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2020 年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结一、二次函数的概念一般地，形如 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x ）（x –x ），其中 x ，x 是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a ≠0 ．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴顶点（–b 2abx =–2a4ac b 2 ， ）4aa 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下当 x =–b 2a时，当 x =–b 2a时， 最值y最小值=4ac b 4a2y=最大值 4ac b 4a21 2 1 2最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性b当x<–时，y 随x 的增大而减小；2ab当x>–时，y随x 的增大而增大2a当x<–当x>–b2ab2a时，y随x的增大而增大；时，y 随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号a>0aa<0b=0b ab>0（a与b同号）ab<0（a 与b异号）c=0c c>0c<0b2–4ac=0b2–4ac b2–4ac>0b2–4ac<0图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点（顶点）与x轴有两个交点与x轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考点一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典型例题典例1 ）如果y=（m–2）x m 2m是关于x的二次函数，则m=A．–1【答案】AB．2C．–1或2D．m不存在【解析】依题意m²m 2m 20，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a典例2 下列函数是二次函数的是0.A．y=2x+2B．y=﹣2x C．y=x2+2D．y=x﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选C．考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典型例题典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是A．B．C．D．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y 轴交点为（0，1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1 可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0 与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0B．b<0 C．ac<0D．bc<0【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典型例题典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下C．其顶点坐标为（4，2）【答案】B B．其图象的对称轴为直线x=4 D．当x>3时，y随x的增大而增大【解析】Q y 3(x 4)22，a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x 4，故B正确；顶点坐标为（4，–2），故C不正确；当x 4时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选B．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h．a决定了开口方向.典例6 （2019·福建厦门外国语学校初三期中）在函数y (x 1)23中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是A．x 1B．x 0C．x 3D．x 1【答案】D【解析】二次函数y (x 1)23的对称轴为直线x 1，∵a 0，∴x 1时，y随x的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴左侧y 随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小考点4 二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax20），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2 的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．典例8如图，如果把抛物线y=x2 沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+2C．y=（x–22）2+22）2+222B．y=（x+2）2+2D．y=（x–2）2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=22，∴OB=AB=2 2×22=2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）．典型例题典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程a x2+bx+c=0的一个解的范围是A．–0.03<x<–0.01 C．6.18<x<6.19xy6.17–0.036.18 6.19–0.010.02B．–0.01<x<0.02D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10 如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2C．–3<x<1B．x>–3D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x 轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x 的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典型例题典例11 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣A．1032t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．B．20C．30D．10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时 t =20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．因此 t 的取值范围是 0≤t ≤20；即当 y =600﹣150=450 时，即 60t ﹣3 2t 2=450，解得：t =10，t =30（不合题意舍去），∴滑行最后的 150m 所用的时间是 20﹣10=10，故选 A ．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程. 典例 12如图，一段抛物线：y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；…如 此变换进行下去，若点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A ．2C ．﹣3B ．﹣2D ．3【答案】D【解析】∵y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ，∴点 A （4，0），∴OA =4， ∵OA =A A =A A =A A ......，∴OA =A A =A A =A A (4)∵点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点 P （17，m ）在 C 上，∴x =17 和 x =1 时的函数值相等，∴m =﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选 D ．1 1 1 12 2 2 23 3 1 11 11 12 23 34 1 1 2 2 3 3 45【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.。
第13讲二次函数的应用
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的应用关键点拨
实物抛物线
一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标
系求解，建立的原则：①所建立的坐标系
要使求出的二次函数表达式比较简单；②
使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、
原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表
达式和之后的计算求解.
①据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系
式；
②研究自变量的取值范围；
③确定所得的函数；
④检验x的值是否在自变量的取值范围内，
并求相关的值；
⑤解决提出的实际问题.
