【全程复习方略】高中数学 第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时提升卷(含解析)新人教A版必修2

课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是．8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.10．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面P AE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC13．在二面角α-l -β中，A ∈α，AB ⊥平面β于点B ，BC ⊥平面α于点C ，若AB ＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为( A)A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( C)A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理有DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD ⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积． 解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33. 11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE ＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF ⊥PC ；(2)试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF ⊥PF ，EF ⊥FC ，又由PF ∩FC ＝F ，所以EF ⊥平面PFC . 又因为PC ⊂平面PFC ，所以EF ⊥PC .(2)是定值．由(1)知，EF ⊥平面PFC ，所以平面BCFE ⊥平面PFC ，如图，作PH ⊥FC ，则PH ⊥平面BCFE ，作HG ⊥BE ，连接PG ，则BE ⊥PG ，所以∠PGH 是这个二面角的平面角，设AF ＝x ，则0<x ≤1，因为∠PFC ＝60°，所以FH ＝x 2，PH ＝32x ，易求GH ＝334x ，所以tan ∠PGH ＝PH GH ＝23，所以二面角P -EB -C 的大小是定值．。

课时提升作业(十四)平面与平面垂直的判定一、选择题1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个【解析】选D.当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.2.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选C.若方向相同则相等,若方向相反则互补.3.(2015·石家庄高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A.相等B.互补C.互余D.无法确定【解析】选B.如图,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,BD⊥l,CD⊥l,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠BAC+∠BDC=180°.4.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有对. ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又因为BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因为CD⊂平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.5.在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=AB,这时二面角B-AD-C的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.120°【解析】选A.∠BDC为二面角B-AD-C的平面角,设正三角形ABC的边长为m,则折叠后,BC=m,BD=DC=m,所以∠BDC=60°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小为.【解析】取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.答案:90°【拓展延伸】求二面角的步骤简称为“一作二证三求”.7.如图:检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了.【解析】如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β,且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA⊂α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.答案:面面垂直的判定定理8.(2015·泰安高一检测)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC= .【解析】连接BC.因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中∠BDC=90°. BD=CD=,则BC===1.答案:1三、解答题9.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.【解题指南】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁.【证明】连接AC,交点为F,连接EF,所以EF是△SAC的中位线,所以EF∥SC.因为SC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.10.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC 于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【解析】因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD.由已知得SC⊥ED,SE=EC,SB=BC,所以SC⊥BE,因为DE∩BE=E,所以SC⊥平面BED,所以SC⊥BD.又因为BD⊥SA,SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC,所以BD⊥AC,BD⊥DE,即∠EDC是二面角E-DB-C的平面角.设SA=1,则SA=AB=1,而AB⊥BC,所以SB⊥BC,所以SB=BC=,所以SC=2.在Rt△SAC中,∠ACS=30°,所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.一、选择题1.(2015·济南高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.连AC交BD于点O,连A1O,则O为BD的中点,因为A1D=A1B,所以在△A1BD中,A1O⊥BD.又在正方形ABCD中,AC⊥BD.