2018-2019学年高中数学必修二(人教A版)课时作业18倾斜角与斜率

3．1.1倾斜角与斜率一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下列说法中正确的是()A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率2．若直线过坐标平面内两点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°3．已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线l的倾斜角为()．A．60°B．30°C．60°或120°D．30°或150°4．下列说法中，正确的个数是()①任何一条直线都有唯一的斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③任何一条直线都有唯一的倾斜角．A．0 B．1 C．2 D．35．已知直线PQ的斜率为－3，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是()A. 3 B．0 C．－ 3 D.3 36．如图L3­1­1所示，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()图L3­1­1A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k27．若直线l向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若斜率为2的直线经过坐标平面内(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________ .9．如果直线l过点(1，2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．10．已知直线l1的倾斜角为α，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________．11．已知经过坐标平面内两点A(1，2)，B(－2，2m－1)的直线的倾斜角α∈(45°，60°)，则实数m的取值范围为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)若坐标平面内三点A (2，3)，B (3，2)，C (12，m )共线，求实数m 的值．13．(13分)已知坐标平面内两点M (m ＋3，2m ＋5)，N (m －2，1)． (1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ (2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？14．(5分)已知两点P(a ，b)，Q(b －1，a ＋1)，若直线PQ 与直线l 的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．135°B ．0°或90°C ．165°或75°D ．90°15．(15分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－3，3)，直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．3．1.1 倾斜角与斜率1．D [解析] 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．A [解析] 由题意得k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.3．C [解析] 由题意得|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3，∴直线l 的倾斜角为60°或120°.4．B [解析] 由倾斜角和斜率的定义知③正确．5．A [解析] 由直线PQ 的斜率为－3得直线的倾斜角为120°，故绕点P 沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为 3.6．B [解析] 由图易知：k 3<0<k 1<k 2.7．D [解析] 如图所示，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.8．1 [解析] 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7－5a －3＝2，b －5－1－3＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3， 故a ＋b ＝1.9．[0，2] [解析] 由草图可知，当直线从l 1沿逆时针方向旋转到l 2时，直线不经过第四象限．∵kl 1＝0，kl 2＝2，∴0≤k ≤2.10．180°－α [解析] 如图所示，可得直线l 2与l 1的倾斜角互补，故直线l 2的倾斜角为180°－α.11.3－3 32，0 [解析] ∵倾斜角α∈(45°，60°)，∴斜率k ∈(1，3)．又∵k ＝2m －1－2－2－1＝3－2m 3，∴1<3－2m 3<3，解得3－3 32<m <0.12．解：由题可知，k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴m －312－2＝－1，∴m ＝92.13．解：(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5m ＋3－（m －2）＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－（m －2）＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．14．B [解析] ∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，∴直线PQ 的倾斜角为135°，故直线l 的倾斜角为90°或0°.15．解：考虑临界状态．令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题易知tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为π4，直线PN 的倾斜角为5π6，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，5π6.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十七)倾斜角与斜率一、选择题(每小题4分,共12分)1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( )A.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°B.倾斜角为135°的直线的斜率为1C.若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanαD.直线斜率的取值范围是(-∞, +∞)【解析】选D.A错误,平行于x轴的直线的倾斜角是0°.B错误,倾斜角为135°的直线的斜率为-1.C错误,倾斜角α=90°时,斜率不存在.D正确,倾斜角α为锐角时,斜率取值范围是(0,+∞),倾斜角α为钝角时,斜率取值范围是(-∞,0),倾斜角α=0°时,斜率k=0.综上知斜率的取值范围是(-∞,+∞).2.(2014·鹤岗高一检测)已知直线l经过A(-,),B(-,)两点,那么直线l的倾斜角为( )A.60°B.30°C.45°D.135°【解析】选C.因为直线l的斜率k==1,所以直线l的倾斜角为45°.3.(2014·吉林高一检测)如图,坐标系中的正三角形ABC,若BC所在直线斜率是零,则AC,AB所在直线斜率之和为( )A.-2B.0C.D.2【解析】选B.因为BC所在直线的斜率为零,所以AC所在直线的倾斜角与α1相等,AB所在直线的倾斜角与α2相等,因为α1+α2=180°,所以k AC+k AB=0.【变式训练】如图,直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x 轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为.【解析】由题干图可知,∠BAC=150°-90°=60°,因为l3平分∠BAC,所以l3的倾斜角为∠BAC=30°.答案:30°二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知点P(-,1),点Q在y轴上,若直线PQ的倾斜角为120°,则点Q的坐标为.【解析】设Q(0,y),则由题意得tan120°=,所以y-1=-×,y=-2,所以点Q的坐标为(0,-2).答案:(0,-2)5.已知直线l1的倾斜角为α1,则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为.【解析】当α1=0°时,α2=0°,当0°<α1<180°时,α2=180°-α1.答案:0°或180°-α1三、解答题(每小题10分,共20分)6.(2014·红河州高一检测)已知三点A(1,3),B(5,11),C(-3,-5).求证:这三点在同一条直线上.【解题指南】利用斜率公式先求出任取两点的对应的斜率,据斜率相等,证明三点在同一条直线上.【证明】因为k AB==2,k AC==2,所以k AB=k AC.又因为直线AB与直线AC有公共点A,所以直线AB与直线AC重合,所以A,B,C三点在同一条直线上.7.已知A(m,3), B(1,2),求直线AB的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.【解析】当m<1时,k AB==<0,90°<α<180°;当m=1时,直线AB的斜率不存在,α=90°;当m>1时,k AB==>0,0°<α<90°.【误区警示】解答本题易忽视对m=1时,直线AB斜率、倾斜角的分析.一、选择题(每小题5分,共10分)1.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°【解析】选D.如图所示,当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,如图(1);当135°≤α<180°时,倾斜角45°+α-180°=α-135°,如图(2).【误区警示】解答本题易忽视直线倾斜角的取值范围而致误.2.(2014·漳州高一检测)如果一直线l经过点(3,1),且不经过第三象限,那么直线l的斜率范围是( )A.[0,+∞)B.C.(-∞,0]D.【解析】选C.结合图象可知,直线l经过点(3,1),倾斜角为钝角或直角或零角时,不经过第三象限,所以直线l的斜率范围是(-∞,0].【举一反三】若本题中,直线l不经过第四象限,其他条件不变,试求直线l斜率的范围.【解析】结合图象可知,若直线l经过点(3,1),不经过第四象限,则直线l的斜率范围是[0,k OA].又因为k OA=,所以直线l的斜率范围是.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2014·天津高一检测)若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数k的取值范围为.【解析】若A,B,C三点共线,则k AB=k AC,所以=,k=1.若三点A,B,C能构成三角形,则k≠1,即实数k的取值范围是(-∞,1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,1)∪(1,+∞)【变式训练】若点A(1,1),B(3,5),C(a,7)三点共线,则a= . 【解析】由斜率公式得k AB==2,因为A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,所以2=,解得a=4.故a的值为4.答案:44.下列说法正确的是.①若两条直线的倾斜角相等,则两条直线平行;②若一直线的倾斜角为150°,则此直线关于y轴对称的直线的倾斜角为30°;③若α,2α,3α分别为三条直线的倾斜角,则α不大于60°;④若α为直线l的倾斜角,且tanα=-,则α=30°;⑤若直线的斜率不存在,则其倾斜角α=90°,若直线的倾斜角α=90°,则此直线与x轴垂直.【解析】①正确,由同位角相等两直线平行可知;②正确,若一直线的倾斜角为150°,则此直线关于y轴对称的直线的倾斜角与已知直线互补,为30°;③错误,由已知得所以0°≤α<60°;④错误,若tanα=-,0°≤α<180°,则α=150°;⑤正确,由直线斜率的定义可知. 答案:①②⑤三、解答题(10分)5.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),(1)求直线AB和AC的斜率.(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.【解析】(1)k AB==,k AC==.(2)结合图象可知,点D在线段BC (包括端点)上移动时,直线AD的倾斜角为锐角,直线AD的斜率的取值范围是[k AB,k AC],由(1)知取值范围是.关闭Word文档返回原板块。

