专题16 第7章《平面图形的认识（二）》中翻折问题尖
子生培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题（本大题共7小题，共70分）
1.(1)如图①，在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，
AE与BC交于点F.已知∠B=50°，∠BAD=15°，求∠AFC的度数．
(2)如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位
置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由．
(3)如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位
置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由．
2.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，
边AE交射线BC于点F．
(1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC
(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0 ①如(图2)，当DE⊥BC时，求x的值． ②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不 存在，请说明理由． 3.喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏． 如图1，纸条的一组对边PN//QM(纸条的长度视为可延伸)，在PN，QM上分别找 一点A，B，使得∠ABM=α． 如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为BR1． 解决下面的问题： (1)聪明的小白想计算当α=90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解： 如图3，PN//QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM=90°，由折叠：BR1平分______，BM′//R1N′，求∠BR1N′的度数． (2)聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条(如图4)，是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由． (3)笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2(如图5)；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推． ①第二次折叠时，∠BR2N′=______(用α的式子表示)； ②第n次折叠时，∠BR n N′=______(用α和n的式子表示)． 4.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关 系”，部分原文如下： 如图，在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折桑，使边AC落在AB 上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C=∠ADE ∵∠ADE>∠B(想一想为什么)， ∴∠C>∠B. (1)请证明上文中的∠ADE>∠B； (2)如图，在ΔABC中，如果∠ACB>∠B，能否证明AB>AC？ 同学小雅提供了一种方法：将ΔABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； (3)如图，在ΔABC中，∠C=2∠B，按照(1)的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E 作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA=110°，求∠DEM的度数． 5.(1)如图1，将长方形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落 在点C’处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______°； (2)小明手中有一张长方形纸片ABCD，AB=12，AD=27.【算一算】 如图2，点F在这张长方形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A’，B’处，若AG=7，求B’D的长． 