所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA 1=1,则AO=,所以tan∠A1OA=.2.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC【解析】选C.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BDC,又AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDC.二、填空题3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【解析】由定理可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC,答案不唯一)4.(2015·福州高二检测)如图所示,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山路行走20m后升高m.【解题指南】先作出山坡的坡面与水平面所成的二面角的平面角,然后标出有关数据计算点B到水平面的距离.【解析】如图,作BH⊥水平面,垂足为H,过H作HC⊥坡脚线,垂足为C,连接BC,则∠BAC=30°,由BH⊥AC,HC⊥AC知,AC⊥平面BHC,从而BC⊥AC,所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以∠BCH=30°,在Rt△ABC和Rt△BCH中,因为AB=20m,所以BC=10m,所以BH=5m,答案:5三、解答题5.(2015·临沂高一检测)如图所示,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG ⊂α,∠GAE =45°,若AG与β所成角为30°,求二面角α-EF-β的大小.【解题指南】首先在图形中作出有关的量,AG与β所成的角(过G作β的垂线段GH,连AH,∠GAH =30°),二面角α-EF-β的平面角,注意在作平面角时要试图与∠GAH建立联系,抓住GH⊥β这一特殊条件,作HB⊥EF,连接GB,利用相关关系便可解决问题.【解析】作GH⊥β于H,作HB⊥EF于B,连接GB,则GB⊥EF,∠GBH是二面角的平面角.又∠GAH是AG与β所成的角,设AG = a,则,GB=a,GH=a,sin∠GBH==.所以∠GBH =45°,即二面角α-EF-β的大小为45°.【补偿训练】已知:二面角α-AB-β等于45°,CD⊂α,D∈AB,∠CDB=45°.求:CD 与平面β所成的角.【解析】如图:作CO⊥β交β于点O,连接DO,则∠CDO为CD与平面β所成的角.过点O作OE⊥AB于E,连接CE,则CE⊥AB,所以∠CEO为二面角α-AB-β的平面角,即∠CEO=45°.设CD=a,则CE=a,所以在Rt△COE中CO=OE=a,又CO⊥DO,sin∠CDO=,所以∠CDO=30°,即CD与β成30°角.6.(2015·山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH.(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证平面BCD⊥平面EGH.【解析】(1)因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE,所以BC=2EF,AC=2DF.因为点G,H分别是AC,BC的中点,所以GH∥AB.因为AB⊄平面FGH,GH⊂平面FGH,所以AB∥平面FGH.因为EF∥BH且EF=BH,所以四边形BHFE是平行四边形,所以BE∥HF.因为BE⊄平面FGH,HF⊂平面FGH,所以BE∥平面FGH;又因为AB∩BE=B,所以平面ABE∥平面FGH,因为BD⊂平面ABE,所以BD∥平面FGH.(2)因为AB=2DE,所以BC=2EF,因为H是BC的中点,所以HC=BC=EF,又HC∥EF,所以四边形HCFE是平行四边形,所以HE∥CF.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.因为GH∥AB,AB⊥BC,所以GH⊥BC.因为GH∩HE=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.。

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课时提升作业(十四)平面与平面垂直的判定一、选择题(每小题3分,共18分)1.设有直线m,n和平面α,β,则下列结论中正确的是( )①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选B.②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直.【变式训练】如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么有( )A.α⊥γ和l⊥mB.α∥γ和m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β和α⊥γ【解析】选A.因为m⊥γ,l⊂γ,所以l⊥m.又m⊂α,m⊥γ,所以α⊥γ.故选A.2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则给出下列四种关系,正确的是( ) A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面BDC【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDC.3.在正方体ABCD -A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由正方体的性质知侧棱与底面垂直,知过侧棱的平面都垂直于底面ABCD,因此正方体ABCD -A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为4.4.(2014·嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心,高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是( )A.60°B.30°C.45°D.75°【解析】选A.过B作AC边上的中线BD,交AC于D,连接VD,则V在底面ABC上的射影O点在中线BD上,且BO=2OD,因为VO⊥平面ABC,所以BO2=VB2-VO2,又VO=,VB=,所以BO=2,OD=1,所以cos∠VDO=,所以∠VDO=60°.即平面VAC与平面ABC所成二面角为60°.【变式训练】如图,三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,M是侧棱BB′的中点,则二面角M-AC-B的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.取AC的中点O,连接MO,BO.则∠MOB就是所求的二面角的平面角,解直角三角形得∠MOB=30°.5.已知a⊂α,b⊂β,c⊂β,a⊥b,a⊥c,则( )A.α⊥βB.α与β相交C.α∥βD.以上都有可能【解析】选D.b,c不一定相交,故α与β所有关系都有可能.6.(2013·成都高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定【解析】选B.如图,A为二面角内任意一点,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.【举一反三】若本题把自二面角“内”改为“外”,结果怎样?【解析】相等.当点在二面角外时,依据等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·德州高一检测)已知a,b,c是不重合的直线,α,β是不重合的平面,以下结论正确的是________(将正确的序号都填上).