数字图像处理 第四章

多媒体图像通信
频域滤波的基本思想
• 修改一幅图像的傅立叶变换，然后计算其反变换， 得到滤波后的结果 设一幅大小为M×N的图像f (x,y)，其处理后图像为：
g(x, y) =ℑ−1[F(u,v)H(u,v)]
多媒体图像通信
通过低通滤波器 通过高通滤波器
模糊图像 突出细节
多媒体图像通信
基本滤波器及其性质
多媒体图像通信
4. 可分离性：
F (u, v) = ℑx {ℑy [ f (x, y)]} = ℑy {ℑx [ f (x, y)]} { } { } f (x, y) = ℑu−1 ℑv−1 [F (u, v)] = ℑv−1 ℑu−1 [F (u, v)]
多媒体图像通信
5. 对称性：
多媒体图像通信
多媒体图像通信
• 卷积定理
• 取样后函数
∑ if (t ) = f (t ) sΔT (t ) = +∞ f (t )δ (t − nΔT ) n = −∞
∑ ∑ { } S (u ) = ℑ
sΔT (t)
=
ℑ
⎧ ⎨ ⎩
1 ΔT
⎫ +∞ j 2π n t e ΔT ⎬ =
n = −∞
⎭
1 ΔT
+∞
• 构造一个低通滤波器，使低频分量顺利通过而 有效地阻止高频分量，即可滤除频域中高频部 分的噪声，再经逆变换就可以得到平滑图像。
• 高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分 量顺利通过，而使低频分量受到削弱。
• 陷波滤波器：使图像的均值为0。
H(u,v)
=
⎧0 ⎩⎨1
(u,v) = (M /2, N /2) otherwise
平移特性用于图像中心化
原图像
频谱
多媒体图像通信
平移特性用于图像中心化
多媒体图像通信
f (x, y)e j2π (u0x M +v0 y N ) ⇔ F (u − u0 , v − v0 )
若想将频谱中心移至 (M 2, N 2)，即(u0, v0 ) = (M 2, N 2)
j 2π ( u0 x + v0 y )
=
ℑ
⎧ ⎨ ⎩
1 ΔT
⎫ +∞ j 2π n t e ΔT ⎬
n = −∞
⎭
=
1 ΔT
+∞
δ
n = −∞
⎛ ⎜⎝
u
−
n ΔT
⎞ ⎟⎠
多媒体图像通信
• 卷积定理 • 取样后函数
∑ if (t ) = f (t ) sΔT (t ) = +∞ f (t )δ (t − nΔT ) n = −∞
多媒体图像通信
多媒体图像通信
4.2 基本概念
• 复数 • 傅立叶级数 • 冲激函数及其取样特性
单位离散冲激
冲激串
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一维连续傅立叶变换
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
∫ F ( u ) = ∞ f ( x ) e − j 2 π ux d x −∞
其反变换为：
∫ f ( x ) = ∞ F (u ) e j 2π ux d u −∞
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平移特性用于图像中心化
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f (x)e j2π (u0x M ) ⇔ F (u − u0 )
若想向右平移 M 2，即 u0 = M 2 ：
f (x)e j2π (u0x M ) = f (x)e jπ x = f (x)(−1)x ⇔ F (u − M 2)
多媒体图像通信
∫ F (u ) =
∞δ
−∞
(t
−
t0
)e−
j2π uxdx
源自文库
=
e−
j 2π ut0
∑ • 冲激串的傅立叶级数展开：
sΔT (t)
=
1 ΔT
+∞ j 2π n t
e ΔT
n = −∞
由对称性有：
⎧ ⎫ j 2π n t ℑ ⎨e ΔT ⎬
⎩
⎭
=
δ
⎛ ⎝⎜
u
−
n ΔT
⎞ ⎠⎟
∑ ∑ { } 则： ℑ
sΔT (t)
6. 平移和旋转特性：
空间平移：
f (x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u, v)e− j2π (ux0 M +vy0 N ) 频率平移：
f (x, y)e j2π (u0x M +v0 y N ) ⇔ F (u − u0 , v − v0 )
图像的空间平移不影响F(u,v)的幅度谱
旋转不变性： f (r,θ +θ0) ⇔ F(ρ,ϕ +θ0)
解决方法： 补充信号使长度
P ≥ A+ B −1
多媒体图像通信
多媒体图像通信
多媒体图像通信
9. 相关定理： 互相关：f(x,y)⊗g(x,y) <=> F *(u,v)G (u,v)
f *(x,y)g (x,y) <=> F(u,v)⊗G(u,v) 自相关：f(x,y)⊗f(x,y) <=> |F(u,v)|2
二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：
∫ ∫ F (u, v) = ∞ ∞ f (t, z)e− j2π(ut+vz)dtdz −∞ −∞
逆变换：
∫ ∫ f (t, z) = ∞ ∞ F (u, v)e j2π(ut+vz)dudv −∞ −∞
