新编山东省德州市高一下期末数学试卷(有答案)

2022-2023学年山东省德州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．复平面内复数z 所对应的点为()2,1--，则i z +=（）A ．5B ．2C ．2D ．1【答案】B【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可.【详解】因为复数z 所对应的点为()2,1--，所以2i z =--，所以i 2z +=-，所以.故选：B.2．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22,1A D B C A B ''''''===，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（）A ．2B ．3C ．5D ．5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度.【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，由斜二测法则知2AB A B ''==，1BC B C ''==，AB BC ⊥，所以2222215AC AB BC =+=+=.故选：C3．第七次全国人口普查数据显示，德州市各区县常住人口数据如下图所示，则这些区县的人口数据的75%分位数为（）A ．43.86B ．48.8C ．55.92D ．52.36【答案】D【分析】利用百分位数计算方法求解即可.【详解】把德州市各区县常住人口数据从小到大排列：22.33，31.81，35.37，41.91，45.81，46.68，47.33，47.34，48.8，55.92，57.64，69.53，因为1275%9⨯=，所以第75百分位数为数据从小到大排列的第9、10两个数的平均数，即48.855.9252.362+=.故选：D4．如图所示正八边形,ABCDEFGH O 为正八边形的中心，且1OA =，则下列选项正确的是（）A ．AB EF= B ．OE 在OH 上的投影的数量为22C ．22OA OC DH -=D ．22OD OG ⋅=【答案】C【分析】A 选项，根据向量相等的定义判断；B 选项，根据向量投影的数量公式计算；C 选项，计算AC ，DH的模长然后比较即可；D 选项，根据数量积的定义计算.【详解】如图所示的正八边形被过O 的线段分成八个全等的等腰三角形，每个顶角均为2ππ84=.A 选项，根据相等向量定义，应该是AB FE =，A 选项错误；B 选项，由图所示，,OE OH 的夹角含有三个等腰三角形的顶角，故为3π4，于是OE 在OH 上的投影的数量为3π2cos 42OE =-，B 选项错误；C 选项，ππ242AOC ∠=⨯=，连接AC ，则AOC 为等腰直角三角形，故2AC AC == ，又2DH = ，故222222OA OC CA AC DH -====⨯= ，C 选项正确；D 选项，结合图形可知,OD OG 的夹角为3π4，根据数量积的定义，3π211cos 42OD OG ⋅=⨯⨯=-，D 选项错误.故选：C5．若πcos 0,,tan242sin θθθθ⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则πsin 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．14C ．58D ．78【答案】D【分析】根据题意，由正切的二倍角公式代入化简，即可求得sin θ，从而得到结果.【详解】因为22222sin 2tan cos cos tan2cos sin 1tan 2sin cos θθθθθθθθθθ===---，化简可得()222cos sin 12s 2in sin 2sin θθθθθ-=-=-，即1sin 4θ=，且π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22π17sin 2cos 212sin 12248θθθ⎛⎫⎛⎫+==-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D6．长方体1111ABCD A B C D -中，14,1AB BC AA ===，则二面角11A BD C --的余弦值为（）A ．79-B ．69-C ．19D ．69【答案】A【分析】取BD 中点O ，连接1AO 、1C O ，则11A OC ∠即为二面角11A BD C --的平面角，在11AOC △中利用余弦定理求解即可.【详解】取BD 中点O ，连接1AO 、1C O ，因为11AB A D =，11C B CD =，所以1AO BD ⊥，1C O BD ⊥，所以11A OC ∠即为二面角11A BD C --的平面角，连接11,AC AC ，因为长方体1111ABCD A B C D -中，14,1AB BC AA ===，所以22AO CO ==，111AA CC ==，所以113AO C O ==，又因为11A C 42=，在11AOC △中，2221111111199327cos 22339AO C O AC AOCAO C O+-+-∠===-⨯⨯⨯，所以二面角11A BD C --的余弦值为79-，故选：A.7．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（）A ．89B ．6481C ．1781D ．19【答案】B【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9981⨯=个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有111⨯=种，个位和十位上的算筹都为2有224⨯=种，个位和十位上的算筹都为3有224⨯=种，个位和十位上的算筹都为4有224⨯=种，个位和十位上的算筹都为5有224⨯=种，共有44117⨯+=种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有811764-=种，所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为6481.故选：B8．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若12AB =，则该模型中一个小球的体积为（）A ．3πB ．3π2C ．6πD ．96π16【答案】C【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可.【详解】如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为12AB =，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ，则23124333BE BF ==⨯=，正四面体的高22612463h AE AB BE ==-=⨯=.因为4O ABC V V -=正四面体，所以11433ABC ABC S h S R ⨯=⨯⨯⨯ ，所以164R h ==，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高226h h R =-=小，所以11626442r h ==⨯=小，所以小球的体积为33446ππ6π332r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C二、多选题9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数B ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差C ．甲种样本的70%分位数小于乙种样本的70%分位数D ．甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072【答案】ACD【分析】计算平均数判断A ，根据方差判断B ，计算百分位数判断C ，计算总方差判断D.【详解】对于A ，1(9.710.010.010.010.3)10.05x =++++=甲，1(9.69.710.010.210.5)10.05x x =++++==乙甲，正确；对于B ，因为甲、乙平均值都为10，所以()()2229.71010.3105S -+-=甲，()()()()222229.6109.71010.21010.5105S -+-+-+-=乙，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；对于C ，70%5 3.5⨯=，故甲种样本的70%分位数为10.0，乙种样本的70%分位数为10.2，所以甲种样本的70%分位数小于乙种样本的70%分位数，正确；对于D ，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.07210.0510.051010μ⨯+⨯==，故甲乙两种水稻近五年的总方差为()()()()()()22222229.61029.710410.01010.31010.21010.5100.07210S -+⨯-+⨯-+-+-+-==，正确.故选：ACD10．设函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，则ω可能是（）A ．53B ．2C ．73D ．83【答案】BCD【分析】由()0,πx ∈求出π3x ω+的范围，再结合正弦函数的性质可求出ω的范围，从而可求得结果.【详解】由()0,πx ∈，得πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，所以π2ππ3π3ω<+≤，解得5833ω<≤，所以BCD 选项符合题意，故选：BCD11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A 表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C 表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D 表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A ．A 与B 是互斥事件B ．C 与D 互为对立事件C ．B 发生的概率为12D ．B 与C 相互独立【答案】BCD【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可.【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有6530⨯=种情况，()()()()()()()()()(){2,1,2,3,2,4,2,5,2,6,4,1,4,2,4,3,4,5,4,6,A =()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5共15个基本事件，()()()()()()()()()(){2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,1,3,2,3,4,3,5,3,6,3,B =()()()()()}1,5,2,5,3,5,4,5,6,5共15个基本事件，故()151302P B ==，故C 正确；显然事件A 与B 有交事件，不是互斥事件，故A 错误；()()()()()()()(){1,3,1,5,2,4,2,6,3,1,3,5,4,2,4,6,C =()()()()}5,1,5,3,6,2,6,4共12个基本事件，故()122305P C ==，()()()()()()()()()()()(){1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5,D =()()()()()()}5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5共18个基本事件，所以C 与D 互为对立事件，故B 正确；事件()()()()()(){}3,1,5,1,1,3,5,3,1,5,3,5BC =共6个基本事件，所以()()()61305P BC P B P C ===，所以B 与C 相互独立，故D 正确.故选：BCD.12．如图（1）所示，ABC 和ACD 都是直角三角形，6,30AB BC CAD ==∠=︒，如图（2）所示，把ABC 沿AC 边折起，使ABC 所在平面与ACD 所在平面垂直，连接BD ，下列说法正确的是（）A ．AB ⊥平面BCDB ．BD 与平面ACD 的夹角的正弦值为7010C ．三棱锥B ACD -外接球的表面积为16πD ．点C 到平面ABD 的距离为155【答案】AC【分析】A:由线面垂直性质定理可得答案;B ：首先找到线面所成角，在求得其正弦值；C ：首先确定球心，然后求得半径，可得其表面积；D:首先确定点C 到平面ABD 的距离所在位置，即可求得答案.【详解】因为平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面=ACD AC ，ACD 为直角三角形，CD AC ⊥，∴CD ⊥平面ABC ，AB ⊂ 平面ABC CD AB ∴⊥，， ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，CD BC ⊂，平面BCD ,CD BC C⋂=∴AB ⊥平面BCD .故选项A 正确.取AC 中点E ，连接BE DE ，，6AB BC BE AC ==∴⊥ ，，因为平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面=ACD AC ，BE ⊂平面ABC ,BE ∴⊥平面ACD ,BDE ∠即为BD 与平面ADC 所成角69030AB BC ABC CAD ==∠=∠= ，，，32710BE CD DE BD ∴====，，，，330sin 1010BE BDE BD∴∠===，即BD 与平面ACD 的夹角的正弦值为30.10故选项B 错误.