①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,则a⊥α;③若a⊥α,a⊂β,则α⊥β;④若a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,则α∥β.【解析】对于①a与α的关系是a∥α或a⊂α,故①错误;对于②,b与c不一定相交,故②错误;对于③由两平面垂直的判定定理知③正确.对于④a与b不一定相交,故④错误.答案:③8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK ⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是__________.【解析】如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,因为平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,所以DK⊥平面ABC,因为AF⊂平面ABC,所以DK⊥AF.所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是.答案:9.(2014·济宁高一检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,且PB=2PA,则二面角P-BC-A的大小为________.【解析】因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC,又PA⊥平面ABCD,所以BC⊥PA,所以BC⊥平面PAB,得BC⊥PB.所以∠PBA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAB中,sin∠PBA==,所以∠PBA=30°.答案:30°三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·江苏高考)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF.(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,则有PA∥DE,又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以PA∥平面DEF.(2)由(1)知PA∥DE,又因为PA⊥AC,所以DE⊥AC,又F是AB的中点,所以DE=PA=3,EF=BC=4,又DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,又DE⊂平面BDE,故平面BDE⊥平面ABC.【方法锦囊】利用平面与平面垂直的判定定理的关键点(1)相互转化思想:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,进一步转化为处理线线垂直问题.(2)证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.11.(2013·辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB.过M作MN⊥PB于N,连接NC,所以PB⊥平面CMN,所以CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以=,故MN=.又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值为.一、选择题(每小题4分,共16分)1.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.如图所示,因为BC∥DF,所以BC∥平面PDF.所以A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,所以BC⊥平面PAE.所以DF⊥平面PAE.所以B正确.所以平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).所以D正确.2.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.设正方体的棱长为1,AC,BD交于O,连接A1O,因为BD⊥AC,BD⊥AA1,所以BD⊥平面AA1O,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角的平面角.tan∠A1OA==,所以选C.3.(2014·广州高一检测)如图,将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与CD所成的角为60°;④AB与平面BCD 所成的角为60°.其中错误的结论是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.如图所示,取BD的中点E,连接AE,EC,AC,易知BD⊥面AEC,所以①正确;设正方形的边长为a,则AE=EC=a,由勾股定理可得AC=a,所以△ACD是等边三角形,②正确;取BC的中点F,AC的中点G,连接EF,EG,FG,则EF=FG=a,EG=a,所以AB与CD所成的角为60°,③正确;AB与平面BCD所成的角为∠ABE=45°,所以④错误.4.(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法中正确的是( )A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β【解析】选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l,因为n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示,P是二面角α-AB-β的棱AB上一点,分别在α,β上引射线PM,PN,截PM=PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β的大小是________. 【解析】在α内过M点作MO⊥AB于点O,连接NO,设PM=PN=a.因为∠BPM=∠BPN=45°,所以△OPM≌△OPN,所以NO⊥AB,所以∠MON为所求二面角的平面角.连接MN.因为∠MPN=60°,所以MN=a.又MO=NO=a,所以MO2+NO2=MN2,所以∠MON=90°.答案:90°【变式训练】如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB 与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.【解析】如图作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==·=sin30°·sin60°=.答案:6.如图所示,在长方体ABCD-A 1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=________.【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案:1三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知四棱锥P -ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P -ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论.