【画一画】 如图3，点E在这张长方形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)； 6.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点． (1)若，，求的度数； (2)若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P. 求证：； (3)在(2)的条件下，将△MBC沿直线BC翻折得到△NBC，的角平分线与 的角平分线交于点Q(如图2)，则∠BQC与∠A的数量关系是_____________________． 7.如图①，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿 ∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B n A n C(n为正整数)的平分线A n B n+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次B n与点C恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 【探究发现】 (1)如图③，△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ ______.(填：“是”或“不是”) (2)归纳猜想： ①如图④，小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系，并说明理由． ②根据以上内容猜想：若经过n(n为正整数)次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(∠B>∠C)之间的等量关系为______.(直接写出结论) 【应用提升】 (3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 优等生培优计划 为全面提高教学质量，完成学校制定的培养目标，选拔学科基础扎实、成绩优异、思维敏捷、学习能力超群的学生进行重点培养，为他们脱颖而出创造条件，从而造就一批实践能力强的人才，为学校增光。 在智力、学习成绩、日常表现等方面相对优秀的那部分学生常常被认为是好学生,也被称为优生。由于这些学生认知结构、判断能力和行为决策水平都有待提高，他们思维活跃不稳定，容易受各种因素的干扰，紧张的学习、激烈的竞争、单调的生活、成长的烦恼，还有来自家长教师及学生自身的过高期望等，常常会诱发这些学生的消极情绪体验，产生不良的心理现象。优生在年级中人数不多，但影响却颇大，抓好对他们的教育，对形成良好的班风校风有很大作用，这些学生能否严格要求自己，大胆工作无疑会对班级工作局面的好坏产生很大影响。具体措施1．改进学习方法，培养自学能力。2．要让学生学会质疑、提问。鼓励学生求异、求变、求新，善于学习、勤于总结、勇于创新。3、为了使优等生更加先进，对其进行"创新"教育，使其具有创新意识，创新精神和创新能力，并逐步形成创新素质。4．进行意志品质教育，在学习上遇到困难时要克服各种消极情绪，具有迎难而上、永攀高峰的意志品质。5．严格要求。对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。6．着力培养。对优生要多给予思想上的帮助，使之树立热爱集体、热心为大家服务的思想，鼓励他们大胆工作，并提供发挥他们想象力、创造性的机会，肯定他们的成绩，让他们把科学的学习方法传给大家，达到全体同学共同进步的目的。7．平等相待。对优生不能因为他们成绩好而一味地“捧” ，不能对他们的缺点冷嘲热讽，这些都会导致心理障碍。对他们要热情地支持、深情地指导，让他们成为积极向上、勤奋刻苦、乐于助人的三好学生。8、教师每天给优生布置几道思考题加强训练，要完成一本课外书习题。 本学期，在教学工作中对优等生的教育，主要计划如下： 一、做好基础知识的学习 课堂教学是向学生传授知识的主要途径。只有在课堂教学中打好坚实的基础，才能进行更深层次的学习，才能在全面发展的基础上学有特长。任何一个优等生都是在基础教育的基石上发展起来的。课堂教学要突出学生的主体地位，以学生的学会学习为标志，设计多种学习活动，调动学生的脑，手，口，让他们积极投入到学习中去，注重精讲点拨，教学过程中教师精心设计提问，在共同的基础上将有一定难度的问题留给尖子生，让他当先生说一说，讲一讲，锻炼他们的思维。通过训练，及时让学生掌握所学，设计的习题要有梯度、有层次，及时注意优等生的学习动向，适当的加大他们的训练量。课内教师积极引导他们自主探究，主动思考，加强学法指导，使他们牢固的 初中尖子生培养计划 尖子生是学生中比较突出的群体,如何使他们在初中阶段得以充分和全面的发展,成为初中教育必须面对的问题。