北京一零一中学2017-2018学年高三下学期统练(三)数学(理)试题 Word版含答案

2017年北京101中高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．22．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）A．B．C．D．5．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．26．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c8．设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n}为递增数列，{S2n}为递减数列﹣1D．{S2n}为递减数列，{S2n}为递增数列﹣1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=．10．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为．11．直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．12．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．16．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；（2）设数表A∈S（2，3）形如求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．2017年北京101中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B3．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”不一定成立，﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0， +（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要而不充分条件，﹣1故选：C．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、用、表示，再代入数量积公式计算即可．【解答】解：如图所示，∵D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，∴==（﹣），∴=+=+=+（﹣）=﹣；∴•=（﹣）•=﹣•=×12﹣×1×1×cos=﹣．故选：B．5．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．6．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C8．设△A n B n C n 的三边长分别是a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ∈N *，若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，b n +1=，则（ ）A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【考点】数列的函数特性．【分析】由a n +1=a n 可知△A n B n C n 的边B n C n 为定值a 1，由b n +1+c n +1﹣2a 1=（b n +c n ﹣2a n ），b 1+c 1=2a 1得b n +c n =2a 1，则在△A n B n C n 中边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值，由此可知顶点A n 在以B n 、C n 为焦点的椭圆上，根据b n +1﹣c n +1=（c n ﹣b n ），得b n ﹣c n =，可知n→+∞时b n →c n ，据此可判断△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b 1=2a 1﹣c 1且b 1＞c 1，∴2a 1﹣c 1＞c 1，∴a 1＞c 1， ∴b 1﹣a 1=2a 1﹣c 1﹣a 1=a 1﹣c 1＞0，∴b 1＞a 1＞c 1，又b 1﹣c 1＜a 1，∴2a 1﹣c 1﹣c 1＜a 1，∴2c 1＞a 1，∴c 1，由题意，b n +1+c n +1=+a n ，∴b n +1+c n +1﹣2a n =（b n +c n ﹣2a n ），∴b n +c n ﹣2a n =0，∴b n +c n =2a n =2a 1，∴b n +c n =2a 1，又由题意，b n +1﹣c n +1=，∴b n +1﹣（2a 1﹣b n +1）==a 1﹣b n ，b n +1﹣a 1=（a 1﹣b n ）=（b 1﹣a 1）．∴b n =a 1+（b 1﹣a 1），c n =2a 1﹣b n =a 1﹣（b 1﹣a 1），=•=单调递增．可得{S n }单调递增．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=98．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，∴，解得a1=﹣1，d=1，∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案为：98．10．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为112．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n，利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．==（﹣2）r．的通项公式为：T r+1令=0，解得r=2．∴常数项==112．故答案为：112．11．直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为±．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．12．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）．单调递减区间为[+kπ， +kπ]（k∈Z）．（2）当时，≤2x﹣≤，，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．只需满足：mt2+mt+3≥f（x）max成立即可．即mt2+mt+1≥0即可．①当m=0时，恒成立②当m≠0时，只需满足解得：0＜m≤4综合所得：0≤m≤4．16．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．18．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；（2）设数表A∈S（2，3）形如求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．【考点】进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理．【分析】（1）根据r i（A），C j（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明（3）首先构造满足的A={a i，j是最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8∴K（A）=0.7（2）先用反证法证明k（A）≤1：若k（A）＞1则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0同理可知b＞0，∴a+b＞0由题目所有数和为0即a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1与题目条件矛盾∴k（A）≤1．易知当a=b=0时，k（A）=1存在∴k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为．}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：首先构造满足的A={a i，j，．经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得．由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h ≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x ﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为．2017年4月18日。

北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷（理科）一、选择题：共8小题，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数z 满足z （1+i ）=2，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线l 1：x+ay-1=0，l 2：（a+1）x-ay=0，若p ：l 1∥l 2；q ：a=-2，则p 是q 的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数z=-2x+y 的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 0D. 24. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值n 为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25. 函数y=2x 2-e |x|在[-2，2]的图象大致为（ ）6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A. A 26×A 45种B. A 26×54种 C. C 26×54种 D. C 26×A 45种7. 设函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（A ，ω，ϕ是常数，A>0，ω>0），且函数f （x ）的部分图象如图所示，则有（ ）A. )67()35()43(πππf f f <<- B. )35()67()43(πππf f f <<- C. )35(πf <<)67(πf )43(π-fD. )35(πf <)43(π-f )67(πf < 8. 已知A 、B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点。

