第七章 最小多项式

§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间： 1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基ki i i εεε,,,21，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：Sr S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi ri i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλ1010000010000),(t J （λ是复数；注意对角元相同） 2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序） 二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论） 三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ， 证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x 【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P. 从而 rn rn rA E E E AP PE P A E P----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11.矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k .进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂k A . 2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算k A ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E . 1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kkP P A令∞→k ，有07.0→k，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→12223121110001111231kA⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T ATTAT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实．特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．特征向量.扩充成nR 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E-----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵.由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n d i a gBQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛'='又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基 7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法 二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补） 2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ 1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT TTdiag E TTdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构……构造、判定、意义2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系3.Jordan标准形不变因子初等因子Jordan标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或E'）AA=。

本原多项式最小多项式
本原多项式是一种有用的数学工具，可以用来描述函数，比较用来
研究和解决多项式问题。

本原多项式是一种平方数，可用来表示不同
多项式的函数。

它以特定的方式重复和叠加，以生成用来表示多项式
关系的表达式。

最小多项式是本原多项式的一种特殊形式，它既简短
又有效，是求解多项式的首选方案。

它只包含有限的函数，并且所有
次方根的乘积可以被表示成一个最小的多项式。

最小多项式在诸多数
学上的计算中发挥着重要作用，其常用来进行函数拟合，事件预测和
极值计算，使得一些未知变量可以接近推理从而得出合理结果，从而
加快计算速度。

最小多项式可以用来优化和简化多项式计算，以提高
性能和减少错误，同时模仿常见计算过程，并将较复杂的数学算法简
单化。

此外，它也可以有效地处理系统中的连续性方面，从而更好地
确定现有变量之间的关系。

大多数最小多项式问题都可以用经过优化
的数值，科学，和统计方法来处理，也可以用它来解决多项式表达式。

因此，最小多项式被广泛应用于数学，物理，化学，计算机等领域中，在多个研究中，都可以看到最小多项式的应用。

§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间.二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有：*四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),( t J （λ是复数；注意对角元相同） 2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）【问题】若当形矩阵的特征值＝？ 例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00020100030100B ， 证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一.证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ.【特例】最小多项式是特征多项式的因式.证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001r E AP P . 从而 r n r n r A E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11.矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂k A .2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211λλAP P 由此可求n A ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？ 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k .为计算k A ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k k k P P A 令∞→k ，有07.0→k ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ 注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫ ⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n d i a g BQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且 ),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习 一、主要概念1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法 二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形.*8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补）2.内积与标准正交基有何联系？3.标准正交基有何作用？4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- T T T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构……构造、判定、意义2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系3.Jordan标准形不变因子初等因子Jordan标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或E'）AA=附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意见)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。

习题7.4习题7.4.1设A是一个n阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A的对角线元素aii a(i,j1,2,,n)，则A必可对角化；jj（2）如果A的对角线元素a1122，且A不是对角阵，则aannA不可对角化。

证明：（1）因为A是一个n阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为|E|()()()，又因a ii a jj(i,j1,2,,n)，所以A有Aa11aa nn22n个不同的特征值，即A有n个线性无关的特征向量，以这n个线性无1为对角阵，故A必关的特征向量为列构成一个可逆阵P，则有PAP可对角化。

1（2）假设A可对角化，即存在对角阵2，使得ABn与B相似，进而A与B有相同的特征值1,2,,。

又因为矩阵A的特n征多项式为n|EA|(a11)，所以12na11，从而a 11Ba22 aE11，于是对于任意非退化矩阵X，都有ann1，而A不是对角阵，必有X1BXBA，与1XBXXa11EXa11EB假设矛盾，所以A不可对角化。

习题7.4.2设n维线性空间V的线性变换有s个不同的特征值1，V i是i的特征子空间(i1,2,,s)。

证明：s,2,,（1）V1VV是直和；2s（2）可对角化的充要条件是 V 12。

VVVs证明：（1）取VV1V 的零向量0，写成分解式有2s1s0，其中iV i ，i1,2,,s 。

现用2, 2,,s1分别作用分解式两边，可得012s 01122ss。

s 1 1 1s 2 1 2s s 1 s 0写成矩阵形式为 11 s 1 1( , 1 , 2,s11 22s )。

(0,0,,0)1ss s11 1s 11 由于1,2,,是互不相同的，所以矩阵ss1122B 的行列式不1 ss s1 为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 (11 1s BBB ，(1,2,,s )(0,0,,0)。

,,,)(0,0,,0)(0,0,,0) 2这说明V 1V 2V s 的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 V 12是直和。

