芜湖一中高一自主招生考试试题数学

芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中2021年高一自主招生考试数学试卷(150)一、选择题（每题6分，共36分） 1．若x2 6x 1 0，则x xA．144的值的个位数字是（）C．3D．4B．22．已知二次函数y 2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（） A．y 2(x 2)2 2B．y 2x2 8x 6C．y 2x2 8x 6 D．y 2x2 8x 103．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若y A．0y的最小值是（）B．1 C．2 D．3点，且5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D，E两 cosA=3，则S△ADE∶S四边形DBCE的值为（）A．12B．13C．2D．3AF6．如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，BD于N；若AF平分 BAC，DE AF；交记mBEOM,nBNON,pCFBFE,则有（）B．m n p D．m n pA．m n p C．m n p二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．已知x xy 3,xy y 2,则2x xy 3y 。

8. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中，A (1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (1，2)，用信号枪沿直线y = 2x + b发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为时，甲能由黑变白。

9．已知关于x的方程x p x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是2222感谢您的阅读，祝您生活愉快。

芜湖一中2022年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1.方程xΙxΙ-5ΙxΙ+4=0的实数根的个数是（）A1B2C3D42.依次将正整数1，2，3，……的平方数排成一串：149162536496481100121144……，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第898个位置的数字是（）A1B4C5D93.设抛物线y=x2+x-4与x轴的两个交点的坐标为（x1，0）和（x2，0），则x13-5x22+10=（）A-19B-9C16D-274.若直角坐标系内两点M､N满足条件①M､N都在函数y的图象上②M､N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y的一个“共生点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一个”共生点对”),已知函数,则函数y的“共生点对”有()个A0B1C2D35.如图(1)，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是()．A252-B5C 3D 3.56.如图(2)，一个边长分别是6,8,10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A 重合，另两个顶点在正方形的两边BC,CD 上，则正方形的面积是（）图（1）图（2）图（3）7.如图（3）O 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，OE ⟂OD,∠OED=45°，E 在AB 上，结论：①∠AOD=∠AED；②AD:OD=AF:EF；③OA OF OE ⋅=2；④若AB=6,BE=4,则OD=52,其中正确结论的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）.9.若有四个不同的正整数a,b,c,d,满足（2022-a)(2022-b)(2022-c)(2022-d)=6，则a+b+c+d=.10.已知实数m≠n 且满足（m+2)2=3-3(m+2),(n+2)2=3-3(n+2),则.=+nm m n11.如图4，∠C ＝90°，BC ＝6，tanB ＝，点M 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度在BA 上向点A 运动，点N 同时从点A 出发向点C 运动，其速度是每秒2个单位长度，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为秒时，△MNA 为等腰三角形．12.如图（5），点P 为函数xy 36=（x ＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （4，0），B （8，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是．13.如图图6，在∆ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的圆交BC 于点D,连接AD ，点P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB,延长BP 交AC 于E,交CF 于F,若PE=4,EF=5则BP=图（4）图（5）图（6）14.设自然数m,n,m>n,且(m+n)+(m-n)+mn+n m=75,则m+n=三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15.（1）（本题6分）解方程82)1()344=+++x x （（2）（本题7分）对于函数f （x ）＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0）,若存在实数x 0，使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的固定点．①当a ＝2，b ＝﹣4时，求f （x ）的固定点；②若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个不相同的固定点，求a 的取值范围．16.（本题12分）某校开展研学旅行活动，决定租几辆客车，要求每辆车乘坐相同的人数，每辆车至多乘坐32人。

芜湖一中2012年高一自主招生考试数 学 试 卷题 号 一二三总 分1314151617得 分一、选择题（每题6分，共36分）（答案必须填在下表中，否则以0分计算）题 号 1 2 3 4 5 6 答 案1．某同学编制了一个计算程序。

当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之差。

若输入2-，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是： A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 2．已知231,231+=-=b a ，则622++b a 的值为： A ． 3B ．4C ．5D ．63．函数y ＝224548x x x x +++-+的最小值为：A ．225+B ．3C ．1+22D ．54．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点E 、F .若AD ＝2，BC ＝6，则△ADB 的面积等于： A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （9，0）. 直线y=kx -3恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是：A ．65B ．21C ．56D ．2第4题图 第5题图第6题图ABCxyP6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->。

其中所有正确结论的序号是：A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7．方程24|21|x x -=+的解为 。

8．如图，在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,且CE=2BE ，△DEF 的面积等于2,则此矩形的面积等于 。

