黑龙江省绥棱县职业技术学校高二数学上学期期末考试试题(普高试卷)文

黑龙江省2024届数学高二第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足40300x y y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11y z x -=+的最大值为（）A.1 B.12C.13 D.22．已知命题p ：53≥；q ：若24x =，则2x =，则下列判断正确的是（）A.p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假B.p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真C.p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假D.p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假3．已知抛物线C ：()220y px p =>，焦点为F ，点1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到在抛物线上，则AF =（）A.3B.2C.94 D.544．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点唯一确定一个平面B.一条直线和一个点唯一确定一个平面C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D.空间两两相交的三条直线在同一平面内5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,双曲线C 的右支上有一点P 满是||||||OP OF PF ==(点O 为坐标原点),那么双曲线C 的离心率为()A.1-B.4+1+6．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（）A.7．已知直线l 过点()1,1P ，且其方向向量()1,2v = ，则直线l 的方程为（）A.210x y ++= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y --=8．在下列函数中，求导错误的是（）A.()21f x x =-，()2f x x '= B.()ln g x x x =，()1ln g x x x '=+C.()2x x h x e +=，()1x x h x e +'=-D.()sin cos x x x x ϕ=+，()cos x x xϕ'=9．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“L ”代表无限次重复，设121211x =++ ，则可以利用方程121x x =+求得x，类似地可得到正数=（）A.2B.3C.D.1+10．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A.（±4，0）B.（0，±4）C.（±5，0）D.（0，±5）11．在等腰Rt ABC △中，在线段斜边AB 上任取一点M ，则线段AM 的长度大于AC 的长度的概率（） A.22 B.12 C.212- D.22312．已知函数4()3f x x x =-，则0(12)(1)limx f x f x x ∆→+∆--∆=∆（）A.1B.2C.3D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。

黑龙江2020-2021学年度上学期期末考试高二数学（文科）试题一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1.命题"0,0"2≤->∀x x x 的否定是（ ） A.0,02≤->∃x x x B.0,02>->∃x x x C.0,02>->∀x x x D.0,02>-≤∀x x x 2.若2)1(=+z i ，则z = （ ）A.2B.3C.2D.1 3.下列各数中，最大的是（ ）A. ）（832；B.）（5111；C. ）（2101010；D.）（654.4.用秦九韶算法计算多项式65432()126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+当x=2时v 3的值为 ( )A ．0B ．－32C ．80D ．－805. 在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的41,且样本容量为160,则中间一组的频数为( )A.32B.0.2C.40D.0.25 6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ）A.15B.25C.35D.458.“1>x ”是“0>x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）A.100B.150C.200D.25010.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少一个白球”与“都是白球”B ．“至少有一个白球”与“至少有1个红球”C ．“恰有一个白球”与“恰有二个白球”D ．“至少有1个白球”与“都是红球”11.在区间]3,2[-上随机取一个数x ，则1≤x 的概率是( )A.54B.53C.52D.51 12.已知抛物线x y 42=的准线与x 轴交于点P ，过点P 且斜率为k （0>k ）的直线l 与抛物线交于B A ,两点，F 为抛物线的焦点，若FA FB 2=,则k 的值为（ ）A.31B.32C.32 D.322二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.有一组数据：已知y 对x 呈线性相关关系为：x y5.05.13ˆ-=，则a 的值为 . 14.利用独立性检验考察两个分类变量X 与Y 是否有关系时，若2K 的观测值132.6=k ，则有 的把握认为“X 与Y 有关系”.15.已知双曲线方程为1422=-y x ，则该双曲线的渐近线方程为 . 16.已知边长分别为c b a ,,的三角形ABC 面积为S ,内切圆O 的半径为r ，连接OA,OB,OC,则三角形OAB,OBC,OAC 的面积分别为br ar cr 21,21,21，由br ar cr S 212121++=得cb a Sr ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 则内切球的半径R = .三．解答题：（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）.17.(10分)以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心)4,2(πC ,半径3=r .直线l 的极坐标方程为4πθ=)(R ∈ρ.求圆C 和直线l 的直角坐标方程.18.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为θρsin 52=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 的坐标为)5,3(，圆C 与直线l 交于B A ,两点，求PB PA +的值.19.（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应生产能耗y （吨）的几组对应数据：（1）根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）试估计产量为10吨时，相应的生产能耗.参考公式：x b y aˆˆ-=，2211ˆx n x yx n y x b i ni ii ni-∑-===∑.20. （12分）从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．（1）求a 的值；（2）估计这所小学学生身高的众数、中位数、平均数.21. （12分）已知方程0222=++b ax x 是关于x 的一元二次方程．（1）若a 是从集合}0,1,2,3{四个数中任取的一个数，b 是从集合}0,1,2{三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若]3,0[∈a ，]2,0[∈b ，求上述方程有实数根的概率．22.（12分）已知椭圆)0(13:222>=+a y ax M 的一个焦点为),0,1(-F 左、右顶点分别为A,B.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点. (1)当直线l 的倾斜角为︒45时，求线段CD 的长；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求21S S -的最大值.高二上学期期末文数参考答案一．选择题：1-5：BCCDA 6-10：CBAAC 11-12：BD 二．填空题： 13. 4 14. 97.5%15. x y 21±= 16.43213S S S S V +++三．解答题： 17.（10分）解：圆C ：3)1()1(22=-+-y x 直线l ：x y =18.（12分）解：（1）l ：053=--+y x 圆C ：5)5(22=-+y x （2）2319.（12分）解：（1）35.07.0ˆ+=x y（2）7.35（吨）20.（12分） （1）a =0.03（2）众数：115； 中位数：120.3 ；平均数：124.521.（12分） 解： （1）43=P （2）32=P ．22.（12分） 解：(1) 724(2)3。

绥棱县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（ ）A ．﹣1B ．1C．﹣D．2． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）A ．10米B ．100米C ．30米D ．20米3． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 4． 数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ） A．﹣ B．C ．﹣1D ．15． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对6． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015227． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形8． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9． 设a ＞0，b ＞0，若是4a 与2b的等比中项，则+的最小值为（ ）A ．2B ．8C ．9D ．1010．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 11．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 212．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题13．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是 ．14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．16．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是 ．17．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．18．若函数63e ()()32ex x b f x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．三、解答题19．在等比数列{a n }中，a 3=﹣12，前3项和S 3=﹣9，求公比q ．20．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．（1）求a的值；（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（3）求函数f（x）=a（x≥0）的值域．21．已知函数3()1xf xx=+，[]2,5x∈．（1）判断()f x的单调性并且证明；（2）求()f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．22．（本小题满分12分）ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，(sin,5sin5sin)m B A C=+，(5sin6sin,sin sin)n B C C A=--垂直.