导数题型方法总结(绝对经典)

导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。

2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。

2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。

3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。

题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。

2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。

导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

导数常考题型归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。

在高中数学中，导数是一个常考的内容。

为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，本文将对导数常考题型进行归纳总结，以便同学们能够更好地应对考试。

一、常数函数求导常数函数的导数始终为零。

这个结论是很容易推导出来的，因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为零，所以导数为零。

二、幂函数求导对于幂函数（如x的n次方），我们可以利用求导的定义直接推导求导公式。

设y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = n*x^(n-1)。

例如，对于y=x^2，求导后得到dy/dx=2x。

对于y=x^3，求导后得到dy/dx=3x^2。

这个公式是求解幂函数导数的基础公式，需要同学们熟练掌握。

三、指数函数求导对于指数函数（如e^x），其导数仍然是指数函数本身。

即dy/dx = e^x。

这个结论在微积分中是非常重要的，往往与幂函数求导相结合，可以解决很多复杂问题。

四、对数函数求导对于对数函数（如ln(x)），其导数可以通过指数函数的导数求出。

根据求导的链式法则，我们可以得到对数函数的导数公式：dy/dx = 1/x。

这个公式对于解决对数函数的导数问题非常有用。

五、三角函数求导对于三角函数（如sin(x)和cos(x)），它们的导数也具有一定的规律性。

我们可以根据求导的定义和三角函数的性质，得到以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为sec^2(x)；cot(x)的导数为-csc^2(x)。

这些公式可以根据求导的定义进行推导，同学们需要牢记。

六、复合函数求导复合函数指的是由多个函数复合而成的函数。

对于复合函数的导数求解，我们可以利用链式法则。

链式法则的公式为：如果y=f(u)，u=g(x)，则有dy/dx = dy/du * du/dx。

通过链式法则，我们可以将复合函数的导数求解转化为简单函数的导数求解。

导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。

掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。

下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。

1.求函数在某点的导数。

对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。

导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。

基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。

2.求函数的导数表达式。

已知函数表达式，要求其导数表达式。

可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。

3.求高阶导数。

如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。

可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。

4.求导数的导函数。

导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。

要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。

5.利用导数计算函数极值。

当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。

可以利用导数求函数的极值。

6.利用导数判定函数的增减性。

根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。

如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。

7.利用导数求函数的最大最小值。

当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。

要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。

当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。

8.利用导数求函数的拐点。

如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。

可以使用导数的二阶导数判定。

9.利用导数求函数的弧长。

曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。

通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。

10.利用导数求函数的曲率。

曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。

曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。

11.利用导数求函数的速度和加速度。

导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型主要包括求函数的导数、求函数的极值、求曲线的切线方程和法线方程等。

下面给出这些题型的解题方法：
1. 求函数的导数：
- 根据导数的定义，逐项求导；
- 利用乘法法则、复合函数法则、除法法则等求导法则简化计算；
- 对于含有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的复合函数，可以根据相应的求导法则和运算规律进行求导。

2. 求函数的极值：
- 首先求函数的导数，得到导函数；
- 解导函数的方程，求得导函数的零点，即函数的驻点；
- 利用二阶导数判别法来判断驻点的类型（极大值点、极小值点或拐点）；
- 如果导函数的零点为函数的一个极值点，则该极值点对应的函数值为极值。

3. 求曲线的切线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 然后利用一般点斜式的切线方程公式，以该点和斜率为参数，得到切线方程。

4. 求曲线的法线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 利用切线斜率与法线斜率的关系（切线斜率与法线斜率的乘积等于-1），由此得到法线的斜率；
- 然后以该点和法线斜率为参数，利用一般点斜式的法线方程公式得到法线方程。

以上是导数大题题型的一般解题方法，根据具体题目特点和要求，可能需要结合其他数学知识和技巧进行推导和计算。

导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。

也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。

整个过程可简记为分解——求导——回代。

熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。

导数经典题型及解答策略对基础典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行巩固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集。

当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正做到"任它千变万化，我自岿然不动"。

题型一：利用导数概念求导数例1．已知s=221gt ，求t=3秒时的瞬时速度。

解析：由题意可知某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，t s∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，ts∆∆的极限。

V=0lim →∆x t s ∆∆=0lim →∆x =∆-∆+t s t s )3()3(0lim →∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21=g 21lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。