北京一零一中 2015-2016 学年度第二学期统考三高三数学（理）一、选择题：本大题共8小题，共 40分.1. 已知 i 为虚数单位， a,b2R ，则 “a b 1”是 “ a bi2i ”的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件2. 在 1,2,3,4,5 这 5 个数字构成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A.36 个B.24 个C.18 个D.6个3. 已知 0a b 1 ，则（ ）1 11ab1 112lg b 2A.aB.C. lg aD.lg bb2 2lg a4.设 D 为 ABC 所在平面内一点，BC 3CD ，则（）A. AD1AB4ACB. AD1 AB4AC3333C. AD4AB1ACD. AD4AB1AC33335. 已知点Q22,0 及抛物线 x 2 4 y 上一动点 P x, y ，则 yPQ 的最小值是（）A. 1B.1C.2D. 326. 某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的侧面积是（）A.27B.30C. 32D.3634正视图侧视图俯视图y07. 若x, y知足x y30 且 z2x y 的最大值为 4 ，则k的值为（）kx y303322A. B. C. D.22338. 某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思想和阅读表达两项能力的测试.学校正参加测试的200名学生的逻辑思想成绩、阅读表完成绩以及这两项的总成绩进行了排名，此中甲、乙、丙三位同学的排名状况以以下图所示：以下表达必定正确的选项是（）A. 甲同学的阅读表完成绩排名比他的逻辑思想成绩排名更靠前B. 乙同学的逻辑思想成绩排名比他的阅读表完成绩排名更靠前C. 甲、乙、丙三位同学的逻辑思想成绩排名中，甲同学更靠前D. 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分.9.如图，在ABC 中，ABC90 ，AB3， BC4 ，点O 为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别订交于点M , N，则AN________，AM_______.MCAMNBOC10. 在 ABC 中，若 a2 ， c3 ， A4，则 B 的大小为 __________.11. 在等差数列 a n 中，若 a 4a 6 a 8a 10a12120 ，则 a 91a 11 的值为 ________.312. 已知点 P x, y到 A 0,4 和 B 2,0 的距离相等，则2x 4y 的最小值为 _______.13. 将 n 2 个正整数 1,2,3,..., n 2 n 2 随意摆列成 n 行 n 列的数表，关于某一个数表，计算 各行和各列中的随意两个数 a, ba b 的比值 a，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值 . ”当 n 2 时，数表的全部可能的 b“特点值 ”的最大值为 _________.2x a, x1,14. 设函数 f x4 x a x 2a , x 1.①若 a 1，则f x 的最小值为_________；②若 f x 恰有2个零点，则实数 a 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分）15. 设函数 f x4cos x sin x 3 ， x R ..3（ 1）当x0,时，求函数 f x 的值域；2（ 2）已知函数y f x 的图象与直线y 1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16.A, B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的痊愈时间（单位：天）记录以下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14, a.假定全部病人的痊愈时间互相独立，从 A, B 两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（1）求甲的痊愈时间许多于 14 天的概率；（2）假如a 25，求甲的痊愈时间比乙的痊愈时间长的概率；（3）当a为什么值时，A, B 两组病人痊愈时间的方差相等？（结论不要求证明）17. 如，在四棱P ABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，点 E 是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F.（ 1）求：AB / /EF；（ 2）若PA PD AD ,且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的二面角的余弦.PEFD CBA18. 已知函数 f x 2ln x 1 .（ 1）若函数 f x 在点 P x0, f x0的切方程y 2x ，求切点P的坐；（ 2）求：当x 0, e 1 ， f x x22x ；（此中e 2.71828 ⋯）；2（ 3）确立非数．．．．a的取范，使得x 0 ， f x a 2x x成立.19. 已知椭圆C :x2y2221 a b0 上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的a b短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A, B 分别是椭圆 C 的左、右极点.（1）求圆O和椭圆C的方程；（2）已知P,Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P, Q位于y轴双侧），且直线PQ与x轴平行，直线 AP, BP 分别与y轴交于点 M , N .求证：MQN 为定值.20. 已知a n是由非负整数构成的无量数列，该数列前n 项的最大值记为A n，第n 项以后各项 a n 1, a n 2,.... 的最小值记为B n， d n A n B n.（ 1）若a n为2,1,4,3,2,1,4,3,...，是一个周期为 4 的数列（即对随意n N * ，a n 4a n）写出 d1 , d2 , d3 , d4的值；（ 2）设d为非负整数，证明：d n d n 1,2,3,... 的充足必需条件为a n为公差为d的等差数列；（ 3）证明：若a1 2 ， d n 1 n 1,2,3,... ，则 a n的项只好是1或2，且有无量多项为1.北京一零一中 2015-2016 学年度第二学期统练三高三数学（理）参照答案一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 .题号12345678答案A B D A C D B C二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .9.913 ,910.或213163311. 1612. 4 2314.1, 1,12,13.22三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分15. 解:（1）f x4cos x1 sin x 3 cos x322=2sin x cosx 2 3cos 2 x3=sin 2x3cos2 x=2sin 2x3当 0 x时，2x2，3sin 2x1332233故当 x 0,时，函数 f x 的值域为3 ,122（2）当 f x 1 ，即2sin 2x1sin 2x31时322x2k或 2k 5Zk366解得： x k或 k7124故函数 y f x 的图象与直线y 1相邻两个交点间的最短距离为712 4 316.解：（1）由题意可知：A组 7 位病人中痊愈时间许多于 14 天的共有 3 人，故从 A 组中选出的人甲痊愈时间许多于14 天的概率为37（2）当a25 时，甲的痊愈时间比乙的痊愈时间长的状况有：甲13141415151516161616乙12121312131412131415共 10 种，故甲的痊愈时间比乙的痊愈时间长的概率为107= 10749（3）a1817.解：（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：AB / /CD，因 CD平面PCD，AB平面PCD故由线面平行的判断定理可得：AB// 平面 PCD又 AB平面ABEF，平面ABEF平面PCD=EF故由线面平行的性质定理可得：AB//EF .（2）以下图，取AD的中点O，连结OB、OP由题意易知：ABD 为正三角形，BO AD而由 PA PD AD 可得：PO AD又平面 PAD平面ABCD，PO平面PAD平面 PAD平面ABCD AD故由面面垂直的性质定理可得：PO平面ABCD而 BO, AD 平面 ABCD于是由线面垂直的性质定理可得：PO BO， PO AD以 OA 所在直线为x轴，以 OB 所在直线为y轴，成立以下图的空间直角坐标系，设 PA PD AD 2a易知 A 、 B 、 F 三点坐标分别为a 3a,0,0 ， 0, 3a,0,0,a22于是 ABa, 3a,0 AF3a,0, 3 a22设平面 AFE 即平面 ABEF 的法向量为 nx 0 , y 0 , z 0n AB ax 03ay 0 0x 03y 0则有3ax 03az 0 0解得：n AFz 03x 022取 y 0 1 可得： x 0 3 ， z 0 3故平面 AFE 的一个法向量为 n3,1,3易知 OB平面 PAD于是平面 PAF 即平面 PAD 的一个法向量为 OB0, 3a,0设平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角为，则n OB 3a 13cos13 3a=n OB1318. 解（1）f x 的导函数 f ' x2x 1 x1可知： f x02ln x0 1 ，f ' x021x0依题意有： k f ' x022故可得：2x01解得： x00于是f x02ln10即所求切点 P 的坐标为0,0（ 2）证明：令 g x 2ln x 1 x22x其导函数 g ' x2 2 2x22x 2xx 0,e 1 x11令 g ' x 0可得：0x 2 ；令 g ' x 0可得：x 2 .故 g x 的单一递加区间为0, 2 ，单一递减区间为2, e1而 g 00 ，g e 1 2ln e e 122 e 1 4e e2 1 0g x 在区间 0,e 1 上的最小值为0 .进而当 x2. 0,e 1 时， f x x 2x（ 3）令h x f x a 2x x22ln x 1ax 22ax x 0其导函数 h ' x22ax2a2ax2 a 1a0x1x1① a 0时， h ' x2在 x0时恒成立，x 1故 h x2ln x1在区间 0,上单一递加，此时 h x 在区间 0,上的最小值为：h 02ln10 ，所以当 a 0 时，h x0，即2ln x a 2x x2关于随意 x0 恒成立；②当 0 a 4 时，可知h ' x0 在x0 时恒成立，故 h x 在区间 0,上单一递加，此时 h x 在区间 0,上的最小值为：h 02ln10 ，所以当 0 a 4 时，h x0 ，即2ln x a 2x x2关于随意x0 恒成立；③当a 4 时，令h ' x0 ，可得：x a 1；a令 h ' x0 ，可得： 0 x a 1 .a故 h x 在区间0,a 1上单一递减，在区间a 1,上单一递加.a a此时 h x 在区间 0,上的最小值为 h x mina 1 ha2则有： h a 12ln a 1 1a a 12aa 1a a a aa 12ln1 a 1 2 a2a0aa1，故当 a 4 时不切合题意.又知 h h 0 0a综上所述：当 0 a 4 时，使得x 0 ， f x a 2x x2恒成立.19.