所以我制定如下计划： 一、选择合适的学生。一般而言，只要具备下面两个方面的特征，我们可以确定为合适的学生。一方面，有良好的个人品质。另一方面，有良好的学习品质。 二、寻求合适的方法——尖子生培养的要领 尖子生培养除了投入充足的时间和精力外，还要寻求合适的方法，抓住关键，突出重点。培养尖子生，主要任务应是为他们创设一个良好的学习和生活环境，加强学法指导和心理辅导，补短扬长，发展个性，不断壮大尖子生队伍。我从我的工作实践中，摸索到的方法概括为“早、宽、和、补、扬、导”6个字：第一，早——行动早、计划早。第二，宽——宽松的环境、宽广的胸怀。第三，和——和睦的师师、师生、生生关系。第四，补——补人数、补不足。第五，扬——发扬优势、张扬个性?。第六，导——学习指导、心理辅导。 三、对待尖子生要“特殊化”（1）在课堂上设计特殊的学习任务,众所周知，教师在教学中，主要是针对大部分的中层生而设计的，尖子生往往就会“吃不 饱”，那么作为教师，我们不妨给他们设计一项特殊的学习任务，让他们感到在课堂上还有好多东西可吃。（2）在课后布置特殊的作业,教师如果对尖子生和其他学生的作业没有分层布置的话，那肯定是不利于他们的发展的。所以教师应该花点心思在作业的布置上，尽量为尖子生设计一些能发挥他们特长的作业。（4）提高尖子生的自主学习能力陶行知老先生说：“给孩子一些权力，让他们自己去选择；给孩子一个条件，让他们自己去锻炼；给孩子一个空间，让他们自己往前走。”我想对每一位学生，我们都要培养他们自主学习的能力，而尖子生具有高度的自觉性、有优秀的分析问题和解决问题的能力，也许已经具有一定的自主学习能力，我们教师应该再给予他们一点指点，来提高他们的自主学习能力。A.培养尖子生良好的学习习惯，是提高他们自主学习能力的前提B.渗透有效的教学方法，是提高尖子生自主学习能力的关键C.注意尖子生的心理教育俗话说：“金无足赤，人无完人。”尖子生往往具有一些不良心态：自负心理、虚荣心理、自私心理。苏霍姆林斯基说过：“真正的教育是自我教育。”尖子生自尊心特别强，老师跟他们讲的道理他们也都懂，可是却很难接受别人的批评。这时教师就要抓住他们的心理，要想方设法让 第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？ 解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间， 设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①， 岭v i 叫A A 在冲，COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\ 另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1?单调性?当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 ?有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中， ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。 解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点 2 4 ■ v0 学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由 高二年级名校尖子生培优计划（讨论稿） ——冲击清华、北大 刘永军 前言：根据我校在全市高中的地位和以往各届升入清华北大等名校的状况，我校尖子生的定位理应是冲击清华、北大等名校的学生。 尖子生的培养需要一个优秀的群体，这个群体的整体质量状况影响着每一个尖子生的学习与发展。这个群体分三类学生：一是成绩在年级前20名的，是第一梯队学生；二是有很大的潜力但暂时锋芒未露的准尖子生，成绩多在年级前50名，为第二梯队，有的“黑马”或许就从这一梯队产生；三是成绩在年级前100名左右的学生，是尖子生脱颖而出的最稳定有利的环境和基础。 在高一打好基础、培养自信心的基础上，为了提升我校尖子生培育水平，更好的发现尖子生，培养尖子生，充分发掘他们的潜能，为提高2015年高考的名校人数，为培养出具有冲击清华、北大、复旦等名校实力的学生，特制订高二尖子生培优计划。这个计划主要包括“高考计划”，“自主招生计划”两部分。 关键词：多做题尖子生辅导能力 “高考计划” 从历届考上清华北大等顶尖名校的学生看，不难看出一些共性的特点： ★练题量大，种类多，题型广且包含大量中难题以及压轴题★做题快，准确率高 ★单位时间内学习效率高，课下用来学习的时间多 ★学习生活习惯规律，自觉性强 ★心理素质好，学习过程中内心平静，非常专注，有毅力，肯吃苦。 