人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章知识点归纳及典型题分类

庖丁巧解牛知识·巧学一、勾股定理的内容直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.也就是说：如果直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.二、勾股定理的证明证法1： 如图18-1-1所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？图18-1-1解：此图可以这样理解，有三个Rt △，其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2.还有一个直角梯形，其面积为21(a+b)(a+b). 由图形可知：21(a+b)(a+b)=21ab+21ab+21c 2.整理得(a+b)2=2ab+c 2，a 2+b 2+2ab=2ab+c 2，∴ a 2+b 2=c 2.由此得到勾股定理.这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法.学法一得 面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的.勾股定理的证明方法，达400余种.下面这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手.证法2：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c. 求证：a 2+b 2=c 2.思路分析：如图18-1-2左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等. 左边S=4×21ab+c 2， 右边S=（a+b ）2.左边和右边面积相等，即 4×21ab+c 2=（a+b ）2. 化简可证.图18-1-2学法一得 在勾股定理的探索过程中，计算正方形的面积是本节的一个难点.我们可以通过以下方法计算正方形的面积：（1）数格子.在正方形网格中，每个小方格的边长面积均为1（下同）.对于特殊位置的正方形，我们可以通过数格子的方法求出正方形的面积. （2）扩充法如图18-1-3，正方形ABCD 的四个顶点都是格点（即正方形网格中横、纵线的交点），过顶点A 、B 、C 、D 的四条横、纵线相交，得到一个新的正方形EFGH ，它的面积以及四个直角三角形△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 的面积可求，据此可以得出原正方形ABCD 的面积.图18-1-3S 正方形ABCD =S 正方形EFGH -S △ABE -S △BCF -S △CDG -S △DAH =52-21×2×3-21×2×3-21×2×3-21×2×3=25-12=13 这种方法的基本思路是把原正方形扩充为一个新的正方形，所以称为扩充法. （3）分解法如图18-1-3，正方形ABCD 可以分解为4个直角三角形△ABO 、△BCP 、△CDQ 、△DAR 和一个小正方形OPQR ，它们的面积都容易求出，那么正方形ABCD 的面积也易求. S 正方形ABCD =S 正方形OPQR +S △ABO +S △BCP +S △CDQ +S △DAR =12+21×2×3+21×2×3+21×2×3+21×2×3 =1+12=13.三、勾股定理的应用勾股定理的应用是本节的重点，也是本节的难点.（1）在直角三角形中，已知两边，根据勾股定理，可以直接求出第三边的长.如，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，∠A=30°，求AC.先画图18-1-4，乍一看，已知一边，无法用勾股定理，但由于∠A=30°，根据以前学过的定理，得BC=21AB=21×10=5，这样一来，就可以用勾股定理了.图18-1-4∵AB 2=AC 2+BC 2，∴AC 2=AB 2-AC 2=102-52=75. ∴AC=3575=.学法一得 利用勾股定理求直角三角形的边时，一定要分清所求的是直角边还是斜边，同时还要灵活应用直角三角形的其他知识.如30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线长等于斜边长的一半等知识. （2）求三角形的面积例如，求边长为a 的等边三角形的面积.图18-1-5如图18-1-5，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D. 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21a. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AD 2=AB 2-BD 2=a 2-(21a)2=43a 2, ∴AD=23a. ∴S △ABC =21a·24323a a =. 学法一得 求一般三角形的面积，必然要求三角形的高，通过作底边上的高，这样就出现了直角三角形，与勾股定理产生了联系. （3）证明几何图形之间的数量关系 如图18-1-6，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？ 分别用S 1、S 2、S 3表示三个半圆的面积.图18-1-6S 1=21π·(2AB )2=82AB π,S 2=21π·8)2(22BC BC π=,S 3=21π·8)2(22AC AC π=.∵∠C=90°，由勾股定理，得AB 2=BC 2+AC 2. ∴S 1=S 2+S 3.学法一得 探求几何图形之间的数量关系时，要分清斜边和直角边. （4）在数轴上作出表示无理数的点，下面仅举一个例子来说明作法，比如，在数轴上作出表示20的点. 作法1：设20是Rt △ABC 的斜边，两条直角边分别为a 、b ， 根据勾股定理得，a 2+b 2=(20)2,即a 2+b 2=20. 为方便作图，我们尽量取a 、b 为正整数. 若a=1，则b=19，不取； 若a=2，则b=4，可取； ……图18-1-7因此，以2、4为直角边的直角三角形，它的斜边长为20，然后可以在数轴上画出表示20的点.作法如下：在数轴上找到点A ，使OA=2，作直线垂直于OA ，以A 为圆心，以4为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以OB 长为半径作弧交数轴于点C ，则C 即为表示20的点（图18-1-7）作法2：设20是Rt △ABC 的直角边（a=20），根据勾股定理，得（20）2+b 2=c 2，即c 2- b 2=20,若c=5，则b=5，不取；若c=6，则b=4，可取；…… 因此，以6为斜边，4为直角边的直角三角形，它的另一条直角边为20. 作法如下：图18-1-8在数轴上找到点A ，使OA=4，作直线l 垂直于OA ，以原点O 为圆心，以6为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以AB 长为半径作弧交数轴于点C ，即为表示20的点（图18-1-8）. 联想发散 在数轴上作出表示无理数的点，可以有多种作法，可设为直角边，也可设为斜边，选取的数字要尽量简单. 典题·热题知识点 勾股定理的应用例1在Rt △ABC 中，∠C=90°. （1）已知a=b=5,求c. （2）已知a=1,c=2,求b. （3）已知c=17,b=8,求a.（4）已知a ∶b=1∶2,c=5,求a. （5）已知b=15，∠A=30°，求a ，c.思路分析：刚开始使用定理时，一定画好图形，并标好图形，理清边之间的关系.（1）已知两直角边，求斜边直接用勾股定理.（2）（3）已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变式.（4）（5）已知一边和两边比，求未知边.通过前三题明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边；通过后两题明确已知一边和两边之间的关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的转化思想.解：∵a 2+b 2=c 2,∴c=25552222=+=+b a ,同理可解得（2）（3）（4）（5）. 例2已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边.思路分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算，体会分类讨论的思想. 解：（1）当12是斜边时，设另一直角边是x ，由勾股定理可得x 2+52=122. 解得x=119；(2)当12是直角边时，设斜边是x ，由勾股定理可得,x 2=52+122.解得x=13. ∴第三边的长为119或13.误区警示 已知直角三角形的两边长，求第三边时一定要分清是直角边还是斜边.