第三章 金属塑性变形的力学基础
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金属塑性成形原理
6
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
36
(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
36
(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
金属塑性成形原理复习资料
第三章金属塑性变形的力学基础一应力的有关概念1.张量：定义：张量是矢量的推广，与矢量相类似，由若干个当坐标系改变时满足转换关的分量所组成的集合。
性质：（1）存在张量不变量（2）张量可以叠加和分解(3)张量可以分对称张量·非对称张量·反对称张量。
（4）二阶对称张量存在三个主轴和三个主值。
2.应力张量：表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量3.主应力：主平面上的正应力4.主应力简图：受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图。
5.应力张量不变量：虽然应力张量的各分量随坐标而变，但按式(3-14)的形式组成的函数值是不变的，所以将J1,J2,J3分别称为应力张量的第一，第二，第三不变量。
6.主切应力平面：切应力达到极值的平面。
7.主切应力：主切平面上作用的切应力8.最大切应力：三个主切应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方位切面上切应力的最大者。
9.八面体应力：由主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成的正八面体的每个平面上的应力。
10．八面体等效应力：定义:八面体切应力绝对值的3/√2倍所得之参量。
表达式为：特点：1）等效应力是一个不变量。
2）等效应力在数值上等于单向均匀（或压缩）时的拉伸(或压缩)应力3）等效应力并不代表某一实际平面上的应力，因而不能在某一特定的平面上表示出来。
4）等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力张量的综合作用。
11.球张量物理意义：球张量表示球应力状态，也称静水应力状态。
它不能使物体产生形状变化，只能使物体产生体积变化。
12.应力偏张量的物理意义：应力偏张量只能使物体产生形状变化，而不能使物体产生体积变化。
13.平面应力状态:变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态叫平面应力状态。
特点：1）变形体内各质点在与某方向轴垂直的平面上没应力作用。
第3章金属塑性变形的力学基础之屈服准则
1924年汉基（H.Hencky） NWPU
变形体单位体积内的总弹性变形能
1 1 m
m
3
1 An = ij ij 2
体积变化引起的单位体积弹性变形能
2
3 AV = m m 2
2 m m
m
3
m
18
3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能
3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change
max min s 2 K
10
2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则
2.3 Tresca yield criterion of any stress state
x xy xz yx y yz zx zy z
形状变化引起的单位体积弹性变形能
NWPU 广义胡克定律
A An AV
1 3 = ij ij m m 2 2
1 A [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 12G 1 2 1 2 1 E J2 G 19 2G 2 1 6G 3E
第四节 屈服准则
Part 4. Yield Criterion
P105-P116
1
本节主要内容 Contents
NWPU
1. 2.
基本概念★ ★Concepts 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield criterion
掌握标准 ★ ★ ★要求熟练掌 握并能应用 ★ ★要求熟练掌握 ★ 要求了解
等倾线定义 任意应力矢量
变形体单位体积内的总弹性变形能
1 1 m
m
3
1 An = ij ij 2
体积变化引起的单位体积弹性变形能
2
3 AV = m m 2
2 m m
m
3
m
18
3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能
3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change
max min s 2 K
10
2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则
2.3 Tresca yield criterion of any stress state
x xy xz yx y yz zx zy z
形状变化引起的单位体积弹性变形能
NWPU 广义胡克定律
A An AV
1 3 = ij ij m m 2 2
1 A [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 12G 1 2 1 2 1 E J2 G 19 2G 2 1 6G 3E
第四节 屈服准则
Part 4. Yield Criterion
P105-P116
1
本节主要内容 Contents
NWPU
1. 2.
基本概念★ ★Concepts 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield criterion
掌握标准 ★ ★ ★要求熟练掌 握并能应用 ★ ★要求熟练掌握 ★ 要求了解
等倾线定义 任意应力矢量
金属塑性变形的力学基础应力应变分析 ppt课件
d∈ dl l
而试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对 d ∈进行积分，求出总应变
∈ l1 dl ln l1
l0 l
l0
（15-32）
∈反映了物体变形的实际情况，称为对数应变或真实应变，
它能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增 量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。
∈+ ln 2l0 ln 2 l0
压缩一半时
∈- ln 0.5l0 ln 2 l0
负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为
0.5l0 l0 50％
l0
2l0 l0 100％
l0
因而，相对应变为不可比应变。
前面提到的体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、
d ij =
dx d xy d xz
. dy d yz
.