（1）求sin A的值；（2）若a=ABC∆的面积S的最大值.23．如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF=EF ；（2）求证：PA 是圆O 的切线．24．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .绥棱县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．2．【答案】C【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．3．【答案】D【解析】考点：命题的真假. 4． 【答案】D【解析】解：∵a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，∴，得，，a 4=3，…∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=﹣1， ∵2016=3×672，∴A 2016 =（﹣1）672=1．故选：D ．5． 【答案】A【解析】解：∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内， ∴直线AB 与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB ⊂α故选A ．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．6． 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数22()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，两式相乘，根据等比数列的性质得()()2015201521201513T a a ==⨯，T =201523，故选C.考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.7． 【答案】A 【解析】解：∵（acosB+bcosA ）=2csinC ，∴（sinAcosB+sinBcosA ）=2sin 2C ，∴sinC=2sin 2C ，且sinC ＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC 的面积的最大值S△ABC =absinC ≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC 的形状为等腰三角形． 故选：A ．8． 【答案】C【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=14，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=14时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

高二学年期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 椭圆的焦距为（ ）221259x y +=A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可得：，则，进而求解.5,3a b ==4c ==【详解】由椭圆可得：，221259x y +=5,3a b ==所以，则椭圆的焦距为，4c ==221259x y+=28c =故选：.B 2. 已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为1:3460l x y -+=2:3440l x y --=（ ） A. 2 B. 3C. 5D. 10【答案】A 【解析】【分析】由两平行线距离公式求解即可. 【详解】这两条直线之间的距离为.2d ==故选：A3. 设m 为实数，若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值22121x y m m +=--范围是（ ） A.B. C. D.322m <<312m <<>2m 1m <【解析】【分析】根据焦点在x 轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x 轴上的双曲线，22121x y m m +=--所以，解得.2010m m ->⎧⎨-<⎩1m <故选：D .4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右π22221x ya b+=0a b >>焦点为，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦中点坐标为，则椭圆(3,0)F AB (2,1)-的面积为（ ） A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合2121221212y y x x b x x y y a -+=-⨯-+a 、b ，进而求出面积.c =【详解】设，，则有，两式作差得：()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 2222121222x x y y a b--=-即， 2121221212y y x x b k x x y y a-+==-⨯-+弦中点坐标为，则， AB (2,1)-2212221221x x b b k y y a a+=-⨯=-⨯+-又∵，∴，∴， 0(1)132k --==-22211b a=-⨯-222a b =又∵，∴可解得，，3c ==a =3b =故椭圆的面积为.πab =5. 已知向量，且与互相平行，则（ ）()()1,1,0,1,0,=-= a b m ka b + 2a b -r r k =A. B.C.D. 114-153512-【答案】D 【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，(1,,)ka b k k m +=- 2(3,1,2)a b m -=--因为与平行，ka b + 2a b -r r若，则，， 0m =131k k-=-12k =-若，则，无解． 0m ≠1312k k mm-==--k 综上，， 12k =-故选：D ．6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（ ）A. 2mB. 3mC. 2.5mD. 1.5m【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代22(0)x py p =->C 入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得p ()02,A y -0y 的高度．OA 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为， 22(0)x py p =->因为点，所以，解得，所以抛物线方程为， (4,4)C -162(4)p =-⨯-2p =24x y =-点在抛物线上，所以，解得， 0(2,)A y -044y =-01y =-所以，所以管柱的高度为． 043OA y =-=OA 3m 故选：B ．7. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±1F ，过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且，的周长为2F 2F ||4PQ =1PQF △20，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B.C. D.2219y x -=22193x y -=2219x y -= 221364-=x y 【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线方程可得，再根据双曲线的定义及的周长可求得，13b a =1PQF △a 即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±所以， 13b a =因为过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，2F 所以，即， 12122,2PF PF a QF QF a -=-=12122,2PF PF a QF QF a =+=+则的周长为， 1PQF △11424820PF QF PQ a PQ a ++=+=+=所以，则，3a =1b =所以双曲线的标准方程为.2219x y -=故选：C.8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A ，直线2222:1(0)x y E a b a b+=>>1F 2F 与椭圆E 的另一个交点为B ，若，则椭圆E 的离心率为（ ）1AF 220F A F B =⋅A.B.C.D.4535【答案】B 【解析】【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B 的坐标，再根据1AF by x b c=+求解.220F A F B =⋅【详解】解：由题意得， ()()()1120,,,0,,0,AF b A b F c F c k c-=则直线的方程为， 1AF by x b c=+联立，消去y 得， 22221b y x bc x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222220a b ab b x x c c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭则， 22222222,B B a c a b x y b a c a c=-=-++所以， ()2222222222,,,a c a bAF c b BF c b a c a c ⎛⎫=-=+- ⎪++⎝⎭因为，220AF BF =⋅所以， 2222222222220a c a b c b a c a c+-+=++因为，化简得，222b a c =-22450a c a -=即，所以，2250c a -=2215c a =所以. e =故选：B .（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） 22:430M x y x +-+=A. 点在圆M 内 B. 圆M 关于对称 (4,0)320x y ++=C. 半径为1D. 直线与圆M 相切0x -=【答案】CD 【解析】【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.【详解】解：圆的标准方程为：，22:430M x y x +-+=()2221x y -+=圆心为，半径为1，()2,0A.因为，所以点在圆M 外，故错误；()224201-+>(4,0)B.因为，即圆心不在直线上，故错误； 23020+⨯+≠320x y ++=C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确；D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M 的半径相()2,00x -=1d ==等，故直线与圆M 相切，故正确； 0x =故选：CD10. 已知椭圆E ：，，分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶221164x y +=1F 2F 点，点是椭圆上异于A ，B 的一个动点．下列结论中，正确的有（ ） P E A. 椭圆的长轴长为8E B. 满足的面积为4的点恰有2个 12F PF △P C. 的的最大值为16 12PF PF D. 直线与直线斜率乘积为定值 PA PB 14【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的方程得到，进而判断选项；根据三角形面积求出点的纵坐4a =A P 标的绝对值，进而判断选项；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项；设出点B C P 的坐标，代入计算整理即可判断选项.D 【详解】由椭圆方程可得：.221164x y +=4,2a b ==对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；A 28a =A对于，因为，则，B 4,2a b ==c ==2112142PF F P S F F y ==A ，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；2P y =>P B 对于，由椭圆的定义可得：C 1282a PF PF ==+≥等号成立，则， 所以的的最大值为，故选项12PF PF =1216PF PF ≤12PF PF 16C正确；对于，设点，则，则有，D 00(,)P x y 22001164x y +=2200144y x =-又因为，所以， (4,0),(4,0)A B -2200022000014144416164APBPx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---故选项错误， D 故选：.AC 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与C 的另外2:8C y x =()()000,0A x y y >两个交点分别为M ，N ，已知C的焦点为F ，且，则（ ） ||8AF =A. C 的准线方程是4x =-B.0y =C.