人教新课标版数学高二选修2-1 作业 1.4.3含有一个量词的命题和否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。

本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。

【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。

所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。

同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。

【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。

【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。

学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。

其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。

所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。

含有一个量词的命题的否定（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1.下列命题的否定为假命题的是（ ） A ．R x ∈∃，2220x x ++≤ B ．任意一个四边形的四个顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．R x ∈∀，sin 2x +cos 2x =1【答案】D 解析：因为2222(1)11x x x ++=++≥，所以不存在x ∈R ，2220x x ++≤，故原命题为假命题，其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数都是奇数为假命题，如整数6，它是偶数，其否定为真命题；x ∀∈R ，sin 2x +cos 2x =1正确，所以其否定是假命题，故选D ．2.下列命题中为真命题的是 ( ) A.， B.,是整数 C., D.,3.下列命题错误的是 ( ) A.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题，则均为假命题D.若命题，使得，则，均有【答案】C 解析：依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假，整个命题就为假．4.若函数()2af x x x=+，则下列结论正确的是( ) A.任意，在上是增函数 B.任意，在上是减函数C.存在，是偶函数D.存在，是奇函数【答案】C 解析：对于A ，只有在时，在上是增函数，否则不成立；对于B ，如果就不成立；对于C ，若，则为偶函数，因此C 正确；D 不正确.5.已知函数2()f x x bx c =++，则“c ＜0”是“0x ∃∈ R ，使0()0f x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.下列关于函数2()f x x =与函数()2x g x =的描述，正确的是（ ） A ．0x ∃∈R ，当0x x >时，总有()()f x g x < B ．∀x ∈R ，()()f x g x < C ．∀x ＜0，()()f x g x ≠D ．方程()()f x g x =在（0，+∞）内有且只有一个实数解【答案】A 解析：在同一坐标系内作出两函数图象,可得它们的交点为（2，4），（4，16）. 当x ＞4时，由图象可得总有()()f x g x <，其余三个命题均错误．故选A ． 二、填空题7.命题“∃x ∈R ，使2230ax ax -+＜成立”是假命题，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[0，3]解析：命题“∃x ∈R ，使2230ax ax -+＜成立”是假命题， 即“2230ax ax -+≥恒成立”是真命题．①当a =0 时，①成立；当a ≠0 时，要使①成立，必须20,4120,a a a ∆>⎧⎨=-≤⎩解得 0＜a ≤3. 故实数a 的取值范围为[0，3]．8.下列四个命题：①22340x x x ∀∈-+R ，＞； ②x ∀∈{1，-1，0}，2x +1＞0； ③x ∃∈N ，使2x x ≤；④x ∃∈N ，使x 为29的约数．其中所有正确命题的序号为______.9.下列4个命题：；；；.其中真命题是________． 【答案】解析：由图象可得命题,所以命题由图象可得命题命题10.下列命题中的假命题是________． ① ，； ②；③； ④.三、解答题 11. 已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．解：（1）由，得，所以，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为2m x =，.由于在上单调递增，则有①当，即252555m -≤≤时，有02252555m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，，解得2505m -≤≤. ②当，即255m <-或255m >时，设方程的根为，(ⅰ)若255m >，即525m >，则有()212010m F m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩，，解得；(ⅱ)若255m <-，即525m <-，则有()2255010m F m ⎧<-⎪⎨⎪=-≥⎩，，解得2515m -≤<-. 由(ⅰ) (ⅱ)得2515m -≤<-或.综合①②有或.12.已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）若x ∈[-1，3]，求()f x 的值域；（2）若对x ∀∈[0，2]，()g x ≥1成立，求实数m 的取值范围；（3）若对1x ∀∈[0，2]，2x ∃∈[-1，3]，使得12()()g x f x ≤成立，求实数m 的取值范围．。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、基础过关1．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，cos x ≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，cos x >1D ．綈p ：∀x ∈R ，cos x >12．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 ( ) A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A ．一次函数都不是单调函数B ．非一次函数都不是单调函数C ．有些一次函数是单调函数D ．有些一次函数不是单调函数4．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数5．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( ) A ．某些平行四边形不是矩形B ．任何平行四边形是矩形C ．每一个平行四边形都不是矩形D ．以上都不对6．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x≥2”的充要条件，命题q ：∃x 0∈R ，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧綈q ”是真命题C ．命题“綈p ∧q ”是真命题D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题7．已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．二、能力提升8．已知命题q ：“三角形有且仅有一个外接圆”，则綈q 为“_____________________”．9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__________．10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？12．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知命题p ：∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2<0.若p 或q 是真命题，綈q 是真命题，求a 的取值范围．答案1．C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C7．∀x ∈R ＋，x ≤1x假 8．存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆9．3≤m <810．解 (1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．11．解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集， 通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .12．解 由已知得綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋2－a ≤04＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵綈p 为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．13．解 根据p 或q 是真命题，綈q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．因为∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8， 所以a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0，∴Δ＝a2－8>0，∴a>22或a<－22，从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－22≤a≤－1.。