(3)若点E为PC的中点,作出二面角D-AE-B的平面角.【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直.(3)作辅助线,找到并证明二面角的平面角.【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形, 侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以V P-ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=,即四棱锥P-ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.证明如下:连接AC,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因为PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC.因为不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC.所以不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF.因为AD=AB=1,DE=BE==,AE=AE=,所以Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,所以BF⊥AE.所以∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.【方法锦囊】解决线面垂直问题注意点解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用,空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键.8.(2013·天津高考)如图,三棱柱ABC-A 1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(1)证明EF∥平面A1CD.(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EF∥A1D,可以证明EF∥平面A1CD.(2)由侧棱A1A⊥底面ABC证明A1A⊥CD,再由三角形ABC为等边三角形得出CD⊥AB,以证明CD⊥平面A1ABB1,进而证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.【解析】(1)如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1,又EF⊄平面A1CD,DA1⊂平面A1CD,所以EF∥平面A1CD.(2)由于△ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱A1A⊥底面ABC,CD⊂平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD⊂平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=,在Rt△BGC中,sin∠BCG==.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块。

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课堂达标·效果检测1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.直线a垂直于平面β内的一条直线b，b不一定是交线，不能判定直线a必垂直于平面β，故A不正确；同理，B不正确；过a的平面有无数个，与过b的平面位置关系平行，相交均可，D不正确；故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EF平面A 1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，又EF⊥A1B1，故EF⊥平面A1B1C1D1.3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选D.如图所示，AB∥l，AC⊥l，m∥α，m∥β m∥l，AB∥m，AC⊥m，又AB∥l，所以AB∥β.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面A1B1C1D1内的一点，过P点的直线EF分别交直线B1C1，C1D1于E，F，若要使EF⊥AP，则在上底面内直线EF需满足条件：________.【解析】因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥EF，要使EF⊥AP.只需EF⊥平面A1AP，即EF⊥A1P即可.答案：EF⊥A1P5.如图，α⊥β，α∩β=l，ABα，AB⊥l，BCβ，DEβ，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.【证明】因为α⊥β，α∩β=l，ABα，AB⊥l，所以AB⊥β，又DEβ，所以AB⊥DE，因为DE⊥BC，BC∩AB=B，所以DE⊥平面ABC，所以AC⊥DE.关闭Word文档返回原板块。

2020年精品试题芳草香出品第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题。

人教A 版高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定【课时训练2】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30° 2．在正四面体P ABC -中，DEF ，，分别是AB BC CA ，，的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC3．如图PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )A ．平面EFG∥平面PBCB ．平面EFG⊥平面ABCC ．∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D ．∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角6，侧面与底面所成的二面角是 ( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．75°7．如图，P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BC 1上的动点，下列说法：①AP ⊥B 1C ；②BP 与CD 1所成的角是60°；③三棱锥1P AD C -的体积为定值；④B 1P∥平面D 1AC ；⑤二面角P -AB-C 的平面角为45°.其中正确说法的个数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为60°；④AB 与平面BCD 所成的角为60°．其中错误的结论是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④9．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)11．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.三、解答题12．如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC．(2)求二面角D-AP-C的正弦值.13．