取AD 中点F ，连接EF ，则//EF CD ，又CD ⊥平面ABC ,EF ∴⊥ABC 平面，易知E 为ABC 外心，则三棱锥B ACD -的外接球球心在直线EF 上,又90ACD ∠= ，则F 为ACD 外心，F 为三棱锥B ACD -的外接球球心∴外接球半径221111242222R AF AD AC CD ===+=+=，则三棱锥B ACD -外接球表面积2416.S R ππ==故选项C 正确.由于AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ,所以平面BCD ⊥平面ABD ，过点C 作CH BD ⊥于H ，CH ∴⊥平面ABD ,∴CH 即为点C 到平面ABD 距离，23210AC CD BD === ，，，62215.510CH ⨯∴==点C 到平面ABD 的距离为2155故选项D 错误.综上，选项AC 正确.三、填空题13．已知,a b 是单位向量，且12a b ⋅= ，则向量2a b -与2b a - 的夹角为．【答案】2π3【分析】根据向量数量积求解向量夹角即可.【详解】设向量2a b -与2b a - 的夹角为θ，则()()2222222522cos 2422444a b a b a b a b a b b a b a a b a b a bθ-⋅⋅--==-⋅+-⋅-⋅-+-⋅ ，代入12a b ⋅= ，22221,444,a ab b ==== 解得：2222225221cos ,24444a b a b a b a b a b a bθ⋅--==-+-⋅⋅+-⋅又[]0,πθ∈，所以向量2a b - 与2b a - 的夹角为2π3.故答案为：2π3.14．如图，PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，且PA AD =，,E F 分别是线段,PA CD的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为.【答案】6π/30【分析】取AD 的中点G ，连接FG ，EG ，则//AC FG ，可得(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与AC 所成的角，然后在EFG 中由余弦定理可得答案.【详解】如图，取AD 的中点G ，分别连接FG ，EG ，AF ，则//AC FG ，通过异面直线所成角的性质可知(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与AC 所成的角.设2AD =，则1AE GD DF ===，22215AF =+=，因为PA ⊥面ABCD ，AF ⊂面ABCD ，则EA AF ⊥，则226EF EA AF =+=，22112EG FG ==+=，在EFG 中，由余弦定理得2223cos 22EF FG EG EFG EF FG +-∠==⋅，又0πEFG <∠<，所以π6EFG ∠=，故异面直线EF 与AC 所成的角为π6.故答案为：π615．如图所示是某电路子模块，位置1，2，3随机接入3个电子元件,,A B C ，不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有一个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作．若电子元件,,A B C 正常工作的概率分别为0.6，0.7，0.8当接入电子元件,,A B C 后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值是．【答案】0.704【分析】根据题意，可知正常工作的概率最大的电子元件C 在1号位置时，电路子模块能正常工作的概率最大，再由相互独立事件概率的乘法公式求解即可.【详解】由题意，当正常工作的概率最大的电子元件C 在1号位置时，电路子模块能正常工作的概率最大，且不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响，由相互独立事件概率公式，得()()0.8110.610.70.704⨯---=⎡⎤⎣⎦，故答案为：0.70416．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 中点为球心，6为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．【答案】2π2【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果.【详解】取1BB 中点E ，1CC 中点F ，11B C 中点G ，11A D 中点O ，由题意可得，21215AE D F ==+=，()2516OE OF ==+=，在平面11B BCC 内取一点P ，使得2GP =，则()22226OP =+=，且2GE GF ==，所以以11A D 中点为球心，6为半径的球面与侧面11B BCC 的交线是以G 为圆心，2为半径的圆弧EPF ，且1145B GE C GF ∠=∠=︒，则90EGF ∠=︒，则圆弧EPF 的长为122π2π42⨯⨯=.故答案为：2π2.四、解答题17．先后抛郑一枚质地均匀的骰子，第一次抛郑的点数记为m ，第二次抛郑的点数记为n ．(1)求m n =的概率；(2)求m n >的概率．【答案】(1)16(2)512【分析】（1）表示出样本空间，然后筛选出m n =的样本空间点，计算概率即可；（2）筛选出m n >的样本空间点，计算概率即可；【详解】（1）由题意可知，数组(),m n 表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间(){}{}Ω,,1,2,3,4,5,6m n m n =∈共有36个样本点．记事件“m n =”为A ，则()()()()()(){}1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6A =，所以()6n A =，从而()()()61Ω366n A P A n ===；（2）记事件“m n >”为B ，则()()()()()()()()()()()()()()(){2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5}B =，所以()15n B =，从而()()()155Ω3612n B P B n ===．18．已知()()ππsin πsin cos sin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)当π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.【答案】(1)πT =，ππ1,,Z 282k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭(2)最大值为122+，最小值为12.【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出π24x +的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）()()2ππsin πsin cos sin sin cos cos 22f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112π1sin 2+cos 2+sin 2++222242x x x ==（），所以函数f (x )的最小正周期2ππ2T ==；令π2+π,Z 4x k k =∈得ππ,Z 28k x k =-∈，所以函数()f x 的对称中心为ππ1,,Z 282k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）因为π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2+[0π]4x ∈，，所以[]πsin(2+)0,14x ∈，则()112,22f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2+04x =或π2+π4x =时，即π8x =-或3π8x =时，()min 12f x =，当ππ2+42x =，即π8x =时，()max 122f x +=.即函数()f x 的最大值为122+，最小值为12.19．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：[)[)[)[)[)[)[)65,75,75,85,85,95,95,105,105,115,115,125,125,135，[)135,145，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[)[)95,105,105,115的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．【答案】(1)0.080(2)102分(3)35.【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可；（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解；（3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从[)[)95,105,105,115的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.080-++++++⨯=；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1100.02010⨯⨯+1200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）；（3）由频率分步直方图可知[)95,105的频数为[)5000.03010150,105,115⨯⨯=的频数为5000.02010100⨯⨯=，所以两组人数比值为3:2，按照分层抽样抽取5人，则在[)[)95,105,105,115分别抽取3人和2人，记[)95,105这组三人的编号为[),,,105,115A B C 这组两人的编号为,a b ，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C C B A a A b B a B b C a C b a b 设事件M =“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b B a B b C a C b =，共6种情况．故()63105P M ==，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为35．20．如图：三棱台111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，11110AA BB CC ===，ABC 和111A B C △分别是边长为3和23的正三角形．(1)求三棱台111ABC A B C -的表面积；(2)计算球O 的体积．【答案】(1)91111534+(2)2053π.【分析】（1）点12,O O 分别是正ABC 和111A B C △的中心，球的半径为R ，且12,,O O O 三点共线，正三棱台111ABC A B C -的高为12O O ，在梯形1AA NM 中，由112,AO AO 的长度求出12,O O MN 的长度，即可求出侧面积从而求出表面积；（2）在1Rt OO A △中，22211OO O A R +=，在2Rt OO A △中，222221OO O A R +=，解出半径，根据球的体积公式即可求解.【详解】（1）如图设点12,O O 分别是正ABC 和111A B C △的中心，球的半径为R ，且12,,O O O 三点共线，正三棱台111ABC A B C -的高为12O O ，在等边ABC 中，由3AB =，得123132AO AB =⨯=，同理，得122AO =，如下图，过点A 作12AP AO ⊥，则在1A AP 中，111,10A P AA ==，121013AP O O ==-=，所以正三棱台111ABC A B C -的高为3，在直角梯形12O O NM 中，1122112111,1,3222O M O A O N O A O O =====，所以372MN =，所以正三棱台111ABC A B C -的斜高为372，正三棱台111ABC A B C -侧面积为()13791113233224+⨯⨯=，又因为正三棱台111ABC A B C -上下两底的面积之和为1π1π15333sin 2323sin 23234⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,所以正三棱台111ABC A B C -表面积为91111534+.（2）在1Rt OO A △中，22211OO O A R +=，即2211OO R +=，在2Rt OO A △中，222221OO O A R +=，即()22134OO R -+=，两式联立解得：5R =，所以球O 的体积为：34205ππ33V R ==．21．从①3sin 1cos b A a B=+；②2sin 3cos cos 3cos a B b B C c B -=；③tan 21tan B a C c +=；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若________________．(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +取值范围；(3)当sin sin A C +取得最大值时，在ABC 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）【答案】(1)π3B =(2)3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(3)31+.