例3已知：如图18-1-8，等边△ABC 的边长是6 cm. （1）求等边△ABC 的高. (2)求S △ABC .思路分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法.欲求高AD ，可将其置身于Rt △ABD 或Rt △ACD 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BD=CD=21BC=3 cm ，则此题可解.图18-1-9解：如图18-1-9，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D ， 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21×6=3. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=62-(3)2=27， ∴AD=33，∴S △ABC =21×6×33=39. 例4一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160千米，然后向正北方向航行了120千米，这时它离出发点有多远？思路分析：先画出正确的方位图，再根据勾股定理进行计算.表示正东方向的直线和表示正北方向的直线互相垂直，得到直角三角形，这是应用勾股定理的前提条件.答案：如图18-1-10，在Rt △OAB 中，根据勾股定理，得OB 2=OA 2+AB 2=1602+1202=40 000.图18-1-10∴OB=200（千米）.答：它离出发点200千米.方法归纳 弄清方向、画出准确的图形是解答此题的关键.例5飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？思路分析：根据题意可以画出图18-1-11，其中A 点表示男孩头顶的位置，C 、B 两点表示两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，由勾股定理可以解决这个问题. 解：由勾股定理得图18-1-11BC 2=AB 2-AC 2=5 0002-4 0002=9 000 000, 所以BC=3 000.∵3 000米=3千米，20秒=1801360020 时. ∴飞机飞行的速度为18013=540（千米/时）. 答：飞机每小时飞行540千米.例6在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？思路分析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图18-1-12，设水深为x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得, (x+1)2=x 2+52，x 2+2x+1=x 2+25.图18-1-12解得x=12.则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.误区警示 在本题中，注意区分水池的深度和芦苇的长度. 例7如图18-1-13，在△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=8，BC=15，P 是△ABC 的内角平分线的交点，求点P 到AB 边的距离PD 的长.图18-1-13思路分析：因为点P 是△ABC 的内角平分线的交点，所以点P 到三边的距离都相等.过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则PD=PE=PF.根据面积关系求出PD 的长. 解：过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F. ∵过点P 是△ABC 的内角平分线的交点，∴PD=PE=PF.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC=2222158+=+BC AB =17.∵S △ABC =21AB·BC=21×8×15=60, 又S △ABC =S △PAB +S △PBC +S △PCA , 即21AB·PD+21BC·PE+21CA·PF=60, 21PD·（AB+BC+AC ）=60. ∴PD=3.方法归纳 利用面积法求高，是数学解题过程中常用的数学方法. 例8已知：如图18-1-14，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.图18-1-14思路分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会. 解：延长AD 、BC 交于E. ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=3448=. ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=3212=. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 方法归纳 不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差. 问题·探究 方案设计探究问题1 葛藤是自然界中一种聪明的植物,它自己腰杆不硬,为了享受更多的阳光雨露,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线,总是沿最短路线螺旋前进!难道植物也懂数学?通过阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗?如果树的周长为3 cm,绕一圈升高4 cm,则它爬行的路线是什么?探究过程：我们假设可以沿一条直线把树剖开，如图18-1-15所示，它爬行的路线是AB.图18-1-15探究结论：葛藤爬行的路线是AB,AB=2243 =5.思维发散探究问题2 对于直角三角形我们知道斜边的平方等于两直角边的平方和,那么对于锐角三角形的三边呢?图18.116探究过程：为了验证锐角三角形最大边的平方与其他两边平方和的关系,我们可以借鉴勾股定理的证明方法,先考虑放在网格中的特殊的三角形,建立如图18-1-16所示，并且知道c 是最大边,由图及勾股定理可以知道，a 2=22+22=8，b 2=12+22=5，而c 2=32=9，∴c 2＜a 2+b 2,这也就是说锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和.对于正方形网格中的格点三角形，可以由勾股定理直接探究得到结论.那么，对于一般的锐角△ABC ，你又如何进行呢?为了借助直角三角形,可以考虑把原三角形分成两个直角三角形,如图18-1-17.图18-1-17作△ABC 的高AD ，∵△ABC 是锐角三角形， ∴点D 一定在BC 上.由勾股定理，得AB 2=AD 2+BD 2＜AD 2+BD 2+DC 2＜AC 2+BD 2＜AC 2+BC 2， 即c 2＜a 2+b 2.对于钝角三角形，也有类似的结论.已知钝角三角形的三边分别为a 、b 、c ，最大边是c, 那么a 2+b 2＜c 2.探究结论：锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和；钝角三角形中,最大边的平方大于其他两条边的平方和. 方案设计探究问题3 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图18-1-18（1）所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，①求中间小正方形的面积. ②现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图18-1-18（2），请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形（要求：先在图18-1-18（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）.图18-1-18探究过程：①首先，设出直角三角形的两条边分别为a 、b （a>b ），中间小正方形的边长就是a-b ，则中间小正方形的面积是(a-b)2.依题意有：⎩⎨⎧=+=+)2(13)1(522b a b a ；①2-②，得ab=6，（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=1，∴a-b=1，故小正方形的面积为1. ②观察图18-1-18（1），它由四个直角三角形和一个小正方形组成，当a=2 cm,b=3 cm 时符合题意，此时直角三角形较短边长正好等于纸片的宽，两个直角三角形较长边长之和小于纸片的长，剩下部分面积正好等于1，按图18-1-19裁剪即可. 探究结论：（1）小正方形的面积为1.(2)按要求拼出的正方形如图18-1-19所示.图18-1-19。