第 62、63 讲§8 最小多项式教学目的和要求 1 理解矩阵或有限维空间上线性变换的最小多项式的定义及其唯一性，熟练掌握求最小多项式的两种基本方法；2 了解最小多项式在矩阵理论上的初步应用，会仿照定理2的证明方法证明每个有限维线性空间均可按线性变换的零化多项式的标准分解式作直和分解。

重 点 最小多项式及其求法。

难 点 最小多项式的应用。

教 学 过 程定义 1 设方阵n nA P ´Î，我们称[]P l 中能使()g A O =的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。

注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。

我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。

引理1 A 的最小多项式是唯一的。

证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得12()()()()g q g r l l l l =+，其中()0r l =或()()()2()r g l l ??.我们说()0r l =，即()()21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A =+得()r A O =，这与2()g l 是A 的最小多项式矛盾。

因此21()()g g l l .同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l =. ▎用同样的方法可证，当()f A O =时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O =()()g f l l Û. ▎ 由Hamilton Cayley -定理又得引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E Al l =-的一个因式。

▎引理 4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。

证明 由引理3知，()g l在P 中的根一定是()f l 的根。

§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(t J （λ是复数；注意对角元相同）2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序） 二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论） 三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ，证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P .从而 rn r n rA E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂kA .2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？ 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算kA ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kk P P A令∞→k ，有07.0→k ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实．特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n diag BQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念 1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补） 2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲 ◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断 二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高 三、各章主线 1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和 同构……构造、判定、意义 2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间 特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系 3.Jordan 标准形不变因子 初等因子 Jordan 标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证） 正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、'）正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或EAA=3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现。

第七章 线性变换学习单元8： 最小多项式_________________________________________________________● 导学学习目标：掌握矩阵的最小多项式的概念；掌握最小多项式的性质；理解最小多项式与矩阵对角化的关系。

学习建议：建议大家多看书，通过具体矩阵、具体计算去理解掌握最小多项式的概念与性质。

重点难点：重点：深刻理解最小多项式的概念与性质。

难点：理解最小多项式与矩阵对角化的关系。

_________________________________________________________● 学习内容一、最小多项式的概念及基本性质定义 设n n A P ⨯∈, ()[]f x P x ∈，若()0f A =，则称()f x 以A 为根，以A 为根的首项系数等于1的次数最低的多项式称为A 的最小多项式。

例 A kE =，则x k -为A 的最小多项式，E 的最小多项式为1x -，零矩阵的最小多项式为x 。

引理1 A 的最小多项式唯一。

证明 设12(),()g x g x 都是A 的最小多项式，由定义知12(),()g x g x 的次数相同，且首项系数都是1，令12()()()h x g x g x =-若()0h x ≠，则()h x 是以A 为根的，次数比1()g x 的次数低的多项式，这与1()g x 为最小多项式矛盾，故()0h x =，从而12()()g x g x =。

引理2 设n n A P ⨯∈，()g x 为A 的最小多项式，()[]f x P x ∈，则()f x 以A 为根的充要条件是()|()g x f x ，特别()g x 整除()f x 的特征多项式。

引理3 相似的方阵有相同的最小多项式。

例110010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的最小多项式为2(1)x - 注：最小多项式相同的两个n 阶矩阵不一定相似例如1100110001000100,0010002000020002A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小多项式均为2(1)(2)x x --，但A ，B 不相似，因为它们的特征多项式不同。

λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式；3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。