【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角结合辅助角公式化简，可得答案；选②，利用正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角三角函数关系化简，可得答案；选③，利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，可得答案；（2）确定锐角ABC 中角A 的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案；（3）确定π3A =；令,,ACD ADC AB AC BC a θα∠=∠====，由正弦定理推出sin sin a θα=，结合余弦定理推得cos 2cos a θα=-，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可求得答案【详解】（1）若选①：由正弦定理得3sin sin sin 1cos B A A B=+，即()3sin sin sin 1cos B A A B =+因为π02A <<，所以sin 0A ≠，所以3sin 1cos B B =+，整理得1sin 62πB ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π02B <<,则πππ663B -<-<，所以π3B =若选②：因为2sin 3cos cos 3cos a B b BC c B -=，由正弦定理得2sin sin 3sin cos cos 3sin cos A B B B C C B =+，即()()sin sin 3cos sin cos sin cos 3cos sin A B B B C C B B B C =+=+，所以sin sin 3cos sin A B B A =，由()0,πA ∈，得sin 0A ≠，所以sin 3cos B B =，即tan 3B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =；若选③：因为tan 21tan B a C c+=，所以cos sin sin cos 2sin cos sin sin B C B C A B C C +=，即()sin 2sin cos sin sin B C A B C C+=，又因为πA B C ++=，所以sin 2sin cos sin sin A A B C C=又因为sin 0A >，所以1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =；（2）在锐角ABC 中，由（1）得，π0ππ2,2ππ62032A A A ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<-<⎪⎩，所以()ππsin sin sin sin sin sin coscos sin 33A C A A B A A A +=++=++33πsin cos 3sin 226A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由ππ2π363A <+<，所以πsin 1263A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以sin sin A C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）当sin sin A C +取得最大值时，ππ62A +=，解得π3A =；在ACD 中，令,,ACD ADC AB AC BC a θα∠=∠====，则1sin sin a αθ=，所以sin sin a θα=；又22221221cos a α=+-⨯⨯⨯，所以2222222cos sin 54cos sin cos 4cos 4a a a θθαααα=-=--=-+，所以cos 2cos a θα=-．所以1π312sin cos sin 2322BCD S a a a θθθ⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭△()31π2cos sin 3sin 31223ααα⎛⎫=-+=+-≤+ ⎪⎝⎭，而(0,π)α∈,故当5π6α=时等号成立,所以BCD △面积的最大值为31+．【点睛】关键点睛：第三问求解三角形面积的最大值时，要利用面积公式表示出三角形面积，关键是要根据正余弦定理推得cos 2cos a θα=-，继而结合正弦函数性质即可求解.22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2,,AB BC E F ==分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点（包括端点）．1BF B E ⊥，若平面11A B E 与棱BC 交于点G ．(1)请补全平面11A B E 与棱柱的截面，并指出点G 的位置；(2)求证：BF ⊥平面11A B E ；(3)当点D 运动时，试判断三棱锥D EFG -的体积是否为定值?若是，求出该定值及点D 到平面EFG 的距离；若不是，说明理由．【答案】(1)答案见解析，点G 为BC 的中点；(2)证明见解析；(3)是定值，D 到平面EFG 的距离为322.【分析】（1）取BC 的中点G ，连接EG ，依题意可得//EG AB ，即可得到11//A B EG ，即可得解；（2）先证明1B G BF ⊥，结合1BF B E ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（3）先证明EG ⊥平面11BCC B ，又11A B EG ∥，则D 到平面EFG 的距离等于1B 到平面EFG 的距离，再用等体积法求出点到面的距离.【详解】（1）如图，点G 为BC 的中点，连接1,EG GB ，由E 为AC 中点，则//EG AB ，又11//AB A B ，所以11//EG A B ，所以11,,,A B G E 四点共面，故平面11A B E 与棱柱的截面为11A B GE ．（2）证明：因为在Rt BFC △与1Rt B GB △中，1tan tan 2BFC B GB ∠=∠=，所以1BFC B GB ∠=∠，又90BFC FBC ∠+∠=︒，所以190B GB FBC ∠+∠=︒，所以1BF B G ⊥，1BF B E ⊥，且11111,,B G B E B B G B E ⋂=⊂平面11A B GE ，所以BF ⊥平面11A B GE ，即BF ⊥平面11A B E ；（3）由（2）知BF ⊥平面11A B GE ，又EG ⊂平面11A B GE ，所以EG BF ⊥，又1,EG AB AB B B ⊥∥，所以1EG B B ⊥，又1BF B B B ⋂=，且1,BF B B ⊂平面11BCC B ，所以EG ⊥平面11BCC B ，又11A B EG ∥，所以D 到平面EFG 的距离等于1B 到平面EFG 的距离，所以11113D EFG B EFGE FGB FGB V V V S EG ---===⋅⋅△()111123FCG GBB BCC B S S S EG =⋅--⋅ 正方形11122112211322⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭12=，所以三棱锥D EFG -的体积为定值12．EFG 中，,1,2EG FG EG FG ⊥==，所以121222EFG S =⨯⨯=△，由1132D EFGEFG V S h -=⋅⋅=△，可得322h =，所以点D 到平面EFG 的距离为322．。

山东省德州市第一中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．2．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A = A ．310B 10C 5D 3104．函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的最大值为（ ） A ．72B ．72-C ．122D ．122+5．已知a 与b 的夹角为120，3a =，13a b +=，则b =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．下列结论中错误的是（ ） A ．若0ab >，则2b a a b+≥ B ．函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2C ．函数22x x y -=+的最小值为2D ．若01x <<，则函数1ln 2ln x x+≤- 7．l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A ．6B ．1C ．52D ．38．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}9．如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，则三棱锥11B ABC -的体积为（ ）A ．312B ．34C ．612D ．6410．矩形ABCD 中，(3,1)AB =-，(2,)BC k =-，则实数k =（ ） A ．-16B ．-6C ．4D ．23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

山东省德州市 2019-2020 学年高一下学期数学期末考试试卷 （II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一下·四川月考) 如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边 向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第 个图形的边长为 ，则数 列 的通项公式为（ ）A. B.C.D.2. （2 分） 两直线与的位置关系是（ ）A . 相交B . 平行C . 重合D . 平行或重合3. （2 分） 设 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A.若，则第1页共9页B.若，则C.若，则D.若，则4. （2 分） (2019 高二上·诸暨期末) 已知，（）A.B.C.，，，，则下列不等式成立的是D. 5. （2 分） 设 是公差不为 0 的等差数列，成等比数列，则 的前 n 项和 （ ）A. B. C. D.6. （2 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 A=2B，则 等于（ ） A.B. C.第2页共9页D.7. （2 分） 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C－ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左 视图的面积为（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） (2018 高二上·武邑月考) 直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直， 则 a 等于（ ） A . －1 B.1 C . ±1D.－9. （2 分） 设集合 M 和 N 为平面中的两个点集，若存在点， 使得对任意的点，均有， 则称为点集 M 和 N 的距离，记为.已知集合,， 则 d(M,N)=（ ）A.B.第3页共9页C.D.10. （2 分） A，B 是海面上位于东西方向相距 5（3+ ）海里的两个观测点．现位于 A 点北偏东 45°，B 点 北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前 往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要的时间为（ ）小时．A.1 B.2C . 1+D. 11. （2 分） 已知直线 a，b 和平面 M，N，且 a⊥M，则下列说法正确的是（ ） A . b∥M⇒ b⊥a B . b⊥a⇒ b∥M C . N⊥M⇒ a∥N D . a⊄N⇒ M∩N≠∅12. （2 分） (2018·河北模拟) 已知函数的图象经过点，．当时， A.7 B.6 C.5 D.4，记数列 的前 项和为 ，当时， 的值为（ ）第4页共9页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若关于 x，y 的二元一次方程组无解，则 a=________．14. （1 分） (2018 高二上·淮安期中) 已知一个圆锥的侧面积是 则此圆锥的底面半径为________．，若母线与底面所成角为 ，15. （1 分） (2016 高三上·定州期中) 在△ABC 内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，cos = acosB+bcosA=2，则△ABC 的面积的最大值为________．，且16. （1 分） (2017 高二上·宜昌期末) 已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为 4，体积为 16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2018 高二下·保山期末) 已知函数 f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．（1） 当 m=1 时，求不等式 f（x）≥6 的解集；（2） 若不等式 f（x）≤5 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围．18. （10 分） (2019 高二上·拉萨期中) 等比数列 的前 项和为 ，，.（1） 求数列 的通项公式；（2） 若，求 .19. （10 分） (2018 高二上·黑龙江期末) 已知 ．（1） 求角 的大小；分别为三个内角的对边,且（2），求的面积．20. （5 分） 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1= ， AB=BC=2，O 是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面 BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面 BC1D；第5页共9页（Ⅲ）求三棱锥 A1﹣DBC1 的体积．21. （10 分） (2020·兴平模拟) 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且. （1） 求角 的值；（2） 若，且的面积为，求 边上的中线的大小.22. （10 分） 数列{an}满足 a1=4，an=4﹣（n≥2），设 bn=．（1） 判断数列{bn}是否为等差数列并证明；（2） 求数列{an}的通项公式．第6页共9页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第7页共9页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、 20-1、答案：略 21-1、答案：略 21-2、答案：略第8页共9页22-1、 22-2、第9页共9页。