解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么
最大（最小）”的设问中，“某某”要设为
自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵
坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系
式；
②根据几何图形的关系式确定二次函数解
析式；
③利用配方法等确定二次函数的最值，解决
问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问
题的面积的最值问题通常会通过二次函数
来解决.同样需注意自变量的取值范围.。
二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题1．（2020·衢州）二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 {答案}C{解析}由于 A 选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 2．（2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ） A ．y ＝(x ＋2)2＋2 B ．y ＝(x －1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－1 D ．y ＝(x －1)2＋5{答案}D{解析}将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y ＝(x －1)2＋2＋3，即y ＝(x －1)2＋5，故选D ．3.(2020·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是 A ．abc <0 B ．4ac －b 2>0 C ．c －a >0 D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y ≥c {答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a ＞0，∵二次函数图象的对称轴为x ＝－1，所以－2ba ＝－1，所以b ＝2a>0，∵抛物线与y 轴正半轴交于点C ，所以c ＞0，所以abc>0，A 错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac －b2<0，B 错误；∵b ＝2a ，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝c －a ＜0，∴C 错误；当x ＝－n2－2(n 为实数)时，y ＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c ＝a(－n2－2)2＋2a(－n2－2)＋c ＝a(n2＋1)2－a ＋c ，∵n 为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a ＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c ＞0，∴y≥c ，∴D 正确，因此本题选D ．4．（2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y{答案}{解析}本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B ．5．（2020·杭州）设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象，因为在2()y a x h k =-+中，当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，所以抛物线2()y a x h k =-+经过点A （1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A 作AC6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =∴tan ∠ABC ≥0，∴n ﹣m ≥0，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C ，D 都错误； ②当n ﹣m ＝1时，如图2，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b a-≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．图1 图28．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D的右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16{答案}D{解析}本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝52，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0）.因为对称轴为直线x＝52，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝16-，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．9．（2020·新疆）二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数y ax b=+与反比例函数cyx=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ···························································（）{答案}D{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以2ba-＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数y ax b=+经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数cyx=经过第一、三象限，因此本题选D．10．（2020·遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a－b＝0;②c≤3a;③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根;④b2＋2b> 4ac．xyba（b，m）(a，n）CEDOABxy(a，m）（b，n）a bHP QOMN240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1{答案} B{解析}本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =， 0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.EF)＝－CE ＋2EF ＝4－x ，易知△BFH 是等边三角形，∴y ＝S △BFH ＝12·(4－x)·()342x -＝34(4－x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x ＝2时，y ＝3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A 符合.图1图213．（2020·哈尔滨）将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．()532++=x yB ．()532+-=x yC ．()352++=x yD ．()352+-=x y{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为()352+-=x y ，因此本题选D ．14．(2020·绥化)将抛物线y ＝2(x －3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A ．y ＝2(x －6)2B ．y ＝2(x －6)2＋4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2＋4{答案}C{解析}原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y ＝2x2．故选C ． 15．（2020·枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ∴ac ＜0；∴b 2－4ac ＞0；∴2a －b ＝0；∴a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}C{解析}根据抛物线与系数a ，b ，c 的关系特征判断各结论正确与否．