F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) = F (u, v) e jΦ(u,v)
为：
M −1 N −1
∑ ∑ F(u,v) =
f (x, y)e− j2π (ux M +vy N )
x=0 y=0
其中 u = 0,1,", M −1
v = 0,1,", N −1
逆变换为：
∑ ∑ f (x, y) = 1 M −1 N −1 F (u, v)e j2π (ux M +vy N ) MN u=0 v=0
多媒体图像通信
g(x, y) =ℑ−1[F(u,v)H(u,v)]
原图像
未填充经高斯滤波 已填充经高斯滤波
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频域滤波的基本步骤 g(x, y) =ℑ−1[F(u,v)H(u,v)]
• 对M×N的图像 f (x,y) 进行填充
• 形成P×Q的填充图像 fp (x,y) • 图像 fp (x,y)乘以 (−1)x+ y
• 计算 F(u,v) • F(u,v)乘以P×Q的滤波器H(u,v)
• 计算 F(u,v)H(u,v) 的反变换，得到其实数部分
• 将结果乘以 (−1) x+ y，得到 gp (x,y)
• 从 gp (x,y)的左上象限提取M×N区域，得到最终结
果g (x,y)
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f (x,y)
fp (x,y)
若 F(u)=R(u)+jI(u)
幅度谱： F (u) = R2 (u) + I 2 (u) 相位谱： Φ(u) = arctan[I (u) / R(u)] 能量谱（谱密度）P(u) = F(u) 2
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例 4.1
方波信号：
经傅立叶变换后：
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例 4.2
• 冲激信号的傅立叶变换：
∑M −1
− j 2π ux
F (u) = f (x)e M
x=0
逆变换为：
u = 0,1,", M −1
∑ f (x) =
1
M −1
j 2π ux
F (u)e M
x = 0,1,", M −1
M u=0
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4.5 两个变量的函数扩展
• 二维冲激及其取样特性
连续冲激函数
δ
(t,
z)
=
⎧∞
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4.6 二维离散傅立叶变换的性质
1. 线性性质： a1 f1(x, y) + a2 f2 (x, y) ⇔ a1F1(u, v) + a2F2 (u, v)
2. 比例性质： f (ax,by) ⇔ 1 F⎜⎛ u , v ⎟⎞ ab ⎝ a b ⎠
3. 周期性： F(u,v)=F(u+aM,v+bN), f(x,y)=f(x+aM,y+bN)
第四章 频率域滤波
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4.1 背景
• 法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier在 1807年和1822年提出傅立叶变换
• 上世纪60年代出现快速傅立叶变换 • 傅立叶变换域也称为频域
• 二维冲激及其取样特性
离散冲激函数
δ
(
x,
y)
=
⎧1 ⎨⎩0
x= y=0 else
∞∞
∑ ∑ f (x, y)δ (x, y) = f (0, 0)
x=−∞ y=−∞
∞∞
∑ ∑ f (x, y)δ (x − x0, y − y0 ) = f (x0, y0 )
x=−∞ y=−∞
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二维连续傅立叶变换
|f(x,y)|2 <=> F(u,v)⊗F(u,v)
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38×42 256×256
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10. 帕塞瓦尔定理（能量定理）：
N −1 N −1
N −1 N −1
∑∑ ∑∑ f1
(
x,
y)
f
* 2
(
x,
y)
=
F1(u, v)F2*(u, v)
x=0 y=0
u=0 v=0
δ (t − mΔT , z − nΔZ )
m=−∞ n=−∞
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• 二维取样定理 若f (t,z)是带限函数，即
F (u, v) = 0, u ≥ umax且 v ≥ vmax
则取样间隔：
1 ΔT
≥ 2umax
1 ΔZ
≥
2vmax
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二维离散傅立叶变换
设f (x,y)是大小为M×N的图像。其二维傅立叶变换