解：（1）由题意易知：2a 4, b c又 a2b2c2，故可得： a 2, b c2所以所求圆 O 的方程为x2y 22椭圆 C 的方程为x2y21 42（2）依题意可设P点坐标为x p , y p，有：x P22 y P24易知椭圆左右极点 A, B 的坐标分别为2,0 ， 2,0直线 AP 的方程为：y k AP x 2y P x 2x P2直线 BP 的方程为：y k BP x 2y P x 2x P2于是可得： M 、 N 两点坐标分别为0,2 yP，0,2yP x P 2x p 2依题意设 Q 点坐标为x Q , y Q，有y Q y P , x Q2 y Q22于是， MQ x Q , y p2 y P， NQ x Q , y P2 y P x P2x P2故有： MQ NQ x Q2y P 2 1212x p2x p2x2y2x P2x P2Q Px P x Px2y2x P2Q Px P242y P2y P24 2 y P22 y P2所以， MQ NQ ，即 MQN90 为定值20. 解：（1）由题意可得：A12, B11, d1A1 B1211；A22,B21,d2A2B22 1 ；1A3 4 ,B31,d3A3B34 1 ；3A4 4 ,B41,d4A4B44 1 . 3（2）充足性：设数列a n为公差为d的等差数列， d 0且 d N *则 A n a n , B n a n 1， d n A n B n a n a n 1d必需性：设 d n d n 1,2,3,...则有d1A1B1a1a2d假定 a k是第一个使 a k a k 10 的项，则 d k A k B k a k 1B k a k 1a k0这与 d n d 0 相矛盾，故a n是一个不减的数列 .d n A n B n a n a n 1 d ，即 a n 1a n d ，故 a n是公差为d的等差数列 .（ 3）证明：若 a1 2 ， d n 1 n 1,2,3,...第一，a n的项不可以等于零，不然d1 2 0 2 ，矛盾；并且，a n的项不可以超出 2，证明以下：假定 a n的项中， a m是第一个大于2的项 .因为 a n的项中必定有1，不然与 d1 1 矛盾，所以，存在最大的 i 在 2 到m1之间，使得a i1此时， d i A i B i 2 B i 2 20 ，矛盾 .综上所述，a n的项不可以超出 2，故 a n的项只好是1或 2.下边用反证法证明a n的项中，有无量多项为1.若 a k是最后一个 1，则 a k后边各项均为2，故 d k A k B k 2 2 0 ，与已知条件矛盾 .所以，假定不可立，原结论正确，即a n的项中有无量多项为1综上可得：a n的项只好是1或2，且有无量多项为1 .。

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下列导数公式正确的是（ ） A. （x n ）'=nx n B. （1x）'=21xC. （sinx ） '=-cosxD. （e x ） '=e x【答案】D 【解析】分析：熟练记忆求导公式． 详解：根据求导公式，A 选项()1'nn x nx-= ，所以A 错误．B 选项（1x ）'=21x- C 选项（sinx ） '= cosx D 选项（e x ） '=e x 所以选D点睛：本题考查了几种常见的求导公式，要熟练掌握，属于简单题． 2. 下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值为（ ）A.14B.13C.12D.16【答案】A 【解析】分析：离散型随机变量各概率和为1，即可求出a 的值． 详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，1111634a +++= 所以求得14a = 所以选A点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题． 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P （B|A ）=（ ） A .118B.112C.13D.29【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，()P B A =()()P AB P A ，可先分别求出()P AB 与()P A ． 详解：111()224P A =⨯= 111()36612P AB =⨯⨯=根据条件概率的运算()P B A = ()()P AB P A 1112134== 所以选C点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题．4. 若11()ax x-⎰dx=1-12ln3，且a>1，则a 的值为（ ） A. -3 B. 1n3D. 3【答案】C 【解析】分析：由微积分基本定理，可求出21()ln 2F x x x =-，列出方程组即可求得a 的值． 详解：根据微积分基本定理21111ln 2aax dx x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰ 2111ln 1ln 3222a a ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以211122a a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以a = 所以选C点睛：本题考查了微积分基本定理的应用，主要是求出原函数，根据积分的上限下限求其值．除了微积分基本定理，还可以用面积法求积分值．5. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A. k 3+1 B. （k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D. 63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到． 详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题． 6. 函数y=e x （x 2-3）的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据特殊值，可排除错误选项．详解：根据函数y=e x （x 2-3），当x →+∞ 时，函数值y →+∞ 当x →-∞ 时，函数值0y →，且0y >所以可排除A 、B 、D ． 所以选C点睛：本题考查了根据函数解析式选择正确的函数图像，利用特殊值法可快速排除错误选项．关键是特殊值的选择，要具有特征性，属于简单题．7. ①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12，由反证法证明时可假设1(1)2f ≥，且1(2)2f ≥，以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C 【解析】 【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可.【详解】解：①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于12． 用反证法证明时假设应为|f （1）|>12且|f （2）|>12，所以②错误． 故选C.【点睛】本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于基础题. 8. 若函数y=f （x ）对任意x ∈（-2π，2π）满足f'（x ）cosx-f （x ）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ） f （-4π）<f （-3π）f （-4π）>f （-3π）C. f （-4π）f （-3π）D. f （-4π）f （-3π）【答案】B 【解析】分析：根据所给式子'()cos ()sin 0f x x f x x ->，构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用函数的单调性即可得到正确答案． 详解：因'()cos ()sin 0f x x f x x ->，所以[]cos ()'0x f x ⋅>令()cos ()g x x f x =⋅ ，所以()g x 为单调递增函数 因为2342ππππ-<-<-<所以()()34g g ππ-<-，即cos ()cos ()3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫-⋅-<-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得()()34f ππ-<-所以选B点睛：点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，主要是根据所给式子的特征构造函数，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．二、填空题共6小题.9. 已知函数f （x ）=sinx,则0()()22limx f x f xππ∆→+∆-∆__________. 【答案】0． 【解析】分析：根据导数的定义，求得0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆，求出'()cos f x x =，代入求解． 详解：0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆ 因为()sin f x x =，所以'()cos f x x = 所以'()cos022f ππ==点睛：本题考查了导数的定义和简单的求导公式，属于简单题． 10. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为_________． 【答案】49． 【解析】分析：根据独立重复试验概率进行简单的计算．详解：3次射击恰好有两次击中目标，根据独立重复试验概率的计算223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查了独立重复试验的概念和计算，属于简单题．11. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份． 【答案】15． 【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量．详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．12. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为__________．【答案】e 2-2． 【解析】分析：根据微积分基本定理，可以求出曲边形ACB 的面积，而函数xy e = 与ln y x =关于y x = 对称，所以两空白部分的面积相等；用正方形的面积减去空白面积即为阴影部分面积． 详解：正方形的面积为2e ； A （1，e ），B （0,1）所以曲边形ACB 的面积为110xx e e dx ex e-=-⎰0(1)1=--=因为xy e = 与ln y x =互为反函数，图像关于y x = 对称所以曲边形DEF 的面积等于曲边形ACB 的面积，都为1．所以阴影部分的面积为22e -点睛：本题考查了微积分基本定理的基本应用，互为反函数图像间的关系，属于简单题．13. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N （n,k ）（k≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N （n ，3）=12n 2+12n ， 正方形数N （n ，4）=n 2， 五边形数N （n ，5）=32n 2-12n ， 六边形数N （n ，6）=2n 2-n ， …可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，20）=________． 【答案】820． 【解析】分析：根据三角形、正方形、五边形及六边形的值，可以归纳出n 变形的表达式，代入公式即可求解． 详解：根据给出的表达式，可以归纳出N （n ，k ）的表达式为()()2112422k n k n -⋅+-⋅ 所以当10,20n k == 时，代入求值为()()211202104201082022-⋅⨯+-⋅⨯= 点睛：本题考查了归纳推理的综合应用，通过归纳出的表达式，求出具体某一项的值，属于简单题．14. 函数f （x ），g （x ）的定义域都是D ，直线x=x 0（x 0∈D ），与y=f （x ），y=g （x ）的图象分别交于A ，B 两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f （x ），y=g （x ）为“平行曲线”，设f （x ）=e x -alnx+c （a>0，c≠0），且y=f （x ），y=g （x ）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g （1）=e ，g （x ）在区间（2，3）上的零点唯一，则a 的取值范围是_________.【答案】（2ln 2e ，3ln 3e ）． 【解析】分析：根据平行曲线的定义，求出()g x 表达式；通过分离参数，分析出()ln xe h x x=在（2,3）上的单调性，即可求出a 的取值范围．详解：因为()f x 与()g x 是在（0，+∞）上的平行曲线，且|AB|≠0，所以可将()f x 的图像上下平移得到()g x 的图像．因为()ln xf x e a x c =-+ ，设()()ln xg x f x m e a x c m =+=-++，因为(1)g e = ，代入可得0c m += 所以()ln xg x e a x =-令()0g x =，分离参数a ，得ln xea x=．令()ln x e h x x =因为()g x 在（2,3）上存在唯一零点，即y a = 与()ln xeh x x=在（2,3）有且仅有一个交点．21(ln )'()(ln )x e x x h x x -=因为在(2,3)x ∈ 时，'()0h x > 所以()h x (2,3)上单调递增．若满足即y a = 与()ln x eh x x=在（2,3）有且仅有一个交点所以(2)(3)h a h << ，代入23ln 2ln 3e e a <<即a 的取值范围为23(,)ln 2ln 3e e点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用函数的单调性求其值域等知识点，综合性强，属于难题．三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15. 已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值． 【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =- 【解析】 【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()(),x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()1,+∞ 极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =． （2）因为()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ， 则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或，当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-． 所以2b =-或5327b =- . 【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率： （2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）58（2）见解析 【解析】分析：（1）根据独立事件，可以求出没有人倾向于选择实体店的概率；利用对立事件的概率，可以求出解． （2）根据离散型随机变量的概率分布，列出分布列，即可求出数学期望．详解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P （A ）=1-P （A ）=1-11321144C C C C =58．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P （X=k ）=33538k kC C C -， 则P （X=0）=033538528C C C =，P （X=1）= 1235381528C C C =， P （X=2）=2135381556C C C =，P （X=3）=303538156C C C =. 所以X 的分布列为所以E （X ）=0×28+l×28+2×56+3×56=8． 点睛：本题考查了排列组合数的运算，对立事件的概率，离散型随机变量的概率分布和数学期望，属于简单题．17. 已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝214n n b a -(n∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上【答案】（1）2x ＋y ＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出P 2的坐标，列出直线的两点式方程，化简即可；（2）由（1）知，n=1时，2a 1＋b 1=1成立，假设n=k 时，2a k ＋b k =1成立，进而证得当n=k+1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立，故n ∈N *，P n 都在直线l 上.【详解】(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，故b 2＝111413-=-⨯，a 2＝1×13＝13，∴P 211,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴直线l 的方程为11111133y x +-=+-，即2x ＋y ＝1. (2)证明:①当n ＝1时，由（1）知，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立，②假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．当n ＝k ＋1时，则()()111112122221211141212k k k k k k k k k k k k k kb b a a b a b b a b a a a a +++++-+=⋅+=+⋅=+⋅===--- ∴当n ＝k ＋1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立．由①②知，对于n∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．【点睛】本题考查了直线的两点式方程；考查了数学归纳法的证明，一般步骤为： ①证明n 取第一个值n 0时命题成立；②假设n=k (k≥n 0且k∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立，即可确认命题从n 0开始的所有正整数都成立；注意，在证明n=k 到n=k+1成立时，一定要用到n=k 时得到的中间过渡式. 18. 已知函数f （x ）=-a 2 lnx+x 2-ax （a ∈R ）．（1）试讨论函数f （x ）的单调性：（2）若函数f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）a ∈（-12+e ，-234e ）． 【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x ）=()()2x a x a x+-，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性．（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a 的范围即可．详解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f （x ）=-a 2lnx+x 2-ax （a ∈R ） 可知f'（x ）=()()222222x a x a a x ax a x a x x x+----+-==， 所以若a>0，则当x ∈（0，a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减，当x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增；若a=0，则当f'（x ）=2x>0在（0，+∞）内恒成立，函数f （x ）单调递增；若a<0，则当x ∈（0，-2a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减， 当x ∈（-2a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增． （2）若a>0，f （x ）在（0，a ）单调递减，在（a ，+∞）单调递增．若a<0，f （x ）在（0，-2a ）单调递减，在（-2a ，+∞）单调递增． 由题意，若f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，则有()()()1,0,10,0a e f a f f e <<⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩或()()1,20,210,0,a e a f f f e ⎧<-<⎪⎪⎛⎫⎪-< ⎪⎨⎝⎭⎪>⎪⎪>⎩ 得a 无解或a ∈（e ，-234e ）. 综上，a ∈（-12+e ，-234e ）． 点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，对含参问题进行讨论分析其单调性；利用零点存在定理，判定零点存在的条件．在高考中，导数的综合应用也是压轴大题，属于难点．。