3．1.1倾斜角与斜率基础梳理1．倾斜角与斜率．(1)倾斜角与斜率的概念．倾斜角斜率前提条件直线l与x轴相交倾斜角不是90°定义取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角直线l倾斜角的正切值表示或记法αk＝tan α(2)倾斜角与斜率的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)0k>0斜率不存在k<0由上表可知直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，斜率k的取值范围是(－∞，＋∞)．练习1：当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．2．过两点的直线的斜率公式．直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)．练习2：当直线倾斜角为90°时它的斜率不存在．α取值范围是[0，π)．练习3：(1)直线的倾斜角α确定后，斜率k的值与点p1，p2的顺序是否有关？(2)当直线平行于y轴或与y轴重合时，上述公式k＝y2－y1x2－x1还适用吗？答案：(1)无关．(2)不适用，因为此时斜率不存在．►思考应用1．表示直线倾斜程度的量有什么？解析：表示直线倾斜程度的量有直线的倾斜角和斜率，它们分别从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度．2．过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时，直线的倾斜角和斜率怎样？解析：此时直线的倾斜角为90°，斜率不存在．自测自评1．已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB 的斜率为(B )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在 解析：k AB ＝4－20－1＝－2.2．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为(B ) A ．0 B .33C . 3D ．13．已知直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角为135°． 基础达标1．直线l 过(m ，n)，(n ，m)两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则(D ) A ．l 与x 轴垂直 B ．l 与y 轴垂直C ．l 过原点和一、三象限D ．l 的倾斜角为135° 解析：由斜率公式可得k 1＝m －nn －m＝－1，即tan α＝－1，所以α＝135°.故选D .2．以下四个命题错误的是(D )①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有直线都有斜率．A．①②B．③④C．①③D．②④3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则l1的倾斜角为(D)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°，当135°≤α＜180°时，为α－135°.解析：本题考查倾斜角的定义以及应用定义解决问题的能力，因为α∈{α|0°≤α＜180°}，显然A、B、C未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图(如图)可知：当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α＋45°－180°＝α－135°.4．下列各组点中，三点共线的是(C)A ．(1，4)，(－1，2)，(3，5)B ．(－2，－5)，(7，6)，(－5，3)C ．(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，(7，2)D ．(0，0)，(2，4)，(－1，3)5．直线2x －3y ＋1＝0的一个方向向量是(D ) A ．(2，－3) B ．(2，3) C ．(－3，2) D ．(3，2)6．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为(A )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4 解析：由斜率公式得4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.巩固提升7．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则(D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 2<k 3<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：由图可知l 1的倾斜角为钝角，∴k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角均为锐角且α2>α3， ∴k 2>k 3>0，故选D .8．直线l 的斜率为k ，倾斜角是α，－1<k<1，则α的取值范围是________．解析：由题意即已知－1<tan α<1，0°≤α<180°，求α即可．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π9．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点．求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：如图所示，由题意可知：k PA ＝4－（－1）－3－2＝－1，k PB ＝2－（－1）3－2＝3.要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3.10．求经过点A(ma ，mb)，B(a ，b)(ab ≠0，m ≠1)两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．解析：∵ab ≠0且m ≠1， ∴经过两点的直线的斜率k ＝b －mb a －ma ＝ba，即tanα＝ba.则当ab＞0时，α为锐角，当ab＜0时，α为钝角．1．所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．2．斜率公式与两点的顺序无关，当已知直线上两点求直线斜率，当点的横坐标含有参数，需分类讨论．3．在解决斜率的取值范围时，注意数形结合思想的应用．。