直线过定点MN (14,-D. 当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为260x --=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程；B 选项，由焦半径公式求出；C 0y =选项，设直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，由MN ，求出或，分两种情况，得到所过定AM AN ⋅=104b -=+104b -=+点，舍去不合要求的情况；D 选项，在C 选项的基础上，由几何关系得到当与直线AE 垂直时，点A 到直线MN 的距离最大，由直线MN ，求出直线MN 的方MN 程.【详解】A 选项，由题意，得，C 的准线方程为，故A 错误； ()2,0F 2x =-B 选项，由焦半径，得，解得，08||2AF x =+=06x =故，20088648y x ==⨯=因为，所以，故B 正确；00y >0y =C 选项，直线的斜率不为0，设直线的方程为， MN MN x ky b =+与联立，得.2:8C y x =2880y ky b --=设，则，， ()()1122,,,M x y N x y 128y y k +=128y y b =-则，，()21212282x x k y y b k b +=++=+()21221264y y x x b ==则，((11226,,6,AM x y AN x y =--=--所以()()(121266AM AN x x y y ⋅=--+--())1212121263648x x x x y y y y =-+++-++，()226823688480b k b b k =-++--+=整理得，())2210161b -=+故或，104b -=+104b -=+当时，直线为，即， 104b -=+MN 14x ky =++(14x k y -=+此时直线过定点，MN (14,-当时，直线为，即， 104b -=+MN 6x ky =-+(6x k y -=-此时直线过定点，此时与点重合，不合要求，舍去， MN (A故直线过定点，故C 正确；MN (14,-D 选项，由C 选项，可知直线过定点， MN (14,E -故当与直线垂直时，点A 到直线MN 的距离最大， AE MN因为，所以直线MN AE k ==故直线MN 的方程为， )14y x +=-整理得，故D 正确. 260x --=故选：BCD.【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路.（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成()00,x y k 立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括k ()k ⋅号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 12. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互素，欧拉函数的函数值()()k k ϕ*∈N等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，(2)1ϕ=(3)2ϕ=，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互素，那么(6)2ϕ=(8)4ϕ=，则（ ）()()()mn m n ϕϕϕ=A.B.(4)(6)ϕϕ=()122nn ϕ-=C. 数列不是递增数列D. 数列的最大项为第(){}6nϕ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭4列【答案】ABD 【解析】【分析】根据欧拉函数定义，结合数列的单调性的性质逐一判断即可.【详解】A ：因为，，所以，因此本选项正确； (4)2ϕ=(6)2ϕ=(4)(6)ϕϕ=B ：因为在正整数中，所有的偶数与都不互质，所有的奇数都与互质， 2n 2n 所以，因此本选项正确；()122nn ϕ-=C ：因为在正整数中，都与互质，共有1,2,4,5,7,8,10,,31,32n n -- 3n 个，所以，由上可知：，()1131323n n ---=⋅()1323n n ϕ-=⋅()122n n ϕ-=显然互质， 2,3n n 所以， ()()()()16223263nn nn n n ϕϕϕϕ-==⋅⋅=因为，，所以， ()16260nn ϕ-=⋅>()()+1162661266n nn n ϕϕ-⋅==>⋅()()+166n n ϕϕ>所以数列是单调递增数列，因此本说法不正确；(){}6nϕD ：由上可知：，所以有， ()1323nn ϕ-=⋅()1(4)2(4)2233n nn nn n n n ϕ-++=⋅假设第项为数列最大项，则有 k ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()()111121(5)2(4)2232311(3)2(4)22323k k k kk kk k k k k k k k k k k +----⎧+++≥⎪⎪⋅⋅⇒≤≤⎨-++⎪≥⎪⋅⋅⎩因为是正整数，所以，因此本选项正确， k 4k =故选：ABD【点睛】关键点睛：正确理解欧拉函数的定义，利用数列的单调性性质是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13. 等差数列中，，则______． {}n a 2634a a +=4a =【答案】17 【解析】【分析】由，再根据等差中项求解的值即可. 2634a a +=4a 【详解】在等差数列中，是的等差中项，所以. {}n a 4a 26,a a 264172a a a +==故答案为：17.14. 如图，在长方体中，，，则与平面1111ABCD A B C D -2AB AD ==14DD =11A B 所成的角的正弦值为______．11A C D【答案】 23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z ，()()()()1110,0,4,2,0,4,0,2,0,2,2,4A B D C 设平面的法向量为，11A C D (),,m x y z =则，()()()()111,,2,2,0220,,0,2,4240m A C x y z x y m A D x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令，则，故，1z =2,2y x ==-()2,2,1m =-设与平面所成角的大小为，11A B 11A C D θ则，12sin cos ,3m A θ= 与平面所成角的正弦值为.11A B 11A C D 23故答案为：2315. 已知点，P 是椭圆上的动点，则的最大值是______．(0,4)A 22:1259x yE +=||PA 【答案】【解析】【分析】设，利用两点间的距离公式求解. (),55,33P x y x y -≤≤-≤≤【详解】解：设，(),55,33P x y x y -≤≤-≤≤， PA ==，=当时，取得最大值 94y =-||PA故答案为：16. 对非原点O 的点M ，若点在射线上，且，则称为M 的M 'OM 2||OM OM r '⋅=M '“r -圆称点”，图形G 上的所有点的“r -圆称点”组成的图形称为G 的“r -圆称形”．G '(1,0)A 的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为22(1)(2)5x y -+-=______． 【答案】 ①. ②.()9,02490x y +-=【解析】【分析】根据题意得到，，结合点在射线上，得到故9OA OA '⋅=9OA '=A 'OA (1,0)A 的“3-圆称点”为，设出，，设其“r -圆称点”为，由()9,0(),B m n 0,0m n ≠≠(),B x y '得到方程，点在射线上，不妨设，，得到方程，求出9OB OB ⋅'=B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥.249x y +=【详解】由题意得：，又，所以， 9OA OA '⋅=1OA =9OA '=又点在射线上，即在轴正半轴上， A 'OA x 故的“3-圆称点”为；(1,0)A ()9,0设圆（不包含原点）的一点，， 22(1)(2)5x y -+-=(),B m n 0,0m n ≠≠设其“r -圆称点”为，则， (),B x y '9OB OB ⋅'=，9=又点在射线上，不妨设，，B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥所以，整理得：，()()2222125m n kx ky +=-+-=2224kx ky x y +=+综上，，即，()229k x y =+=249x y +=故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为. 22(1)(2)5x y -+-=2490x y +-=故答案为：，.(9,0)2490x y +-=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，，过点且与直线垂直的直线为，圆：(1,2)A (1,1)B -(1,0)P AB l M ．224x y +=（1）求的方程；l （2）求与圆相交的弦长． l M 【答案】（1）220x y +-=（2 【解析】【分析】（1）根据坐标确定直线的斜率，由两条直线垂直可得直线的斜率，又,A B AB l 点斜式方程即可求得的方程；l（2）根据直线与圆相交的几何性质求解圆心到直线的距离，再根据弦长公式d 即可得与圆相交的弦长． l M 【小问1详解】因为，，所以，又，所以，(1,2)A (1,1)B -()211112AB k -==--AB l ⊥1AB l k k ⋅=-则，则直线的方程为：，即； 2l k =-l ()21y x =--220x y +-=【小问2详解】因为圆：，则圆心，半径， M 224x y +=()0,0M 2r =所以圆心到直线的距离 M l d所以相交弦长为 ==18. 已知为等差数列的前项和，，． n S {}n a n 42a =1122S =-（1）求；n a （2）是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，n S n S n说明理由．【答案】（1）210n a n =-+（2）存在，最大值20，或5 4n =【解析】【分析】（1）设公差为，根据等差数列的通项公式与前项和公式，求得即可得d n 1,a d ；n a （2）由等差数列的前项和公式得，根据二次函数的性质结合，即可确定的n n S *N n ∈n S 最大值及取得最大值时的值. n 【小问1详解】设等差数列的公差为，由，{}n a d 42a =1122S =-可得，解得，所以1132111011222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩18,2a d ==-；()()812210n a n n =+-⨯-=-+【小问2详解】()()()221119818292224n n n n n S na d n n n n --⎛⎫=+=+⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭又，所以当时，，当时，， *9N 2n =∉4n =420S =5n =520S =所以存在最大值为，取得最大值时或.n S 204n =519. 已知抛物线过点，焦点为F ，O 为坐标原点． 2:2C y px =(4,4)M （1）求抛物线C 的方程，并写出F 的坐标；（2）若直线MF 与抛物线的另一个交点为N ，求的面积． OMN A 【答案】（1），；24y x =(1,0)F （2）. 