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2－4ac ＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴12b a -=，∴－b ＝2a ，∴2a+b ＝0，故③错误；抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3，0）关于直线x ＝1的对称点为（－1，0），即抛物线又经过点（－1，0），即x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故④正确． 综上可知，正确的结论有①②④，共3个． 16．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m －3沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限GABCDE F FE DC BA HO 1 yx3{答案}D{解析}平移后的抛物线的表达式为y ＝x2－(m －1)x ＋m －3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为()2341,24m m ⎛⎫-+- ⎪-⎪⎝⎭，由于m ＞1，所以12m -＞0，2312x x x --=-＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点在第四象限．17．（2020·贵阳）（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A ．﹣2或0 B ．﹣4或2 C ．﹣5或3 D ．﹣6或4{答案} B ．{解析}解：∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y ＝0时，0＝ax2+bx+c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣1， 又∴关于x 的方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴关于x 的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2， 故选：B ．18．(2020自贡)函数y =kx 与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．{答案} D ．{解析}本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象确知a ＜0，b ＜0，∴函数y ＝kx ﹣b 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选D ．19．（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． {答案} C{解析}本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＜0、b=0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．20.（2020·四川甘孜州）10．如图，二次函数y ＝a (x ＋1) 2＋k 的图象与x 轴交于A (－3，0)， B 两点，下列说法错误的是( )A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2，0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．21.．（2020·福建）10.已知()111,P x y，()222,P x y是抛物线22=-y ax ax上的点，下列命题正确的是（）A.若12|1||1|->-x x，则12>y y B.若12|1||1|->-x x，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x，则12=y y D.若12=y y，则12=x x{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax=a（x-1）2-a，∴抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x，则12=y y，因此本题选C．22．（2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个{答案}B{解析}（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x＝1，得－2ba＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x 的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B．23.(2020·南充）10.关于二次函数)0(542≠--=aaxaxy的三个结论：①对任意实数m，都有mx+=21与mx-=22对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则134-≤<-a或341<≤a；第10题图1-1OyxA.①②B.①③C.②③D.①②③{答案}D2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整以③正确.故选D.24．（2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个{答案} C{解析}根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．25.（2020·德州）11.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2 B. 30a c +=C. 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根D. 当0x ≥时，y 随x 的增大而减小{答案}D{解析}∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2本选项正确； ∵对称轴x ＝﹣＝1，∴b ＝﹣2a . 由函数的图象知：当x ＝﹣1时，y =0；即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，故本选项正确；∵抛物线2y ax bx c =++与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故本选项正确；∵抛物线在对称轴x ＝1的左侧或左侧，y 随着x 的增大而增大（或减小），故本选项错误.26． （2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点. 若关于x 的二次函数()0102≠+--=m m x x y 有两个不相等的零点()212,1x x x x <，关于x 的方程02102=--+m x x 有两个不相等的非零实数根()434,3x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）A ． 1310<<x x B ．131>x x C ．1420<<x x D ．142>x x{答案}A{解析}∵关于x 的方程02102=--+m x x 可变形为02102=++--m x x ，∴关于x 的方程02102=++--m x x 有两个不相等的非零实数根()4343,x x x x <，∴二次函数()02102≠++--=m m x x y 有两个不相等的零点()4343,x x x x <，二次函数()02102≠++--=m m x x y 的图象由()0102≠+--=m m x x y 的图象向上平移两个单位而得．对称轴都为直线52102-=---=-=a b x ，画出草图，由图可知：013<<x x ，两边都除以3x 得，1031<<x x ，故选A ．27.（2020·湖北孝感）将抛物线C 1：y=x 2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为( )A.y=-x 2-2B.y=-x 2+2C.y=x 2-2D.y=x 2+2 {答案}A{解析}利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线C 2得解析式：y=(x +1)2-2(x+1)+3，整理得y=x 2+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y=-x 2-2.故选A.28.（2020·达州）如图，直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y = ax 2+（b -k ）x +c 的图象可能是（ ）{答案}B{解析}由直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 的图象可知k ＞0，a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2﹣4ac ＞0，所以b ﹣k ＜0，（b -k ）2﹣4ac= b 2﹣2bk ＋k 2－4ac ＞0，即y= ax 2+（b -k ）x+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴的左侧且与x 轴有两个交点．29．