北京一零一中2009-2010学年度第二学期统考三高三数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数z 满足,i z )i 31(=+则z=（ ）A. i 2123-B. i 2123+C.i 4143-D.i 4143+ 2. 若集合A={3，2a }，}4,2{B =，则“2a =”是“}4{B A =⋂”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设数列}a {n 满足3a 2a 21=+，且对任意的*N n ∈，点)a ,n (P n n 都有)2,1(P P 1n n =+，则}a {n 的前n 项和n S 为（ ）A. )34n (n -B. )43n (n -C. )32n (n -D.)21n (n - 4. 若542sin ,532cos ==θθ，则角θ的终边落在（ ）上 A. 0y 7x 24=-B. 0y 7x 24=+C. 0y 24x 7=+D. 0y 24x 7=-5. 已知圆的极坐标方程为0sin 3cos =+-θθρ，则该圆的面积为（ ）A. π2B. 2πC. 4πD. π6. 设函数2x )x (g )x (f +=，曲线)x (g y =在点（1，)1(g ）处的切线方程为1x 2y +=，则曲线))1(f ,1()x (f y 在=处的切线的斜率为（ ）A.41-B. 2C. 4D.21-7. 如果执行下边的程序框图，输入5.0h ,2x =-=，那么输出的各个数的和等于（ ）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.58. 已知抛物线)0p (px 2y 2>=与双曲线)0b ,0a (1b y a x 2222>>=-有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ ）A. )4,0(πB. )4,6(ππC. )3,4(ππD. )2,3(ππ二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,42211的元素个数有（ ） A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．无数个2. 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（ ） A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x3. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ） A ． 1023B ．1025C ．1062D ． 20474. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 5.已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是 （ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ．46.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ ）7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S .令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为（ ） A ． 53B ．21 C ．52 D ．518. 如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则CD AB ⋅的值为 （ ）A ． 42pB ． 32pC ． 22pD ．2p第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 . 10. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= . 11.如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o 90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形.则AB 与CD 所成角的大小为 .12. 如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ， 则圆O 的半径等于 ．13.数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有 个.A ． ()x x x f ln 2+=B ． ()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=DBAAEOBPCD14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 (23，π43)的点P 所对应的复数是-3+3i ； ③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55. 其中假命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域.16. （本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；北2010 A B ••C（ii ）设点P 为棱11D A 上一点，求直线AP 与平面D C AB 11所成角的正弦值的取值范围.17. （本小题共13分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.18. （本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．19. （本小题共14分）已知函数()xxx f ln =. （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.20.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ⋅=uu r uu u r,求AOB ∆面积的最小值；（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC =107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分 16. （本题满分13分）(Ⅰ)=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368. ………4分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P∴()8,0,10-=m ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=B A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 22+-=⋅+-==θm m∵[]10,0∈m∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin . …………………………13分 17. （本题满分13分）解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯.………5分(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分18. （本题满分13分）解： (I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ;……………3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()nn a 32+=1+()()()()[]nn n S 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nn n =()2182321nn n -++-+. …………………13分 19.（本题满分14分） 解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=. 当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数. ……4分 （Ⅱ）依题意， 转化为不等式xx a 1ln +<对于0>x 恒成立 令1()ln g x x x=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数， 当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是()1,∞-. …………………8分（Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有65=m . (4)20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等 ∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=. ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A∵0OA OB ⋅=uu r uu u r∴02121=+y y x x ∵2221212,2px y px y == ∴2214p x x = ∴()()222222211221144AOBSOA OB x y x y ∆==++uu r uu u r =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p . ……………9分（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上 ∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+-∴pk y y x x p y y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外 ∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ……………14分。

北京101中学2018届下学期高三年级三模考试数学试卷一、选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合}01|{},,2|{2<-=∈==x x B R x y y A x ，则=⋃B A （ ）A. （-1，1）B. （0，1）C. （-1，∞+）D. （0，∞+）2. 已知平面向量a ，b 满足2||,3||==b a ，a 与b 的夹角为120°，若a mb a ⊥+)(，则实数m 的值为（ ）A. 1B.23C. 2D. 33. 在ABC ∆中，A=60°，AC=4，32=BC ，则ABC 的面积为（ ）A. 34B. 4C. 32D. 224. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A. 9B. 18`C. 20D. 355．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.378cm B. 323cm C. 356cm D. 312cm 6．设a ，b∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15 B. 25 C. 35 D. 458．如图，已知线段AB 上有一动点D(D 异于A ，B)，线段CD⊥AB，且满足CD 2=λAD·BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分二、填空题共6小题。