52【解析】【分析】（1）根据抛物线过点即可求出的值，进而求解； 2:2C y px =(4,4)M p （2）结合（1）的结论写出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，求出点的MF N 坐标，进而求出的长度，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，MN O MF 代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】因为抛物线过点，则，解得：， 2:2C y px =(4,4)M 168p =2p =所以抛物线的方程为：，焦点坐标为：； C 24y x =(1,0)F 【小问2详解】由（1）可得：直线的方程为：， MF 4(1)3y x =-将其代入抛物线方程可得：，解得：，， 241740x x -+=14x =214x =由题意可知：点的横坐标为，所以点的横坐标为，N 14N 41(1)134y =⨯-=-则点，所以， 1(,1)4N -254MN ==又因为点到直线的距离，O MF 45d ==所以. 11254522452OMN S MN d =⨯⋅=⨯⨯=A 20. 椭圆E 的方程为，短轴长为2．22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：与圆相切，且与椭圆E 交于M ，N两点，(0)y kx m k =+>222x y b +=且l 的方程．||MN =【答案】（1）2213x y +=（2）或y x =y x =【解析】【分析】（1）根据离心率，短轴长等列出方程组，求出，得到椭圆方程；1a b ==（2）由点到直线距离公式列出方程，得到，联立直线方程和椭圆方程，得到221m k =+两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出及，得到答案. 1k=m =【小问1详解】 由题意得：，，结合， 22b=c a =222a b c =+解得：，1a b ==故椭圆方程为；2213x y +=【小问2详解】直线l ：与圆相切， (0)y kx m k =+>221x y +=，即，1=221m k =+联立与得：，(0)y kx m k =+>2213x y +=()222136330k x kmx m +++-=设，()()1122,,,M x y N x y ，， 122613km x x k +=-+21223313m xx k-=+则MN===将221m k =+=解得：，21k =因为，所以，故，则，0k >1k =2212m k =+=m =所以直线l 的方程为或y x =y x =21. 已知在四棱锥中，平面，，P ABCD -PD ⊥ABCD 2,1PD CD AD AB ====，．AB DA ⊥AB CDA（1）求证：平面平面；PAD ⊥PCD （2）若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长．M PC M BD A --PM 【答案】（1）证明见解析（2）PM【解析】【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再结合面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，，根据空间向量求得二面角的余弦[],0,1PM PC λλ=∈值，列方程即可解得的值，从而可得线段的长． λPM 【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以 PD ⊥ABCD ,⊂DA DC ABCD ,PD DA PD DC ⊥⊥又，，所以，AB DA ⊥AB CD A DA DC ⊥由于平面，所以平面， ,,DA PD D DA PD ⋂=⊂PAD DC ⊥PAD 又平面，所以平面平面； DC ⊂PCD PAD ⊥PCD 【小问2详解】由（1）得，，如图，以为原点，分别为,PD DA PD DC ⊥⊥DA DC ⊥D ,,DA DC DP 轴建立空间直角坐标系，,,x yz由，则2,1PD CD AD AB ====()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P 设，所以， [],0,1PM PC λλ=∈ ()()0,2,20,2,2PM PC λλλλ==-=-则，()()()0,0,20,2,20,2,22DM DP PM λλλλ=+=+-=-设平面的法向量为，则MBD (),,n x y z =，令，则()10222000DM n y z y z x y DB n x yλλλλ-⎧⎧⋅=⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎩ z λ=()1,1,n λλλ=-- ，又平面，所以是平面的一个法向量，PD ⊥ABCD ()0,0,2DP =BDA 所以，所以cos ,DP n DP n DP n ⋅==⋅ 420λ-+=，12λ=故当为中点时符合题意，所以. M PC 12PM PC ==22. 已知双曲线的离心率，分别为其两条渐近线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =1P 2P 上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原12PP PP =P 12OPP A O 点．（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定C 2F A B x 点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M MA MB ⋅M 【答案】（1）22188x y -=（2）存在， (2,0)【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线,a c ,a b 方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得y x =±()1,P m m ()2,P n n -P 12PP 与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； mn a 12OPP A a C （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标AB 关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存(),0M t MA MB ⋅ t AB 在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】由离心率，则双曲线的渐近线方程为ce a==c ==a b =，y x =±因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，1P 2P 12OP OP ⊥()1,P m m ()2,P n n -，由于，则点为的中点，所以， 12PP PP = P 12PP ,22m n m n P +-⎛⎫⎪⎝⎭又点在双曲线上，所以，整理得：P ()()2222144m n m n a a +--=2mn a =因为的面积为8，所以，则12OPP A 121211822OP P S OP OP =⋅=A ，228a b ==故双曲线的方程为；C 22188x y -=【小问2详解】由（1）可得，所以为4c =2F ()4,0当直线的斜率存在时，设方程为：，，AB AB ()4y k x =-()()1122,,,A x y B x y 则，所以，则()224188y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()2222181680k x k x k -+--=21k ≠恒成立，所以()()()22222Δ84116832320k k kk =----=+>， 221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---假设在轴上是否存在定点，设，则x M (),0M t ()()()()()()221122121212121211,,44MA MB x t y x t y x x t x x t y y x x t x x t k x k x ⋅=-⋅-=-+++=-+++-⋅-()()()()()()()()2222222222212122221168161814164111k k k t k k kx x t k x x ktt k k k k +++-=+-++++=-+++---()()22228881t t t k k---+=-要使得为常数，则，解得,定点，MA MB ⋅ 2288811t t t --+=2t =()2,0M ；4MA MB ⋅=-又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得AB AB 4x =22188x y -=，y=±((4,,4,A B-若，则，符合上述结论；()2,0M ((()2,2,484MA MB ⋅=⋅-=+-=-综上，在轴上存在定点，使为常数，且. x M MA MB ⋅4-()2,0M 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---x M (),0M t 证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得MA MB ⋅ MA MB ⋅，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构()()22228881t t t k k---+=-k 中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使t t得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.。

高二数学文科期末试卷 选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分） 1.若，则的否命题是 （ ） A若,则 B若,则 C若,则 D若,则 2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A 7B 15C 25D 35 3.下列关系属负相关的是 （ ）A 父母的身高与子女身高的关系B 农作物产量与施肥的关系C 吸烟与健康的关系D 数学成绩与物理成绩的关系 4.已知命题P:,,则 （ ）A ，B ，C ，D ， 5.用秦九韶算法计算多项式，当 时需要做乘法和加法的次数分别是 （ ）A 6,6B 5,6C 5,5D 6,5 6.读右面的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框的空格处填写 （ ） A B C D 7．函数有极大值和极小值，则a的取值范围为 （ ） A BC 或D 或 8.一组数据12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位数是 （ ）A 36B 31C 35D 34 9.“”是“方程表示双曲线”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10.甲、乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差， 则有（ ） A , B , C , D , 11.已知椭圆的方程（）,它的焦点分别为，且｜=8，弦AB过 ，则△的周长为（ ）A 10B 20C D 12.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若,则= （ ）A 9B 6C 4D 3 二填空题（每小题5分，共20分） 13.数据5,4,4,3,6,2的众数为 14.取一根长3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两根的长都不小于1m的概率为 15.若函数，则= 16.在下面几个关于圆锥曲线命题中 ①方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ②设A、B为两个定点，K为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线 ③过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别为 、，则∠ ④双曲线的渐近线与圆相切，则 其中真命题序号为 三 解答题（17题10分，18-22题各12分） 17（10分） 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下： 观察图形，回答下列问题： （1）79.5～89.5这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）。