2019-2020学年山东省德州市齐鲁中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是函数y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内的图象，M、N分别是最大值，最小值点，且，则Aω=（）A．B．C．D．参考答案：A2. 已知集合M={(x，y)|4x＋y=6}，P={(x，y)|3x＋2y=7}，则M∩P等于（）A．(1，2) B．{1}∪{2} C．{1，2} D．{(1，2)}参考答案：D3. 把11化为二进制数为（）A．B． C. D．参考答案：A11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故11(10)=1011(2)4. 已知集合M={0,1,2}，N={2,3}，则M∩N= ( )A．{3} B．{2} C．{2,3} D．{0,1,2,3}参考答案：B5. 下列叙述中，不能称为算法的是（）A. 植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤B. 按顺序进行下列运算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C. 从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达D. 3x＞x+1参考答案：D【分析】利用算法的定义来分析判断各选项的正确与否，即可求解，得到答案.【详解】由算法的定义可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步骤：可得A、B、C为算法，D没有明确的规则和步骤，所以不是算法，故选D.【点睛】本题主要考查了算法的概念，其中解答的关键是理解算法的概念，由概念作出正确的判断，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6. 下列说法正确的是（）A．第二象限角比第一象限角大B．60°角与600°角是终边相同角C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为参考答案：D【考点】象限角、轴线角．【分析】举例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角得范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．【解答】解：对于A，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°＜420°，故A错误；对于B，600°=360°+240°，与60°终边不同，故B错误；对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=，故D正确．故选：D．7. 对两条不相交的空间直线与，必存在平面，使得（）A． B．∥C． D．参考答案：B8. 下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是 ( )高A．③④； B．①②； C．②③； D．①④参考答案：D9. 若在[ ]上为减函数，则的取值范围是（）A． ( k∈Z ) B.( k∈Z )C．( k∈Z ) D. ( k∈Z )参考答案：A略10. 在△ABC中,若A=600,,则等于( )A、1B、C、4 D、参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数;写出所有正确的结论的序号：。

2019-2020学年山东省德州实验中学高一（下）期末数学模拟试卷（一）（有答案解析）2019-2020学年山东省德州实验中学高一（下）期末数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若复数，则的虚部为A. B. C. 4 D. 4i3.使成立的x的一个变化区间是A. B. C. D.4.已知函数的部分图象如图所示，那么函数的解析式可以是A.B.C.D.5.设向量，，则，的夹角等于A. B. C. D.6.在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则A. B. C. D. 97.设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则8.设，为两个平面，则的充要条件是A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ，平行于同一条直线D. ，垂直于同一平面9.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为A. B. C. D.10.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.11.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是A.B.C.D.12.已知直二面角，点，，C为垂足，，，D为垂足，若，，则D到平面ABC的距离等于A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______．14.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．15.已知向量，，若，则________．16.已知，，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在复平面内，复数其中．若复数z为实数，求a的值：若复数z为纯虚数，求a的值；对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．18.已知，．求的坐标；当k为何值时，与共线．19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sin C．20.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，已知，，求：和c的值；的值．21.如图，在直三棱柱中，D，E分别为BC，AC的中点，．求证：平面；E.22.在平行六面体中，，．求证：平面；平面平面．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数复数对应的点的坐标是这个点在第一象限，故选：A．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2.答案：C解析：解：复数，则．所以的虚部为4．故选：C．利用复数的除法的运算法则化简求解复数z，然后求解复数的虚部即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用．3.答案：A解析：解：如图角x的正弦线，余弦线分别是MP，OM，当角x的终边与弧ABCD相交时，，此时，不等式的解集为，．故选：A．在单位圆中画出角的三角函数线，根据三角函数线的大小确定角的范围．本题考查了三角函数线，利用数形结合根据三角函数线的大小确定角的范围．4.答案：C解析：解：由图象得，，，，，其图象可由的图象右得到，故；故选：C．由图象可求其周期T，从而可求得，由的最值可求A，将的图象向左平移个单位即可得到的图象，从而可求得，解析式可得．本题考查由的部分图象确定其解析式，难点是对的确定，注意平移的方向与的符号有关，移动的单位是，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，，，又，，，又，，，．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．6.答案：D解析：解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，，；又E为BC中点，，且，．故选：D．根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可．本题考查了平面向量的运算法则和数量积计算公式应用问题，是基础题．7.答案：D解析：解：由直线a，b是空间中两条不同的直线，平面，是空间中两个不同的平面，知：在A中，若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则或，故C错误；在D中，若，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．故选：D．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，或；在C中，或；在D中，由面面平行的性质定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论．【解答】解：对于A，内有无数条直线与平行，与相交或；对于B，内有两条相交直线与平行，则；对于C，，平行于同一条直线，与相交或；对于D，，垂直于同一平面，与相交或．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设，，，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为2的正三角形，所以，又，则，，由得，所以，所以，即，同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，所以球O的体积为．故选D．10.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，0，，0，，0，，1，，0，，1，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为．故选C．11.答案：B解析：【分析】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．由题意可得：直线OP与平面所成的角的取值范围是再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系算出两个角的正弦值即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP与平面所成的角的取值范围是．不妨取．在中，．，．的取值范围是．故选B．12.答案：C解析：解：由题意画出图形如图：直二面角，点，，C为垂足，，，D为垂足，若，，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥的高为h，所以，，由可知所以，故选C．画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．13.答案：解析：解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：．故答案为：．求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14.答案：解析：【分析】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的侧面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得．由的面积为，可得，即，即．SA与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：．则该圆锥的侧面积：故答案为：15.答案：解析：【分析】本题考查平面向量的坐标运算和共线，是基础题．利用向量坐标运算法则求出，再由向量平行的性质能求出的值．【解答】解：向量，，，，，，解得．故答案为：．16.答案：解析：解：，两边平方可得：，，，两边平方可得：，，由得：，即，．．故答案为：．把已知等式两边平方化简可得，再利用两角和差的正弦公式化简为，可得结果．本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．17.答案：解：由，解得或；由，解得；由，解得．解析：由虚部为0列式求解a值；由实部为0且虚部不为0列式求解；由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.答案：解：，，；，由知，与共线，，解得．解析：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．直接由向量的数乘及减法运算求解；由向量的数乘及减法运算求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算求解．19.答案：解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．则，由正弦定理得：，，，．，，由正弦定理得，，即，即，即，，则，，，．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题．由正弦定理得：，再由余弦定理求出A．由已知及正弦定理可得：，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．20.答案：解：Ⅰ，，，即，，由余弦定理得：，即，，联立得：，；Ⅱ在中，，由正弦定理得：，，为锐角，，则．解析：本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；由余弦定理可得cos C，求得sin C，sin B，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．21.答案：证明：在直三棱柱中，D，E分别为BC，AC的中点，，，，平面，平面，平面．解：在直三棱柱中，E是AC的中点，．，，又，平面，平面，E.解析：推导出，，从而，由此能证明平面．推导出，，从而平面，由此能证明E.本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：证明：平行六面体中，，平面；在平行六面体中，，四边形是菱形，B. 在平行六面体中，，．面，且平面平面平面．解析：本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面．。

