习题十三
1. 求下列函数在所示点的导数：
(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =； 解：(
)π4f ⎛⎫ ⎪'= - ⎝
(2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭
，在点()(),1,2x y =； 解：()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
(3)sin cos u v u T u v
v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
，在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解：1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭
(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩
在点()3,2-.
解：6
26
6362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z
∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，
3.
若r =()()21,,,,3n r r f r r n r
∇∇∇∇∇≥. 解：
()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r
-'∇=∇=∇=∇=∇=
4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点.
解：()()()()
54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).
证明：略
6. 计算下列向量场A 的散度与旋度：
(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；
解：()0,2,,y z z x x y ---
(2)()222,,x y z x y z x y z =A ；
解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3).
解：略。
8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇推导） 解：略。
9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。
10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38
π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：
(1)沿圆周221,0x y z +==；
解：2π
(2)沿圆周()2251,0x y z -+==.
解：2π