绥棱县职业技术学校普高试卷2017-2018学年第一学期高二《理科数学》期中试题本试卷共 4 页，满分150考试时间：120分钟；一、选择题（60分，每题5分）1.将两个数a=8,b=17)A. B.C. D.2. 算法的三种基本结构是( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B.顺序结构、循环结构、模块结构C.顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构3.下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )A. i>20B. i<20C. i>=20D、i<=204.下面程序运行后输出的结果为( )A. 50B. 5C. 25D. 05.将389化成四进位制数的末位是( )A. 1B. 2C. 3D. 06.用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(xxxxxxxf++++-+=在4-=x时的值时,3V的值为( )A. －845B. 220C. －57D. 347.甲乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲乙两同学在这次篮球比赛活动中， 发挥得更稳定的是 （ ） A 、甲 B 、乙 C 、甲、乙相同 D 、不能确定8.①学校为了了解高一学生的情况,从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90～100分,12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m 决赛的6名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为 ( )A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样9.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下：取到号码为奇数的频率是 ( ) A. 0.53 B. 0.5 C. 0.47 D. 0.3710. 给出以下四个问题,①输入一个数x ,输出它的相反数.②求面积为6的正方形的周长.③求三个数a,b,c 中的最大数.④求函数0.10.2{)(≥-<+=　x x x x x f 的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11.如果一组数12,,...,n x x x 的平均数是x ,方差是2s ,则另一组数12n 的平均数和方差分别是 ( )2,s 2s2s 22s ++12.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于40的概率是 ( ) A.25 B. 45 C.15 D. 35二、填空题：（共20分，每题5分）13.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 .14. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 .15.有一个简单的随机样本：10,12,9,14,13，则样本平均数为 ，样本方差为 .16.甲乙丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 . 三、解答题：（70分，17题10分，18-22每题12分）17. (10分) 用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243的最大公约数.18. (12分)设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法,并画出相应的程序框图.(要求用循环结构)19. (12分)已知函数 y ={, 编写一程序求函数值.20.（12分）假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A ，C ，J ，K ，S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有三人被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率.(1)女孩K 得到一个职位；(2)女孩K 和S 各自得到一个职位.21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应 的生产能耗y （吨）的几组对照数据：(1)请求出x 、y 的平均值；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y=bx+a.22.一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全 相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球. (1)用列表或画树状图的方法列出所有可能结果；x x 11,1||≤≤-+ 1,12-<-　x x 1,33>+　x x(2)求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；(3)设第一次取出的球号码为x,第二次取出的球的号码为y. 求事件B=“点(x,y)落在直线y=x+1上方”的概率.高二理科数学期中考试答案出题人吉尚军一、选择题（60分）BCADA CBDAB CA二、（20分）13、2/5; 14、6,6; 15、16、三、17. 解: 324=243×1＋81243=81×3＋0则324与243的最大公约数为8118. 解:第一步:设i的值为1;第二步:设sum的值为0;第三步:如果i≤100执行第四步,否则转去执行第七步;第四步:计算sum＋i并将结果代替sum;第五步:计算i＋1并将结果代替i;第六步:转去执行第三步;第七步:输出sum的值并结束算法.第18题框图概率为＝故所求概率为22.解：（1）共有25种.（2）事件A包含的基本事件有15种，所以P(A)=3/5；（3）P(B)=6/25.。

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职高高二第一学期数学期末考试试卷班级 姓名 学号 得分一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符．．．．．．合题目要求的．．．．．．）1、圆0222=+++y x y x 的圆心坐标和半径分别是( ).A 45),1,21( .B 45),1,21(-- .C 25),1,21( .D 25),1,21(--2、设线段AB 的中点为M ，且A ( —4 , 0 ) , B (7 , -2 ) ，则点M 的坐标为 (）。

A 、)1,211(- B 、)1,23(- C 、)1,211(- D 、)1,23(-3、设直线m ∥平面a ，直线n 在a 内，则 ( ）。

A ．m ∥nB ．m 与n 相交C ．m 与n 异面D ．m 与n 平行或异面4、平行于x 轴，且过点（3,2）的直线方程为（ ).A.3=x B 。

2=y C.x y 23= D.x y 32=5、如果 a 、b 是异面直线,那么与 a 、b 都平行的平面（ ）A ．有且只有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不一定存在6、过空间一点,与已知直线平行的平面有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D 无数个7、半径为3且与y 轴相切于原点的圆的方程为( ).A 、()93-22=+y xB 、()9322=++y xC 、()9322=++y xD 、()93-22=+y x 或()9322=++y x8、点(5，7)到直线01-34=-y x 的距离=（ ）.A 、252B 、58C 、8D 、529、都与第三个平面垂直的两个平面（ ）A.互相垂直 B 。

绥棱县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D23． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（，]C ．（） D ．（]5． 二项式(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．6． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．7． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）8． 已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞810．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）11．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D12．已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．13．已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN << 14．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．15．底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60πD ．72π二、填空题16．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．17．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为18．i 是虚数单位，化简： = ．19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是 ．三、解答题20．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．（1）求a n 和b n ；（2）设c n =（n ∈N *），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．21．（本小题满分10分）求经过点()1,2P 的直线，且使()()2,3,0,5A B -到它的距离相等的直线 方程.22．（本小题满分12分）已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .24．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=na n﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并分别求出a n的表达式；（2）设数列的前n项和为P n，求证：P n＜；（3）设C n=，T n=C1+C2+…+C n，试比较T n与的大小．25．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．绥棱县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以()14160,2λλ+-==，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 2． 【答案】C【解析】由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3. 3． 【答案】C【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，b=5=，c=xdx=，∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．4． 【答案】A【解析】解：∵函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ）， ∴函数f （x ）关于x=m 对称，若φ∈（，），则sin φ＞cos φ，则由f （sin φ）=f （cos φ）， 则=m ，即m==（sin φ×+cos αφ）=sin （φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin （φ+）＜，则＜m ＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．5． 【答案】B【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3C 10n =，解得5n =，故选A ． 6． 【答案】B7． 【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）得f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－12）＝（e x －e －x ）（－12x ＋1＋12）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）＝f （x ），∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－12，即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－12}，故选C.8． 【答案】D【解析】解：∵“a 2＞b 2”既不能推出“a ＞b ”； 反之，由“a ＞b ”也不能推出“a 2＞b 2”． ∴“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件．故选D．9．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值10．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．11．【答案】A【解析】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A。

