标为；（均用含t的式子表示）②请从下面A、B两题中任选一题作答我选择题．A．当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE 的面积；若不存在说明理由．B．点Q是线段OA上一点．当点P在射线OA上时，探究是否存在某一时刻使？若存在、求出此时t的值，并直接写出此时△DEQ为等腰三角形时点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式；（2）如图1，直线BC与直线y＝x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点坐标；（3）如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C，直线AD 与直线BC互相垂直，垂足为点E，且CD＝1．（1）求直线AD解析式．（2）点P从点B出发沿线段BO方向以1个单位/秒的速度向终点O运动，设△AEP的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的条件下，点P运动的同时点Q从C点出发沿射线CO方向以3个单位/秒的速度运动，当点P到达终点时，点Q也停止运动，过点P作x轴垂线交BC于点F，连接FQ和EQ，平面内是否存在一点M，使得以点E，Q，F，M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形？若存在，求出此时t值和M点坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B 点坐标为（12，0），直线y＝x与直线AB相交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求△BOC的面积．（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的取值范围．参考答案1．解：（1）联立y＝3x﹣20与y＝﹣x+12并解得：x＝8，故点A（8，4），则PA＝8﹣t，OQ＝8﹣t＝PA，而PA∥OQ，故四边形OPAQ始终为平行四边形；（2）点P（t，4），点Q（8﹣t，0），OC＝4，四边形OPAQ为菱形时，OP＝OQ，即：42+t2＝（8﹣t）2，解得：t＝3，故点P、Q的坐标分别为（3，4）、Q（5，0），则PQ＝＝2；将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线PQ的表达式为：y＝﹣2x+10；（3）当OP＝2时，OC＝4，则CP＝2，即t＝2，同理当OP＝5时，t＝3，即：2≤t≤3，点P（t，4），点Q（8﹣t，0），同理可得直线PQ的表达式为：y＝+，故点M（0，），S＝PN×MC＝×（4﹣t）（﹣4）＝t，故2≤S≤3．2．解：（1）AB＝5，边OA＝4，则点A、B、C的坐标分别为：（0，4）、（5，4）、（5，0），直线l：y＝2x+b，令y＝0，则x＝﹣b，当y＝4时，x＝，故点D、E的坐标分别为：（﹣b，0）、（，4）；故答案为：（﹣b，0）；（，4）；（2）由（1）知点D、E的坐标分别为：（﹣b，0）、（，4）；点A、C的坐标分别为：（0，4）、（5，0）；则AE＝，CD＝5+b，四边形ADCE为平行四边形时，则AE＝CD，即＝5+b，解得：b＝﹣3；（3）①当DE是菱形的边时，点F对应的点为：F′或F″，在菱形DEF′C中，DE＝DC，即（﹣b﹣）2+（4﹣0）2＝（5+b）2，解得：b＝﹣10±4，当b＝﹣10﹣4时，点E（7+，4）不在AB边上，故该b值舍去，故b＝﹣10+4；当四边形F′′DEC为菱形时；同理可得：b＝﹣2；②当DE是菱形的对角线时，AECD为菱形，点F点与点A重合，则AD＝AE，即16+（﹣b）2＝（）2，解得：b＝﹣6，综上：b＝﹣10+4或﹣6或﹣2．3．解：（1）如图1，点D的坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．∵点A的坐标为（1，2），∴AC＝AO＝，AF＝1，OF＝2．∵点A（1，2）在直线y＝kx+1上，∴k+1＝2，解得k＝1．设直线y＝x+1与y轴相交于点G，当x＝0时，y＝1，点G（0，1），OG＝1，∴FG＝OF﹣OG＝2﹣1＝1＝AF，∴∠FGA＝45°，AG＝．在Rt△GAB中，AB＝AG•tan45°＝．在Rt△ABC中，BC＝＝．∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC＝；（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2＝AC2＝AO2＝12+32＝10．∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣2xy≥0，∴xy≤5．当且仅当x＝y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．①当点D在第四象限时，如图3，过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DAN，在RtAMB和Rt△DNA中，∠AMB＝∠DNA，∠ABM＝∠DAN，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△DNA（AAS），则有AN＝BM＝2，DN＝AM＝1，∴点D的坐标为（1+2，﹣3+1），即（3，﹣2）．②当点D在第三象限时，如图4，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，同①的方法得：Rt△ANB≌Rt△DMA（AAS），则有DM＝AN＝1，AM＝BN＝2，∴点D的坐标为（1﹣2，﹣3+1）即（﹣1，﹣2）．故答案为：5、（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．4．解：（1）∵OA＝3，OB＝5，OD＝4，∴AB＝8，∴▱ABCD的面积＝4×8＝32，故答案为：32；（2）过点E作EF⊥AB于F，∵△ABE的面积是▱ABCD面积的，∴×AB×EF＝×AB×OD，∴EF＝2，∵OA＝3，OB＝5，OD＝4，∴点B（5，0），点C（8，4），设BC解析式：y＝kx+b，∴，解得：，∴BC的解析式：y＝x﹣，当y＝2时，x＝，∴E（，2）．5．