二叉树的性质

二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。

对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。

根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。

由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。

1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。

对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。

由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。

1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。

而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。

1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。

满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。

1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。

对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。

2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。

二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。

2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。

2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。

2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

基本二叉树知识讲解一、有关二叉树的学习性质1：二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1。

性质2：二叉树的第i层上至多有2的i次方减1个结点（i>=1）。

性质3：深度为h的二叉树至多有2的h次方减1个结点。

满二叉树：在一棵二叉树中，当第i层的结点树为2的i次方减1个时，称此层的结点数是满的。

当一棵二叉树中的每一层都满时，称此树为满二叉树。

特性：除叶子结点以外的其他的结点的度皆为2，且叶子结点在同一层上。

深度为h的满二叉树中的结点数为2的h次方减1。

性质4：设含有n个结点的完全二叉树的深度为k，则k=(int)(log2n)+1,即深度k等于log2n的整数部分再加1。

二叉树的存储结构1：顺序存储结构二叉树的顺序存储结构类型定义如下：#define TREEMINSIZE 10typedef struct{BTreeDT(数据类型) *base;int spacesize;BTreeDT nullvalue;}SeqTree;2：链式存储结构（一般的二叉树主要采用链式存储结构通常有二叉链表和三叉链表两种形式）1>二叉链表存储结构二叉链表中的每个结点由data，lchild和rchild三个域组成，定义如下：typedef struct bkbtnode{BTreeDT data;struct bkbtnode *lchild;struct bkbtnode *rchild;}BTNode,*BKBTree;在二叉链表中，查找某结点的孩子很容易实现，但查找某结点的双亲不方便。

一棵喊有n个结点的二叉树采用二叉链表存储时，将有2n-（n-1）=n+1个指针域是空的。

2>三叉链表存储结构typedef struct tkbtnode{BTreeDT data;struct tkbtnode *lchild;struct tkbtnode *rchild;struct tkbtnode *parent;}TKBTNode,*TKBTree;其中，parent域存放该结点双亲的指针。

平衡二叉树最少节点公式1.什么是平衡二叉树平衡二叉树（AV L树）是一种特殊的二叉搜索树，它的每个节点的左右子树的高度差不超过1。

这种特性使得平衡二叉树在进行插入、删除等操作时能够保持较好的平衡性，提高了搜索效率。

2.平衡二叉树的基本性质平衡二叉树有以下几个基本性质：-每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

-每个节点的左子树和右子树都是平衡二叉树。

-平衡二叉树的左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。

3.平衡二叉树的最少节点公式平衡二叉树的节点数量与树的高度有关，高度越小，节点数量越少。

为了获得平衡二叉树的最少节点数量，我们需要确定平衡二叉树的最小高度。

根据平衡二叉树的性质，左子树和右子树的高度差不超过1，我们可以得出以下关系式：h=lo g2(n+1)其中，h表示平衡二叉树的高度，n表示平衡二叉树的节点数量。

为了最小化节点数量，我们可以通过求解上述公式来确定最小高度。

根据公式，我们可以推导出最少节点数量的计算公式：n=2^h-14.示例以平衡二叉树高度为2的情况为例，根据公式，我们可以计算出节点数量：n=2^2-1=3所以，平衡二叉树高度为2时，最少需要3个节点。

同样地，当平衡二叉树的高度为3时，最少需要7个节点；高度为4时，最少需要15个节点；高度为5时，最少需要31个节点；以此类推。

5.总结平衡二叉树是一种具有良好平衡性的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1，能够提高搜索效率。

为了获得最少的节点数量，我们可以使用公式`n=2^h-1`来计算平衡二叉树的最少节点数量，其中h表示树的高度。

通过掌握平衡二叉树的最少节点公式，我们可以更好地理解和应用平衡二叉树的特性，从而更好地进行相关算法和数据结构的设计与实现。

二叉树的基本性质（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；解释：最多的时候是满二叉树，它的第1层有21-1=1个结点；第2层有22-1=2个结点；第3层23-1=4个结点；第4层有24-1=8个结点；……（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点，最少有m个结点；（3）对于任意一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；即如果其叶子结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；（4）具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]+1表示取log2n的整数部分；（5）给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树；h(N)为卡特兰数的第N项。

h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。

（6）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；（7）设完全二叉树共有n个结点。

如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。

证明采用归纳法证明此性质。

当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。

现在假定对所有的j，1<=j<i,命题成立，即第j层上至多有2j-2个结点，那么可以证明j＝i时命题也成立。

由归纳假设可知，第i－1层上至多有2i-2个结点。

由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1层上最大结点数的二倍，即2×（2i-2）＝2i-1。

性质2 深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1)。

二叉树的三个性质
二叉树性质如下：
性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点。

性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点。

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。

性质4：具有n个节点的满二叉树深为log2n+1。

性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i ≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。

当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。

若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。

若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。

二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树摘要书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。

为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。

1、二叉树的定义二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。

二叉树形状如下下图所示：2、二叉树的性质（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i&gt;=1)。

备注:^表示此方（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k&gt;=1)。

（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。

满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。

即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。

完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。

可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。

举例如下图是所示：（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。

3、二叉树的存储结构可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。

经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。

二叉树的二叉链表存储结构如下所示：1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。