下载文档原格式
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
测量误差的分类以及解决方法1、系统误差能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。
系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。
由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。
系统误差越小，测量结果的准确度就越高。
2、偶然误差偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。
产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。
偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。
系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。
系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。
3、疏失误差疏失误差是测量过程中操作、读数、记录和计算等方面的错误所引起的误差。
显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。
解决方法：仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。
消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。
必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。
所以应根据测量的要求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。
一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。
1、系统误差的消除方法(1)对测量仪表进行校正在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。
(2)消除产生误差的根源即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。
第3章分析化学中的误差与数据处理一、选择题1．下列叙述错误的是（）A．误差是以真值为标准的，偏差是以平均值为标准的，实际工作中获得的所谓“误差”，实质上仍是偏差B．对某项测定来说，它的系统误差大小是不可测量的C．对偶然误差来说，大小相近的正误差和负误差出现的机会是均等的D．标准偏差是用数理统计方法处理测定的数据而获得的2．四位学生进行水泥熟料中SiO2 , CaO, MgO, Fe2O3 ,Al2O3的测定。
下列结果（均为百分含量）表示合理的是（）A．21.84 , 65.5 , 0.91 , 5.35 , 5.48 B．21.84 , 65.50 , 0.910 , 5.35 , 5.48C．21.84 , 65.50 , 0.9100, 5.350 , 5.480 D．21.84 , 65.50 , 0.91 , 5.35, 5.483．准确度和精密度的正确关系是（）A．准确度不高，精密度一定不会高B．准确度高，要求精密度也高C．精密度高，准确度一定高D．两者没有关系4．下列说法正确的是（）A．精密度高，准确度也一定高B．准确度高，系统误差一定小C．增加测定次数，不一定能提高精密度D．偶然误差大，精密度不一定差5．以下是有关系统误差叙述，错误的是（）A．误差可以估计其大小B．误差是可以测定的C．在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等D．它对分析结果影响比较恒定6．滴定终点与化学计量点不一致，会产生（）A．系统误差B．试剂误差C．仪器误差D．偶然误差7．下列误差中，属于偶然误差的是（）A．砝码未经校正B．容量瓶和移液管不配套C．读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准D．重量分析中，沉淀的溶解损失8．可用于减少测定过程中的偶然误差的方法是（）A．进行对照试验B．进行空白试验C．进行仪器校准D．增加平行试验的次数9．下列有效数字位数错误的是（）A．[H＋]=6.3×10-12mol／L (二位) B．pH=11.20(四位)C．CHCl=0.02502mol／L (四位) D．2.1 (二位)10．由计算器算得9.250.213341.200100⨯⨯的结果为0.0164449。
§1.2偶然误差的处理在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。
一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。
根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。
在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别为沁x2,x n o用§表示它们的算术平均值〔简称平均值），得：+■…+n当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值将无限接近于真值。
所以，平均值?又称为测量结杲的最佳值，常把它作为测量的结果。
二、算术平均绝对误差真值无法得到，误差也就无法估算。
由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。
一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。
然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。
在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。
在多次重复测量中，每次测量值绍与平均值?的差，取绝对值，用△绍表示，则有称应为算术平均绝对误差，简称为算术平均误差或平均绝对误差。
测 量结果表达式可写为x=x±Axo(1-3)三、标准误差一方均根误差a在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。
物理量x 的标准误差用a 表示，它的定义是：当测量次数无x限多时，有测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：S=J 占詐"凡(1_5)(1-5)式是n 次重复测量中单次测量的标准误差，n 次测量结果平均值§的标淮误差又称为平均标淮误差，用。
乔表示，则上式应写成Ax=—SAx-oni=i(1-2)(1-Q当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为四、相对误差我们把测量结果及其偶然误差写为x±Ax 的形式，其中x 是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；△x 是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。
§1.2偶然误差的处理
在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。
一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值
对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。
根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。
在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别
当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值
作为测量的结果。
二、算术平均绝对误差
真值无法得到，误差也就无法估算。
由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。
一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。
然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。
在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。
取
量结果表达式可写为
三、标准误差——方均根误差a
在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。
物理量x的标准误差用σx表示，它的定义是：当测量次数无限多时，有
测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：
(1-5)式是n次重复测量中单次测量的标准误差，n次测量结果平均
当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为
四、相对误差
我们把测量结果及其偶然误差写为x±Δx的形式，其中x是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；Δx是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。
在对同一对象采用不同精度的仪器或测量方法来测量时，Δx能够表示出测量的不同精确度。
但对不同对象进行测量时，却反映不出不同的精确度。
例如，用米尺测量两物体的长度，测量结果为：
x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，两者的绝对误差相同，均为0.05cm，但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。
因此，引入相对误差，它可以评价上述两测量结果精确度的差别。
相对误差通常用百分比表示，所以又称为百分比误差。
相对误差E定义为
(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公认值或理论值代替。
例对某电压测量的数据处理(见表1-1)。
表1-1电压的测量
在计算过程中，误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐，误差的尾数只进不退。
本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、标准误差、平均标准误差来表示时，其对应的测量结果为
U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。
五、间接测量的误差估算
物理实验中的被测量N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。
我们称N为间接测量量或复合量。
计算间接测量量值时，是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。
由于各直接测量量的平均值均有误差，因此计算的结果也必然具有一定的误差，这
称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形式。
设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系：
N＝f(x，y，…) (1-9)
x，y，…表示直测量。
对上式求全微分，得：
式中，d x，d y，…和dN都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别用Δx，Δy，…和ΔN代替它们，则绝对误差公式表示为
(1-11)式称为函数误差算术传递的基本公式。
将(1-10)式两边平方后略去高阶小项，得
根据(1-11)式和(1-13)式，我们把常用函数的误差算术传递公式和标准误差传递公式列成表1-2以备查用。
表1-2常用函数的误差传递公式
例测得一金属圆柱体的质量m=162.38±0.01g，长度1=39.92±0.01mm、直径d=24.927±0.002mm，求其密度和误差
若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：
求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3
若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：
求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3。