. dz
（15-28）
应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程， 在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。 可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是 一系列瞬时应变增量的积累。
∈ ln l1 ln l0 l ln(1 ) 2 3 4 ∧
l0
l0
234
（15-33）
从上式可以看出对数应变∈和相对应变ε的关系，即只有当变形程度很小时，相 对应变ε才近似等于对数应变∈。变形程度越大，误差也越大。这就是为什么相对应 变适用于小变形的情况，对数应变适用于大变形的情况。一般认为，当变形程度超 过10％时，就要用对数应变来表达。
金属塑性变形的力学基础
金属塑性变形的力学基础
平面应力状态的特点
① 变形体内各质点在与某一方向 垂直的平面上没有应力作用,即
②
沿z轴方向均匀分布，
即应力分量与z轴无关，对z轴的偏
导数为零。
平面应力状态的应力张量
x xy 0
ij
xy
y
0
或
000
100
ij
0
2
0
000
主应力为：
1 2
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
若
以上三式说明： 过某质点任意斜面上的应力一定在三个莫 尔圆相交的阴影区域。 应力球张量在莫尔圆上仅为一点，坐标 为 应力偏张量与应力球张量莫尔圆大小形状 相同，仅将 轴右移 。
3.平面应变状态的应力莫尔圆
平面应变状态
练习：
某点应力状态
。
1.画出应力单元体 2.求主应力和主方向 3.画出应力莫尔圆，标出x、y、z面在圆上的位置
设主应力为 ，当为主方向时，有
，
代入（式2.6），整理，有：
解
的非零解，必有系数行列式值为零，
最终可得
其中
称作应力张量的第一、二、三不变量
上式称为应力状态特征方程。可以证明 该方程必然有一组唯一的三个实根，它的三 个实根就是三个主应力。将所得的主应力值 带入（2-11）中的任意两式，并与式（2-12） 联解，便可求出三个互相垂直的主方向。
塑性理论的几点假设
变形体是连续的 变形体是均质的和各向同性的 在变形的任意瞬间，力的作用是平衡
的 在一般情况下，忽略体积力的影响且
初应力为0 在变形的任意瞬间体积不变
§2. 1 金属塑性成形过程的受力 分析
作用于金属的外力可以分为两类：
材料成形原理 第三章 金属塑性变形的力学基础
l 1 2 , m 1 2 , n 0
13 (1 3 ) 2
12 (1 2 ) 2
上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别 与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º角，如图1-6所示。 每对主剪应力平面上的主剪应力都相等。将上列三组方向余弦 代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入 即可求得主剪应力平面上的正应力：
解方程组即得主方向l,m,n：
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 xzl yz m ( z )n 0
1 0 0 ij 0 2 0 0 0 3
S
S x S cos( S , x ) S y S cos( S , y ) S z S cos( S , z )
代入下式，得：
S x l
质点在任意切面 上的应力
S y m S z n
S x xl yx m zx n S y xyl y m zy n S z xzl yz m z n
4 2 3 ij 2 6 1 3 1 5
例题：应力张量为：
4 2 3 ij 2 6 1 3 1 5
主应力：
3 2
4 2 3
2 6 1
3 1 0 5
15 60 54 0
( 9)( 6 6) 0
Px S x dF xldF yxmdF zx ndF 0
同理：
S x xl yxm zx n
S x xl yx m zx n S y xyl y m zy n S z xzl yz m z n
13 (1 3 ) 2
12 (1 2 ) 2
上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别 与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º角，如图1-6所示。 每对主剪应力平面上的主剪应力都相等。将上列三组方向余弦 代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入 即可求得主剪应力平面上的正应力：