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB 是圆台的一条母线.（Ⅰ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF=FB=12AC= AB=BC ．求二面角 F BC A --的余弦值. 14．如图，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.（1）求证：AF EF ⊥；（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.参考答案1．C【分析】,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥，所以,b c 分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°，,b c 的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b 与c 所成的角为060.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.2．C【分析】由D E F ，，分别是AB BC CA ，，的中点，根据正四面体的结构特征，以及线面位置的判定与证明，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，在正四面体P ABC -中，D E F ，，分别是AB BC CA ，，的中点，则//DF BC ，可得BC ∥平面PDF ，故A 正确，若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF PO ⊥，又DF AE ⊥，故DF ⊥平面PAE ，故B 正确.由DF ⊥平面PAE ，可得平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中正确把握空间几何体的结构特征，熟记线面平行的判定定理与性质定理，以及线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．D【解析】试题分析：观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：面PAC ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，面PCD ⊥面PAC ，面PBD ⊥面PAB ，面PAC ⊥面PAB ，一共5对，故选D ．考点：面面垂直的判定．4．D【解析】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.5．D【详解】对于A ，因为点E ，F 分别是AB,AP 的中点，所以EF PB ，又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF 平面PBC ．同理EG ∥平面PBC ，又EF EG E =,所以平面EFG ∥平面PBC ．因此A 正确．对于B ，因为,,PC BC PC AC BC AC C ⊥⊥⋂=,所以PC ⊥平面ABC ．又FG PB ,所以FG ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGE ，所以平面FGE ⊥平面ABC ．因此B 正确．对于C ，由于平面EFG ∥平面PBC ，且与平面PAB 交于EF ，PB ，∴EFPB所以∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角．因此C 正确．对于D ，由于FE,GE 与AB 不垂直，所以∠FEG 不是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角，因此D 不正确．综上选项D 不正确．选D ．6．A【解析】如图，设O 为底面正三角形的中心，则PO ⊥平面ABC ，所以2OC =。

平面与平面垂直的性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则( )A.存在a⊂α,a⊥γB.存在a⊂α,a∥γC.任意b⊂β,b⊥γD.任意b⊂β,b∥γ2.(2013·合肥高一检测)空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.(2012·浙江高考)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β4.(2013·江门高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,D为垂足,以AD为折痕,将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论:①BD⊥CD;②BD⊥AC;③AD⊥平面BCD;④△ABC是等边三角形.其中正确的结论的个数为( )A.1B.2C.3D.45.如图所示,将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD.②△ACD是等边三角形.③AB与平面BCD成60°的角.④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·太原高一检测)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上).7.设平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈β,且A,B,C均不在直线l上,给出四个说法:(1)若l⊥AB,l⊥AC,则α⊥β.(2)若l⊥AC,l⊥BC,则α⊥平面ABC.(3)若α⊥β,AB⊥BC,则l⊥平面ABC.(4)若AB∥l,则l∥平面ABC.其中正确说法的序号是.8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.10.(2013·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.11.(能力挑战题)如图①,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC 上,CE=4;将△BCD沿CD折起,如图②,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD.(2)在线段DE上是否存在一点G,使FG∥平面BDC?若存在,求出点G的位置,若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.因为三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则可知存在a⊂α,a∥γ.2.【解析】选B.过A作AE⊥BD,垂足为E,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=直线BD,所以AE⊥平面BCD,所以BC⊥AE,因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又AE∩DA=A,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB.所以△ABC是直角三角形.3.【解题指南】根据线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断.【解析】选B.若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故A错;若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β,则m⊥β,又m⊂α,故α⊥β,故B对;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α,则l与β关系不确定,故D错.4.