第课时倾斜角与斜率课时目标．能熟练地运用斜率公式求直线的斜率．如图所示，直线、、的斜率分别是、、，则( )、的倾斜角分别是α、α、α，则°＜α＜．已知()、(，＋)，且直线的倾斜角为°，则，的值为( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，为任意实数，但≠答案：解析：由直线的倾斜角为°知，、两点的横坐标相同，纵坐标不相同．．若点(，)在函数＝＋(－≤≤)的图象上运动，则的取值范围是( )．[，＋∞)．(－∞，]．[，]．(－∞，]∪[，＋∞)答案：解析：∵已知函数的图象是线段(()，(－，－))，又的几何意义是过线段上的任意一点(，)与坐标原点()的直线的斜率，且＝，＝，∴根据图象，可知的取值范围是(－∞，]∪[，＋∞)．故选.二、填空题(每个分，共分)．已知(，)、(，)，当＝且≠时，直线的斜率，倾斜角为；当≠且＝时，直线的斜率为，倾斜角为．答案：不存在°°解析：本题考查直线的两种特殊情况，倾斜角为°和倾斜角为°时两点的特征，即对于两点(，)，(，)，当＝且≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为°；当≠且＝时，直线的斜率为，倾斜角为°.．已知两点(－)，()，过点(，－)的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是．答案：( －∞，－]∪[，＋∞)解析：如图，由分析知∵＝＝－，＝＝.要使与线段有公共点，∴的取值范围是≤－或≥.．若()，()，(，)(≠)三点共线，则＋的值为．答案：解析：∵，，三点共线，∴＝，即＝，化简得＋＝.三、解答题．(分)已知点(，－－)，(，－)，(－)，直线的斜率等于直线的斜率的倍，求实数的值．解：由＝，得＝·，所以＝或＝.．(分)已知点()，在坐标轴上有一点，使得直线的倾斜角为°，求点的坐标．解：①当点在轴上时，设点()．∵()，∴＝＝.又直线的倾斜角为°，∴＝，解得＝－，∴点的坐标为(－，)．②当点在轴上时，设点(，)．同理可得＝－，。