1.4.3含有一个量词的命题的否定[学习目标]1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0).知识点二特称命题的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.[思考](1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.题型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.题型三 特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x ，a >f (x )恒成立，只要a >f (x )max ；若存在一个实数x 0，使a >f (x 0)成立，只需a >f (x )min .跟踪训练3 已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R ).(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围.(1)证明 当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解 ∵f (x )≤4x 恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13， 即实数a 的取值范围是(－∞，－13].1.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是( )A.存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根B.不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根C.对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根答案 C解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx ＋1＝0无实数根.2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.綈p：∀x∈A,2x∈BB.綈p：∀x∉A,2x∉BC.綈p：∃x∉A,2x∈BD.綈p：∃x∈A,2x∉B答案 D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.3.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案 C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0答案 C解析全称命题的否定是特称命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.一、选择题1.下列命题中，为真命题的全称命题是()A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x，x2＝xD.对数函数在定义域上是单调函数答案 D解析A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D.2.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0C.∃x0∈R，lg x0<1D.∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x ＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题.3.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()e x≤1A.∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B.∃x0>0，使得(x0＋1)0C.∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D.∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 Be x≤1”.故选B.解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)04.下列特称命题是假命题的是()A.存在实数a，b，使ab＝0；B.有些实数x，使得|x＋1|<1；C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；D.有些实数x ，使得(12)x <0. 答案 D5.下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )A.两个无理数的和必是无理数B.存在一个实数x ，使1x＝0 C.至少有一个实数x ，使x 2<0D.有个实数的倒数等于它本身答案 D解析 A 项，为全称命题；B 项，1x是不能为零的，故B 为假命题；C 项，x 2≥0，故不存在实数x 使x 2<0，故C 为假命题；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 为真命题.6.命题“存在x 0∈R,02x≤0”的否定是( )A.不存在x ∈R,2x >0B.存在x 0∈R,02x ≥0C.对任意的x ∈R,2x ≤0D.对任意的x ∈R,2x >0答案 D解析 特称命题的否定是全称命题.7.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A.∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB.∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈QC.∀xD ∈∁R Q ，x 3∈QD.∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q答案 D解析 特称命题的否定是全称命题. “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈/Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈/Q ”，故应选D.8.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A.命题p ∨q 是假命题B.命题p ∧q 是真命题C.命题p ∧(綈q )是真命题D.命题p ∨(綈q )是假命题答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C.二、填空题9.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________________. 答案 存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”.10.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是________________.答案 有些函数没有奇偶性解析 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有奇偶性.11.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________.答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8).三、解答题12.已知命题p ：∀x ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0，若綈p 是假命题，求实数m 的取值范围. 解 ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题.也就是∀x ∈R ，有m ＝－(4x －2x ＋1)， 令f (x )＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1， ∴对任意x ∈R ，f (x )≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1].13.已知p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m的取值范围.解 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0.若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真，则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立.当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.又p∧q为真，故p，q均为真命题.所以m<－1且m≥－2，所以m的取值范围为－2≤m<－1.。