我认为从考试角度说：高考就是做题，而且是做我们平时没见过的题。对于“容易题和中等题”尖子生得分较稳定，尖子生之间的差距主要表现在“中难题和压轴题”的得分情况。因此我认为应该以“有选择的大量练题”为载体，提升学生解各种题的思维、方法和能力，从而真正提升学生的综合能力。 在做大量习题过程中，学生要先达到“会解各种题”，再逐渐达到“做题快，且准确率高”，让学生深刻体会其中的错误与喜悦，多归纳总结自己的不足，减少差距，才能在高考中一次性成功。 对于练习试题的选择辅导老师应有计划性，针对性。辅导老师要引导好，辅导好，归类讲解“拓展知识”、“类型题”以及“变 高一年级尖子生培养计划 分类：教育教学、教研教法、学法指导 2010-2011学年第一学期高一年级尖子生培养计划 指导思想：和谐团队务实敬业稳中求新夯实基础追求卓越 年级内涵：让我们的成功成为每一个人的美好回忆。 前言：为了加强奥赛班的教育教学工作，探究尖子生成长的规律和超常规教学，向奥赛班要质量；为了更好的研究如何发现尖子生，培养尖子生，最有效地挖掘尖子生的潜能，特制定本届高一尖子生培养方案，以指导今后奥赛班的教育教学。 一、现状分析 虽然奥赛班的学生都是优秀的，但进入高中后，环境的改变、心态的变化、潜质的不同等都会影响所谓尖子生的进一步发展，所以，我们既要在某一时期培养尖子生，更要注意做好三年后真正能冲击清华、北大的尖子生的发现、挖掘工作，把真正的有潜质的尖子生挖出来，这也是一项长期的重要的工作。 二、实施措施 1.确定培养对象。根据中考成绩和第一次月考成绩确定尖子生培养对象，清北希望之星50名，尖子生150名，优等生600名（共600名）。奥赛班的所有任课老师除了抓好平时的教育教学外，还要与上述学生结对子，及时了解所承包学生的心理、学习、生活等，及时作各项工作。 2.文化环境铺设。在班级张贴催人奋进的励志标语，努力创造宽松而紧张、竞争而和谐的人文环境。 3.经常激励。十四五岁的孩子很喜欢听表扬，尖子生更具有其独有的积极心理，如远大的社会理想或健康的个人目标；人聪明，资质好，悟性高，有主见；有很强的自尊心、自信心、好奇心和好胜心；热爱科学，追求进步；容易激起上进、竞争的欲望；心理素质好，自我调节能力强，能经受一定的挫折；有良好和谐的人际关系等等。对此，班主任和各任课老师要经常用放大镜看他们的优点，鼓励他们，让他们认识到自己的长处，认识到这些积极心理能帮助他们闯过学习生活中的层层难关。 4.心理辅导。虽然尖子生有很多常人没有的优点，但也有诸如骄傲、自负、自居、脆弱、焦虑甚至嫉妒等消极心理。所以，心理辅导成了现在奥赛班老师必修的一门功课。高一一年里，预设辅导思路如下： （1）以阶段性（周考、月考）为主线，根据每次考试尖子生成绩变化情况和阶段性学习生活存在的心理困惑，设计问卷内容，根据问卷反馈的信息有针对性确定辅导主题：如：尖子生的消极（自负、自居、 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 高三七班尖子生培优措施 萝北县高级中学赵春波一、人员确定 第一次模考前10名，魏贵生、李娜等10 人 二、十人特点 1、魏贵生：这个孩子年龄比正常小2岁，比较聪明，性格比较稳，认真，上课很会听课，跟老师思路很紧，勤于动脑，效率比较高。 这次一模考试她的文综得了204分，地理只得了62分，平时都是优势学科，这次却给她拽了分，她的选择题只得了28分，综合题得了34分，分析了她的试卷，主要的原因有一下几个方面：选择题：①看题不仔细；②设问的题眼抓的不准；③有些知识运用的不灵活；④对命题人的设问的意图分析不透彻 综合题：①过于匆忙，太着急；②对试题及材料分析不到位；③遗漏答题角度 李娜：这个孩子年龄比正常小1岁，性格很稳当，做事认真，所以会的题一般都能得分，数学计算一般不错。上课听课效率比较高，各学科基础知识都比较扎实。 ①选择题只看材料，没和所学的知识相结合，丢分2个选择；②读题不认真，将重点词忽略，整道题就得不到分；③综合题时没明确问题所问，匆忙作答；④开放题没有分角度作答①②③④ 2、学习能力，分析能力很强，知道自己的弱点，却找不出办法来解决，这就需要老师点拨。 3、通过几次考试分析，在考试过程中丢分的点一般有以下情况： ①在考试过程中，碰到难题的时候心里紧张焦虑，急于求成，这种心理的变化给解题形成了障碍。②对新情景问题审题有遗漏导致失分，这在选择题多见；③在综合题中主要是考虑不全面，导致丢失部分分；④还有的是思维习惯、做题习惯的问题，比如题目文字好象很直白，感觉容易，警惕性差，比如题目文字、图表信息没读完导致答案遗漏，比如有时候思维过程太快省略几个环节出错。 三、具体解决措施 数学尖子生的培优策略 无论在任何时代都需要出类拔萃的人才，没有这样的人才就谈不到文化科学的进步。这是时代的需要，更是国家建设的需要。当前社会正是知识、经济突飞猛进的年代，各行各业都呼唤着杰出的人才的出现。富有数学天赋的优等生并不能自发地出现。不管他们有多聪明、多好学，都不可能无师自通。