2019-2020学年山东省德州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z＝（1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7B．7.5C．8D．93．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝（）A．B．C．D．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m）为（）A．750B．750C．850D．8508．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣iC．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数11．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.412．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′B．点C到平面ABC′D′的距离为C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于D．三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C+c cos B＝a sin A，则A ＝．14．已知数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2x n﹣1的平均数为，方差为．15．已知||＝3，||＝2，（+2）•（﹣3）＝﹣18，则与的夹角为．16．如图，在三棱锥V﹣ABC中，AB＝2，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，2），＝（4，﹣3）．（1）若向量∥，且||＝2，求的坐标；（2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝，c＝1，．（1）求b及△ABC的面积S；（2）若D为BC边上一点，且，______，求∠ADB的正弦值．从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．19．在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角．20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积．22．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z＝（1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：∵z＝（1﹣i）+m（1+i）＝（m+1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴，解得m＝﹣1．故选：B．2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7B．7.5C．8D．9解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9．且6×80%＝4.8，所以这组数据的第80百分位数是8．故选：C．3．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a⊥α，a∥b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α，或b⊂α，或b与α相交，故D错误．故选：B．4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝（）A．B．C．D．解：如图，∵＝，＝，且M、N分别是BC、CD的中点，∴＝．故选：B．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl＝2πr，得l＝2r，又S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1；所以圆锥的高为h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π．故选：A．6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．解：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，基本事件总数n＝3×3＝9，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为P＝．故选：C．7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m）为（）A．750B．750C．850D．850解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝500m，所以AC＝500m；在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝500×＝500m；在Rt△MNA中，AM＝500m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝500×＝750m．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2B．4C．6D．8解：坐标轴上的点M（异于点O）满足++＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），是指任意两个以O和正八边形的顶点构成的向量的和向量落在坐标轴上，又每个（1≤i≤8，i∈N*）均存在与之关于x轴和y轴对称的向量各一个，且重复一次，∴满足以上条件的点M的个数有：＝8个，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣iC．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝．∴|z|＝；，复平面内表示复数z的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限；∵（﹣1﹣i）2+2（﹣1﹣i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，∴复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根．故选：ABCD．10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3＝60，则男生人数为100﹣60＝40，则A对；由图可知：女生人数中B层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；可求出E层为（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C对；样本中D层次男生人数为40×20%＝8，样本中D层次女生人数为9，D错，故选：ABC．11．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4解：由事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，知：对于A，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.5，P（AB）＝0.2，故A错误；对于B，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.7，P（AB）＝0，故B正确；对于C，如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.2﹣0.5×0.2＝0.6，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1，故C错误；对于D，如果A与B相互独立，那么P（）＝P（）P（）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.2）＝0.4，P（A）＝P（A）P（）＝0.5×（1﹣0.2）＝0.4，故D正确．故选：BD．12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′B．点C到平面ABC′D′的距离为C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于D．三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，对于选项A：因为点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥AD′，且AD′∥BC′，故MN∥BC′，故A正确；对于选项B：点C到面ABC′D′的距离为B′C长度的一半，即h＝，故选项B错误；对于选项C：直线BC与平面ABC′D′所成的角即为∠CBC′等于，故C正确；对于选项D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半径r＝＝，故其外接球表面积S＝4πr2＝4π×＝3π，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C+c cos B＝a sin A，则A＝．解：∵b cos C+c cos B＝a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，∴sin A＝1，∴由于A为三角形内角，可得A＝．故答案为：．14．已知数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2x n﹣1的平均数为19，方差为8．解：∵样本数据x1，x2，x3，…x n的平均数是10，方差是2，∴＝（x1+x2+x3+…+x n）＝10，s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+…+（x n﹣10）2]＝2；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…，2x n﹣1的平均数是＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+（2x3﹣1）+…+（2x n﹣1）]＝2×（x1+x2+x3+…+x n）﹣1＝19，方差是s′2＝{[（2x1﹣1）﹣19]2+…+[（2x n﹣1）﹣19]2}＝22•[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+（x n﹣10）2]＝4×2＝8．故答案为：19，8．15．已知||＝3，||＝2，（+2）•（﹣3）＝﹣18，则与的夹角为．解：（+2）•（﹣3）＝2﹣﹣62＝9﹣3×2×cos＜＞﹣6×4＝﹣18，解得cos＜＞＝，故与的夹角为，故答案为：．16．如图，在三棱锥V﹣ABC中，AB＝2，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．解：取AB的中点M，连接VM、CM，∵VA＝VB，AV⊥BV，∴VM⊥AB，VM＝AB＝，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴CM⊥AB，CM＝AB＝，∴∠VMC为二面角V﹣AB﹣C的平面角．在△VMC中，由余弦定理知，cos∠VMC＝＝＝．∴二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．故答案为：．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，2），＝（4，﹣3）．（1）若向量∥，且||＝2，求的坐标；（2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值．解：（1）∵向量＝（1，2），＝（4，﹣3），向量∥，可设＝（λ，2λ），∵||＝2，∴λ2+4λ2＝20，∴λ＝±2，∴＝（2，4），或＝（﹣2，﹣4）．（2）若向量+k与﹣k互相垂直，则（+k）•（﹣k）＝﹣k2＝25﹣k2•5＝0，∴k＝±．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝，c＝1，．（1）求b及△ABC的面积S；（2）若D为BC边上一点，且，______，求∠ADB的正弦值．从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．解：（1）∵a＝，c＝1，．∴由余弦定理可得（）2＝b2+12﹣2b cos，整理可得b2+b﹣6＝0，解得b＝2，或﹣3（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝．（2）若选①，当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，可得，可得sin B＝，∵AD＝AB＝1，∴∠ADB＝∠B，可得sin∠ADB＝sin∠B，∴sin∠ADB＝．若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，∵A＝，∴∠BAD＝﹣＝，∴sin∠ADB＝cos B，可得sin∠ADB＝．