解方程组即得主方向l,m,n：
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 xzl yz m ( z )n 0
1 0 0 ij 0 2 0 0 0 3
S
S x S cos( S , x ) S y S cos( S , y ) S z S cos( S , z )
代入下式，得：
S x l
质点在任意切面 上的应力
S y m S z n
S x xl yx m zx n S y xyl y m zy n S z xzl yz m z n
4 2 3 ij 2 6 1 3 1 5
例题：应力张量为：
4 2 3 ij 2 6 1 3 1 5
主应力：
3 2
4 2 3
2 6 1
3 1 0 5
15 60 54 0
( 9)( 6 6) 0
Px S x dF xldF yxmdF zx ndF 0
同理：
S x xl yxm zx n
S x xl yx m zx n S y xyl y m zy n S z xzl yz m z n
工程材料及成型技术基础第3章 金属的塑性变形
42
吊钩内部的纤 维组织 （左：合理； 右：不合理， 应使纤维流线 方向与零件工 作时所受的最 大拉应力的方 向一致）
43
3）热加工常会使复相合金中的各个相沿着加工变形 方向交替地呈带状分布，称为带状组织。 带状组织会使金属材料的力学性能产生方向性，特 别是横向塑性和韧性明显降低。一般带状组织可以通过 正火来消除。
滑移面 +
滑移方向
=
滑移系
原子排列 密度最大的 晶面
滑移面和 该面上的一 个滑移方向
三种典型金属晶格的滑移系
晶格 滑移面 {110}
体心立方晶格 {111} {110}
面心立方晶格
密排六方晶格
{111}
滑移 方向
滑移系
6个滑移面
×
2个滑移方向
=
12个滑移系
BCC
4个滑移面
×
3个滑移方向
=
12个滑移系
35
这是因为此时的变形量较小，形 成的再结晶核心较少。当变形度 大于临界变形度后,则随着变形度 的增大晶粒逐渐细化。当变形度 和退火保温时间一定时，再结晶 退火温度越高，再结晶后的晶粒 越粗大。
36
再结晶晶粒大小随加热温 度增加而增加。
临界变形度处的再结晶 晶粒特别粗大
变形度大于临界变形 度后,随着变形度的增 大晶粒逐渐细化
41
(2) 出现纤维组织 在热加工过程中铸态金属的偏析、 夹杂物、第二相、晶界等逐渐沿变 形方向延展，在宏观工件上勾画出 一个个线条，这种组织也称为纤维 组织。纤维组织的出现使金属呈现 各向异性，顺着纤维方向强度高， 而在垂直于纤维的方向上强度较低。 在制订热加工工艺时，要尽可能使 纤维流线方向与零件工作时所受的 最大拉应力的方向一致。
吊钩内部的纤 维组织 （左：合理； 右：不合理， 应使纤维流线 方向与零件工 作时所受的最 大拉应力的方 向一致）
43
3）热加工常会使复相合金中的各个相沿着加工变形 方向交替地呈带状分布，称为带状组织。 带状组织会使金属材料的力学性能产生方向性，特 别是横向塑性和韧性明显降低。一般带状组织可以通过 正火来消除。
滑移面 +
滑移方向
=
滑移系
原子排列 密度最大的 晶面
滑移面和 该面上的一 个滑移方向
三种典型金属晶格的滑移系
晶格 滑移面 {110}
体心立方晶格 {111} {110}
面心立方晶格
密排六方晶格
{111}
滑移 方向
滑移系
6个滑移面
×
2个滑移方向
=
12个滑移系
BCC
4个滑移面
×
3个滑移方向
=
12个滑移系
35
这是因为此时的变形量较小，形 成的再结晶核心较少。当变形度 大于临界变形度后,则随着变形度 的增大晶粒逐渐细化。当变形度 和退火保温时间一定时，再结晶 退火温度越高，再结晶后的晶粒 越粗大。
36
再结晶晶粒大小随加热温 度增加而增加。
临界变形度处的再结晶 晶粒特别粗大
变形度大于临界变形 度后,随着变形度的增 大晶粒逐渐细化
41
(2) 出现纤维组织 在热加工过程中铸态金属的偏析、 夹杂物、第二相、晶界等逐渐沿变 形方向延展，在宏观工件上勾画出 一个个线条，这种组织也称为纤维 组织。纤维组织的出现使金属呈现 各向异性，顺着纤维方向强度高， 而在垂直于纤维的方向上强度较低。 在制订热加工工艺时，要尽可能使 纤维流线方向与零件工作时所受的 最大拉应力的方向一致。
第三章 金属材料的塑性变形
二、再结晶 1. 再结晶过程及其对金属组织、性能的影 响 变形后的金属在较高温度加热时，由于原 子扩散能力增大，被拉长（或压扁）、破碎的 晶粒通过重新生核、长大变成新的均匀、细小 的等轴晶。这个过程称为再结晶。变形金属进 行再结晶后，金属的强度和硬度明显降低，而 塑性和韧性大大提高，加工硬化现象被消除， 此时内应力全部消失，物理、化学性能基本上 恢复到变形以前的水平。再结晶生成的新的晶 粒的晶格类型与变形前、变形后的晶格类型均 一样。