他们需要培养，需要接受有针对性的指导和进行严格的训练。而教师也同样不能忽视在普遍提高的基础上去发现和培养数学尖子生的任务。作为一名为国家输送优秀栋梁的人民教师，对于优秀学生的重点培养有着义不容辞的责任。 培养数学尖子生，首先要善于发现和选择好的苗子。尖子生的苗子应该具备基础扎实，思想活跃，思维敏捷，学习上优较大的潜力和较强的分析问题和解决问题的能力，并且具有浓厚的数学兴趣和勇于创新的精神。主要从以下几个方面来考察： 1、注意学生各学科学习水平的全面、均衡发展。作为尖子生的苗子，既要有扎实的数理化实力，又要有良好的文科基础，从而具备较强的理解能力、表达能力和归纳总结能力。这正是尖子生成材必不可缺的前提。 2、重视学生的智力水平。有些学生学习勤奋，善于模仿，心细有耐性。他们在常规的考试中往往成绩优秀，但仅仅局限于书本，学习上缺乏潜力，这类学生不适合作为尖子生的苗子。另一些学生具有较强的思维能力，喜欢钻研，喜欢看课外书，喜欢超前自学，喜欢别 出心裁，但比较粗心大意。其数学成绩不大稳定。这类学生学习潜力很大，只要引导得法，就是好苗子。 3、了解学生的非智力因素。数学尖子的好苗子往往都有强烈的学习欲望，有良好的自信和毅力，有独特的学习方法和科学的学习习惯。而这些非智力方面的因素恰恰能起到强化学习深度和提高学习效率的作用。 准确选拔数学尖子的苗子是很重要的，但这仅仅是第一步，更重要的还在于如何培养数学尖子生。这里必须解决好一个普及与提高的关系，解决好尖子与一般的矛盾。不解决好这些问题，就必然会顾此失彼。如何处理好这些问题，使数学尖子生得以充分发展，知识、技能水平更上一层楼呢？要结合这些尖子生的具体特点，采取有力的相应措施： 1、严格要求，打下坚实的基础。严师出高徒。培养数学尖子生，首先要严格要求，使学生打下坚实的基础。有了坚实的基础，才能深入钻研，进一步培养能力，发展智力。有些尖子生因为有了一些成绩就产生骄傲自满的情绪，在学习上好高骛远，不愿意扎扎实实打好基础，这是十分致命的弱点。对尖子生要肯定成绩，树立信心。但不能过分表扬，更要指出缺点，因势利导，稳扎稳打。学习数学必须加强练习巩固。特别是要勤动脑，多动手。 2、精选内容，注重培养思考钻研能力，提高自学能力。根据数学尖子生的学习水平，整理编选一些较有质量的学习内容，提供一些必要的课外学习资料，帮他们制定一定的学习计划。在学习方法上给 （新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题等比数列教案新人教A 版 【考纲解读】 1．理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式． 3.了解等比数列与指数函数的关系． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有，在解答题中，经常与不等式、函数等知识相结合，在考查数列知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 定义: 数列{a n}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比. 2.通项公式：a n=a1q n－1， 推广形式：a n=a m q n－m. 变式：q=（n、m∈N*）. 3.前n项和S n= 注：q≠1时，=. 4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±. 5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好. 6.证明等比数列的方法： （1）定义法：只需证=非零常数；（2）等比中项法：只需a n+12=a n·a n+2或=. 【例题精析】 考点一基本量的计算 例1.已知等比数列中，若，则= . 1.已知是递增等比数列，，则此数列的公比． 考点二等比数列的性质 例2.（2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 =（） (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【名师点睛】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【变式训练】 2. 在等比数列{a n}中，a n＞0(n∈N﹡),且,,则{a n}的前6项和是. 问题：忽略对公比和的讨论 尖子生培养工作总结 时间是箭，去来迅疾，一段时间的工作已经告一段落，回顾这段时间的工作，在取得成绩的同时，我们也找到了工作中的不足和问题，为此要做好工作总结。那么要如何写呢？下面是精心整理的尖子生培养工作总结，仅供参考，欢迎大家阅读。 尖子生培养工作总结1 尖子生是衡量教师水平的一把尺子,俗话说：孩子是家长的一面镜子。同样我们也可以说：学生是教师的一面镜子。