19．在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角．解：（1）证明：∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD．（2）解：∵点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF∥AC，FM∥BD，∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角（或所成角的补角），在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，∴△EFM是等边三角形，∴∠EFM＝60°，∴异面直线AC与BD所成的角为60°．20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝＝，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为P（B）＝+（1﹣）×+（1﹣）×＝．∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．（2）记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则P（C）＝+（1﹣）×＝，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P（D）＝×＝，由题意得事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：P（CD）＝P（C）P（D）＝＝．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积．解：（1）证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC，∴PA⊥面ABC，又∵BD⊂面ABC，∴PA⊥BD，又AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，又∵BD⊂面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC；（2）∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝ED，∴ED∥PA，∵D为AC中点，∴E为PC中点，∴V P﹣BDE＝V A﹣BDE＝＝＝＝＝．故三棱锥P﹣BDE的体积为．22．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，解得a＝0.005．（2）（i）∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴三科总分成绩的中位数在[220，240）内，设中位数为x，则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（x﹣220）＝0.5，解得x＝224，即中位数为224．（ii）三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05＝225.6．（3）三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内的学生分别为25人，10人，∴抽样比为＝，∴三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内抽取的学生数量分别为：25×＝5人，10×＝2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n＝，事件A包含的基本事件个数m＝＝10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A）＝．。

山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=，=，则=B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．164．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．256．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2C．2+2D．2﹣29．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．30米B．30米C．15（+1）米D．10米10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称12．定义为n个正数p1，p2…p n的“平均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“平均倒数”为，又b n=，则++…+等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．1 x 3y a 64 8 z14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．15．已知x、y∈R+，且满足+=2，则8x+y的取值范围是．16．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D，（ +）＞（+）；④对于任意向量＞，=（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．山东省德州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=，=，则=B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】根据向量相等的概念，向量的概念，向量数乘的几何意义，以及向量平行的概念便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：根据向量相等的定义，显然时，得出，∴A正确；向量包括大小和方向，∴得不出，∴B错误；时，λ=0，或，∴C错误；若，与不平行，满足，而得不出，∴D错误．故选：A．2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵b＞a，当c≤0时，bc≤ac，故A错误；y=x3为增函数，故b3＞a3，故B正确；b=1，a=﹣1时，满足b＞a，但b2=a2，故C错误；b＞0＞a时，＞，故D错误；故选：B3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比数列的性质可得a42=64，解方程可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3a5=64，∴由等比数列的性质可得a42=a3a5=64，解得a4=±8，故选：C．4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．25【考点】归纳推理．【分析】根据图象，依次写出第1、2、3、4、5个“三角形”中需要火柴棒的根数，即可得出结论．【解答】解：由题意，第1个“三角形”中需要火柴棒的根数是3；第2个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4=7；第3个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5=12；第4个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6=18；第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6+7=25，故选：D．6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b【考点】基本不等式．【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2，=，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式可得cosα+sinα=，平方再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），∴3（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0 （舍去），或cosα+sinα=，即cosα+sinα=，平方可得1+2cosα•sinα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：C．8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2C．2+2D．2﹣2【考点】基本不等式；二倍角的正切．【分析】利用二倍角公式求出m，再利用基本不等式，即可求出函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．m==tan45°=，y=2m•x++1=x++1=（x﹣1）++2≥2+2，故选：C．9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．30米B．30米C．15（+1）米D．10米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△BCD中使用正弦定理得出BC，在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函数得出AB的值．【解答】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=45°，∴∠CBD=60°．在△BCD中使用正弦定理得，即，∴BC==10．∵∠BCA=60°，∴∠CAB=30°，∴AB=BC=30．故选A．10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin （2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．12．定义为n个正数p1，p2…p n的“平均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“平均倒数”为，又b n=，则++…+等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{a n}的前n项和为S n，根据求出a n，代入b n=化简求出b n，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．【解答】解：由题意和“平均倒数”得，=，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=2n2+n，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，当n=1时也适合上式，∴a n=4n﹣1，则b n==n，∴==，∴=（1）+（）+…+（）==，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=16．1 x 3y a 64 8 z【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】由题意得x，y，z都是正数，且1，x，3成等差数列，1，y，4成等比数列，4，8，z成等差数列，由此能求出x+y+z的值．【解答】解：由题意得x，y，z都是正数，且：1，x，3成等差数列，∴x=，1，y，4成等比数列，∴y==2，4，8，z成等差数列，∴z=8+（8﹣4）=12，∴x+y+z=2+2+12=16．故答案为：16．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sin（B+C）=sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=sinB，利用正弦定理化简得：a=b，则=．故答案为：．15．已知x、y∈R+，且满足+=2，则8x+y的取值范围是[9，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可．【解答】解：∵x、y∈R+，且满足+=2，∴8x+y=（+）（8x+y）=（10++）≥（10+8）=9，当且仅当=，即x=，y=3时，取等号，∴8x+y的取值范围是[9，+∞）．故答案为：[9，+∞）．16．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D，（ +）＞（+）；④对于任意向量＞，=（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为①②③．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据已知条件中，›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，对于①，若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则，且，故①正确．对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若›，›，则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有›．对于③，若›，则对于任意∈D，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，∴（+）›（+），故③正确．