()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。

（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。

编号：09005110201南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：关于矩阵最小多项式的探讨完成人：李菊花班级：2009-02学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：袁玉卓完成日期：2013-04-12目 录摘要.........................................................................................................(1) 0引言.....................................................................................................(1) 1 预备知识.............................................................................................(1) 2矩阵最小多项式的求法. (2)2.1利用不变因子求矩阵最小多项式......................................................................(3) 2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式................................................................(4) 2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式 (5)3 矩阵最小多项式的应用 (7)3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用........................................................(7) 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A ................................................(7) 3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆. (8)3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用..........................................................(10) 3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用. (12)参考文献................................................................................(13) Abstract . (14)关于矩阵最小多项式的探讨作者：李菊花指导老师：袁玉卓摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用0引言在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.[]Cλ表示复数域C上的一元多项式环.()M C表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向n量空间.()fλ表示方阵A的特征多项式.A()mλ表示方阵A的最小多项式.A为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.定义1[]1 设A ∈()n M C ，()[]f C λλ∈，若()f A =0，则称()f λ为A 的零化多项式.定义2[]1 在A 的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为A 的最小多项式，记作()Am λ. 引理1[]2 若当块()000100010001k k kcc J C c c ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()()()k kJ C m c λλ=-.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时， ()()()||kk f E J C c λλλ=-=-.引理 2[]4相似矩阵有相同的最小多项式，即若A 相似于B ，则()()A B m m λλ=.引理3[]2任取()n M C 中的k 阶可逆矩阵A ，设其最小多项式为()111n n A n nm b b b λλλλ--=++++，则1A -的最小多项式是1111.n n n nn nb b b b b λλλ--++++ 引理4[]5设A =()12,,...,s diag A A A ，记A 的最小多项式为()A m λ，i A 的最小多项式为()iA m λ，1,2,...,,i s =则()()()()12,,...,sA A A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦. 引理 5[]1()A f λ的根必是()A m λ的根.2 矩阵最小多项式的求法在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法. 2.1利用不变因子求矩阵最小多项式定理1[]6 n 阶复数矩阵A 的最小多项式()A m λ就是A 的最后一个不变因子()n d λ.证明 任取()n M C 中矩阵A ，则A 相似于某一个若当块()n J M C ∈. 其中，()()()()1122,,...,,s s J diag J J J λλλ=由引理2知，()().A J m m λλ= （1） 又由引理4，()()()()12,,...,sJ J J J m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦ （2） 再有引理1，(),1,2,...,.iikJ i m i s λλ=-= （3）其中，i k 是()i i J λ的阶数，i λ是i J 主对角线的元素， 结合（1），（2），（3）得：()()()()()()()()121212,,...,,,...,sk k k A J J J J s s m m m m m λλλλλλλλλλλ⎡⎤===---⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 由引理4及初等因子的概念，()J m λ是各若当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知()()J n m d λλ=，从而()()()A J n m m d λλλ==.由定理1得出求()A m λ的步骤如下： （1）首先，求出矩阵A 的特征多项式()A f λ. （2）其次，求出矩阵A 的各阶行列式因子.（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵A 的最后一个不变因子即为矩阵A 的最小多项式()A m λ.由定理1可以得到计算矩阵A 最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵A 的最后一个不变因子()n d λ，得到矩阵A 的最小多项式.例1求矩阵A =211011111-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式. 解 矩阵A 特征多项式为：()()()2211||01121111A f E A λλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=--=-- ⎪⎪--⎝⎭. 各阶行列式因子分别为：()()()23||21D E A λλλλ=-=--，()21D λ=，()11D λ=.则有()()()()()()()()()()2231123121,1,21D D d D d d D D λλλλλλλλλλ======--. 于是()A f E A λλ=- ⇔ ()()2100010021λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭. 由于E A λ-的不变因子即为A 的不变因子，从而有定理1知，()A f E A λλ=-的最后一个不变因子()()221λλ--就是A 的最小多项式，即()()()221A m λλλ=--.注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点： (1)优点: 具有普遍适用性.