从这个意义上说：尖子生的数量和质量是衡量教师水平的一把尺子。并且教师的教育教学水平只有通过学生以及学生的成绩才能得到更好的体现出来。培养出高水平的学生也是教师人生价值的体现方式之一。为了让优生能得到更好的培养，挖掘他们最大的潜力，在本期里我对优生作了进一步的辅导培养，现将优生培养工作总结如下： 一、了解掌握优生的特点 在和学生相处的过程中，认真发现优生存在的个性特点，既“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来，“优生”一般具有以下特点： 1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。 3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。 5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 针对以上特点，我作了相应的引导工作，一般说来，“优生”智商较高，即使不那么刻苦，他们的学习也会在班上名列前茅。这就往往使一些“优生”不求上进。引导学生立志，最有效的方法之一，是给他们推荐伟人、名人的传记读物，让“优生”把自己放在一个广阔的历史空间和时代背景中认识自己的使命。“优生”有较强的自信心，这是一件很好的事，我们应该予以保护和发展。我们应该帮助“优生”超越 关于九年级尖子生培养初步方案 为切实提高九年级教学质量，实施阳光学校三步走创名校战略，能使2017年我校中考成绩再创佳绩，根据本年级师生的实际情况，特制订尖子生培养方案：一、情况分析 一直以来我校生源整体素质不容乐观，原因如下：七年级入学时，英华学校、一中、三中已经吸引了大部分优秀学生，来我校就读的大部分都是二三流学生，所以本届新九年级年级学生不但整体素质也属一般，而且更缺少尖子生，成绩较好的一部分也是零落各个班级，因缺乏你争我赶的竞争氛围，造成了一部分尖子生的学习积极性不强，甚至自我认为自己很了不得，学习上惰性十足，另外教师也缺乏对他们实施有效的拔尖措施。 二、指导思想 以新课程标准和中考考纲为指导，认真贯彻落实学校三步走计划，即打基础，调结构、创品牌，深刻总结之前的经验，大胆探索，开拓进取，采取超常规措施，实现升入重点中学人数的突破，把我校切实打造成县内一流品牌学校。 三、培养对象 确定原七、八年级每学期综合成绩年级前55名，并具潜力和智力水平较高的学生为培养对象。（具体由各班主任和课任老师并结合学生的表现制定名单)根据成绩综合排名现将各班尖子生培养人数分配如下：一班12人，二班11人，三班15人，四班11人，五班3人，六班2人，七班1人。 四、培养方案 方案一实施小班教学（独立团） 1、将这55名学生单独开班，独立教学，配置专职班主任课任老师进行教 学。对尖子生采取动态管理，（即末位淘汰制）非尖子生考试成绩进入尖子生群体（年级前55名）可视为尖子生，教师要为其建立档案并告知学生。对培养的尖子生如果阶段成绩不好时给他们一定的机会，不轻易放弃。 2、给这个独立团配备专职的班主任和专职授课老师，尖子生所在班的班主任要和各科教师形成齐抓共管的局面，要掌握和了解他们的思想状况、心理状况、学习状况、家庭状况及理想目标。负责好这些尖子生的身心发展，使他们精神愉快、无忧无虑地学习。各科教师要相互协作，集中火力，共同做好尖子生培养工作。（具体安排：班主任主要负责建立尖子生个人跟踪管理档案，对尖子生进行全方位细致管理，包括：学习、生活、家庭、心理、个性特点，特别是每次考试成绩各类的综合分析。设计尖子生学习辅导手册，内容包括：学习计划、我的疑问、我的难题；做到定期上交，及时解决，及时反馈。）其次，体育教师也要把“培优工程”放在本职工作的首位，确保尖子生中考体育加试得满分。 3、制定新班级的课程计划，可以提前上完各科科目，进行基础训练和提升训练，各科教师也要给出相应的作出课程计划，和相适应的教学方法和教学内容。 另外，各课任教师要根据每个人的学科弱项加强课外辅导，各科教师要定期不定期地对尖子生培养对象进行个别辅导。 4、班主任和老师要按周统计尖子生提优试卷情况统计表，确保尖子生有问题及时发现，及时解决，及时反馈。提供有价值典型资料并督促尖子生合理使用，及时解决疑难问题，不断提高解决问题的能力。（1）数学、英语每小周编制提优试卷，语文、物理、化学每大周编制提优试卷； 5、为便于管理，确保尖子生的安全和充分休息，动员走读的尖子生住宿。建立家长联系档案，每个月召开全体尖子生会议，会上对尖子生的学习、生活等 2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题） 1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形， 请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 3.