【解析】选D.因为AD⊥BC,所以折叠后AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,又因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,所以BD⊥CD,①正确,因为AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,所以AD⊥平面BCD,③正确,因为AD⊥BD,又BD⊥CD,AD∩CD=D,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,②正确,设AD=BD=CD=a,则AB=AC=BC=a,故△ABC是等边三角形,④正确.5.【解析】选C.作出如图的图象,其中二面角A-BD-C是直二面角,E是BD的中点,可以证明出∠AEC=90°,即为此直二面角的平面角.对于①,由于BD⊥平面AEC,故AC⊥BD,此结论正确;对于②,在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长,故△ACD是等边三角形,此结论正确;对于③,AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°,故AB与平面BCD成60°的角不正确;对于④,可取AD中点F,AC的中点H,连接EF,EH,FH,由于EF,FH是中位线,可证得其长度为正方形边长的一半,而EH是直角三角形的中线,其长度是AC的一半,即正方形边长的一半,故△EFH是等边三角形,由此即可证得AB与CD所成的角为60°.综上知①②④是正确的.6.【解析】因为γ∩β=l,所以l⊂γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,所以l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β,由于β可以绕l转动位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正确,①③错误.答案:②④7.【解析】(1)错误.若l⊥AB,l⊥AC,则l⊥平面ABC,但是α与β不一定垂直.(2)正确.若l⊥AC,l⊥BC,则l⊥平面ABC,又l⊂α,所以α⊥平面ABC.(3)错误.若l⊥平面ABC,则设l∩平面ABC=O,于是∠AOC是二面角α-l-β的平面角,因为α⊥β,所以∠AOC=90°,∠ABC>∠AOC,与AB⊥BC矛盾.(4)正确.若AB∥l,则由C∉l知,l⊄平面ABC,所以l∥平面ABC.答案:(2)(4)8.【解题指南】解答此题可采用两个极端位置法.【解析】对于F位于DC的中点时,t=1,随着F点到C点移动时,因为CB⊥AB,CB⊥DK,所以CB⊥平面ADB,即有CB⊥BD.因为CD=2,BC=1,所以BD=,又AD=1,AB=2,因此有AD⊥BD,则有t=,因此t的取值范围是(,1).答案:(,1)【变式备选】如图,已知平面α⊥平面β,α∩β=l,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,且AB=4,AC=3,BD=12,则CD= .【解析】连接BC,因为AC⊥l,AC=3,AB=4,所以BC=5.因为BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BD⊂β,所以BD⊥α.又BC⊂α,所以BD⊥BC.在Rt△BDC中,CD==13.答案:139.【证明】因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面SCD.又因为BC⊂平面SBC,所以平面SCD⊥平面SBC.10.【解题指南】(1)利用面面垂直证明线面垂直.(2)把证明线面平行转化为证明线线平行.(3)要证明面面垂直,先证明直线CD垂直于平面BEF.【证明】(1)因为面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为AD⊂面PAD,BE⊄面PAD,所以BE∥面PAD.(3)因为BA⊥AD,而平面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,所以BA⊥平面PAD,因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,又因为在平面PCD内,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE,因为在平面ABCD中,由(2)知,BE∥AD,于是CD⊥BE.因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.【变式备选】如图,在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D′.求证:AB⊥平面BCD′.【证明】因为∠BCD=135°,而AB=BC=a,∠ABC=90°,所以∠ACB=45°,所以∠ACD=90°.当把平面ADC折起,二面角B-AC-D′为直二面角时,D′C⊥AC.因为平面ACD′∩平面ABC=AC,D′C⊂平面ACD′,所以D′C⊥平面ABC,所以D′C⊥AB.又AB⊥BC,BC∩D′C=C,所以AB⊥平面BCD′.11.【解析】(1)在题干图①Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,所以∠BCA=60°,又因为CD为∠ACB的平分线,所以∠BCD=∠DCE=30°,在Rt△BDC中,求得DC=2,故BC∶DC=DC∶EC=∶2,所以△BCD∽△DCE,从而∠EDC=∠DBC=90°,即ED⊥DC.因为将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,平面BDC∩平面EDC=DC,所以DE⊥平面BCD.(2)取AD的中点H,AC的中点M,连接FH,FM,MH.在△ABD中,F,H分别为AB,AD的中点,则FH为△ABD的中位线,所以FH∥BD,又因为FH⊄平面BDC,BD⊂平面BDC,所以FH∥平面BDC;同理,MH∥平面BDC.又FH∩MH=H,FH⊂平面FMH,MH⊂平面FMH,所以平面FMH∥平面BDC. 记MH与DE交于点G,则FG⊂平面FMH,所以FG∥平面BDC,故G点为所求.因为EM=AM-AE=1,所以EM∶MC=1∶3,所以EG∶GD=1∶3,即G为ED上最靠近E的四等分点.【拓展提升】垂直关系的知识总结线面垂直的关键,定义来证最常见,判定定理也常用,它的意义要记清,平面之内两直线,两线交于一个点,面外还有一条线,垂直两线是条件.面面垂直要证好,原有图中去寻找,若是这样还不好,辅助线面是个宝.先作交线的垂线,面面转为线和面,再证一步线和线,面面垂直即可见.借助辅助线和面,加的时候不能乱,以某性质为基础,不能主观凭臆断.判断线和面垂直,线垂面中两交线.两线垂直同一面,相互平行共伸展. 两面垂直同一线,一面平行另一面. 要让面和面垂直,面过另面一垂线. 面面垂直成直角,线面垂直记心间.。