1．4.3 含有一个量词的否定基础梳理1．全称命题的否定：(2)“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定是______________________．自测自评1．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是( )A．不存在x0∈R，2x0＞0B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．3．(1)“至多有三个”的否定为________________．(2)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．基础巩固1．(2014·安徽卷)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥02．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述正确的是( )A．綈p：∃x0∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题3．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：____________________________________．能力提升5．设x ∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B6．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2＋2x ＋12＜0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题7．命题“同位角相等”的否定为__________________，否命题为________________________．8．有以下四个命题：①两直线m ，n 与平面α所成的角相等的充要条件是m ∥n ；②若p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1；③不等式10x >x 2在(0，＋∞)上恒成立；④设有四个函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 12，y ＝x 3，其中在R 上是增函数的函数有3个． 其中真命题的序号是________．9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.10．写出命题“已知a ＝(1，2)，存在b ＝(x ，1)使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定，判断其真假并给出证明．答案基础梳理1．[答案]∃x0∈M，綈p(x0) 特称2．[答案]∀x∈M，綈p(x) 全称想一想：(1)“至少存在一个正方形不是矩形”(2)“对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0”自测自评1．[解析]原命题为特称命题，其否定为全称命题．[答案]D2．对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠03．[解析](1)“至多有三个”的否定为“至少有四个”．(2)该命题的否定为∀x∈Q，x2≠5，为真命题．[答案](1)至少有四个(2)真基础巩固1．[解析]条件∀x∈R的否定是∃x0∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x0|＋x20＜0”．[答案]C2．[解析]命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x0∈R，x20＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．[答案]C3．[解析]由指数函数的性质知，命题p是错误的．而命题q是正确的．故选B.[答案]B4．[解析]命题：“有的三角形是直角三角形”是特称命题，其否定是全称命题，按照特称命题改为全称命题的规则，即可得到该命题的否定．[答案]所有的三角形都不是直角三角形能力提升5．[解析]命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A，2x ∉B，故选C.[答案]C6．[解析]因为2x 2＋2x ＋12＝12(2x ＋1)2≥0，所以p 是假命题．又因为sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以∃x 0＝3π4，使sin x 0－cos x 0＝2，故q 是真命题，故选D. [答案]D7．[解析]全称命题的否定是特称命题，“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．故否定为：有的同位角不相等．否命题为：若两个角不是同位角，则它们不相等．[答案]有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等8．②③9．[解析](1)全称命题，它的否定是存在性命题，綈p ∶∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题， 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，所以綈p 是假命题． (2)全称命题，它的否定是存在性命题，綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)存在性命题，它的否定是全称命题，綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)存在性命题，它的否定是全称命题，綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，由于x ＝－1，x 3＋1＝0.10．[解析]命题的否定：已知a ＝(1，2)，则对任意的b ＝(x ，1)，a ＋2b 与2a －b 都不平行，是一个假命题．证明如下：假设存在b ＝(x ，1)使a ＋2b 与2a －b 平行，则a ＋2b ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)．2a －b ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为a ＋2b 与2a －b 平行，所以存在λ∈R，使得a ＋2b ＝λ(2a －b )．即(2x ＋1，4)＝λ(2－x ，3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ⇔2x ＋1＝43(2－x )． 解得x ＝12. 这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行，故已知命题为真命题，其否定为假命题．。

1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。

课堂效果落实. [·福建高考]命题“∀∈[，＋∞)，＋≥”的否定是( ). ∀∈(－∞，)，＋<. ∀∈(－∞，)，＋≥. ∃∈[，＋∞)，＋<. ∃∈[，＋∞)，＋≥解析：本题考查含有量词的命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选.答案：．全称命题“所有能被整除的整数都是奇数”的否定是( )．所有能被整除的整数都不是奇数．所有奇数都不能被整除．存在一个能被整除的整数不是奇数．存在一个奇数，不能被整除解析：全称命题的否定是特称命题，而，是全称命题，所以，错．因为“所有能被整除的整数”的否定是“存在一个能被整除的整数”，所以错，正确，故选.答案：．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )．：∀≥，－－≥；綈：∃≥，－－<．：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈：每一个四边形的四个顶点共圆．：有的三角形为正三角形；綈：所有的三角形不都是正三角形．：∃∈，＋＋≤；綈：∀∈，＋＋>解析：若：有的三角形为正三角形，则綈：所有的三角形都不是正三角形，故错．答案：．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定．解析：原命题的全称量词是“每个”，对其否定是“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性．写出下列命题的否定，并判断其真假：()三角形的内角和为°；()∃∈，＋＝；()∀∈，－＋＝.()至少有两个实数，使＋＝.()∃，∈，如果＋＝，则＝且＝.解：()此命题为全称命题，其否定为：存在一个三角形，它的内角和不等于°，是假命题．()此命题为特称命题，其否定为：∀∈，＋≠，是真命题．()此命题为全称命题，其否定为：∃∈，－＋≠，是真命题．()此命题为特称命题，其否定为：至多有一个实数，使＋≠，是假命题．()此命题为特称命题，其否定为：∀，∈，如果＋＝，则＝或＝，是假命题．。