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理小结教学目标：1.掌握全章知识点。

2. 能灵活运用勾股定理及逆定理解决问题。

3.掌握本章重点题型与数学思想方法。

本章知识框图:实际问题由形到数勾股定理(直角三角形边长计算)互逆定理实际问题由数到形勾股定理的逆定理(判定直角三角形)基础知识复习：1.勾股定理：几何语言：∵∴2.勾股定理的逆定理：几何语言：∵∴3.三角形三边a，b,c,满足的三个数，称为勾股数常用的勾股数有（1）.（2）.（3）. （4）（5）（6）（7）.4.互逆命题：.互逆定理： . 基本分类一：基本题型1.如图，等边三角形的边长是6，则这个三角形的面积2.已知△ABC,∠C=90°，BC=3,AC=4,求高CD=3.已知△ABC ∠C=90°BC=5。

（1）若∠A=30°，则AB= ，AC=（2）若∠A=45°，则AB= ，AC=4.5.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高 .6.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m 、宽2.2m 的薄木板 从门框内通过。

（能不能）7.如图,一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上, 梯子顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑2m,那么它的底端滑动了m.8.如图，四边形ABCD中，AB＝3,BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°,求四边形ABCD的面积9.如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?10.如图，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△EDC的斜边DE上，求证：AE²+AD²=2AC²题型分类二：分类讨论11.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X 。

第十七章知识点总结第十七章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。