（2020·菏泽）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）{答案}B{解析}根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解．A、∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax＋b 的图象应过第一、三、四象限，故A错误；B、∴抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴直线应过第一、二、三象限，故B正确；C、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴直线应过第一、二、四象限，故C错误；D、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴直线应过第二、三、四象限，故D错误．30．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax 2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根{答案}C{解析}依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝ca＋ba＋1＝1a(a＋b＋c)＝－1a＜0．∴x1－1与x2－1异号，这说明x1，x2中一个大于1，另一个小于1．故选C．31．（2020·随州）如图所示，已知二次函数c+bx+ax=y2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，22-=a.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个{答案}B{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：O xyAO xyBO xyCO xyD∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a-b+c=0.A ．154 B ．4 C ．−154 D ．−174直角坐标系中的图象大致是（ ）{答案}B{解析}由二次函数的图象确定a 、b 、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开34．（2020·深圳）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，n )，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（ ）A ．abc ＞0B ．4ac －b 2＜0C ．3a ＋c ＞0D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根{答案}C{解析}根据抛物线开口向下，得到a ＜0，对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，知b ＝2a ＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 正确；根据抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0，故选项B 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，又∵b ＝2a ，∴3a ＋c ＜0，∴选项C 错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n ），∴函数有最大值n ，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝n ＋1无交点，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根，选项D 正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C ．35．（2020·鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 {答案}B{解析}此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x ＝﹣2时，y ＞0可判断③；由x ＝-1和2a 与b 的关系可判断④． ∵抛物线开口向上， ∴a >0， ∴0abc >，故①错误；∴-b <2a ，即2a ＋b >0，故②错误； 当x ＝-2时，y ＝4a -2b ＋c >0，故③正确； 当x ＝-1时，抛物线过x 轴，即a -b ＋c ＝0， ∴b ＝a ＋c ， 又2a ＋b >0，∴2a ＋a ＋c >0，即3a ＋c >0，故④正确； 故答案选：B ．36.（2020•湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）（第10题图）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤{答案}D{解析}本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＜0，即b ﹣2a ＞2c>0，故此选项错误；③当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确．⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x 2b a =-=1，即a 2b =-，代入得9（2b-）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．因此本题选 D ．37.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ） A. 12y y =-B. 12y y >C. 12y y <D. 1y 、2y 的大小无法确定 {答案}B {解析}首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小. ∵20a b ->，b 2≥0, ∴a>0.又∵0ab <， ∴b<0∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+. ∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2.故选：B.38．（2020·天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①；②关于x 的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即.2y ax bx c =++,,a b c 0,1a c ≠>()2,012x =0abc >2ax bx c a ++=12a <-ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a ，即可判断③．∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的，∵，而 ∴关于x 的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C.39．(2020·成都)关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8） C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D ．y 的最小值为﹣9{答案}D{解析}根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∴二次函数y ＝x2+2x ﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x ﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误； 当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x ＝﹣1时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 正确；故选：D ． 40．（2020·河北）如图9，现要在抛物线y =x （4-x ）上找点P （a ,b ）.针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲:若b =5，则点P 的个数为0； 乙:若b =4，则点P 的个数为1； 丙:若b =3，则点P 的个数为1. 下列判断正确的是A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对240b ac ->1c >2y ax bx c =++()2,012x =(1,0)-222224=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>0a ≠2ax bx c a ++=1c >12a <-{答案}C{解析}∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P 的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P 的个数为0；当b=4时，点P 的个数为1；当b=3时，点P 的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C.41．