第一章 1.4 1.4.3请同学们认真完成练案[9]A 级 基础巩固一、选择题1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( A ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－12．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2－1≥1，则( C ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题[解析] x 0＝4时，4－2>lg2，∴p 为真命题，∵∀x ∈R ，x 2≥2，∴q 为假命题，∴p ∧(¬q )是真命题．4．对给出下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p ：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( D )A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④[解析] ①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，x ＝1±52使得x 2－x －1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2为假命题，②中，存在a ＝2＝b ，使a ＋b ＝ab ，从而使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②符合题意，③中符合题意，④中为充要条件，故②③为真命题．二、填空题6．若命题p ：常数列是等差数列，则¬p ：__存在一个常数列，它不是等差数列__. [解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定¬p ：存在一个常数列，它不是等差数列．故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列．7．(2019－2020学年南康中学平川中学信丰中学联考)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是__[0,4)__.[解析] 命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题．则原命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”为真，即ax 2＋ax ＋1＞0恒成立．当a ＝0时，1＞0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ＜0，解得：0＜a ＜4.综上所述：0≤a ＜4.故答案为[0,4)． 三、解答题8．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 9．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可． ①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7， 又a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．B 级 素养提升一、选择题1．命题p ：∀x ∈R ，x ≥0的否定是( C ) A ．¬p ：∀x ∈R ，x <0 B ．¬p ：∃x ∈R ，x ≤0 C ．¬p ：∃x ∈R ，x <0D ．¬p ：∀x ∈R ，x ≤0[解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x ∈R ，x <0.故选C ．2．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．(多选题)下列说法正确的是( ABD ) A ．∃α0，β0∈R ，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1≤0”[解析] 当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )是偶函数，故C 错误；A ，B ，D 都正确，故选ABD ．4．(多选题)(南平市2019－2020学年第一学期质检)下列命题中真命题的个数是( ABD ) A ．∀x ∈(－∞，0)，则2x ＞3xB ．“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件C ．若命题p ∨q 是真命题，则¬p 是真命题D ．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫7π12，1 [解析] A 中，由于2x＞3x，所以2x3x ＞1，即⎝⎛⎭⎫23x ＞1解的x ∈(－∞，0)，所以A 正确；B 中，因为|a |＝1则a ＝±1，所以“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件，故B 正确；C 中，若命题p ∨q 是真命题，则p 为真，q 为假也可以满足已知条件，则¬p 是假命题，所以C 不正确；D 中，当x ＝7π12时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋π3＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝1，故D 正确．故选ABD ．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则命题p 为__假__(填“真”或“假”)命题，命题p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__p ∨q ，¬p __.[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．若“∀m ∈[－1,1]，a 2－2a ≥m ＋2恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__[3，＋∞)∪(－∞，－1]__.[解析] m ∈[－1,1]，则1≤m ＋2≤3， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0， ∴a ≥3或a ≤－1. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5，是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 成立，并说明理由．[解析] 不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.8．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.q 为真时，x －3x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，(x －2)(x －3)≤0，得2<x ≤3.即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若“p ∧q ”为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围2<x <3. (2)“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件， 即¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒/ ¬p ，等价于q ⇒p ，且p ⇒/ q ，设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则B A ； 则0<a ≤2，且3a >3，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。