δ
n = −∞
⎛ ⎜⎝
u
−
n ΔT
⎞ ⎟⎠
∑ Fi(u )
=
F (u) ∗ S (u)
=
1 ΔT
+∞
F
n = −∞
⎛ ⎜⎝
u
−
n ΔT
⎞ ⎟⎠
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−μmax
μmax
1 ΔT
> 2μmax
多媒体图像通信
多媒体图像通信
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一维离散傅立叶变换(DFT)
一维离散傅立叶变换公式为：
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4.8.1 理想低通滤波器
二维理想低通滤波器的传递函数
H
(u,
v)
=
⎧ ⎨
⎩
1 0
if D(u, v) ≤ D0 if D(u, v) > D0
D(u,v) 是频域中的点 (u,v)到频谱中心的距离
D(u, v) = (u − P / 2)2 + (v − Q / 2)2
旋转后的相角
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7. 平均值：
N −1 N −1
F (0, 0) = ∑ ∑ f (x, y) = MNf (x, y) x=0 y=0
8. 卷积定理： f(x,y)*h(x,y) <=> F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y) <=> F(u,v)*H(u,v)
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(−1) x+ yfp (x,y)
F(u, v)
H(u,v)
F(u,v)H(u,v)
gp (x,y)
g (x,y)
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4.8 频域平滑滤波器
• 频域基本的滤波模型为 G(u, v) = H (u, v)F (u, v)
H(u,v) : A Filter transfer function. F(u,v) : Fourier transform of the image G(u,v) : Objective image
若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：
N −1 N −1
N −1 N −1
∑ ∑ f (x, y) 2 = ∑ ∑ F (u, v) 2
x=0 y=0
u=0 v=0
信号在空域的总能量等于其频域的总能量。
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4.7 频域滤波基础
在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。 频谱的低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠 加噪声、边缘对应于频谱中频率较高的部分等。
幅度谱： F (u , v ) = R 2 (u , v ) + I 2 (u , v ) 相位谱： Φ (u , v ) = a rc ta n [ I (u , v ) R (u , v ) ]
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例 4.5
对于二维方波信号
其频谱为：
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• 二维取样函数
+∞ +∞
∑ ∑ sΔT ΔZ (t , z ) =
⎨ ⎩
0
t=z=0 else
∞∞
∫ ∫ δ (t, z)dtdz = 1 −∞ −∞
∫ ∫∞ ∞ f (t, z)δ (t, z)dtdz = f (0, 0) −∞ −∞
∫ ∫∞ −∞
∞ −∞
f
(t,
z)δ (t
− t0,
z
−
z0 )dtdz
=
f (t0 , z0 )
多媒体图像通信
4.5 两个变量的函数扩展
f (x, y)e M N
=
f (x, y)e jπ (x+ y)
= f (x, y)(−1)x+y ⇔ F (u − M 2, v − N 2)
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图像
中心化 后频谱
频谱
对数变换 后频谱
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平移后 图像
旋转后 图像
平移后 频谱
旋转后 频谱
多媒体图像通信
中心化后的相角
平移后的相角
卷积
• 卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式
∫ y(t) = +∞x(τ )h(t −τ )dτ = x(t) ∗h(t) −∞
则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积
• 卷积积分的图解表示：
x(t) 1
h(t)
1/2
1t
1t 多媒体图像通信
DFT的周期性问题 多媒体图像通信