解：（1）对于y＝x+b，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x+b＝0，解得x＝﹣b，故点A、B的坐标分别为（﹣b，0）、（0，b），则AO＝OB＝b，△AOB的面积＝×AO×BO＝b2＝32，解得b＝8，故点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），故一次函数的表达式为y＝x+8；（2）点D是A、B的中点，则点D（﹣4，4），如图，过点P作PK⊥x轴于点K，连接BQ，∵OA＝OB＝8，故∠BAO＝45°，t秒时，AP＝t，OQ＝2t，则AK＝PK＝t＝yP，故点P的坐标为（﹣8+t，t），点Q（2t，0），S＝S△AQB ﹣S△AQP＝×AQ×（y B﹣y P）＝×（2t+8）×（8﹣t）＝﹣t2+4t+32（0≤t≤8）；（3）由（2）知，点P的坐标为（﹣8+t，t），点Q（2t，0），设直线PQ的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线PQ的表达式为y＝﹣x+，∵OF＝3DF，则OF：OD＝3：4，如上图，分别过点D、F作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∴△OFN∽△ODM，则＝，而DM＝4，故FN＝3，由O、D的坐标知，直线OD的表达式为y＝﹣x，当y＝3时，则x＝﹣3，故点F（﹣3，3），将点F的坐标代入y＝﹣x+得，3＝+，解得t＝（舍去负值），故t＝2，则点Q（4，0），由点QF的坐标得，QF＝＝．的解析式是y＝kx+b，6．解：（1）设l2根据题意得：，解得，则函数的解析式是：y＝﹣x+4；（2）在y＝x+1中令y＝0，即y＝x+1＝0，解得：x＝﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．解方程组，解得，则C的坐标是（2，2）．则S＝×AD×y C＝×6×2＝6；△ADC（3）存在，理由：设C（2，2）关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：，则直线的解析式是y＝﹣x+，令y＝0，则y＝﹣x+＝0，解得：x＝．则E的坐标是（，0）．7．解：（1）将y＝0代入得，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）．将x＝0代入，并解得：y＝﹣2，∴点B的坐标为（0，﹣2）．将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，解得b＝4；（2）①由（1）知，直线的表达式为y＝﹣x+4，∵点P（t，0），∴当x＝t时，y＝﹣x+4＝﹣t+4，即D（t，﹣t+4）；同理可得：，故答案为（t，﹣t+4）、（t，t﹣2）；②A．存在，理由：由①得D（t，﹣t+4），，∵点P在线段OA上，∴，∵B（0，﹣2），∴OB＝2．∵DE＝OB，∴，解得：．∴，∴；B．存在，理由：由①得D（t，﹣t+4），．∵OP＝t，．当点P在线段OA上时，，∴，解得t＝3，故点D、E的坐标分别为（3，1）、（3，﹣），设点Q（m，0），则DE2＝，DQ2＝（m﹣3）2+1，DE2＝（m﹣3）2+，当DE＝DQ时，即＝（m﹣3）2+1，解得m＝3±（舍去3+）；当DE＝QE时，同理可得：m＝3（舍去3+）；点Q的坐标为或．当点P在线段OA的延长线上时，，∴，解得t＝6，同理可得：点Q的坐标为或；综上所述，点Q的坐标为或或或．8．解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．∴A（0，4），B（﹣2，0），∵直线AB与直线BC关于x轴对称，∴C（0，﹣4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，；∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4；故答案为：y＝﹣2x﹣4；（2）∵，∴，∴E（﹣4，4），∴AE⊥AO，设OP＝a，AP＝4﹣a，在Rt△BOP和Rt△EAP中，BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，∵PE＝PB，∴4+a2＝16+（4﹣a）2，解得a＝3.5．∴P（0，3.5）．（3）①如图，当点P在点A的下方，∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，∴∠PEB＝45°，过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H，∴△EBN为等腰直角三角形，∴EB＝BN，∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，∴∠BEH＝∠NBQ，又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，∴△EHB≌△BQN（AAS），∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，∴N（2，2），设直线EN的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线EN的解析式为y＝﹣x+，∴，解得，即M（﹣，）；②P点在A点的上方，由①知图1中OP＝，则AP＝，∴OP＝，设直线EP的解析式为y＝mx+，∵E（﹣4，4），∴﹣4m+＝4，解得m＝，∴直线EP的解析式为y＝x+，∴，解得，∴M（0.8，5.6）．综合以上可得点M的坐标为（﹣，）或（0.8，5.6）．9．解：（1）∵直线BC：y＝﹣x+3 交x轴于点B，交y轴于点C，∴B（3，0），C（0，3），∵CD＝1，∴OD＝4，D（0，4），∵AD⊥BC，∴直线AD的解析式为y＝x+4．（2）如图所示，由y＝﹣x+3和y＝x+4可得点E的坐标为（﹣，），∵P（3﹣t，0），A（﹣4，0），△AEP的高是，＝×AP×＝×（4+3﹣t）×＝﹣t+（0＜t≤3）；∴S△AEP（3）如图所示，则E（﹣，），Q（0，3﹣3t），F（3﹣t，t），①当EQ＝EF时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形；则（）2+（+3t）2＝（﹣t）2+（t﹣）2，解得：t＝1或﹣（舍去），∴Q（0，0），F（2，1），E（﹣，），设M（m，n），则有，解得，∴M（，﹣）；②当EQ＝QF时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形，则（）2+（+3t）2＝（3﹣t）2+（4t﹣3）2，解得：t＝或﹣（舍去），同法可得点M的坐标为（，3）．综上所述，t1＝1，M1（，﹣）；t2＝1，M2（，3）．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+m与y轴交于点B（12，0），∴0＝﹣×12+m，∴m＝9，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+9，当x＝0时，y＝9，∴点A坐标为（0，9）；（2）由题意可得：，解得：，∴点C（8，3），∴△BOC的面积＝×12×3＝18；（3）①如图，21 /21∵点D 的横坐标为t ，∴点D （t ，﹣t +9），点E （t ，t ），当t ＜8时，d ＝﹣t +9﹣t ＝﹣t +9，当t ＞8时，d ＝t +t ﹣9＝t ﹣9；②∵以点H （，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点， ∴≤t ≤1或， ∴≤t ≤1或≤t ≤．。