第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定A级基础巩固一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案：C2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为( )A．綈p：存在x∈R，x＜sin xB．綈p：任意x∈R，x≤sin xC．綈p：存在x∈R，x≤sin xD．綈p：任意x∈R，x＜sin x答案：C3．命题“∀x∈R，∃x∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃x∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀x∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃x∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀x∈N*，使得n<x2解析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，n≥x2的否定是n<x2.答案：D4．命题“∃x0∈R，使得f (x0)＝x0”的否定是( )A．∀x∈R，都有f(x)＝xB．不存在x∈R，使得f(x)≠xC．∀x∈R，都有f(x)≠xD ．∃x ∈R ，使得f (x 0)≠x 0解析：命题的否定为∀x ∈R ，都有f (x )≠x .答案：C5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＝1.则下列判断正确的是( )A ．綈q 是假命题B ．q 假命题C ．綈p 是假命题D ．p 是真命题答案：A二、填空题6．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3 ≤0，则綈p 为________．答案：∀x ∈R ，x 2－3x ＋3＞07．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________． 解析：由题意知，原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”．答案：“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________． 解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，所以m <－2.答案：(－∞，－2)三、解答题9．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：由已知得綈p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3，因为綈p 为假，所以a ＞－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．10．已知命题p ：∀m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q: ∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题，綈q 是真命题，求a 的取值范围．解：根据p 或q 是真命题，綈q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．因为m ∈[－1，1]，所以 m 2＋8∈[22，3]，因为∀m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8，所以a 2－5a －3≥3，所以a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0，所以Δ＝a 2－8＞0，所以a ＞22或a ＜－22，从而命题q 为假命题时，－22≤a ≤22，所以命题p 为真命题，q 为假命题时， a 的取值范围为－22≤a ≤－1.B 级 能力提升1．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x ＞0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∃x 0∈R ，x 2＋x －1＞0.则下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题；B ．命题“p ∧綈q ”是真命题；C ．命题“綈p ∧q ”是真命题；D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题．答案：C2．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则綈p 为________．解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1”的否定是“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”．答案：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤13．写出命题“已知a ＝(1，2)，存在b ＝(x ，1)，使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定，判断其真假并给出证明．解：命题的否定：已知a ＝(1，2)，则对任意的b ＝(x ，1)，a ＋2b 与2a －b 都不平行，是一个假命题．证明如下：假设存在b ＝(x ，1)使a ＋2b 与2a －b 平行，则a ＋2b ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)．2a －b ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为a ＋2b 与2a －b 平行，所以存在λ∈R，使得a ＋2b ＝λ(2a －b )．即(2x ＋1，4)＝λ(2－x ，3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，⇒2x ＋1＝43(2－x )． 解得x ＝12. 这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行，故已知命题为真命题，其否定为假命题．。

高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第一章1.4.3 含有一个量词的命题的否定同步练习D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）命题“”的否定为（）A .B .C . 不存在实数x，D .2. （2分）命题“对任意的”的否定是（）A . 不存在B . 存在C . 存在D . 对任意的3. （2分）已知命题，则￢p为（）A . ∀x∈R，x2+x﹣1≥0B .C .D . ∀x∉R，x2+x﹣1＞04. （2分）否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A . 有一个解B . 有两个解C . 至少有三个解D . 至少有两个解5. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（）A . p∨qB . p∧qC . （┐p）∧（┐q）D . （┐p）∨q6. （2分）(2017·高台模拟) 下列叙述中正确的是（）A . 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B . 若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C . 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D . l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7. （2分） (2017高二上·临淄期末) 命题p：若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0，如果把命题p视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2019高一上·惠来月考) 设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题中正确的序号是：① 若则②若，，则（）③ 若，则④若，则A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④二、填空题 (共3题；共5分)9. （2分）命题：∃x∈N，x3≤x2的否定是________命题：∀x∈R，x2﹣x+1＞0的否定是________．10. （1分） (2016高二上·灌云期中) 命题“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定是________．11. （2分）命题“等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边”的构成形式是________，构成它的简单命题是________．三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分） (2019高三上·黄山月考) 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围.13. （10分） (2018高二上·安吉期中) 已知命题实数满足：方程表示双曲线；命题实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若命题为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．14. （5分） (2019高二上·长春月考) 已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共5分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共20分)12-1、13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、。

03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A. ∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B. ∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥030C. ∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<030D. ∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0解析：本题考查含有量词的命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.答案：C2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除解析：全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选C.答案：C3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0解析：若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错．答案：C4．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定__________________________________________________．解析：原命题的全称量词是“每个”，对其否定是“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性5．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)三角形的内角和为180°；20(2)∃x0∈R，x＋1＝0；(3)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.30(4)至少有两个实数x0，使x＋1＝0.x0(5)∃x0，y0∈N，如果＋|y0|＝0，则x0＝0且y0＝0.解：(1)此命题为全称命题，其否定为：存在一个三角形，它的内角和不等于180°，是假命题．(2)此命题为特称命题，其否定为：∀x∈R，x2＋1≠0，是真命题．20(3)此命题为全称命题，其否定为：∃x0∈R，x－3x0＋2≠0，是真命题．(4)此命题为特称命题，其否定为：至多有一个实数x0，使30x＋1≠0，是假命题．(5)此命题为特称命题，其否定为：∀x，y∈N，如果＋|y|＝0，则x＝0或y＝0，是假命题．x。