二、再结晶 1. 再结晶过程及其对金属组织、性能的影 响 变形后的金属在较高温度加热时，由于原 子扩散能力增大，被拉长（或压扁）、破碎的 晶粒通过重新生核、长大变成新的均匀、细小 的等轴晶。这个过程称为再结晶。变形金属进 行再结晶后，金属的强度和硬度明显降低，而 塑性和韧性大大提高，加工硬化现象被消除， 此时内应力全部消失，物理、化学性能基本上 恢复到变形以前的水平。再结晶生成的新的晶 粒的晶格类型与变形前、变形后的晶格类型均 一样。
3.3 塑性变形后的金属在加热时组织和性能的 变化 金属经塑性变形后，组织结构和性能发生 很大的变化。如果对变形后的金属进行加热， 金属的组织结构和性能又会发生变化。随着加 热温度的提高，变形金属将相继发生回复、再 结晶和晶粒长大过程。
一、回复 变形后的金属在较低温度进行加热，会发生回复 过程。 产生回复的温度T回复为： T回复=(0.25～0.3)T熔点 式中T熔点表示该金属的熔点, 单位为绝对温度 (K)。 由于加热温度不高, 原子扩散能力不很大, 只是 晶粒内部位错、空位、间隙原子等缺陷通过移动、复 合消失而大大减少，而晶粒仍保持变形后的形态， 变 形金属的显微组织不发生明显的变化。此时材料的强 度和硬度只略有降低，塑性有增高，但残余应力则大 大降低。工业上常利用回复过程对变形金属进行去应 力退火、以降低残余内应力，保留加工硬化效果。
金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第六节真实应力应变曲线
按σ1>σ2>σ3,排列， σ1=0 换算：σ1=0， σ3=p, ∈2=0, σ2=p/2
润滑（无摩擦）
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 3 1 p 2 p 2 2 p (0 ) ( p) ( p 0) 2 2 2 2
2、变形速度对真实应力-应变曲线的影响
速度增加→位错运动加快→ 需要更大的切应力→流动应力提高 速度增加→硬化得不到恢复→ 流动应力提高 但如果速度很大→温度效应大→ 流动应力降低
在冷变形时，温度效应显著，强化被软化所抵消，最终表现出的是： 变形速度的影响不明显，动态时的真实应力—应变曲线比静态时略高 一点，差别不大。
3 (1 2 ) 2 (2 3 ) 2 (3 1 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 ( 3 0) (0 3 ) (3 3 ) 3 2 记录下p和∈3，按上式算出 和 ，画出 ~ 曲线。
在单向应力状态下，由于
2 3 3 1.155 3 Y p 0.866 p 3 2 可将p和∈3换算成单向压缩状态时的Y和∈，得出单向压缩时的Y~∈ 曲线
基于拉伸实验确定真实应力-应变曲线
2、真实应力-应变曲线 真实应力-应变曲线的绘制 Y- ε曲线， Y- ψ曲线：以σ- ε曲线为基础
A0 l 1 A l0
A A 0 1
P P Y (1 ) (1 ) A A0
A0 A l A 1 1 0 A0 A0 l 1
相对线应变：
基于拉伸实验确定真实应力-应变曲线
1、标称应力（名义应力、条件应力）-应变曲线
标称应力-应变曲线上的三个特征点
润滑（无摩擦）
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 3 1 p 2 p 2 2 p (0 ) ( p) ( p 0) 2 2 2 2
2、变形速度对真实应力-应变曲线的影响
速度增加→位错运动加快→ 需要更大的切应力→流动应力提高 速度增加→硬化得不到恢复→ 流动应力提高 但如果速度很大→温度效应大→ 流动应力降低
在冷变形时，温度效应显著，强化被软化所抵消，最终表现出的是： 变形速度的影响不明显，动态时的真实应力—应变曲线比静态时略高 一点，差别不大。
3 (1 2 ) 2 (2 3 ) 2 (3 1 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 ( 3 0) (0 3 ) (3 3 ) 3 2 记录下p和∈3，按上式算出 和 ，画出 ~ 曲线。
在单向应力状态下，由于
2 3 3 1.155 3 Y p 0.866 p 3 2 可将p和∈3换算成单向压缩状态时的Y和∈，得出单向压缩时的Y~∈ 曲线
基于拉伸实验确定真实应力-应变曲线
2、真实应力-应变曲线 真实应力-应变曲线的绘制 Y- ε曲线， Y- ψ曲线：以σ- ε曲线为基础
A0 l 1 A l0
A A 0 1
P P Y (1 ) (1 ) A A0
A0 A l A 1 1 0 A0 A0 l 1
相对线应变：
基于拉伸实验确定真实应力-应变曲线
1、标称应力（名义应力、条件应力）-应变曲线
标称应力-应变曲线上的三个特征点