……11121213161314112112141512012013015N MEC BA北京一零一中2009－2010学年度第二学期统考四高 三 数 学（理）命题人：高三数学备课组一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.1.已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.已知a 是实数，若i 是虚数单位，且()()1a i i i--为纯虚数，则a 的值是（ ）A. 1-B. 1 C D.3.已知函数()()()2log 030xxx f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ）A.9B. 9-C.19 D. 19- 4.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦5.从甲、乙等10名同学中挑选4名同学参加某项公益活动，要求 甲、乙至少有一人参加，则不同的挑选方法共有（ ） A. 70种 B. 112种 C. 140种 D. 168种6. 如图：ABC ∆内接于O ，AB AC =，直线MN 切O 于点C ，//BE MN 交AC 于 点E ，若6,4AB BC ==，则AE 的长为（ ） A. 103 B . 83C. 94 D.1147. 已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A. 7B. 5C. 4D. 3 8.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为()12n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111122=+，111236=+，111,,3412=+则第10行的第4个数（从左至右数） 为（ ）A.11260B. 1840C. 1504D. 1360二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是________，它与方程()04πθρ=>所表示图形的交点的极坐标是____________.10.如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为____________,该几何体的外接球的表面积为________________.11. 已知直线0ax by c ++=与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，且AB ，则OA OB ⋅= ______________.12.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是___________. 13.设{}1,2,3,4a ∈，{}2,4,8,12b ∈，则函数()3f x x ax b =+-在区间[]1,2上有零点的概率为_____________.14．若函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =_____.三、解答题：本大题共6小题, 共80分.08福建15.已知向量(sin ,cos )m A A =，(3,1)n =-，1m n ⋅=，且A （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.16. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝a ，又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝4．（Ⅰ）若在边BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求二面角A －PD －Q 的余弦值．17.某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同． ①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 18. (山东省临沂高三数学(理工)教学质量监测) 已知函数()ln()xf x e a =+(a 为常数)是R 上的奇函数，函数g (x )=()sin f x x λ+是区间[]11-，上的减函数. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ<++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅲ)讨论关于x 的方程m ex x x f x+-=2)(ln 2的根的个数． 19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三点A （-1，0），B （1，0），)23,1(-C ，以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ． （I ）求椭圆的方程； （II ）设点D （0，1），是否存在不平行于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使 0)(=⋅+MN DN DM ？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：（III ）对于y 轴上的点P （0，n ）)0(≠n ，存在不平行于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使0)(=⋅+MN PN PM ，试求实数n 的取值范围．20. (湖南师大附中2010届高三第五次月考) 已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式．参考答案一、选择1 B. 2. A 3. D 4. C 5. C 6. A 7. B 8. B 二、填空 9. ()1,0 ,4π⎫⎪⎭10.13，3π 11. 12- 12. 127 13. 111614. 4 三、解答15. 解：（Ⅰ） 由题意得1cos sin 3=-=⋅A A n m ，12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==……6分（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以 .23)21(sin 2sin 2sin 21sin 22cos )(22+--=+-=+=x x x x x x f …9分因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.…11分当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，…13分16. 解法1：（Ⅰ）如图，连AQ ，由于PA ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有AQ DQ⊥．设B Q t =，则CQ a t =-，在Rt ABQ ∆中，有AQ = 在Rt CDQ ∆中，有DQ =在Rt ADQ ∆中，有222AQ DQ AD +=．即()22244t a t a++-+=，即240t at -+=．∴44a t t =+≥．故a 的取值范围为[)4,+∞．…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），使PQ ⊥QD ． 过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QM ．∴QM ⊥平面PAD ． 过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，则QN ⊥PD ．∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角．在等腰直角三角形PAD 中，可求得MN =2MQ =，进而NQ =∴cos 3MN MNQ NQ ∠===．故二面角A －PD －Q 的余弦值为3．…13分解法2：（Ⅰ）以AD AB AP 、、为x ．y ．z 轴建立如图的空间直角坐标系，则B （0，2，0），C （a ，2，0），D （a ，0，0）， P （0，0，4）， ……2分 设Q （t ，2，0）（0t >），则 PQ ＝（t ，2，－4），DQ ＝（t －a ，2，0）． ……4分∵PQ ⊥QD ，∴()4PQ DQ t t a =-+＝0． 即240t at -+=．∴44a t t =+≥．故a 的取值范围为[)4,+∞． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ．此时Q （2，2，0），D （4，0，0）．设(),,x y z =n 是平面PQD 的法向量，由00DP DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得440220x z x y -+=⎧⎨-+=⎩． 取1z =，则()1,1,1=n 是平面PQD 的一个法向量．而()0,2,0AB =是平面PAD 的一个法向量，由3cos ,AD AD AD <>==⋅n n n．…13分∴二面角A －PD －Q 的余弦值为．17. 解：（Ⅰ） ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P = 0.4①该同学恰好答对4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对才获得一等奖，则有1230.40.60.40.1728C ⨯⨯⨯=…7分②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4.即X = 2、3、42(2)0.40.16,P X ===132123(3)0.40.60.40.60.408,(4)0.40.60.432.P X C P X C ==⨯⨯+===⨯=分布列为：20.1630.40840.432 3.272.EX =⨯+⨯+⨯=…13分18. 解：(Ⅰ) )ln()(a e x f x+= 是奇函数，∴ )ln(a ex+-=)ln(a e x +- ……1分1))((=++∴-a e a e x x ，00)(,112==++∴=+++∴--a a e e a a ae ae x x x x 故． ……………3分(Ⅱ)由（１）知：x x f =)(，x x x g sin )(+=∴λ，[]11)(，在-x g 上单调递减，0cos )(≤+='∴x x g λx cos -≤∴λ[]11，在-上恒成立，，1-≤∴λ……………5分 []1sin )1()(max --=-=λg x g ，∴只需2sin11t t λλ--<++，2(1)sin110(1t t λλ∴++++>≤-其中），恒成立， 令()h λ＝2(1)sin110(1t t λλ++++>≤-）,则2t 1<01sin110t t +⎧⎨--+++>⎩，21sin10t t t <-⎧∴⎨-+>⎩，而2sin10t t -+>恒成立，1t ∴<- ……………8分 (Ⅲ) .2ln )(ln 2m ex x xxx f x +-==由， …………………………9分 令,ln 1)(,2)(,ln )(21221xxx f m ex x x f x x x f -='+-== 当时，),0(e x ∈(]e x f x f ,0)(,0)(11在∴≥'上为增函数； 当[)[)+∞∴≤'+∞∈,)(,0)(,11e x f x f e x 在时，为减函数；当[].1)()(1max 1ee f x f e x ===时，而222)()(e m e x x f -+-=，……………11分 时，即当e e m e e m 1,122+>>-∴方程无解； 时，即当e e m e e m 1,122+==-方程有一个根； 时，即当e e m e e m 1,122+<<-方程有两个根． …………………………14分 19. 