第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 ( C )A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析] 经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA ＝AC，则二面角P－BC－A的大小为 ( C )A．60°B．30°C．45°D．15°[解析] 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是 ( C )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析] 可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是 ( B )A．AC B．BD C．A1D1D．A1A[解析] 在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CE.二、填空题6．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P －ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.7．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为__90°__.[解析] 如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEA 为所求二面角的平面角． 易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2， 所以∠DEA ＝90°. 三、解答题8.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点.(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊CF .∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC ＝2a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC.又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝22a.在Rt △PDO 中，tan ∠POD ＝PD OD ＝a 22a＝ 2. B 级 素养提升一、选择题1．设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是 ( B ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直[解析] 由题意，m 与α斜交，令其在α内的射影为m ′，则在α内可作无数条与m ′垂直的直线，它们都与m 垂直，A 错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l 平行的直线，C 错；如图(2)，m ⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m ∥γ且γ⊥α，D 错．2．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是 ( A ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 设正方形边长为1，AC 与BD 相交于O ，则折成直二面角后，AB ＝BC ＝1，AC ＝CO 2＋AO 2＝222＋222＝1，则△ABC 是正三角形．3．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为 ( D )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°[解析] 如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ，∵BC ⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 ( A )A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析] 由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB－C的大小为__60°__.－C的平面角．在△PAB中，PM＝22－32＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.C级能力拔高1．(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．[解析] (1)如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 1AB 1B ，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝3， 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2， 所以FC ＝12AA 1＝22，故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S AEC ×FC ＝13×32×22＝612.2．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱 形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A －BE －P 的大小．[解析] (1)证明：如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ， 又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ，又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE .而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.。

实用文档G 1G 22021年高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时练 新人教A 版必修2一、选择题:1．对于直线、和平面、，的一个条件是（ ）.A ．，， B.C ． D. ，，2. 经过平面外一点与平面垂直的平面有（ ）A ．0个 B. 1个 C ．2个 D. 无数个3. 自二面角内任一点分别向两个平面引垂线，则两垂线所成的角月二面角的平面角的关系是（ ）A 相等B 互补C 互余D 无法确定4.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面.图中互相垂直的平面有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对5．如图，正方形中，Ｅ，Ｆ分别是的中点，Ｄ是ＥＦ的中点，现在沿ＳＥ，ＳＦ及ＥＦ把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为Ｇ，则在四面体中必有（ ） A.所在平面 Ｂ.所在平面 C.所在平面 D.所在平面二、填空题:6．正四面体相邻两个面所称的二面角的余弦值为 7.空间四边形ABCD 中，AB =BC ，CD =DA ，E 是AC 的中点，则平面BDE 与平面ABC 的位置关系是 三、解答题：8．如图，在正方体中，求证：平面平面．9. 如图, 在空间四边形ABCD 中， 分别是的中点，求证：提示:只需证明平面即可。

易知EF 平行于AC ，A而易证AC垂直于平面.10．如图，在三棱锥中，，试判断平面ＶＢＡ与平面ＶＢＣ的位置关系，并说明理由。

11．如图，三棱锥中，，，试画出二面角的平面角，并求它的度数．25896 6528 攨 U20984 51F8 凸31254 7A16 稖30276 7644 癄20176 4ED0 仐40630 9EB6 麶%21346 5362 卢 24025 5DD9 巙21069 524D 前3 A实用文档。