（2020·广东）把函数212y x 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22yx B ．211y x C ．222yx D ．213y x{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2），向右平移1个单位后变成（2，2），所以新函数为222y x ，也可用规律“左加右减”得222y x ，因此本题选C ．42．（2020·广东）如题10图，抛物线2yax bx c 的对称轴是x ＝1.下列结论：∴0abc ；∴240b ac ；∴80a c ；∴520a b c ，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个{答案}B{解析}本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得0a和0c ，再通过对称轴1x，可得2b a和12b a，所以0b 和2b a ，所以：（1）0abc ，故∴错误；（2）由于抛物线与x 轴有两个交点，因此所对应的一元二次方程20ax bx c有两个不相等的实数根，即240b ac，因此∴正确；（3）将2b a 代入原抛物线解析式，得：22y ax axc ，由图象可知，当4x时，0y，因此1680aa c，即80a c，故∴正确；（4）由于当1x 和2x时，都有0y ，所以有：0a b c和420ab c，两式相加得：520ab c，故∴正确综上所述，共有3个正确结论，因此本题选B ．题10图43.（2020·牡丹江）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝21，且经过点（2，0). 下列说法：∴abc ＜0；∴ -2b+c ＝0；∴4a+2b+c ＜0；∴若15()2y -，，25()2y ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；∴41b ＞m(am+b) (其中m≠21). 其中说法正确的是（ ）A. ∴∴∴∴B. ∴∴∴C. ∴∴∴D. ∴∴∴{答案}A{解析}根据抛物线开口方向得到a ＜0，根据抛物线的对称轴得b ＝﹣a ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c ＝﹣2a ，则得到﹣2b+c ＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c ＝0，则可对③进行判断；通过点（25-，y1）和点（25，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x ＝21，开口向下，得到当x ＝21时，y 有最大值，所以41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21），由a ＝﹣b 代入则可对⑤进行判断．具体判断过程如下： ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝21，∴b ＝﹣a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确； ∵对称轴为x ＝21，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ac＝﹣1×2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b+c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x ＝2时，y ＝0，∴4a+2b+c ＝0，所以③错误；∵点（25-，y1）离对称轴要比点（25，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝21，∴当x ＝21时，y 有最大值，∴41a+21b+c ＞am2+bm+c （其中m≠21），∴41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21）， ∵a ＝﹣b ，∴﹣41b+21b ＞m （am+b ），∴41b ＞m （am+b ），所以⑤正确；故选A.44．（2020·咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A.y x =-B. 2y x =+C. 2y x= D. 22y x x =-（第12题图）x=2 Oyx{答案}B{解析}本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：2x =±，经检验2x =±是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本题选B ． 45．（2020·凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有如下结论：∴abc ＞0；∴2a ＋b ＝0；∴3b －2c ＜0；∴am 2＋bm ≥a ＋b （m 为实数）．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}D{解析}（1）由图可知抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，从而∴正确；（2）∴12b a -=，∴b ＝－2a ．∴2a ＋b ＝0，从而∴正确；（3）∴b ＝－2a ，∴3b－2c ＝－2a ＋2b －2c ＝－2(a －b ＋c)．而由图象可知，当x ＝－1时，y ＞0，从而a －b ＋c ＞0，于是－2(a －b ＋c)＜0，从而3b －2c ＜0．故∴正确；（4）由图可知，当x ＝1，ymin ＝a ＋b ＋c ，∴当x ＝m 时，am2＋bm ＋c≥a ＋b ＋c ，即am2＋bm≥a ＋b （m 为实数），从而∴正确．故选D ． 46．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，CD ∴AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ∴AC 于点E ，作PF ∴BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A.B.C.D.{答案}A{解析}根据三个角是直角，得出四边形CEPF 为矩形，再结合△APE 是等腰直角三角形，用含x 的代数式表示矩形的边PE 与EC 的长，求出矩形CEPF 的面积，再利用二次函数图像性质即可求解． Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，则AD ＝DC ＝2．∵PE ⊥AC ， PF ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∴四边形CEPF 为矩形．当点P 在AD 上时，即0≤x≤2，∵在等腰直角△APE中，AE ＝PE ＝22x ，∴EC ＝AC －AE ＝22－22x ，∴矩形CEPF 的面积y ＝PE·EC ＝22x ×(22A BCEDP F124321xy O O y x123421Oy x123421124321xy O 第12题图321-1O x =1y x－2)＝－12x2＋2x ；如图，当点P 在CD 上时，即2≤x≤4，由题意可知四边形CEPF 为正方形，此时CP ＝4－x ，∴四边形形CEPF 的面积y ＝12CP2＝12 (4－x)2．结合所求的函数关系式，及二次函数图像性质，可知选项A 正确．故选择A ．47.（2020·安顺）已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是 3.则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ）A.2-或0B.4-或2C.5-或3D.6-或4{答案}B{解析} ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线1,x =-又∵关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3，∴另一个根为－5.∵0n m <<，且方程20ax bx c n +++=有两个整数根，∴20ax bx c n +++=的根的范围分别是12533x x <<<<－－，１，∴方程的两个整数根分别为－4或2.48．