黑龙江省2023-2024学年度高二学年上学期期末考试数学学科试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（每题5分）1.已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为（）A.1y =- B.=1x - C.12x =-D.12y =-2.对于事件A ，B ，下列命题不正确．．．的是（）A.若A ，B 互斥，则()()1P A P B +≤B.若A ，B 对立，则()()1P A P B +=C.若A ，B 独立，则()()()P A P B P AB =D.若A ，B 独立，则()()1P A P B +≤3.与双曲线2212x y -=有相同渐近线，且与椭圆2214y x +=有共同焦点的双曲线方程是（）A.2212y x -= B.2212x y -= C.22142x y -= D.2212y x -=4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.()()P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12D.()()1P X c P Y c >+≤=5.已知圆2221:2160C x y mx m +-+-=与圆222:20C x y y +-=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m 的值为（）A. B. C.2± D.±6.五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（）A.18种B.12种C.36种D.24种7.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A.)+∞B.(C.(D.)+∞8.已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A. B.C. D.二、多选题（每题5分，少选给2分，全选对得满分，选错不得分）9.下列结论错误的是（）A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a = C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是9510D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是610.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是 0.32y x a=-+，相关系数0.9923r =-，则下列说法正确的有（）A.变量x 与y 负相关且相关性较强B.40a =$C.当85x =时，y 的估计值为13D.相应于点()105,6的残差为0.4-11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%,5%,4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5:6:9，现任取一个零件，记事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则（）A.()10.25P A =B.()216P B A =C.()0.048P B = D.()1516P A B =12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是（）A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为4πC.设()4,0N ，则AN 的最小值为D.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()4,0三、填空题（每题5分）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）14.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为，则C 的离心率为______.15.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________.16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是1F ，2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则122e e +的取值范围是_____________．四、解答题（共70分）17.已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程．18.某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X 为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）现增加一名女生A 得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为20s ，新女生样本阅读量的方差为21s ．若女生A 的阅读量为8本，写出方差20s 与21s 的大小关系．（结论不要求证明）19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ；（2）若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．20.钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人）166720173女生（人）25581082（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；比较了解不太了解合计男生女生合计（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X 为这4人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d=+++.21.“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利800-元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的三角形，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设12,F F 是椭圆E 的左､右焦点，椭圆E 的一个内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过点1F和2F，求这个平行四边形的面积的取值范围.黑龙江省2023-2024学年度高二学年上学期期末考试数学学科试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（每题5分）1.已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为（）A.1y =- B.=1x - C.12x =-D.12y =-【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】因为抛物线22x y =的焦点在y 轴正半轴上，所以准线方程为12y =-.故选：D ．2.对于事件A ，B ，下列命题不正确．．．的是（）A.若A ，B 互斥，则()()1P A P B +≤B.若A ，B 对立，则()()1P A P B +=C.若A ，B 独立，则()()()P A P B P AB =D.若A ，B 独立，则()()1P A P B +≤【答案】D 【解析】【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.【详解】因为A ，B 互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以()()1P A P B +≤，故选项A 正确；因为A ，B 对立，对立事件概率和为1，所以()()1P A P B +=，故选项B 正确；因为A ，B 独立，则A ,B 也相互独立，所以()()()P A P B P AB =，故选项C 正确；因为A ，B 独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率()()()P AB P A P B =，由概率大于零可知：()()1P A P B +≤不一定成立，故选项D 错误；所以命题不正确的是D ，3.与双曲线2212x y -=有相同渐近线，且与椭圆2214y x +=有共同焦点的双曲线方程是（）A.2212y x -= B.2212x y -= C.22142x y -= D.2212y x -=【答案】B 【解析】【分析】根据2212x y -=求出双曲线的渐近线方程22y x =±，从而得22a b =，由2214y x +=求得c =，从而求解.【详解】由题意设双曲线方程为22221y x a b -=，因为2212x y -=的渐近线方程为22y x =±，所以得2a b =，又因为2214y x +=的焦点为(0,，所以c =.由222c a b =+，所以可得：1a =，b =，故双曲线的方程为2212x y -=，故B 项正确.故选：B.4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.()()P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12D.()()1P X c P Y c >+≤=【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A ，Y 的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B ，因为c 与2μ之间的与密度曲线围成的面积1S 1,c μ＞与密度曲线围成的面积2S ，()()()()1211,,22P Y c S P X c S P X c P Y c =+=+∴＜＜＜＜＜，正确；对于C ， 21μμ＜，∴甲种茶青每500克超过2μ的概率()212P P X μ=＞＞，正确；对于D ，由B 知：()()()()211211,,1122P X c S P Y c S P X c P Y c S S =-=+∴+=+->＞＜＞＜，错误；故选：D.5.已知圆2221:2160C x y mx m +-+-=与圆222:20C x y y +-=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m 的值为（）A. B. C.2± D.±【答案】D 【解析】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可.【详解】圆2221:2160C x y mx m +-+-=可化为()221:16C x my -+=，圆心()1,0C m ，半径14r =；圆222:20C x y y +-=可化为()222:11C x y +-=，圆心()20,1C ，半径21r =；因为1C 与2C 有且仅有一条公切线，所以两圆内切，所以1212C C r r =-3=，解得m =±故选：D6.五一期间，小丁，小赵，小陈，小吴四人计划到溧阳天目湖，金坛茅山，春秋乐园三地旅游，每人只去一个地方，每个地方至少有一人去，且小丁不去溧阳天目湖，则不同的旅游方案共有（）A.18种B.12种C.36种D.24种【答案】D 【解析】【分析】利用分类加法计数原理，分小丁单独旅游与小丁与他人一起旅游两种情况，根据分组分配的解题思路，可得答案.