金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第五节应力应变关系(本构关系)
1 2 3
(1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
根据Levy-Mises方程
d 1 d 2 d 3 d ( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
第五节 塑形变形时的应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
主要内容：
5.1 弹性变形时的应力应变关系 5.2 塑性变形时应力应变关系特点 5.3 增量理论 5.4 全量理论 5.5 应力应变顺序对应规律
5.1 弹性变形时的应力应变关系
5.1 弹性变形时的应力应变关系
在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与应力球 张量成正比，后者与应力偏张量成正比，写成张量形式：
比列及差比形式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
x y
d y - d z
y z
d z - d x d z x
d x d ( x m )
d x d y d( x m y m ) d ( x y )
(d x d y )2 ( x y )2 d2
1 d ij' d ij' d ij' 1 1-2 2G d ij d ij' d ij' d m ij 2G E d 1-2 d m m E
增量理论特点：
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者 不考虑 都指出了塑性应变增量与应力偏量之 间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况
金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第二节应变分析-无动画版
2 3 2 3 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 3 2 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
6.主应变图
主应变图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主应变图只 可能有三种形式
广义拉伸：挤压和拉拔 广义剪切：宽板弯曲、无限长板镦粗、纯剪切和轧制板带 广义压缩：展宽的轧制和自由镦粗；
一、位移和应变
对应的各阶段的相对应变为
l1 l0 01 l0
显然
l2 l1 12 l1
l3 l2 23 l2
03 01 12 23
一、位移和应变
③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。
假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程 L 度相同。 拉长一倍时 压缩一半时
因此，工程应变为不可比应变。
二、应变状态和应变张量
现设变形体内任一点 a（x，y，z）应变分量为
ε 。由a引一任意方向
ij
线元ab，长度为r， 方向余弦为l，m，n。 小变形前，b可视为a点无 限接近的一点，其坐标为 （x+dx，y+dy，z+dz）
四、点的应变状态与应力状态的比较
一、位移和应变
=
+
单元体变形
=
纯切应变
+
刚体转动
切应变及刚性转动 设实际偏转角为αxy,αyx,
xy yx xy xy yx xy
1 2
xy xy z yx yz z 1 z ( yx xy ) 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
将八面体剪应变γ8 乘以系数 ，可得等效应变（广 2 义应变、应变强度）
四、点的应变状态与应力状态的比较
6.主应变图
主应变图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主应变图只 可能有三种形式
广义拉伸：挤压和拉拔 广义剪切：宽板弯曲、无限长板镦粗、纯剪切和轧制板带 广义压缩：展宽的轧制和自由镦粗；
一、位移和应变
对应的各阶段的相对应变为
l1 l0 01 l0
显然
l2 l1 12 l1
l3 l2 23 l2
03 01 12 23
一、位移和应变
③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。
假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程 L 度相同。 拉长一倍时 压缩一半时