（2020·滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，(且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：∴abc ＜0，∴b 2＞4ac ，∴4a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞0，ya ＋b ≤m (am ＋b )（m 为任意实数），∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 {答案}A{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∵2ba -=1，∴b=-2a ＜0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac ＞0，∴b2＞4ac ，故②正确；③当x=2，y=4a+2b+c ＜0，故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴3a+c ＞0，故④正确；⑤当x=1时，y 的值最小，此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am2+bm+c ，所以a+b+c≤am2+bm+c ，故a+b≤am2+bm ，即a+b≤m （am+b ），故⑤正确，⑥当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误，因此本题选A ．DAB C EFP49．（2020·宜宾）函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0．以下结论正确的是（ ） ∴abc ＞0；∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在x ＝1和x ＝﹣2处的函数值相等；∴函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象总有两个不同交点； ∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在﹣3≤x ≤3内既有最大值又有最小值． A ．∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴∴∴ {答案} C{解析}①由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0，可得出顶点在第二象限，b ＝2a ，且图象与x 轴交于点（2，0），得出抛物线的开口方向向下，∴a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①正确； ②由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），得出函数图象的对称轴为直线x ＝﹣1，函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝1和x ＝﹣3处的函数值相等，或函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝0和x ＝﹣2处的函数值相等，∴结论②错误；③由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），与x 轴交于点（2，0），可得b ＝2a ，c ＝－8a ，∴y ＝ax2+2a x －8a ，将y ＝kx+1与y ＝ax2+2a x －8a 联立方程组，得到方程ax2+（2a －k ）x －8a －1＝0，Δ=（2a －k ）2－4a （－8a －1），无法判断Δ是否大于0，∴函数y ＝kx+1的图象与y ＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象的交点情况无法确定，∴结论③错误；④由③可得y ＝ax2+2a x －8a ，在﹣3≤x≤3内，当x ＝﹣1时，y 有最大值n ＝－9a ，当x ＝﹣3时，y ＝7a ，当x ＝3时，y ＝－5a ，由①可知a ＜0，－9a ＞－5a ＞7a ，∴函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．∴结论④正确．50．（2020·恩施）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()2,0A -、()10B ,两点．则以下结论：∴0ac >；∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；∴20a c +=；∴0a b c -+>．其中正确的有（ ）个．A. 0B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}根据二次函数的图像性质逐个进行分析：∴：二次函数开口向下，故a <0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c >0，故ac <0，故∴错误； ∴：二次函数的图像与x 轴相交于()2,0A -、()1,0B ，由对称性可知，其对称轴为：21122x -+==-，故∴错误；。
第13讲 二次函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 二次函数的图像及性质】1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4.图像性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)a ＞0时开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记为“左减右增”a ＜0时开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记为“左增右减”【考点2 二次函数的实际应用】1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．【考点3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数与一元二次方程的关系：1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。
2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解二次函数的应用专题详解专题03 二次函数的应用 (1)22.3 二次函数的应用 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 (2)知识点2 实际问题中自变量的取值 (3)二、典型题型 (5)题型1 面积问题 (5)题型2 利润问题 (6)题型3 球类运动问题 (9)题型4 拱桥问题 (10)三、难点题型 (13)题型1 分段函数 (13)题型2 二次函数的综合应用 (15)22.3 二次函数的应用知识框架基础知识点列二次函数解决实际问题的一般步骤{实际问题中自变量的取值典型题型面积问题利润问题球类运动问题{拱桥问题难点题型{分段函数{ 二次函数的综合应用一、基础知识点知识点1 列二次函数解决实际问题的一般步骤1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似：①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设出2 个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）；③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；④解决二次函数，并解答。
注：一元二次方程通常有2 解，但是，应检验方程的2 个根是否都符合实际情况。
例1.某商品现在的销售价为每件60 元，每星期可卖出300 件。
市场调查发现，若果每降价1 元，每星期多少卖20 件。
已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？【答案】每件降价5 元利润最大，最大利润为：6250 元【解析】①建立等量关系式：此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润×售出的件数②设出2 个变量：∵题目研究总利润，∴设总利润为因变量y，便于研究∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，∴设每件降价x 元③建立函数关系式：总利润为：y每件的利润为：（60－x－40）=（20－x）元售出的件数为：（300+20x）件∴函数关系式为：y=（20－x）（300+20x）化简得：y=−10x2 + 100x + 6000④解决二次函数问题，并解答：题干求最值，2 种方法：方法一：配方法求最值函数配方得：y=−10(x− 5)2+ 6250∴当x=5 时，y 有最大值，为6250方法二：利用函数的性质求最值：∵a=－10＜0，∴函数有最小值当x=−b= − 100 = 5时有最小值，最小值y=4ac−b2 = 4∙（−10）∙6000−1002 = 6250 2a2∙(−10)4a4∙（−10）∴降价5 元时有最大利润，为6250 元知识点2 实际问题中自变量的取值1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为（−b，4a c−b 2），故当x=−b时，函数取得最值，即：2a4a2a①当a＞0 时，x=−b时函数有最小值，最小值y=4ac−b22a4a②当a＜0 时，x=−b时函数有最大值，最大值y=4ac−b22a4a2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到x=−b，这是就需要根据二次函2a数的性质进一步分析了。