变式练习：求函数y=24x 的导数。

解析：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=∆22)(24x x x xx x y ∆+∆+⋅-=∆∆∴00limlim→∆→∆=∆∆x x x y⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x =-38x 2、例2已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝____解析：li mΔx →0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝－2li m－2Δx →0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝－2×11＝－22. 变式练习：若f ′(x 0)＝2，求lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)2k的值． 解：令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0.则原式可变形为lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)－2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x )Δx ＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1. 二、题型二：深入领会导数的几何意义导数的几何意义: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。

导数题的十大解题技巧一、导数概念1、先了解基本的导数概念，掌握常用的求导法则，如链式规则、技术分解法之类的解题方法。

二、根据定义式求导数2、若检验某函数的连续性，则可以用极限的方法求出导数，考虑函数的不同取值求导数的变化。

三、图像的理解运用3、利用函数图像求取导数，判断函数的性质，进而探究关于函数的性质，例如凸凹形态等。

四、反比例函数求导4、利用反比例函数求导，了解反比例函数的导数特征，能快速求得反比例函数的导数的函数，有效提高解题效率。

五、指数函数求导5、利用指数函数求导，弄清楚指数函数的导数特点，掌握求取指数函数导数的方法，做到心中有数，有助于提高解题效率。

六、复合函数求导6、利用复合函数求导，它的求导需要利用到链式规则和技术分解法等方法，能够准确求取复合函数的导数，配合其他解题方式，可以准确解出复杂的复合函数的导数。

七、导数的几何意义7、根据函数的解析式对曲线进行分析，用导数的几何意义可以很好的分析函数的凹凸性，分别解决凸函数和凹函数的情况，利用几何图形可以直观的确定曲线的凹凸性。

八、极值点8、从求导的角度出发，考虑一元函数的极值点，掌握求极值点的基本方法，主要是求解一阶导数的极限即可，结合函数的定义域可以判断函数的极值点分布情况。

九、积分函数求导9、由于积分函数可以形成函数，而函数求导可以利用积分函数求导，根据求积分的原则可以对积分函数进行求导，如分部积分法、积分反演法等，考虑函数在定义域的变化，可以熟练掌握积分函数的求导方法。

十、椭圆函数求导10、考虑函数的特点，可以把椭圆函数拆分为有限多个单独的函数，再利用求导法则求取导数，合并求得得出椭圆函数的导数，熟练掌握椭圆函数的求导方法，可以有效提高解题的效率。