因此，工程应变为不可比应变。
二、应变状态和应变张量
现设变形体内任一点 a（x，y，z）应变分量为
ε 。由a引一任意方向
ij
线元ab，长度为r， 方向余弦为l，m，n。 小变形前，b可视为a点无 限接近的一点，其坐标为 （x+dx，y+dy，z+dz）
四、点的应变状态与应力状态的比较
一、位移和应变
=
+
单元体变形
=
纯切应变
+
刚体转动
切应变及刚性转动 设实际偏转角为αxy,αyx,
xy yx xy xy yx xy
1 2
xy xy z yx yz z 1 z ( yx xy ) 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
将八面体剪应变γ8 乘以系数 ，可得等效应变（广 2 义应变、应变强度）
塑性变形的力学基础
影响摩擦系数的主要因素
工具表面状态和材质的影响 金属化学成分的影响 加工温度的影响 加工速度的影响 润滑剂种类的影响 接触面上的单位压力 其它因素的影响
四 减少摩擦的技术措施
1
对于使用条件苛刻的加工工具如拉丝模常使用硬的、与工件金属难以粘着的硬质合金或金刚石；
2
一般工具材料表面上复以硬的并难以和工件金属粘着的物质如镀硬质铬、用钛或钒的碳化物做皮膜等；
二 摩擦定律
干摩擦：指工件与工具接触面间没有任何其它介质和薄膜，仅是其金属与金属之间的摩擦。
边界摩擦定义：工具与工件的接触面间仅存在厚度小于1μm的润滑剂吸附层的润滑摩擦称为边界摩擦或吸附摩擦。
液体摩擦：工具与工件的接触面间被润滑油完全隔开，两表面的相对滑动阻力只与液体的性质和速度梯度有关，而与接触面状态无关时，这种摩擦称为液体摩擦。
1 塑性变形的力学基础
塑性：
变形抗力：
金属在外力作用下能稳定地改变其形状和尺寸而不破坏的能力。 用金属破坏前所能产生的最大变形程度来表示。 金属对变形的抵抗能力。 用单向拉伸或压缩时试样横断面上所受的应力来表示。
1.1 力与变形
一、作用力
把塑性加工设备可动工具部分对变形金属所作用的力叫作用力或主动力。 1.1.1 外力---作用力和约束反力
特点：原子间距改变、原子间势能升高、物体的体积发生变化（变化不大）
（5）塑性变形
所加之力或能足以克服势垒，而使大量的原子多次地、定向地从一个平衡位置转移到另—个平衡位置。这样在宏观上就产生了不能复原的永久变形
特点：形状和尺寸改变，但体积不变
弹—塑性变形共存
发生宏观屈服后的任意变形瞬间所产生的总变形中都包括弹性变形和塑性变形，弹—塑性变形是共存的。金属在发生塑性变形之前必先产生弹性变形。
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若过Q点作任意切面c1—c1，其 法线心与拉伸轴成 角，面积为 F1。由于是均匀拉伸，故截面 cl—c1上的应力是均布的。
因此，在单向均匀拉伸条件下， 可用一个 0 来表示其一点的应力 状态，称为单向应力状态。
2．多向受力下的应力分量
塑性成形时，变形体一般 是多向受力，显然不能只用 一点某切面上的应力求得该 点其他方位切面上的应力， 也就是说，仅仅用某一方位 切面上的应力还不足以全面 地表示出一点的受力情况。 为了全面地表示一点的受力 情况，就需引入单元体及点 的应力状态的概念。
此外，还要建立变形体由弹性状态进入塑性状态并使继 续进行塑性变形时所具备的力学条件，即屈服准则。
第一节应力分析
应力分析之目的：
在于求变形体内的应力分布，即求变形体内各点的应力 状态及其随坐标位置的变化，这是正确分析工件塑性加 工有关问题的重要基础。 一个物体受外力作用后，其内部质点在各方向上都受到 应力的作用，这时不能以某一方向的应力来说明其质点 的受力情况，于是就需要引入一个能够完整地表示出质 点受力情况的物理量——应力张量。
金属塑性成形原理
第三章 金属塑性变形的力学基础
塑性理论（塑性力学）
金属在外力作用下由弹性状态进人塑性状态，研究金属 在塑性状态下的力学行为。
研究塑性力学行为时，通常采用以下基本假设：
(1)连续性假设 变形体内均由连续介质组成，即整个变 形体内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物 理量都是连续变化的，可化为坐标的连续函数。 (2)匀质性假设 变形体内各质点的组织、化学成分都是 均匀而且是相同的，即各质点的物理性能均相同，且不 随坐标的改变而变化。
若取三个应力主方向为坐标轴，则一点的应力状态只有 三个主应力，应力张量为
在主轴坐标系中斜微分面上应力分量的公式可以简化为 下列表达式
应力张量的三个不变量为
用应力张量不变量，可以判别应力状态的异同。现举例 说明，设有以下两个应力张量
上述两个应力张且是否表示同一应力状态，可以通过求 得的应力张旦不变量是否相同来判别。按式(3-14)计算， 上述两个应力状态的应力张量不变量相等，均为