【详解】第一种情况：当小丁独自去旅游，从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为12C 2=；小赵、小陈、小吴三人去另外两个地方旅游，利用分组分配的思路，可得方法数为212312C C A 31216=⨯⨯⨯=；则该情况下，总的方法数为2612⨯=.第二种情况：当小丁与他人组队去旅游，再从金坛茅山、春秋乐山中选一个，其方法数为1132C C 326=⨯=，其他两人去另外两个地方，其方法数为22A 2=，则该情况下，总的方法数为6212⨯=.故不同的旅游方法共有121224+=种.故选：D.7.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A.)+∞ B.( C.(D.)+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线可得渐近线方程为by x a =±，对于y kx =与双曲线无交点只需b k a ≤-或b k a≥，即可得3ba-≥-，进而求离心率的范围.【详解】由题设，双曲线渐近线方程为by x a=±，要使直线30x y +=与双曲线无交点，则3ba-≥-，即3b a ≤，而1e a<=≤.故选：C8.已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，结合角平分线的性质可得1PQF △是正三角形，再运用椭圆定义求得1PF ，2PF ，根据三角形面积公式求12F PF △的面积即可.【详解】设椭圆2221(03)9x y b b+=<<的长半轴为a ，则3a =设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ，由椭圆对称性及角平分线性质可知P ，2F ，Q 三点共线且1PQ PF =又因为12π3F PF ∠=，所以1PQF △是正三角形，设11||PF QF PQ m ===，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，126QF QF +=，又22||PQ PF QF =+，所以1112122PQ PF QF m =--=-，所以4m =，即14PF =，22PF =，所以12F PF △的面积121211sin 42222S PF PF F PF =∠=⨯⨯⨯=故选：C.二、多选题（每题5分，少选给2分，全选对得满分，选错不得分）9.下列结论错误的是（）A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a =C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是10D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是6【答案】AD【解析】【分析】A 选项，求出直线AB 的斜率，进而判断出倾斜角的大小；B 选项，利用两直线垂直关系得到方程，求出a ；C 选项，利用两平行线间距离公式求出平行线间距离；D 选，作出辅助线，利用对称思想求出最小值.【详解】对于A ，直线AB 的斜率131312k -==--，设其倾斜角为θ，则1tan 23θ=<，由于tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故30θ<︒，故倾斜角小于30︒，A 错误；对于B ，由直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，得230a -=，解得32a =，B 正确；对于C ，直线240x y +-=化为2480x y +-=，因此两平行直线的距离10d ==，C 正确；对于D ，点(1,1)B -关于x 轴的对称点为(1,1)B '--，连接AB '交x 轴于点0P ，点P 是x 轴上任意一点，连接0,,,BP AP BP PB '，于是0000PA PB PA PB AB AP B PAP BP '''+=+≥=+=+，当且仅当点P 与0P 重合时取等号，因此min ()5PA PB AB '+====，D 错误.故选：AD10.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是 0.32y x a=-+，相关系数0.9923r =-，则下列说法正确的有（）A.变量x 与y 负相关且相关性较强B .40a =$C.当85x =时，y 的估计值为13D.相应于点()105,6的残差为0.4-【答案】ABD 【解析】【分析】根据相关性、相关系数判断A ，利用样本中心点判断B ，将85x =代入回归直线方程判断C ，求得105x =时y 的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.【详解】对A ，由回归直线可得变量x ，y 线性负相关，且由相关系数0.9923r =可知相关性强，故A 正确；对B ，由题可得()190951001051101005x =++++=，()1111086585y =++++=，故回归直线恒过点()100,8，故 80.32100a =-⨯+，即40a =$，故B 正确；对C ，当85x =时， 0.32854012.8y =-⨯+=，故C 错误；对D ，相应于点()105,6的残差()60.32105400.4e=--⨯+=- ，故D 正确.故选：ABD.11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%,5%,4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5:6:9，现任取一个零件，记事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则（）A.()10.25P A =B.()216P B A =C.()0.048P B =D.()1516P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】AB 选项，根据题意可得到()1515694P A ==++，()25%P B A =，判断AB ；C 选项，根据全概率公式进行求解；D 选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB 选项，事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则()1515694P A ==++，()26356910P A ==++，()39956920P A ==++，()16%P B A =，()25%P B A =，()34%P B A =，故A 正确，B 错误；C 选项，()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++1396%5%4%0.04841020=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；D 选项，()()()()()()11110.256%50.04816P B A P A P A B P A B P B ⨯====，故D 正确．故选：ACD ．12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是（）A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为4πC.设()4,0N ，则AN 的最小值为D.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()4,0【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：利用A ，B ，F 三点的位置与,,AF BF AB 的关系及抛物线的定义求AB 的最大值；对于B ：利用点A ，B 在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A ，B 两点纵坐标间的关系；对于C ：利用点A 在抛物线上及两点间的距离公式，将AN 转化为点A 纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求AN 的最小值；对于D ：设直线AB 的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A ，B 纵坐标的一元二次方程，结合OA OB ⊥及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB 方程中的参数，确定直线AB 所过的定点【详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ．对于选项A ：若AB 中点M 的横坐标为3，则6A B x x +=，可得28A B AB AF BF x x ≤+=++=，当且仅当A ，B ，F 三点共线时，等号成立，所以AB 的最大值为8，故A 正确；对于选项B ：若AB 中点M 的纵坐标为2，则4A B y y +=，由题意可知直线AB 的斜率存在，则A B ABA B y y k x x -=-224144A B A B A B y y y y y y -===+-，所以直线AB 的倾斜角为4π，故B 正确；对于选项C ：设2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭，则AN ===≥，当且仅当t =±时，等号成立，所以AN的最小值为，故C 错误；对于选项D ：设直线AB 的方程()0x my n n =+≠，代入抛物线24y x =，得2440y my n --=，则216160m n ∆=+>，可得44A B A By y my y n +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，所以()()⋅=+=+++A B A B A B A BOA OB x x y y my n my n y y uu r uu u r()()()222222141404=++++=-++==+-A B A B m y y mn y y n n m m n n n n ，因为0n ≠，解得4n =，满足0∆>，则直线AB 的方程为4x my =+，所以直线AB 过定点()4,0，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（每题5分）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】根据4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可求出结果.【详解】4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()4k4k 421441C 3=C 13kk k k k k T x x x ---+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令420k -=，得2k =，所以4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开始得常数项为()2224C 1354-=.故答案为：54.14.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为，则C 的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为:0bx ay +=,，圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2),半径为2，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为1==，等式两边同时平方即有222241,4a c a c==，可得2224c e a==，即2e =.故答案为：2.15.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________.【答案】22134y x +=．【解析】【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．【详解】由题意1(,0)2F ，P 在线段AB 的垂直平分线上，则PB PA =，所以2PF PA PF PB FB +=+==，又1AF =，所以P 在以,A F 为焦点，长轴长为2的椭圆上，22a =，1a =，12c =，则22234b a c =-=，所以轨迹方程为22134y x +=．故答案为：22134y x +=．16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是1F ，2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则122e e +的取值范围是_____________．