1已知函数，．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若x∈[a，+∞）时，f2（x）≥f1（x），求a的取值范围；（3）求函数在x∈[1，6]上的最小值．解：（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e|x﹣3|+e|x﹣2|+1=e3﹣x+e x﹣1==2e，当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分（2）由题意知，当x∈[a，+∞）时，e|x﹣2a+1|≤e|x﹣a|+1，即|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1 恒成立…6分所以|x﹣2a+1|≤x﹣a+1，即2ax≥3a2﹣2a 对x∈[a，+∞）恒成立，则由，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分（3）记h1（x）=|x﹣（2a﹣1）|，h2（x）=|x﹣a|+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a﹣1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．①当1≤2a﹣1≤6，即1≤a≤时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f1（2a﹣1）=e0=1…10分②当a＜1时，可知2a﹣1＜a，所以（ⅰ）当h1（a）≤h2（a），得|a﹣（2a﹣1）|≤1，即﹣2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h1（x）＜h2（x），即f1（x）＞f2（x），所以g（x）=f2（x）的最小值为f2（1）=e2﹣a；（ii）当h1（a）＞h2（a），得|a﹣（2a﹣1）|＞1，即a＜﹣2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）=f1（x）的最小值为f1（1）=e3﹣2a；③当a＞时，因为2a﹣1＞a，可知2a﹣1＞6，且h1（6）=2a﹣7＞a﹣5=h2（6），所以（ⅰ）当时，g（x）的最小值为f2（a）=e（ii）当a＞6时，因为h1（a）=a﹣1＞1=h2（a），∴在x∈[1，6]上，h1（x）＞h2（x），即f1（x）＜f2（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f2（6）=e a﹣5…15分综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为…2已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．解：f′（x）=，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，1+x＞0．当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）的最小值为f（0）=1．当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得x＞；由f′（x）＜0，解得x＜．∴f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）．于是，f（x）在x=处取得最小值f（）＜f（0）=1，不合．综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）3．（1）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：（1），令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（2）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递2＜m≤44已知函数（a∈R）．求函数f（x）在[0，2]上的最小值．令t=x+1，则t∈[1，3]∴f（x）=g（t）=，g′（t）=﹣若a+1=0，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0若a+1≠0，则g（t）在（0，|a+1|）上递减，在（|a+1|，+∞）上递增，①若0＜|a+1|≤1，即﹣2≤a≤0且a≠﹣1时，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0；②若1＜|a+1|＜3，即﹣4＜a＜﹣2或0＜a＜2，g（t）在[1，|a+1|]上递减，在[|a+1|，3]递增，故g（t）即f（x）的最小值为g（|a+1|）=2|a+1|﹣（a2+2a+2）；③若|a+1|≥3，即a≥2或a≤﹣4时，g（t）在t∈[1，3]上递减，故g（t）即f（x）的最小值为综上所述：f（x）min=．经典5．已知函数，记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．证明：（i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．故0＜a＜，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s ＜t），则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与和的切点．y1'=﹣=，y2'=﹣+=，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且==﹣﹣，==+，=，即=1﹣lnx 1…①；=1﹣lnx2…②；a=，③①﹣②得：﹣=﹣lnx1+lnx2=﹣ln，由③中的a代入上式可得：（﹣）•，即，令=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），因为=1﹣＞0，=﹣＜0，故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点6．设函数f（x）=alnx（x＞0）；当若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．解：若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，则alnx≥m+x对所有的都成立，即m≤alnx﹣x，对所有的都成立，（8分）令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴上单调递增∴h（a）min=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，∵1＜x≤e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）min=﹣e2．（13分）7已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x，其定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），）求证：对于任意的t ＞﹣2，总存在x n∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x o的个数．证明：∵，∴=∴=0（，）﹣足8f（x）=x3﹣12x+1…设0＜m≤2，若对任意的t1，t2∈[m﹣2，m]，不等式|f（t1）﹣f（t2）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．如果m不受限制呢？解：求导数f′（x）=3（x+2）（x﹣2），则f（x）在[﹣2，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增∵0＜m≤2，∴﹣2＜m﹣2≤0，∴f（x）在[m﹣2，m]上单调递减∴[f（x）]max=f（m﹣2），[f（x）]min=f（m）依题意[f（x）]max﹣[f（x）]min≤16m，即3m2+2m ﹣8≥0∴m≤﹣2或m≥∵0＜m≤2，∴∴m的最小值为…9（已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x ﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f （x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．10已知函数（a∈R）．（3）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．令t=x+1，则t∈[1，3]∴f（x）=g（t）=，g′（t）=﹣若a+1=0，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0若a+1≠0，则g（t）在（0，|a+1|）上递减，在（|a+1|，+∞）上递增，①若0＜|a+1|≤1，即﹣2≤a≤0且a≠﹣1时，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0；②若1＜|a+1|＜3，即﹣4＜a＜﹣2或0＜a＜2，g（t）在[1，|a+1|]上递减，在[|a+1|，3]递增，故g（t）即f（x）的最小值为g（|a+1|）=2|a+1|﹣（a2+2a+2）；③若|a+1|≥3，即a≥2或a≤﹣4时，g（t）在t∈[1，3]上递减，故g（t）即f（x）的最小值为综上所述：f（x）min=12．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．解：（1）x∈（0，+∞）==．