对于④，设设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由›，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；由›，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，所以›不成立，所以④不正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由已知条件求出cosα的值，再求出tanα和tan2α的值，根据诱导公式进一步求出tan（+2a）的值；（Ⅱ）由sinα和cosα的值，求出sin2α和cos2α的值，根据诱导公式进一步求出cos（﹣2a）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sina=，a∈（，π），∴cosα=．∴．则∴tan（+2a）==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，，cos（﹣2a）==．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（Ⅰ）可设，这样根据条件即可建立关于x，y的方程组，解该方程组即可求出，x，y，从而得出向量的坐标；（Ⅱ）根据条件便可得出，且，这样进行向量数量积的运算便可由得出的值，进而求出的值，从而求出与的夹角．【解答】解：（Ⅰ）设，根据条件，则：；解得，或；∴，或（2，﹣4）；（Ⅱ）；∴==；解得；∴=；∴；∴．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）得到﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，组成方程组，解出即可；（Ⅱ）通过讨论c的范围结合二次函数的性质求出c的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}，∴﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，∴，解得：a=﹣4，m=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=﹣4，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0，即（c﹣4）x2+2（c﹣4）x﹣1＜0，c﹣4=0，即c=4时，﹣1＜0，成立，c﹣4≠0时，若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，则，解得：＜c＜4，综上，＜c≤4．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为求得ω的值，求得f（x）的解析式，利用正弦函数单调性求得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f（C）=，C为锐角，求得C，由正弦定理可知：sinB=2sinA，b=2a，代入余弦定理求得a和b的值，根据三角形的面积公式，可求得△ABC的面积．【解答】解：f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+，=sin2ωx﹣cos2ωx，=2sin（2ωx﹣），y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为，又（ω＞0），，解得：ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），∴f（x）单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（C）=2sin（2C﹣）=，∴2C﹣=或，∴C=或，∵角C为锐角，∴C=，sinB=2sinA，由正弦定理可知：b=2a，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，即18=a2+4a2﹣2×a×2a×，解得a=，b=2，S△ABC=absinC=××2×=3．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，由a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．可得q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解出即可得出．（Ⅱ）c n==，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m ＜4﹣．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．∴q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解得q=4，d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n，b n=4n﹣1．（Ⅱ）c n===，∴{c n}的前n项和T n=1++3×+…+，∴=+…+（n﹣1）+n，∴=1+++…+﹣n=﹣=2﹣（2+n），∴T n=4﹣（2+n）．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．当n为偶数时，m＜4﹣=．当n为奇数时，﹣m≤4，解得m≥﹣4．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．。

2024届德州市重点中学高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）. A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π2．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( ) A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm3．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m4．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．若0,0x y >>，且13x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．3B ．C ．19D ．1366．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC =3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO =x AB +(1-x)AC ，则x 的取值范围是 ( ) A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．103⎛⎫- ⎪⎝⎭， 7．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = ( ) A ．1B ．2C ．4D ．88．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( ) A ．36 B ．30C ．24D ．19．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增10．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．92二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年山东省德州市高一下学期期末考试数学试题1.已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．2.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．13.已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则4.已知，则（）A．B．3C．D．5.一个盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有编号分别为1，2，3的红球3个，编号分别为2，3的白球2个，从盒子中任取2个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．则在取出的2个小球中，至少有一个白球且小球编号最小值为2的概率是（）A．B．C．D．6.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则（）A．15°B．60°C．75°D．105°7.已知4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据4和8，则这6个数据的方差为（）A．3B．5C．D．8.已知三棱柱中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，一质点从A出发沿三棱柱的棱前进，若经过的第一条棱为，且第条棱与第n条棱异面，则该质点经过2024条棱后运动的总路程为（）A．2696B．2098C．2699D．27009.已知复数，下列结论正确的有（）A．B．C．若，则z为纯虚数D．若，则z为纯虚数10.某同学记录了连续5天的平均气温，已知这组数据均为整数，将该组数据从小到大排列，中位数为20，唯一众数为22，极差为5，则（）A．该组数据中最小的数据可能为16B．该组数据的平均数不大于20C．该组数据的60%分位数是21D．该组数据的第二个数字是1811.棱长为2的正方体中，用一平面去截，则下列说法正确的是（）A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形C．若E为的中点，平面截正方体所得截面面积为D．过棱，，的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为12.抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为______．13.某种零件是由如图所示的平面图形以为轴旋转一周而成，其中，，，，，则该零件的体积为______．14.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为______．15.已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y 组选出的人记为乙．(1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)如果，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？16.已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，若，，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．(1)求证：平面平面；(2)求点P到平面的距离．17.某新能源汽车电池代工厂生产甲、乙两种型号的电池，为了解电池的某项指标，从这两种电池中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)估计乙型电池该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计甲型电池这一指标的75%分位数；(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型电池指标在内取2件，乙型电池指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率．18.如图，平面四边形中，，，，锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，，．(1)求外接圆的半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．19.已知正的边长为，是边上的高，E，F分别是和边的中点．(1)若将沿翻折成直二面角，如图所示．若棱锥的体积为，求a的值；(2)若将沿翻折成二面角的平面角为60°，求与平面所成的角的正切值；(3)设将沿翻折成二面角的平面角为（为锐角），与平面所成的角为，用表示．。