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十五) 倾斜角与斜率层级一学业水平达标1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（)A．45°,1 B．135°,－1C．90°，不存在 D．180°，不存在解析：选C 作出图象,故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°;②若k是直线的斜率,则k∈R；③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ）A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A（－2,0），B（－5,3）,则该直线的倾斜角为（) A．150° B．135°C．75° D．45°解析：选B ∵直线经过点A(－2，0)，B（－5,3),∴其斜率k＝错误!＝－1。

设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A(4,y),B(2，－3)的直线的倾斜角为45°,则y＝( )A．－32B。

错误!C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝错误!，即错误!＝1，所以y＝－1。

5．已知直线l经过点A（1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（) A．(－1,0］ B．[0,1］C．［1，2］ D．［0,2］解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意,所以直线l 的斜率满足0≤k≤2。

故选D.6。

如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B。

l1，l2与x轴分别相交于点C，A,l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．解析:因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°,所以l3的倾斜角为错误!×(90°－30°）＝30°.答案：30°7．已知a〉0，若平面内三点A（1，－a），B（2,a2），C(3，a3)共线，则a＝________。

3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)[基础·初探]教材整理1直线的倾斜角阅读教材P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．如图3-1-1所示，直线l的倾斜角为()图3-1-1A．30°B．60°C．120°D．以上都不对教材整理2直线的斜率及斜率公式阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题．1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．3．斜率意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)斜率公式与两点的顺序无关．()[小组合作型]直线的倾斜角已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？【精彩点拨】画草图―→标记α―→找倾斜角与α的关系―→求倾斜角1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．[再练一题]1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°直线的斜率已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．【精彩点拨】(1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[再练一题]2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.[探究共研型]斜率公式的应用探究1斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？探究2你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．【精彩点拨】y＋3x＋2的最大值和最小值可以看做过两点(－2，－3)和(x，y)的直线的斜率的最大值和最小值．斜率公式的应用1．证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)．2．求代数式y－bx－a最值或范围：由斜率公式k＝y2－y1x2－x1的形式，可知y－bx－a的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解．[再练一题]3．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．1．斜率不存在的直线一定是()A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于()A．－32 B.32C．－1D．13．如图3-1-2中α能表示直线l的倾斜角的是________．图3-1-24．如图3-1-3所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．图3-1-35．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．。

基础达标1．直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是 ( )．A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α＜180°C ．90°≤α＜180°或α＝0°D ．90°≤α≤135° 解析 倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．答案 C2．(2012·临沂一中期末)已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为 ( )．A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°解析 当两直线互相垂直时，两直线的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°，知l 2的倾斜角为150°.答案 D3．斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为 ( )．A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3 解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.答案 C4．如果过点(－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．解析 由斜率公式知4－m m ＋2＝1，解得m ＝1. 答案 1 5．(2012·济南高一检测)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________．解析 由题意得1＋a ＝2a ，∴a ＝1.答案 16．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．答案 [0，2]7．(1)已知直线l 1的倾斜角为α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1和l 2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l 2的斜率k 2.(2)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．解 (1)设直线l 2的倾斜角为α2，如图所示，可知α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°.∴k 2＝tan α2＝tan 135°＝－1.∴直线l 2的斜率为－1.(2)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解得x 2＝7，y 1＝0.能力提升8．(2012·温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()．A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°解析由倾斜角的取值范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图所示)，故选D.答案 D9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．解析①当过A、B、C三点的直线斜率不存在时，即1－a＝a＝0，无解．②当过A，B，C三点的直线斜率存在时，即k AB＝2a－（－5）a－（1－a）＝k BC＝2a－（－a）a－0，即2a＋52a－1＝3，解得a＝2.综上，A，B，C三点共线，a的值为2.答案 210．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解法一设Q(0，y)，则由题意得k QA＝－k QB.∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－13.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。