如图，已知二次函数 2 ＝ ＋ ＋ y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－3)． y x C D B A O x y P B A C O (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值； ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－ ＋ － y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标； (2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O 尖子生培养的几点体会 尊敬的各位领导，老师们，大家好！ 几年来，我一直担任××一中实验班的班主任和任课教师，在各级领导的 关心帮助、关怀支持下，取得了一点成绩，现将我近几年来的工作情况向领导 老师们做一汇报。 2011年，所带班级xx被清华大学录取，现在清华建筑学专业就读；另有xx 等6人被全国十大名校录取。 2012年，所带班级xx被香港中文大学录取，并获得全额奖学金，另有xx 等7人分别被浙大等全国十大名校录取；并且全班整体成绩优异，最低分超重 本线36分。 2013年，所带班级xx以裸分695分、全县第一名的身分被清华大学土木工程专业录取；xx被美国华盛顿大学录取；另有xx等6人被浙大、南大、中科大等十大名校录取。 下面我将从教师和学生两个层面把尖子生培养的一些心得向领导老师们汇 报一下： 一、作为教师方面 1．虚心学习，提高自身水平。 我们学校的很多老师有着丰富的培养尖子生的经验，我随时向他们请教学 习，解决具体问题，不时地积累心得。2012年，在校长的亲自带领下，到衡水中学参观学习。我抓住这难得的机会虚心学习，进入课堂听课，与学生交流； 课间与讲课老师交流讲课心得，复习方法。衡水之行，让我开阔了眼界，提高 了目标，受受益匪浅。 2．做好一个班主任，首先要做好一名任课教师。 我觉得，班主任要精研业务，提高教学水平。所教的科目不但不能拖班级 的后腿，还要起到带头示范的作用，使所教科目成为班级学习的坚强后盾，关 键时期要拿得出手，顶得住。今年，我所教班级的语文科高考成绩突出，130分以上有13人，其中被清华大学录取的邱实同学语文142分。在26号召开的市骨干教师培训会上，我介绍了一些语文教学的体会。 3．了解并探讨各个科目的学习内容、学习方法和复习进程。 除教好自己的科目外，还要向任课老师学习，了解研究各个科目的特点， 内容的重难点，复习方法，使用的材料，近几年高考试题的难易，甚至高考分 数分布情况。把握好这些，才能对尖子生的学习情况、学习状态进行全面具体 的把控，在指导学生学习时才会做到有的放矢。几年下来，我学习到了不少有 关数学、理综、英语科目的学习经验，感觉价值挺大。尤其是今去两年，我在 指导一些尖子生在数学、理综的做题速度、制定合理的高考期望值方面发挥了 很大的作用。 4．协调各科老师之间的关系，搞好学情会商。 构建和谐融洽的班责任小组，是培养名生的的基石。除随时交流沟通外，每 周定期举行尖子生学情会商，共同商讨，各科老师发表自己的看法，总结一周 来出现的问题，提出良好的建议，并以书面的形式填写学情会商加以汇总。这 项活动对于随时把控、指导尖子生的发展起到了很好的作用。 5．对于出现的问题，教师要做到冷静面对，处乱不惊。 任何一个尖子生的发展都不可能是一帆风顺的，高三备考过程中会出现这样那样的问题是正常的。在这些目标生遇到问题时，无论班主任还是任课老师都 趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费. 问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明. 解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽 yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A . 故 yj=24A —30000, >'2= 18x ： （2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元） 答：我若作为厂长，应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论. 知识延伸】 例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂 房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为￡元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为￡元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？ 