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）=a+﹣4，可知h （a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）=lnt﹣，则=．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0纵成立．13．已知函数若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[﹣4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值解：不等式f（x）≤x，即（x3+2x2+5x+t）e﹣x≤x，即t≤xe x﹣x3﹣2x2﹣5x．转化为存在实数t∈[0，1]，使得对任意x∈[﹣4，m]，不等式t≤xe x﹣x3﹣2x2﹣5x恒成立，即不等式0≤xe x﹣x3﹣2x2﹣5x对于x∈[﹣4，m]恒成立，当m≤0时，则有不等式e x﹣x2﹣2x ﹣5≤0对于x∈[﹣4，m]恒成立，设g（x）=e x﹣x2﹣2x﹣5，则g′（x）=e x﹣2x﹣2，又m为整数，则当m=﹣1时，则有﹣4≤x≤﹣1，此时g′（x）=e x﹣2x﹣2＞0，则g（x）在[﹣4，﹣1]上为增函数，∴g（x）≤g（﹣1）＜0恒成立．m=0时，当﹣1＜x≤0时，因为[g′（x）]′=e x﹣2＜0，则g′（x）在（﹣1，0]上为减函数，g′（﹣1）=e﹣1＞0，g′（0）=﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，0]，使得g′（x0）=0，即=2x0+2，则当﹣4≤x＜x0，有g′（x）＞0，；当x0＜x≤0时，有g′（x）＜0；故函数g（x）在区间[﹣4，x0]上为增函数，在区间[x0，0]上为减函数，则函数g（x）在区间[﹣4，0]上的最大值为﹣2x0﹣5，又=2x0+2，则g（x0）=（2x0+2）﹣﹣2x0﹣5=﹣﹣3＜0，故不等式0≤xe x﹣x3﹣2x2﹣5x对于x∈[﹣4，0]恒成立，而当m=1时，不等式0≤xe x﹣x3﹣2x2﹣5x对于x=1不成立．综上得，m=0．14．如果g（x）图象与x轴交于A （x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．解：．假设结论成立，则有，（1）﹣（2），得．所以．由（4）得，所以，即，即=，令．则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设矛盾，所以g'（x0）≠0．15．已知函f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（或者二次求导）（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：﹣．（注：e是自然对数的底数）（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣e x，所以，f′（x）=2ax﹣e x．若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，故方程2ax﹣e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，设，得．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程有两个根，需2a＞h（1）=e，故且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：，故，x1∈（0，1）=，x1∈（0，1）设s（t）=（0＜t＜1），则，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即．16．已知函数（x∈R）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．解：（1）f′（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；（2）由（1）可知，解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣=（x12﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（x12﹣4x1+3）x而过B（x2，y2）的切线方程是y=（x22﹣4x2+3）x，由于两切线是同一直线，则有：x12﹣4x1+3=x22﹣4x2+3，得x1+x2=4，又由=，即﹣+2（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣，即x1（x1+x2）+x22﹣12=0即（4﹣x2）×4+x22﹣12=0×4+x22﹣12=0，x22﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．难！17已知函数f （x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x1，f （x1））和（x2，g（x2）），其中x1＞0．①求证：x1＞1＞x2；②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2﹣x+xe﹣x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）依题意对∀x∈（0，+∞）均有e x≥kx≥lnx成立即对任意∀x∈（0，+∞）均有≥k≥成立∴（）min≥k≥因为（）=故在（0，1）上减，（1，+∞）增∴（）min=e又故在（0，e）上减，（e，+∞）增∴即k的取值范围是[，e]（2）由题知：h（x）即为y﹣e=e（x﹣x1）即y=e•x+e﹣x1 e也为y=lnx2=即y=+lnx2﹣1∴又x1=0，∴e＞1 即＞1⇒x1＞1即x1＞1＞x2…（8分）（3）令F（x）=ax2﹣x+xe﹣x+1（x≥x1）∴F′（x）=﹣1﹣xe﹣x+e﹣x=﹣1+e﹣x（1﹣x）（x≥x1）又x≥x1＞1，F′（x）=﹣1﹣xe﹣x+e﹣x=﹣1+e﹣x（1﹣x）＜0即F（x）=ax2﹣x+xe﹣x+1（x≥x1）单调减，所以只要F（x）≤F（x1）=ax2﹣x1+x1e+1≤0即a+x 1﹣x1e+e≤0…由∴即故只要≤0得：a≤1综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1]…18f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx，其中m＞n＞0若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．解：设切点Q（x0，y0），则切线的斜率又，所以切线的方程是…（9分）又切线过原点，故所以，解得x0=0，或．…（10分）两条切线的斜率为，，由，得（m+n）2≤8，∴，∴，所以，又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，所以上式等号成立，有，且mn=1．所以．19．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范解：（1），∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（2）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．当1≤x≤2时，，，令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴（当0＜x＜1时，，，令h′（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，（15分）综上所述，20（2）若过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围；（3）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））（x1≠x2）处的切线都过点（0，0），证明：f′（x1）≠f′（x2）．∴．经检验，f（x）在x=0处取得极大值．设切点为（x0，y0），则切线方程为即为把（﹣a，f（﹣a））代入方程可得，即，所以x0=﹣a．即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．所以切线方程为；（2）解：因为切线方程为，把（0，0）代入可得，因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．设（a＜0）g′（x）=2x+2ax，令g′（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=﹣a．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（0，﹣a）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈（﹣a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，所以，当x=0时函数g（x）取得极大值为g（0）=1＞0．当x=﹣a时函数g（x）取得极小值，极小值为．因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以．（3）证明：假设，则，所以（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣2a（x1﹣x2）因为x1≠x2，所以x1+x2=﹣2a．由（2）可得，两式相减可得．因为x1≠x2，故．把x 1+x2=﹣2a代入上式可得，，所以，．所以．又由，这与矛盾．所以假设不成立，即证得。