(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵A 的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理. 2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式定理2[]7 若矩阵A 的特征多项式()()()()1212||...l m m mA l f E A λλλλλλλλ=-=---其中12,,...,l λλλ为A 的所有互不相同的特征值，且12,,...,l m m m 均大于等于1，则()()()()1212...l nnnA l m λλλλλλλ=---，其中1,1,2,...,i i n m i l ≤≤=.由此定理2得出求()A m λ的步骤如下： (1)首先求出矩阵A 的特征多项式()A f λ. (2)其次将()A f λ分解不同的一次因式的幂积.(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使A 零化的次数最低的这样的幂积即为()A m λ.由定理2可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵A 的特征多项式，并分解成含()()()12s λλλλλλ---的形式，通过检测，可以得到矩阵A 的最小多项式.例2求矩阵200111113A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式. 解 矩阵A 的特征多项式为：()()3200||1112113A f E A λλλλλλ-⎛⎫ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪--⎝⎭.矩阵A 的最小多项式为：()()2,1 3.kA m k λλ=-≤≤由于()200000000021110,21111110.111111111A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-=-≠-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 所以2,k =故A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-注 由代数基本定理，我们知道()A f λ在复数域C 上肯定可以作标准分解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：定理3[]5 设A 是一个准对角矩阵1200AA A ⎛⎫= ⎪⎝⎭并设1A 的最小多项式为()1A m λ，2A 的最小多项式为()2A m λ，那么A 的最小多项式为()1A m λ，()2A m λ的最小公倍式()()12,A A m m λλ⎡⎤⎣⎦.这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果12S A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i A 的最小多项式为()i A m λ，其中1,2,i s =，那么A 的最小多项式为()()()()12,,...,s A A A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦.从上述定理和推论中，我们可以得出利用Jordan 标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：(1)将矩阵A 化成若干个矩阵组成的准对角的形式. (2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵A 的分块矩阵i A 的最小多项式()iA m λ，然后求出它们的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.例3设2000012000012000001000011A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A 的最小多项式()A m λ.解 设12A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1200120012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因Jordan 矩阵1A 的最小多项式为()()132A m λλ=-.Jordan 矩阵2A 的最小多项式为()()221A m λλ=-.故由上述定理可得矩阵A 的最小多项式为()()()2312.A m λλλ=--从例3中可以看出，用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？目前计算矩阵A 的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵A 的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵A 的特征多项式的标准分解，第三种是利用Jordan 标准型，第四种是利用矩阵A 的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵A 的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵A 要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵A 最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.3 矩阵最小多项式的应用我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述. 3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A设()f λ是任意多项式，()A m λ为方阵A 的最小多项式，有带余除法知，用()A m λ除()f λ，得到商式()q λ和余式()r λ，即()()()()()()()()()()0.A A f q m r r m r λλλλλλλ=+∂<∂=或由哈密顿-凯莱定理可知()0,A f A =再由引理5得出()0,A m A =因此()()()()().A f A q A m A r A r A =+=由此看出，由()r A 来求()f A 要比直接计算()f A 简单些.下面通过实际运算来体现矩阵A 的最小多项式在求矩阵函数中的作用.例4设()9764322241211f λλλλλλλλ=-++--+102011010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求()f A .解 矩阵A 的特征多项式为：()()()23102||011112 1.01A f E A λλλλλλλλλλ--⎛⎫ ⎪=-=+-=-+-=-+ ⎪⎪-⎝⎭因为()A f λ没有重根，故()()32 1.A A m f λλλλ==-+ 由带余除法得：()()()().A f q m r λλλλ=+计算可知()2,r λλ=+因此：()()()()()3022011.012A f A q A m A r A r A A E ⎛⎫⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将A 带入()f λ求解()f A 运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使()f λ的次数降到低于()A m λ的次数，再将A 带入求解，从而简化了运算过程.注 如果已知矩阵A 的特征多项式()A f λ，而矩阵A 的最小多项式()A m λ尚未求出，为了求出()f A ，可以用()A f λ除()f λ得到余式()r λ，此时依然有()().f A r A =3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆.(()f λ是多项式).定理4[]7 设()A m λ是方阵A 的最小多项式，()f λ是次数大于等于1的多项式.（1）若()()|A f m λλ，则()f A 降秩（奇异）. （2）若()()()(),,A d f m λλλ=则秩()d A =秩()f A . （3）()f A 非异的充要条件是()f λ、()A m λ互质. 我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.例5 设多项式()65422321f λλλλλλ=+-+-+，()432223 2.g λλλλλ=-+--矩阵200111113A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，试判断矩阵多项式()f A 和()g A 的奇异性，并求出()g A 的秩.解：由例2知，矩阵A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-由多项式理论求得()f λ和()A m λ的最大公因式为：()()()()1,1,A d f m λλλ==由定理3知，()f A 是非奇异矩阵.