绝密★启用前3.1.1倾斜角与斜率一、选择题1．【题文】已知直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的斜率为（） A ． B．3C．2D2．【题文】已知直线的倾斜角为，若4cos 5θ=，则该直线的斜率为（）A ．34B ．34-C ．34±D ．43±3．【题文】若直线经过点(A 和()1,0B ，则直线的倾斜角为（） A ．0B ．60C ．90D ．不存在 4．【题文】若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率是（） A．C． D．5．【题文】已知过两点()1,1A -，()4,B a 的直线斜率为1，那么a 的值是（） A ．6-B ．4-C ．4 D ．66．【题文】经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点()m ∈R ，那么的倾斜角取值范围是（）A.[)0,πB.ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.πππ,,π422⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭7．【题文】已知直线的倾斜角α的余弦值为12，则此直线的斜率是( )．ABCD ．8．【题文】直线经过点(2,),(3,A y B ，则y 的范围是（）A. [-B. (,0])-∞⋃+∞C. (,[0,)-∞-⋃+∞D.二、填空题9．【题文】过两点()21A -,，(),3B m 的直线倾斜角是45︒，则m 的值是 ．10.【题文】若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m ＝______.11．【题文】过两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝ ．三、解答题12．【题文】在△ABC 中，A (1，－1)，B (1，1)，C (3，－1)，求三边所在直线的倾斜 角和斜率．13．【题文】已知()32A ，，()41B -，，()01C -，，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．14．【题文】已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．3.1.1倾斜角与斜率 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】当直线的斜率存在时，直线的斜率等于倾斜角的正切值，即360tan tan =︒==αk .故选D ．考点：直线斜率的计算． 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】A【解析】由条件得53sin =θ，所以43tan ==θk ，故选A.考点：直线的斜率与倾斜角. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C【解析】直线经过点(A ，()1,0B ，则直线与轴垂直，其倾斜角为90︒. 考点：直线的倾斜角. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】C【解析】直线的斜率tan120k =︒=C 正确． 考点：倾斜角的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】D 【解析】()1141a k -==--，所以6=a ．考点：两点的直线斜率.【题型】选择题 【难度】较易 6. 【答案】B【解析】直线经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点，则斜率2211121m k m -==-≤-,由tan 1k α=≤，则倾斜角取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .考点：直线的斜率与倾斜角的关系. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】因为倾斜角α的余弦值为021cos ≠=α，所以直线的斜率为sin tan cos 2ααα===A ．考点：斜率的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】C(,-∞.考点：直线倾斜角与斜率的关系. 【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】0【解析】根据题意得()31tan 45102m m -︒==⇒=--.考点：过两点的斜率公式. 【题型】填空题 【难度】较易10. 【答案】92【解析】k AB ＝2332--＝－1，k AC ＝3122m --，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即3122m --＝－1，解得m ＝92.考点：三点共线斜率相等关系. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】－2【解析】根据题意，解得1m =-或2-，当1m =-时，两点重合，当2m =-时，满足条件，2m ∴=-. 考点：直线斜率和倾斜角. 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】见解析【解析】因为A 、B 两点的横坐标相同，所以边AB 垂直于x不存在；因为A 、C 两点纵坐标相同，所以边AC 平行于x 轴，即垂直于y 轴，倾斜 角和斜率均为0；B 、C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，则k ＝1131－－－＝－1，所 以BC1. 考点：直线斜率和倾斜角.【题型】解答题 【难度】一般 13. 【答案】见解析 【解析】直线AB 的斜率121437AB k -==--； 直线BC 的斜率()11210442BC k ---===---；直线CA 的斜率1231033CA k ---===--． 由0AB k >及0CA k >知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由0BC k <知，直线BC 的倾斜角为钝角． 考点：直线斜率和倾斜角. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】(1) k ≤－1，或k ≥1 (2) 45°≤α≤135° 【解析】如图，由题意可知，直线PA 的斜率k PA ＝4－0－3－1＝－1，直线PB 的 斜率k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°. 考点：直线斜率和倾斜角. 【题型】解答题 【难度】一般。