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x （I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4 墙的费用为（14小￡号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）?“元. 2 x 故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）?（0 高中尖子生的培养方案 为了加强奥赛班的教育教学工作，探究尖子生成长的规律和超常规教学，向奥赛班要质量；为了更好的研究如何发现尖子生，如何培养尖子生，如何最有效发挥学生潜能，如何使尖子生取得理想成绩，本年级组于2月20日在二会议室召开了奥赛班全体教师“尖子生培养专题会议”。会上各位教师均针对年级尖子生的实际情况积极发了言，老师们围绕如何发现尖子生，为什么要培养尖子生，如何培养尖子生，班主任和科任教师在其中所能起的作用，尖子生存在的各类问题以及如何解决进行了积极的讨论。通过各位教师的发言，老师们感觉收获极大。一致认为尖子生即使天生是块“美玉”，也同样需要教育者的精益求精、精雕细琢才能成器；一致认为这些意见在今后的尖子生培养工作中对我们的教育教学工作有着较大宜处和指导作用。所以年级为了更好地做好尖子生培养工作，现总结如下条目供各位教师认真学习交流，望能结合自己的实际与想法提出本备课组或本班的培养尖子生方案并认真落实，在今后的工作中能取得更好的成绩。 1.班主任老师要积极了解班级各方面情况，筛选出班级第一梯队学生（大约10—15人），按成绩结合实际情况分成若干尖子生学习互助小组，每组四到五人，组内学生相互帮助，相互借脑，共同提高，发挥各自优势，提高弱势学科，消化老师额外的学习任务。班主任任大组长，协调统一。五位科任教师任小组辅导员，协助班主任搞好小组间的竞赛或比赛工作。“独学而无友，则孤陋而寡闻”，要特别强调学生学会自主学习，划分好学习小组后，由组长带领大家主动学习，积极倡导学习是 一个“其智交相明，其才交相成”的取长补短、共同受益的过程。小组间积极开展学习上的竞赛或对抗赛，充分调动学生勇于竞争的勇气与干劲。对取胜的小组可以给些物质或精神奖励，如一个苹果，一张合影照等。 2.每班都要注意做好尖子生的发现、挖掘工作，把真正的有潜质的尖子生挖出来，这是一项长期的重要的工作。同时也要注意尖子生群体的“稳定”工作，尖子生的稳定是班级尖子生培养的重要工作之一。 3.班主任老师要积极协调任课教师消灭尖子生的弱势学科，积极发挥优势学科，保持学科间的平衡，并使之成为日常工作之一。科任老师要积极采取一对一的结对帮助，必须确保尖子生真正尖起来。班主任在方法、思维、心理、应试能力的辅导要重于对知识的辅导。尖子生辅导不同于课堂教学，它不能对课本知识进行简单重复和讲述，因为学生都有较扎实的知识功底，他们缺乏的是学科思维和治学能力。因此思维、方法、心理的培养、辅导成为解决问题提高成绩的关键。 4.班级科任教师要积极做好尖子生思想工作，要积极根据班主任提供的尖子生名单，经常进行重点谈话，仔细观察，不断给尖子生暗示，挖掘尖子生内在潜力，调动尖子生的非智力因素，往往会取得意想不到的收获，同时积极采取相关措施消除学生的偏科问题。教师对总分比较好的同学的作用，主要在两个方面。一是：对总分比较好的同学我们应采取什么的措施呢？若总分比较好，而我们所任课的这一学科又是学生的强项，我们就应该进一步的发挥学生在这一学科的优势，对该同学以更大的信心，进一步鼓励他在这一学科冒尖，提高他这一门学科、对总尖子生培优计划
尖子生培养计划
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲锐角三角函数(含答案)
二次函数培优专项练习
高二年级名校尖子生培优计划
高一年级尖子生培养计划
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高三七班尖子生培优和措施
数学尖子生的培优策略
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尖子生培养工作总结
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最新中考数学专题培优：二次函数综合应用(含答案)
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九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲数学建模(含答案)
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