解：（I ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，据)23,1(),0,1(),0,1(--C B A 知，⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-3411)23()1(22222222b a b a b a 解得 ∴所求椭圆方程为13422=+y x…………4分（II ）||||0)(==⋅+等价于条件∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D （0，1）不在x 轴上矛盾． ∴可设直线)0(:≠+=k m kx y l由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得01248)43(222=-+++m kmx x k 由222222340)124)(43(464m k m k m k >+>-+-=∆得 …………6分 设),(),,(2211y x N y x M ，MN 的中点为),,(00y x Q则.433,43422002210kmm kx y k km x x x +=+=+-=+=又||||DN DM =k k km k mk x y 14341433,112200-=+--+-=-∴即，解得：243k m --=…………8分（将点的坐标代入0)(=⋅+亦可得到此结果）由22222)43(3434k k m k +>+>+得得，,242-<k 这是不可能的。

2018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．） 1．在复平面内，复数z 满足z （1+i ）=2，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知直线l 1：x+ay-1=0，l 2：（a+1）x-ay=0，若p ：l 1∥l 2；q ：a=-2，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件此卷只装订不密封班 姓名 准考证号 考场号 座位号3．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=-2x+y 的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．24． 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值n 为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25． 函数y=2x 2-e |x|在[-2，2]的图象大致为（ ）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x yx6． 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A ．A ×A 种B ．A ×54种C ．C ×54种D ．C ×A 种7． 设函数f （x ）=Asin （x+）（A ，，是常数，A>0，>0），且函数f （x ）的部分图象如图所示，则有（ ）A ．B ．C ．D ．<8．已知A 、B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点，MN 是圆O 的一条直径，则的取值范围是（ ）A ．[，0）B ．[，0]C ．[，1）D ．[，1] 264526262645ωϕωϕω)67()35()43(πππf f f <<-)35()67()43(πππf f f <<-)35(πf <<)67(πf )43(π-f )35(πf )43(π-f )67(πf <CN CM ⋅43-43-21-21-第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=-11，a 4+a 6=-6，则当S n 取最小值时，n 的值为_______，10．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是________， 11．已知x>0，y>0，x+2y=1，则的最小值为__________， 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，13．在（x+）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_______，14．已知函数f （x ），对于给定的实数t ，若存在a>0，b>0，满足：x [t-a ，t+b]，使得|f （x ）-f （t ）|2，则记a+b 的最大值为H （t ）， （1）当f （x ）=2x 时，H （0）=_________；2πyx 12+xa∀∈≤（2）当f （x ）=x 2且t ∈[1，2]时，函数H （t ）的值域为__________，三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．） 15．（本小题13分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足（2a-c ）cosB=bcosC ，（I ）求角B 的大小；（II ）若ABC 的面积为，且b=，求a+c 的值．16．（本小题13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间∆∆4333（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图，（I）写出a的值；（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望，17．（本小题14分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四边形CC1D1D为矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1，（I）求证：BC1∥平面ADD1；（II）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（III）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由，18．（本小题14分）如图，已知椭圆C ：（a>b>0）的离心率为，F 为椭圆C 的右焦点，A （-a ，0），|AF|=3，（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ，直线OM 与直线x=4交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线x=4交于点E ，求证：∠ODF=∠OEF ，12222=+b y a x 2119．（本小题13分）已知函数f （x ）=， （I ）求f （x ）在区间[1，a]（a>1）上的最小值；（II ）若关于x 的不等式f 2（x ）+mf （x ）>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围，xx )2ln(20．（本小题13分）设数列{a n }满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N*；③1=a 1<a 2<…<a n <a n+1<…，设集合A m ={n|a n ≤m ，m ∈N*），将集合A m 中的元素的最大值记为b m ，即b m 是数列{a n }中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n }为数列{a n }的伴随数列，例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3，（I ）若数列{a n }的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3……，请写出数列{a n }； （II ）设a n =4n-1，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前50项之和；（III ）若数列{a n }的前n 项和（其中c 为常数），求数列{a n }的伴随数列{b m }的前m 项和T m ，c n S n +=22018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．） 1-4：ACAB5-8：DCDA第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．6 10．11．812．8+613．3014．2；，2）[2，4]2sin =θρ3π26[- 3三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上） 15．（本小题13分）解：（I ）∵（2a-c ）cosB=bcosC ，∴2acosB=bcosC+ccosB ， ∴2 sinAcosB=sin BcosC+sinBcosC=sin （B+C ）=sin （-A ）=sin A∵0<A<，∴sin A>0，∴2cosB=1，cosB=又∵0<B<，∴B=…………………………………………7分 （II ）S=acsinB=ac =，ac=6， b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac=（a+c ）2-3ac=3 ∴（a+c ）2=21，∴a+c= …………………………13分 16．（本小题13分）（I ）解：a=0．03， ……………3分（II ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，…………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0．02+0．005）×10=0．25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0．25×1800=450人，………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0．03+0．005）×10=0．35，学生人数约有0．35×1200=420人，ππ21π3π21212323321所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人， ………………8分（III ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0．005×10=0．05，样本人数为0．05×60=3人，同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0．005×10）×40=2人，故X 的可能取值为l ，2，3． ………………9分则P （X=1）=，P （X=2）=，P （X=3）=， 所以X 的分布列为：…………12分所以E （X ）=1×+2×+3×=， ………13分 17．