[完美作答]

(1)綈p：所有的一元二次方程都没有实数根，
这是假命题． π (2)綈p：∀x∈R，sin(x＋2)≠sinx， π π π 这是假命题，如sin(4＋2)＝sin4.
特称命题“∃x0∈M，px0”的否定为“∀x∈M，綈 px”，特称命题及其否定真假性相反.当一个命题的否定的真 假不易判断时，可以转化为判定原命题的真假.
解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)．
易错误区1 忽略隐含的量词 [典例1] 能被2整除的整数都是偶数． 能被2整除的整数不是偶数． 解题过程中忽略了全称量词“所有”，导致否定 错误．
存在一个能被2整除的整数不是偶数． 再如“能被3整除的数，也能被4整除”，很容易忽略命题 中省略的“所有”，而错写成“能被3整除的数不能被4整 除”．其正确写法为“存在一个能被3整除的数不能被4整 除”．
[针对训练3]
对任意实数x，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
求实数m的取值范围．
[解]
原不等式恒成立，即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合 题意； (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，
m<0， 则 2 4－4m <0，
[针对训练1] 写出下列全称命题的否定． (1)∀x∈R，x2－2x＋3>0； 1 2 1 (2)∀x∈Q，3x ＋2x＋1是有理数．
[解]
2 (1)的否定是“∃x0∈R，x0 －2x0＋3≤0”．
1 2 1 (2)的否定是“∃x0∈Q，3x0＋2x0＋1不是有理数”.
No.2
特称命题的否定