【答案】7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得12112e e -=，进而可得到122e e +关于2e 的表达式，构造函数()2f e ，再根据函数()2f e 在()1,+∞上的单调情况即可解得122e e +的取值范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，由110PF =，即有10m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，则15a c =+，25a c =-，相减可得122a a c -=，即12112e e -=，得21221121242e e e e ==-++，所以12221122242e e e e +=-++，11e >，显然()222112242f e e e =-++在()1,+∞上单调递增，所以()()2713f e f >=，所以122e e +的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭．故答案为：7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：根据题意得到12112e e -=，从而得到122e e +关于2e 的表达式，构造函数()2f e ，再根据函数()2f e 在()1,+∞上的单调性是解答本题的关键．四、解答题（共70分）17.已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程．【答案】（1）22(2)1x y -+=（2）3x =或3410x y --=【解析】【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【小问1详解】由题可知10123AB k -==--,所以线段AB 的中垂线的斜率等于1，又因为AB 的中点为51,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段AB 的中垂线的直线方程为1522y x -=-，即20x y --=，联立240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩，所以圆心(2,0)C 又因为半径等于1AC =,所以圆C 的方程为22(2)1x y -+=.【小问2详解】设圆C 的半径为r ，则1r =，若直线的斜率不存在，因为直线过点()3,2，所以直线方程为3x =，此时圆心(2,0)C 到直线3x =的距离1d r ==，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离1d ==，解得34k =，所以切线方程为392044x y -+-=，即3410x y --=.所以切线方程为3x =或3410x y --=.18.某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X 为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）现增加一名女生A 得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为20s ，新女生样本阅读量的方差为21s ．若女生A 的阅读量为8本，写出方差20s 与21s 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）517（2）分布列见解析；期望为712（3）2201s s >【解析】【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解，（2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解，（3）根据方差的计算公式即可求解.【小问1详解】共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为517．【小问2详解】由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为3193=；从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为2184=．由题设，X 的可能取值为0，1，2．且111(0)11342P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；11115(1)11343412P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111(2)3412P X ==⨯=．所以X 的分布列为：X12P12512112X 的数学期望1517()0122121212E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】2201s s >．理由：设原女生的8个阅读量分别为{},1,2,3,4,5,6,7,8i x i ∈，原女生阅读量的平均数为556789111388x +++++++==，新增一名女生后，平均数依然为8，则()()()()88822222211111118,8888899i i i i i i s x s x x ===⎡⎤=-=-+-=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑所以2201s s >19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ；（2）若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．【答案】（1）16（2）10x y +-=【解析】【分析】（1）首先可得直线l 的方程，设()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线l 与抛物线的方程消元，然后可得12x x +的值，然后可得答案.（2）利用点差法求出l 的斜率即可得答案.【小问1详解】因为l 的倾斜角为6π，()1,0F ，所以直线l 的方程为()313y x =-，联立()2134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得21410x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1214x x +=，所以1216x x p AB +=+=；【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==，所以()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，因为线段AB 的中点坐标为()3,2-，所以124y y +=-，所以()()121244y y x x --=-，所以l 的斜率为12121y y x x -=--，所以l 的方程为()23y x +=--，即10x y +-=.20.钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人）166720173女生（人）25581082（1）完成如下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；比较了解不太了解合计男生女生合计（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X 为这4人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6.【解析】【分析】（1）依题意填写22⨯的列联表，根据公式求出2K ，然后判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．（2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到X 的分布列，然后求数学期望()E X ．【详解】（1）依题意填写22⨯的列联表如下：比较了解不太了解合计男生402060女生202040合计604010022100(40202020) 2.78 3.84160406040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”.（2）抽取的女生人数为40104100⨯=（人），男生人数为60106100⨯=（人）.所以X 的可能取值为0,1,2,3,4，则041322464646444101010183(0),(1),(2),14217C C C C C C P X P X P X C C C =========31446444101041(3),(4)35210C C C P X P X C C ======.因此X 的分布列为X1234P114821374351210数学期望为18341()01234 1.61421735210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，属于基础题．21.“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利800-元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）15（2）分布列见解析，640【解析】【分析】（1）求一个批次杨梅不能销售的概率，可用对立事件来求解，即两轮检查都通过.（2）每个批次杨梅销售情况相互独立且重复，基于此可快速利用独立事件的计算公式求出分布列,进而算出期望.【小问1详解】记“一个批次杨梅不能销售”为事件A ，则111()1(1)(1)9105P A =--⨯-=，所以一个批次杨梅不能销售的概率为15.【小问2详解】依据题意，X 的取值为3200-，2000-，800-，400，1600，411(3200)()5625P X =-==，()31414162000C 55625P X ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241496(800)C ()()55625P X =-==，313414256(400)C ()()55625P X ===，44256(1600)()5625P X ===，所以X 的分布列为：X3200-2000-800-4001600P1625166259662525662525662511696256256()320020008004001600640625625625625625E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的三角形，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设12,F F 是椭圆E 的左､右焦点，椭圆E 的一个内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过点1F 和2F ，求这个平行四边形的面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）(]0,6【解析】【分析】（1）由题意列出方程租，解方程组即可得出答案；（2）可设直线AB 的方程为1x ty =+，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出OAB S 的面积，椭圆E 的内接平行四边形ABCD 的面积4OAB S S = ，再由基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意可知22222,1914a b c ab bc ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线AB 的斜率不为0.由（1）得()21,0F ，故可设直线AB 的方程为1x ty =+，联立221,3412,x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理，得()2234690t y ty ++-=，显然Δ0>恒成立，12122269,3434t y y y y t t --∴+==++.12234y y t ∴-===+，连接,OA OB，2221221234OAB OF A OF BS S S OF y y t ∴=+=⨯⨯-=+ ，∴椭圆E的内接平行四边形ABCD 的面积2434OABS S t ==+.令1m =≥，则224241313m m m mS =+=+.设()13f m m m=+，易知在[)1,+∞上单调递增，()[)4,f m ∞∴∈+(]0,6S ∴∈，故平行四边形的面积取值范围是(]0,6.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出OAB S 的面积，椭圆E 的内接平行四边形ABCD 的面积4OAB S S = ，再由基本不等式求解即可.。