()g λ和()A m λ的最大公因式为：()()()()2,2,A d g m λλλλ==-由定理3知，()g A 是奇异矩阵，且秩()()g A =秩()()2d A ，而()220010000021112010111113001111d A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.显然，秩()()g A =秩()()2d A 1=.从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式()f A 的奇异性并可以求出()f A 的秩.在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.例6 设()32682f λλλλ=+++110014104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求()f A 的逆矩阵.解 矩阵A 的特征多项式为：()()2110||0143.104A f E A λλλλλλλ+-⎛⎫⎪=-=+-=+ ⎪⎪-+⎝⎭所以()()3A m λλλ=+或()()23.A m λλλ=+由于()21434280,214A A E -⎛⎫ ⎪+=--≠ ⎪ ⎪-⎝⎭故()()232369.A m λλλλλλ=+=++易知()()(),1,Af m λλ=于是存在()()[],,p q C λλλ∈使得()()()() 1.A f p m q λλλλ+=其中()()()()2211825,824.5050p q λλλλλλ=++=-++ 于是()()()()A f A p A m A q A E +=.由于()0,A m A =因此()()()()()().A f A p A m A q A E f A p A E +=⇔=从而()()()1218641182541812.5050319f A p A A A E -⎛⎫⎪==++=⎡⎤⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭在例6中，如果直接将A 带入()f λ求解()f A ，在求解()f A 的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用由北大数学教材《高等代数》[]5第七章定理，我们知道 ：数域p 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是p 上的互素的一次因式的乘积.由此得出的推论如下：推论1[]9若A 的某一零化多项式没有重根，则A 与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根.证明 设多项式()f λ没有重根且()0f A =， 由于()()|A m f λλ (4) 故()A m λ也没有重根，所以存在对角阵D ，使得12n AD λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12,,...,n λλλ都是A 的特征根,同时12,,...,n λλλ 都是()A m λ的根. 由(4)知12,,...,n λλλ都是()f λ的根.我们由北大数学教材《高等代数》[]5第七章第九节中的推论可以知道：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.例7 证明在以下三种条件下矩阵A 是否可以对角化.()1;k A E = ()22;A A = ()30, 1.k A k =>证明（1）由于k A E =，得到0k A E -=，取()1k f λλ=-使A 零化. 由于()1k f λλ=-无重根，故12n AD λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1,1,2,...,k ii n λ==.（2）由2A A =，得20A A -=，故()()21f λλλλλ=-=-使A 零化. 由于()f λ没有重根，故12n AD λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2,...,i i n λ==.（3）由于0,1k A k =>，故得()k f λλ=为零化多项式.但是它有重根，由推论2知A 不可对角化.3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：()00|{t t dX AX F tdt X X t ⎛⎫⎪⎝⎭==+=，其中()()()()()()12,,,...,Tn n ij n A a C X t x t x t x t ⨯=∈=易得方程组的唯一解为：()()()()000.tA t t A t t X eX t eF d τττ--=+⎰上述求解可归纳为At e 的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数Ate 或()f At ,但是若矩阵A 与对角阵()12,,...n diag λλλ不相似，计算过程会很复杂.如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：定理5 []10 若矩阵n n A C ⨯∈的最小多项式()A m λ为m 次多项式，()()()()1212...l nnnA l m λλλλλλλ=---，其中12,,...,l λλλ为A 的所有互不相同的特征值，又与收敛的复变幂级数()()0kk k f Zt C t Z ∞==∑相应的()()0k k k f At C t A ∞==∑是A 的收敛幂级数，则()f At 可表为A 的1m -次多项式，并且()()()()1011.m m f At a t E a t A a t A --=+++其中系数()0a t ，()1a t ，，()1m a t -由以下方程组确定：对()1,2,.i i l λ∀=()()()()()()()()()()()()()()()()()1011212311111231|1!121|i i ii m i m i i m m i i n m n i n i m i in a t a t a t f t df t a t a t a t m a t d d f t n a t m m m n a t d λλλλλλλλλλλλλ---------⎧+++=⎪⎪++++-==⎪⎨⎪⎪⎪-++----==⎩例8 求下列微分方程组的定解.00,1,1{T dX AX dtX ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 其中211011111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 解 有定解理论得出方程组的解为：()0At X e X =其特征方程为()()()2det 21E A λλλ-=--.易得矩阵的最小多项式()()()221.A m λλλ=--设()()()01At f At e a t E a t A ==+，得201012tt a a e a a e +=+={ 解之得：20212t t t t a e e a e e =-=-{ 则有()()()2222012232202.22t t t tt t At t t t t t t tt e e e e e e e f At a t E a t A e e e e e e e e ⎛⎫---⎪==+=- ⎪ ⎪--⎝⎭故定解为：()()2200,3,3.TAt t t t t X e X e e e e ==--从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式()()()221A f λλλ=--.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.参 考 文 献[1] 赵礼峰.矩阵最小多项式求法探讨[J].淮北煤师院学报.1993,3(14):60-65.[2] 吴洁华.矩阵最小多项式的求解及应用[J].韩山师范学院学报.2010,6(31):19-24.[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003.[4] 韩振芳，杨小姝，王宇红.有关最小多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学报）2006，3（22）：4-5.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 龙小胖.最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报（自然科学）.2004，5（25）：54-55.[7] 贺加来.矩阵的最小多项式的进一步探讨[J].巢湖学院学报.2006,3(8):157-159.[8] 朱思铭，王寿松，李艳会.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.[9] 靳艳芳.最小多项式的性质、求法及应用[D].河南郑州：郑州华信学院综合教育部,1994.[10] 王子瑜，陈华如.矩阵最小多项式在微分方程组中的应用[J].铜陵学院学报.2004(3):67-71.Discussion on Minimal Polynomial of MatrixLI Ju-huaAbstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.。