2015-2016学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=， =，则= B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．164．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．256．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2 C．2+2D．2﹣29．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A ．30米B ．30米C ．15（+1）米D ．10米10．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）A ．2B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f （x ）的图象（ ）A ．关于点（，0）对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于直线x=对称12．定义为n 个正数p 1，p 2…p n 的“平均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“平均倒数”为，又b n =，则++…+等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下x+y+z= ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC+ccosB=b ，则= ．15．已知x 、y ∈R +，且满足+=2，则8x+y 的取值范围是 ．16．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D，（ +）＞（+）；④对于任意向量＞， =（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=， =，则= B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】根据向量相等的概念，向量的概念，向量数乘的几何意义，以及向量平行的概念便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：根据向量相等的定义，显然时，得出，∴A正确；向量包括大小和方向，∴得不出，∴B错误；时，λ=0，或，∴C错误；若，与不平行，满足，而得不出，∴D错误．故选：A．2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵b＞a，当c≤0时，bc≤ac，故A错误；y=x3为增函数，故b3＞a3，故B正确；b=1，a=﹣1时，满足b＞a，但b2=a2，故C错误；b＞0＞a时，＞，故D错误；故选：B3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比数列的性质可得a42=64，解方程可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3a5=64，∴由等比数列的性质可得a42=a3a5=64，解得a4=±8，故选：C．4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．25【考点】归纳推理．【分析】根据图象，依次写出第1、2、3、4、5个“三角形”中需要火柴棒的根数，即可得出结论．【解答】解：由题意，第1个“三角形”中需要火柴棒的根数是3；第2个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4=7；第3个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5=12；第4个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6=18；第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6+7=25，故选：D．6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b【考点】基本不等式．【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2， =，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式可得cosα+sinα=，平方再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），∴3（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0 （舍去），或cosα+sinα=，即 cosα+sinα=，平方可得1+2cosα•sinα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：C．8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2 C．2+2D．2﹣2【考点】基本不等式；二倍角的正切．【分析】利用二倍角公式求出m，再利用基本不等式，即可求出函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．m==tan45°=，y=2m•x++1=x++1=（x﹣1）++2≥2+2，故选：C．9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．30米B．30米C．15（+1）米D．10米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△BCD中使用正弦定理得出BC，在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函数得出AB 的值．【解答】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=45°，∴∠CBD=60°．在△BCD中使用正弦定理得，即，∴BC==10．∵∠BCA=60°，∴∠CAB=30°，∴AB=BC=30．故选A．10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．12．定义为n个正数p1，p2…p n的“平均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“平均倒数”为，又b n=，则++…+等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{a n}的前n项和为S n，根据求出a n，代入b n=化简求出b n，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．【解答】解：由题意和“平均倒数”得， =，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=2n2+n，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，当n=1时也适合上式，∴a n=4n﹣1，则b n==n，∴==，∴=（1）+（）+…+（）==，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下x+y+z= 16 ．【分析】由题意得x，y，z都是正数，且1，x，3成等差数列，1，y，4成等比数列，4，8，z成等差数列，由此能求出x+y+z的值．【解答】解：由题意得x，y，z都是正数，且：1，x，3成等差数列，∴x=，1，y，4成等比数列，∴y==2，4，8，z成等差数列，∴z=8+（8﹣4）=12，∴x+y+z=2+2+12=16．故答案为：16．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinB ，即sin （B+C ）=sinB ， ∵sin （B+C ）=sinA ，∴sinA=sinB ，利用正弦定理化简得：a=b ，则=．故答案为：．15．已知x 、y ∈R +，且满足+=2，则8x+y 的取值范围是 [9，+∞） ． 【考点】基本不等式．【分析】利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且满足+=2，∴8x+y=（+）（8x+y ）=（10++）≥（10+8）=9，当且仅当=，即x=，y=3时，取等号，∴8x+y 的取值范围是[9，+∞）． 故答案为：[9，+∞）．16．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x ，y ），x ∈R ，y ∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），›当且仅当“x 1＞x 2”或“x 1=x 2且y 1＞y 2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D ，（+）＞（+）；④对于任意向量＞， =（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为 ①②③ ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据已知条件中，›当且仅当“x 1＞x 2”或“x 1=x 2且y 1＞y 2”．按上述定义的关系“›”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于任意两个向量=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），›当且仅当“x 1＞x 2”或“x 1=x 2且y 1＞y 2”，对于①，若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则，且，故①正确．对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若›，›，则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有›．对于③，若›，则对于任意∈D，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，∴（+）›（+），故③正确．对于④，设设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由›，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；由›，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，所以›不成立，所以④不正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由已知条件求出cosα的值，再求出tanα和tan2α的值，根据诱导公式进一步求出tan（+2a）的值；（Ⅱ）由sinα和cosα的值，求出sin2α和cos2α的值，根据诱导公式进一步求出cos（﹣2a）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sina=，a∈（，π），∴cosα=．∴．则∴tan（+2a）==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，，cos（﹣2a）==．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（Ⅰ）可设，这样根据条件即可建立关于x，y的方程组，解该方程组即可求出，x，y，从而得出向量的坐标；（Ⅱ）根据条件便可得出，且，这样进行向量数量积的运算便可由得出的值，进而求出的值，从而求出与的夹角．【解答】解：（Ⅰ）设，根据条件，则：；解得，或；∴，或（2，﹣4）；（Ⅱ）；∴==；解得；∴=；∴；∴．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）得到﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，组成方程组，解出即可；（Ⅱ）通过讨论c的范围结合二次函数的性质求出c的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}，∴﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，∴，解得：a=﹣4，m=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=﹣4，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0，即（c﹣4）x2+2（c﹣4）x﹣1＜0，c﹣4=0，即c=4时，﹣1＜0，成立，c﹣4≠0时，若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，则，解得：＜c＜4，综上，＜c≤4．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为求得ω的值，求得f（x）的解析式，利用正弦函数单调性求得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f（C）=，C为锐角，求得C，由正弦定理可知：sinB=2sinA，b=2a，代入余弦定理求得a和b的值，根据三角形的面积公式，可求得△ABC的面积．【解答】解：f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+，=sin2ωx﹣cos2ωx，=2sin（2ωx﹣），y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为，又（ω＞0），，解得：ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），∴f（x）单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（C）=2sin（2C﹣）=，∴2C﹣=或，∴C=或，∵角C为锐角，∴C=，sinB=2sinA，由正弦定理可知：b=2a，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，即18=a2+4a2﹣2×a×2a×，解得a=，b=2，S△ABC=absinC=××2×=3．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时， =，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，由a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．可得q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解出即可得出．（Ⅱ）c n==，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．∴q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解得q=4，d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n，b n=4n﹣1．（Ⅱ）c n===，∴{c n}的前n项和T n=1++3×+…+，∴=+…+（n﹣1）+n，∴=1+++…+﹣n=﹣=2﹣（2+n），∴T n=4﹣（2+n）．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．当n为偶数时，m＜4﹣=．当n为奇数时，﹣m≤4，解得m≥﹣4．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．。