2．体积力
体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重 力、磁力和惯性力等。对一般的塑性成形过程，由于体 积力与面力相比要小得多，可以忽略不计。因此，一般 都假定是在面力作用下的静力平衡力系。
但是在高速成形时，如高速锤锻造、爆炸成形等，惯性 力不能忽略。在锤上模锻时，坯料受到由静到动的惯性 力作用，惯性力向上，有利于金属填充上模，故锤上模 锻通常将形状复杂的部位设置在上模。
变形温度对40Cr钢正挤压等效应变的影响
(变形速度：10mm/s；压下量：15mm；摩擦因子(m)：0.2) (a) 1123K (b) 1173K (c) 1223K
(a)
(b)
(c)
一、外力和应力 (一)外力 塑性成形是利用金属的塑性，在外力的作用下使其成形 的一种加工方法。
作用于金属的外力可以分为两类： 一类是作用在金属表面上的力，称为面力或接触力，它 可以是集中力，但更一般的是分布力； 第二类是作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。
三、张量和应力张量
(一)张量的基本知识 1．角标符号
ij (i, j x, y, z )
2．求和约定
ai xi p
i 1,2,3
有的角标重复出现，有的角标不重复出现，将重复出现 的角标称为哑标，不重复出现的角标称为自由标。自由 标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。
、张量的基本概念
三向应力状态：
两向应力状态(或平面应力状态)： 圆柱应力状态
单向应力状态
球应力状态
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态； ②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)； ④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
上述这个物理量P对于新的空间坐标系xk的九个分量为 Pkr(k，r＝1’，2’，3’)。若这个物理量P在坐标系xi中的九 个分量Pij与在坐标系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性 变换关系，是二阶张量的判别式。
Pkr Pij lki lrj (i, j 1,2,3; k , r 1,2,3)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z z zx xz x xy yx z' zy 3 y y 旋转 2 y' x' 1
yz
x
③主应力：主平面上的正应力，用1 、2 、3 表示， 有1≥2≥3。
现设图3-7中的斜微分面 ABC是待求的主平面。面 上的切应力 0，因而正 应力就是全应力， 即 S 。于是全应力S在 三个坐标抽上的投影为
可以证明，该方程必然有三个实根，也就是三个主应力。 将解得的每一个主应力代入式(3-12)中的任意两式，并与 式(3-13)联解，便就求出三个互相垂直的主方向。
2．应力张量不变量
根据应力状态特征方程式(3-15)可解得一点的主应力大 小。在推导式(3-15)过程中，坐标系是任意选取的，说明 求得的三个主应力的大小与坐标系的选择无关，这说明 对于一个确定的应力状态，主应力只能有一组值，即主 应力具有单值性。因此，应力状态特征方程式(3-15)中的 系数J1、 J2 、 J3也应该是单值的，不随坐标而变。 于是可以得出如下的重要结论：尽管应力张量的各分量 随坐标而变，但按式(3-14)的形式组成的函数值是不变的， 所以将J1、 J2 、 J3分别称为应力张量的第一、第二、第 三不变量。
这个物理量则为张量，用矩阵表示
P 11 Pij P21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
4．张量的某些基本性质 (1)存在张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij)， 这些函数值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这样的函 数就叫做张量的不变量。对于二阶张量，存在三个独立的不变 量。 (2)张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差 定义为另一同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 (3)张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 若Pij＝Pji， 则为对称张量，若Pij不等于Pji则为非对称张量；若Pij＝-Pji ， 则为反对称张量。 (4)二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如取主轴为坐标轴， 则两个下角标不同的分量都将为零，只留下两个下角标相同的 三个分量，称为主值。