1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定[答案] C[解析]由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.2．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定[答案] C2x<x20”的否定为()3．命题“∃x0∈(0，＋∞)，0A．∀x∈(0，＋∞)，2x<x2B．∀x∈(0，＋∞)，2x≥x2C．∀x∈(0，＋∞)，2x>x22x>x20D．∃x0∈(0，＋∞)，0考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定[答案] B4．下列否定不正确的是()A．“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x0∈R，x20≤0”B．“∃x0∈R，x20<0”的否定是“∀x∈R，x2<0”C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是“∃θ0∈R，sinθ0>1”D．“∃θ0∈R，sinθ0＋cosθ0<1”的否定是“∀θ∈R，sinθ＋cosθ≥1”考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定[答案] B[解析]特称命题的否定是全称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题“∃x0∈R，x20<0”的否定形式是“∀x∈R，x2≥0”．5．已知命题p：“∀x∈R，e x>0”，命题q：“∃x0∈R，x0－2>x20”，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是假命题D．命题p∨(綈q)是真命题考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断[答案] D[解析] 命题p ：“∀x ∈R ，e x >0”是真命题，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2>x 20”，即x 20－x 0＋2<0，即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋74<0， 显然是假命题，所以p ∨q 真，p ∧q 假，p ∧(綈q )真，p ∨(綈q )真．故选D.6．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的否定[答案] D[解析] “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.7．已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果綈p 是真命题，那么a 的取值范围是( )A ．a ≤13B ．0<a ≤13C ．a <13D ．a ≥13考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围[答案] A[解析] 易知綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0，显然当a ＝0时，满足题意；当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13； 当a <0时，满足题意．所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 8．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )考点 含有一个量词的命题题点 含一个量词的命题真假判断[答案] B [解析] 由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B.二、填空题9．命题“∀x >0，x ＋1x≥1”的否定为________________________． 考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的否定[答案] ∃x 0>0，x 0＋1x 0<1 10．若∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0为假命题，则a 的取值范围为________．考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围[答案] (－2,2)[解析] ∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0为假命题， 即对∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0为真命题．需Δ＝(－a )2－4<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，故a 的取值范围为(－2,2)．11．已知命题p ：y ＝(3－c )x 在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若綈(p ∧q )为假命题，则实数c 的取值范围为________．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围[答案] (2,3)[解析] 由题意可知p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3， 故实数c 的取值范围为(2,3)．三、解答题12．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．考点 含有一个量词的命题题点 含一个量词的命题真假判断解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．13．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的最小正周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 (1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的最小正周期大于4π.(2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立， 解得a ≤2，所以0<b ≤2，所以实数b 的最大值是2.14．给出下列三种说法：①命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为假命题； ②命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1；③“φ＝π2＋k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件． 其中正确说法的序号是________．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 与含量词的复合命题有关的问题[答案] ②③[解析] 命题“若α＝π4，则tan α＝1”为真命题， 所以其逆否命题为真命题，所以①错误．命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1的否定綈p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，所以②正确．若函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )， 所以“φ＝π2＋k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件，所以③正确． 故正确说法的序号是②③.15．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 (1)对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，令f (x )＝2x －2(x ∈[0,1])，则f (x )min ≥m 2－3m ，当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－2，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)当a ＝1时，若q 为真命题，则存在x ∈[－1,1]，使得m ≤x 成立，所以m ≤1.因此，当命题q 为真时，m ≤1.因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m <1或m >2，m ≤1，得m <1. 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p 是( )A ．∃x ∈R ，sin x ≥1B ．∃x ∈R ，sin x >1C ．∀x ∈R ，sin x ≥1D ．∀x ∈R ，sin x >12．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 03．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，02x ＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( )A ．命题“p 且q ”为真命题B ．命题“p 且(綈q )”为真命题C ．命题“(綈p )且q ”为真命题D ．命题“(綈p )且(綈q )”为真命题5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>06．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，(12)0x <log 13x 0”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，(12)0x ＝log 13x 0>x 0”． 则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(綈m )∨n 和p 4：m ∧(綈n )中，真命题是( )A ．p 1，p 2，p 3B ．p 2，p 3，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则綈p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23； (4)“a >0，b >0”是“a b ＋b a≥2”的充分不必要条件． A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“綈p ”是________．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．13．已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．[答案]精析1．B [所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B.]2．D [“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]3．C [由基本不等式知命题p 正确；由20x ＝12知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.]4．B [根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.]5．C [特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.]6．A [当x ∈(0，13)时，log 13x >1，(12)x <1，∴此时log 13x >(12)x 恒成立，即命题m 为真命题，作出函数y ＝log 13x ，y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足log 13x 0＝(12)0x >x 0，故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(綈m )∨n 为真命题，m ∧(綈n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A.]7．D [綈p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋b a≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D.]8．1[解析] ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1， ∵“∀x ∈[0，π4]， tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1. 9.3∈(∁U A )∩(∁U B )[解析] p ：3∈A 或3∈B ，所以綈p ：3∉A 且3∉B,即綈p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．(10，＋∞)[解析] 已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．11．解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题． ∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0， ∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题．(3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0，∴非r 是真命题．12．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。