（本小题14分）（I ）证明：由CC 1D 1D 为矩形，得CC 1∥DD 1，又因为DD 1平面ADD 1，CC 1平面ADD 1，所以CC 1∥平面ADD 1， ………………2分同理BC ∥平面ADD 1，又因为BC CC 1=C ，所以平面BCC 1∥平面ADD 1， ……3分103352213=⋅C C C 53351223=⋅C C C 1013533=C C 1035310159⊂⊄又因为BC 1平面BCC 1，所以BC 1∥平面ADD 1， ………4分（II ）解：由平面ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=90°，得AB ⊥BC ，又因为AB ⊥BC 1，BCBC 1=B ，所以AB ⊥平面BCC 1，所以AB ⊥CC 1，又因为四边形CC 1D 1D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点，所以CC 1⊥平面ABCD ，因为CC 1∥DD 1，所以DD 1⊥平面ABCD ，过D 在底面ABCD 中作DM ⊥AD ，所以DA ，DM ，DD 1两两垂直，以DA ，DM ，DD 1分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………6分则D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），C （3，2，0），C 1（3，2，2），D 1（0， 0，2），所以=（-l ，2，2），=（-4，0，2）， 设平面AC 1D 1的一个法向量为m=（x ，y ，z ），由m·=0，m·=0，得令x=2，得m=（2，-3，4） …………8分 易得平面ADD 1的法向量n=（0，1，0），⊂ 1AC 1AD 1AC 1AD ⎩⎨⎧=+-=++-,024,022z x z y x所以cos<m ，n>=， 即平面AC 1D 1与平面ADD 1所成的锐二面角的余弦值为，…………10分 （III ）结论：直线BC 1与CP ………………11分证明：设DD 1=m （m>0），=（∈（0，1））， 由B （4，2，0），C （3，2，0），C 1（3，2，m ），D （0，0，0），得=（-l ，0，m ），=（3，2，m ），==（3，2，m ），=（-3，-2，0），=+=（3-3， 2-2，m ）， ………………12分 若BC 1⊥CP，则·=-（3-3）+m 2=0，即（m 2-3）=-3，因为≠0， 所以m 2=-+3>0，解得>1，这与0<<l 矛盾，所以直线BC 1与CP 不可能垂直， ……………14分 18． （本小题14分）解：（I ）设椭圆C 的半焦距为c ，依题意，得，a+c=3， [2分] 29293||||-=⋅n m n m 292931DC λλ1BC 1DC 1DC λλλλλλλ1BC λλλλλ3λλ21=a c解得a=2，c=1， 所以b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程是 [4分] （II ）解法一：由（I ）得A （-2，0），设AP 的中点M （x 0，y 0），P （x 1，y 1）， 设直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得 （4k 2+3）x 2+16k 2x+16k 2-12=0， [6分]所以-2+x 1=． [7分]所以x 0=，y 0=k （x 0+2）=， 即M （，）． [8分] 所以直线OM 的斜率是， [9分] 所以直线OM 的方程是y=-x ，令x=4，得D （4，-）， [10分] 直线OE 的方程是y=kx ，令x=4，得E （4，4k ）， [11分]由F （1，0），得直线EF 的斜率是=，所以EF ⊥OM ，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是=，所以DF ⊥OE ，记垂足为G ． [13分]在Rt △EHO 和Rt △DGO 中，∠ODF 和∠OEF 都与∠EOD 互余，13422=+y x 341622+-k k 34822+-k k 3462+k k34822+-k k 3462+k kk k k k43348622-=+-k 43k3144-k 34k143--k k 1-所以∠ODF=∠OEF ． [14分] 19． （本小题13分）解：（1）f '（x ）=，令f '（x ）>0得f （x ）的递增区间为（0，）； 令f '（x ）<0得f （x ）的递减区间为（，+）， ……………2分 ∵x ∈[l ，a]，则当1<a≤时，f （x ）在[1，a]上为增函数，f （x ）的最小值为f （1）=ln2； ． ． 3分当a>时，f （x ）在[1，）上为增函数，在（，a]上为减函数，f （2）==ln2=f （1），∴若<a≤2，f （x ）的最小值为f （1）=ln2， ………4分 若a>2，f （x ）的最小值为f （a ）=， ………5分 综上，当1<a≤2时，f （x ）的最小值为f （1）=ln2；当a>2，f （x ）的最小值为f （a ）=． ……………6分 （2）由（1）知，f （x ）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），且在（，+）上ln2x>lne=1>0，又x>0，则f （x ）>0． 又f （）=0． ∴m>0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）>0或f （x ）<-m ，而f （x ）>0解集为（，+），整数解有无数多个，不合题意； ……………9分， 2)2ln(1x x -2e2e∞2e2e 2e 2e 24ln 2eaa2ln aa2ln 2e 2e 2e ∞2121∞m=0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）≠0，解集为（0，）（，+∞），整数解有无数多个，不合题意； ． ． ． ． ． 10分m<0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）>-m 或f （x ）<0，∵f （x ）<0解集为（0，）无整数解，若不等式f 2（x ）+mf （x ）>0有两整数解，则f （3）≤-m<f （1）=f （2），∴-ln2<m≤-ln6综上，实数m 的取值范围是（-ln2，-ln6] ． ． ． ． ． ． 13分20． （本小题13分） （I ）1，3，6 ………………3分（II ）由a n =4n-1≤m ，得n≤l+log 4m （m ∈N*） ……………4分 当1≤m≤3，m ∈N*时，b 1=b 2=b 3=1 ……………5分当4≤m≤15，m ∈N*时，b 4=b 5=…=b 15=2 ……………………6分 当16≤m≤50，m ∈N*时，b 16=b 17=…=b 50=3 ……………7分 ∴b 1+b 2+…+b 50=1×3+2×12+3×35=132 …………………8分 （III ）∵a 1=S 1=1+c=1 ∴c=0当n≥2时，a n =S n -S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1（n ∈N*） ……9分由a n =2n-l≤m 得，n≤（m ∈N*） 21 2121313121m因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以b 1=b 2=1，b 3=b 4=2，…，b 2t-1=b 2t =t （t ∈N*） 当m=2t-1（t ∈N*）时；T m =2··（t-1）+t=t 2=（m+1）2 ． ． ． ． ． 11分 当m=2t （t ∈N*）时；T m =2··t=t 2+t=m （m+2） ……………12分所以T m = …………13分2)1(1-+t 4121t+41⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=+∈-=+*),2(4)2(*),12(4)1(2N t t m m m N t t m m。

201803北京市北京101中学高三理零模试卷及答案北京一零一中2017-2018学年度第二学期统考四高三数学（理）2018.3本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合{|13}P x x =∈≤≤R ,2{|4}B x x =∈≥R ,那么()P B =R ð（A ）[2,3] （B ）(2,3]-（C ）[1,2)（D ）(,2][1,)-∞-+∞2.若,x y 满足20,3,0,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）53. 执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件5. 若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为（A ）()26k x k ππ=-∈Z （B ）()26k x k ππ=+∈Z （C ）()212k x k ππ=-∈Z （D ）()212k x k ππ=+∈Z 6.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,动点,E F 在棱11A B 上,动点,P Q 分别在棱,AD CD 上,若11,,,(,,EF A E x DQ y DP z x y z ====大于零),则四面体PEFQ 的体积（A ）与,,x y z 都有关 （B ）与x 有关,与,y z 无关 （C ）与y 有关,与,x z 无关 （D ）与z 有关,与,x y 无关7. 已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）(1,3)- （B ）(-（C ）(0,3)（D ）8. 定义“规范01数列”{}n a 如下:{}n a 共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2,k m ≤1,a 2,,k a a ⋅⋅⋅中0的个数不少于1的个数,若4,m =则不同的“规范01数列”共有（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第二部分 （非选择题共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9. 已知,,i a b ∈R 是虚数单位,若(1i)(1i),b a +-=则ab的值为______. 10. 在数列{}n a 中111,2,ln(1),n n a a a n+==++则n a =______.11. 已知圆的极坐标方程为6sin ,ρθ=圆心为M ，点N 的极坐标为(6,6π）,则||MN =______.12. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的表面积是______2,cm 体积是______3cm . 13. 设F 为抛物线24y x =的焦点,,,A B C 为抛物线上不同的三点,0,FA FB FC ++=则||||||FA FB FC ++=______.14. 已知函数2||,()24,x f x x mx m ⎧=⎨-+⎩,,x m x m ≤>其中0,m >若存在实数,b 使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的实根,则m 的取值范围是______.三、解答题(共6小题，共80分。