截面C—C上Q点的全应力
微小面积dA可叫做过Q点在N方向的微分面，用其外法线 方向命名。
将Q点的全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量， 如图3—2b所示。
每个应力分量可用带两个下角标的符号来表示，第一个 下角标表示该应力分量所在之微分面，第二个下角标表 示其作用方向。
因此，在一般情况下，变形体内一点的 全应力S的大小和方向取决于过该点所 切取截面的方位。现以单向均匀拉伸为 例进行分析。图3—3所示，过试棒内一 点Q并垂直于拉伸轴线横截面c—c上的 应力为
(二)应力张量 在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态 已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态 的九个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并 没有变化。因此，在不同坐标系中的应力分量之间应该 存在一定的关系。
kr ij lki lrj (i, j 1, 2,3; k , r 1, 2,3)
所以，上述两个应力状态相同。
3、应力椭球面
应力椭球面是在主轴坐标系个点应力状态的几何表达。
于是可得下式，为椭球面方程
其主半轴的长度分别 等于 1 、 2 、 3 。这个 椭球面称为应力椭球 面，如图3-8所示。对 于一个确定的应力状 态，任意斜切面上全 应力矢量S的端点必 然在椭球面上。
应力分量的正、负号规定如下： 在单元体上，外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之 称为负面， 在正面上，指向坐标轴正向的应力分量取正号，反之取负号； 在负面上，指向坐标轴负向的应力分量取正号，反之取负号。
按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。
由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴 的合力矩必须等于零，由此可以导出切应力互等 定理。
(3)各向同性假设 变形体内各质点在各方向上的物理性能、 力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
(4)初应力为零 物体在受外力之前是处于自然平衡状， 即物体变形时内部所产生的应力仅是由外力引起的； (5)体积力为零 体积力如重力、磁力、惯性力等与面力相 比是十分微小，可忽略不计。
(6)体积不变假设 物体在塑性变形前后的体积不变。
每一分量称为应力张量之分量。 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在 三个主轴(主方向)和三个主值(主应力)以及三个独立的应 力张量不变量。
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
1．主应力 这种切应力为零的微分面称为主平面。
主平面上的正应力叫做主应力。
主平面的法线方向也就是主应力方向，叫做应力主方向 或应力主轴。
(二)应力 1．单向受力下的应力及其分量 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用 的力，叫做内力。 单位面积上的内力称为应力。 图3—2a表示一物体受外力系P1 、P2…的作用而处于平 衡状态。设Q为物体内任意一点，过Q点作一法线为阿的 截面c—c，面积为A。此截面将该物体分为两部分并移去 上半部分。这样，截面c—c可看成是物体下半部的外表 面，作用在c—c截面上的内力就变成外力，并与作用在 下半部分的外力保持平衡。这样．内力问题就可转化为 外力问题来处理。
4．主应力图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体 上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一 点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表 示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的 大小。