4课后课时精练一、1．“至多有三个”的否认 ()A ．起码有三个B．起码有四个C．有三个D．有四个分析：“至多有三个”包含“0 个、 1 个、 2 个、 3 个”四种状况，其反面“4 个、 5 个⋯⋯”即起码四个．答案： B22．[2014 ·安徽高考 ]命“? x∈R，|x|＋x ≥ 0的”否认是 ()A. ? x∈R，|x|＋x2<0B. ? x∈R，|x|＋x2≤0C. ? x0∈R，|x0|＋x20<0D. ? x0∈R，|x0|＋x02≥0分析：本考含有一个量的命的否认．命的否认能否认，同把量作改，故命“? x∈R，|x|＋x2≥0”的否认“? x0∈R，|x0|＋x20<0”，故 C.答案： C3．[2014·湖北高考命“ ∈，2≠x”的否认是 ()]? x R xA.? x?R，x2≠xB.? x∈R，x2＝xC.? x?R，x2≠xD.? x∈R，x2＝x分析：本考全称命的否认，意在考考生基本观点的掌握状况．全称命的否认是特称命：? x∈R，x2＝x， D.答案： D4．“存在整数，，使得2＝n2＋2011”的否认是 ()m n mA ．随意整数，n使得2＝n2＋2011m mB ．存在整数，n使得2≠2＋2011m m nC ．随意整数，n使得2≠2＋2011m m n分析：依据特称命题的否认为全称命题可知选 C.答案： C5．以下命题中假命题是 ()A ．存在实数α和β，使 cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无量多个α和β，使 cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对随意实数α和β，使 cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的实数α和β，使 cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ分析：当α＝0，β∈R时，cos(α＋β)＝ cosβ，且 cosαcosβ＋sinαsinβ＝c osβ，应选项 B 为假命题．答案： B6．以下命题中的假命题是()A.? x∈R,2x－1>0B.? x∈N*，(x－1)2>0C.? x0∈R，lgx0<1D.? x0∈R，tanx0＝2分析：依据指数函数、对数函数和三角函数的知识可知，选项 A，C，D 中的命题都是正确的，选项 B，当 x＝1 时，命题不正确，应选项 B 中的全称命题是不正确的．应选 B.答案： B二、填空题7.已知命题 p：“? x∈[1,2] ，x2－a≥0”，命题 q：“? x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．分析：命题 p：“? x∈[1,2] ，x2－a≥0”为真，则 a≤x2，x∈[1,2] 恒建立，∴ a≤1；命题 q：“? x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即 a2＋a－2≥0”，解得 a≤－2 或 a≥1.若命题“p 且 q”是真命题，则实数a 的取值范围是 { a|a≤－2 或 a ＝1} ．答案： { a|a≤－2 或 a＝1}58. 已知命题p：? x∈R，使 sinx＝2；命题 q：? x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出以下结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∨q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题，此中正确的选项是 ________．5分析：由于对随意实数 x，|sinx|≤1，而 sinx＝2 >1，因此 p 为假；由于 x2＋x＋1＝0 的鉴别式 <0，因此 q 为真．因此②③正确．答案：②③9．若命题“? x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为 ________．分析：依题意可得“? x∈R，x2＋ (a－1)x＋ 1≥0”为真命题，因此＝(a－1)2－4≤0，因此－1≤a≤3. 答案： [－1,3]三、解答题10．写出以下含有一个量词的命题p 的否认綈 p，并判断它们的真假：(1)p：对于 x 的方程 ax＝b 都有实数根；(2)p：有些正整数没有 1 和它自己之外的约数；(3)对随意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tanx1<tanx2；(4)? T0∈R，使 |sin(x＋T0)|＝|sinx|.解： (1)綈 p：有些对于 x 的方程 ax＝b 无实数根，如0x＝1，所以 p 为假命题，綈 p 为真命题．(2)綈 p：随意正整数都有 1 和它自己之外的约数，如 2 只有 1 和它自己这两个约数，因此p 为真命题，綈 p 为假命题．(3)綈 p：存在实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tanx1≥tanx2.原命题中若 x1＝0，x2＝π，有 tanx1＝tanx2，故为假命题，因此綈p为真命题．(4)綈 p：? T∈R，有 |sin(x＋T)|＝|sinx|.原命题为真命题，如T0＝2kπ(k∈Z)，因此綈 p 为假命题．11．已知命题 p：? m∈[ －1,1]，不等式 a2－5a－3≥ m2＋8；命求 a 的取值范围．解：依据 p 或 q 是真命题，綈 q 是真命题，得 p 是真命题， q 是假命题．∵m∈[－1,1]，∴ m2＋8∈[2 2，3] ．由于 ? m∈[－1,1]，不等式 a2－5a－3≥ m2＋8，因此 a2－5a－3≥3，∴ a≥6 或 a≤－1.故命题 p 为真命题时， a≥6 或 a≤－1.又命题 q：? x，使不等式 x2＋ax＋2<0，∴＝a2－8>0，∴ a>22或 a<－2 2，因此命题 p 为真命题， q 为假命题时， a 的取值范围为－ 2 2≤a≤－1.12．已知命题 p：“? x∈R，? m0∈R使 4x＋2x·m0＋1＝0”，若命题綈 p 是假命题，务实数 m0的取值范围．解：该题可利用綈 p 假，则 p 为真，求原命题为真时m0的取值范围．令 t＝2x，则方程x＋2x·＋1＝0 变成 t2＋m·＋＝有正>04m00t 1 0解，假定方程有两个正根t ，t ∵·＝1>0，t 、t同号，12.t1 t212＝m20－4≥0，∴t1＋t2>0，故有－m0>0，m0≤－2或 m0≥2，即m0<0，∴ m0≤－2，即实数 m0的取值范围是 (－∞，－ 2]．。