9．已知x 、y 是实数且满足0222=-++y xy x ，设M=22y xy x +-，则M 的取值范围是 。

安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一自主招生考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．①②B ．②④3．已知2222,a b b c a b c -=-=++=A ．-22B ．-14．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（A ．2个B ．6．如图，已知直线1:l y =A ．2B ．D ．7．如图，已知在平面直角坐标系的顶点A ，且点B 在x 轴上，过点A ．6B ．二、填空题8．已知()2311a a --=，则a 的取值可能是__________．9．分解因式32452x x x +++=__________．10．若关于整数x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解为31x -≤≤，则a b -的最大值为__________．11．设,,a b c 是正整数，且7080,8090,90100a b c ≤<≤<≤<，当数据,,a b c 的方差最小时，a b c ++的值为__________．12．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________．三、解答题13．如图，A 是圆B 上任意一点，点C 在圆B 外，已知2,4AB BC ACD == ，是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为__________．四、填空题五、解答题(1)如图（1），若236CF EF ==，求线段BD 的长度；(2)如图（2），若2,22GC GE ==，求tan CDA ∠的值．18．材料：对抛物线21(0)2y x p p=>，定义：点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做该抛物线的焦点，(1)求抛物线C的解析式和点A的坐标；(2)若将抛物线C的图象向左平移2个单位，再向上平移①设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，+的最小值；MN MA参考答案：由于A 为定点，则A '也为定点，故当即此时AM MP PN ++取得最小值，因为直线1l 和2l 与x 轴相交所成的锐角分别为所以604020PON ∠=-= ，则而A 坐标为()2,23，故OA OA =AF BC ∴ ,AED BCD ∴ ，32AE AD BC BD ∴==，EF AF AEBC BC-∴=，【详解】，连接为边作等边BCM=∠=︒，60MCB=∠，DCM ACB,=，AC MC BC≅△（SAS），DCM CAB//EH AD ，,BH BE CD CF HD EA HD EF∴==，因为,CB CA CE AB =⊥，所以E如图，过点E 作EH AD ⊥于点H EGH ∴ 等腰直角三角形，EH =2,2CG CG EH =∴== ，在CFG △和EFH △中，根据阅读材料中的结论，可得MF 于是1MN MA MF MA +=+-要使MN MA +最小只需MF MA +根据两点间线段最短，可得MF【点睛】难点点睛：求解2PF FA -⋅方程，和抛物线方程联立，表示出点:1AB y kx =+，联立214y x =推出。

第一套：满分120分2020-2021年芜湖市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

芜湖一中2009年高一自主招生考试数 学 试 卷题 号一二三总分1314 15 16 17 得 分一、选择题（每小题6分，计36分）1．若一元二次方程20x px q ++=的两根为p 、q ，则pq 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．0或—2 D ．0或12．从1、2、3、4、5这些数中任取两个，则它们的和是偶数的概率是（ ） A ．110B ．25C ．35D ．453．满足不等式组21531321353x x x x x --⎧+≥-⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的所有整数解的个数为（ ）A ．20B ．21C ．22D ．234．正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．32B ．34C ．45D ．355．二次函数1()()y x a x b =---，（a 、b 为常数，且a b <）与x 轴的交点的横坐标分别为m 、n ()m n <，则m 、n 、a 、b 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．m n a b <<<C ．m a n b <<<D ．a b m n <<<6．两个相似三角形，它们的周长分别是36和12，周长较大的三角形的最大边边长为15，周长较小的三角形的最小边边长为3，则这两个三角形的面积之和是（ ） A ．54 B ．56 C ．58 D ．60二、填空题（每小题7分，共42分）7．33(743)(743)+--= （化成最简形式） 8．在直角坐标系xoy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1，4）、B （m ，43）两点，则一次函数的解析式为 9．方程331x x -+=的解是10．已知由n 个单位正方体堆成的简单几何体的主视图（a ）和俯视图（b ），则n 的最大值与最小值的和为（a ） （b ）第10题 第11题11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，CG//AB ，BG 分别交AD 、AC 于点E 、F ，若EF a BE b =，那么GEBE= 12．现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3:5，则桶的容积为 升。

【6套合集】安徽芜湖市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析中学自主招生数学试卷一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．02．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣14．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x 的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．9．（3分）将抛物线y ＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）2﹣2C．y＝5（x﹣3）2+2D．y＝5（x﹣3）2﹣210．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.512．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E 的坐标是．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x 轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE （1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD?GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tan G＝，HC＝4，求EM的值．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC ＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD 与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD 为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是（只填写序号）（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C 的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；C、是无理数，故选项符合题意；D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：356万＝3.56×106．故选：A．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．。

芜湖一中2020年高一自主招生考试数 学 试卷一、选择题二、填空题 8．5; 9．92; 10．(-4019,2);11．()()()2113--+x x x ；12．332-；13．22；14．572； 三、解答题15．（1）因为310+=a ，所以3106-=-a ，则()16=-a a ，于是13117672345++-+-a a a a a =()()1311766234++----a a a a a a =13117223++--a a a a =()13112622++--a a a a =13)6(2+--a a =11.（2）设t x x =--+9922，由()()1899992222=--+-++x x x x ，得75-=t ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--++=-++759975992222x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+795922x x ，即162=x ，所以4±=x . 16.解：由题c y x 2=+，又y x =2，则022=-+c x x ，则2811cx +±-=，因为Z x ∈，所以设1281+=+k c （*∈N k ）,于是()12+=k k c ，所以c k k 21,1=+=或c k k =+=1,2；若c k k 21,1=+=，则1=c ，与c 是素数不符，舍去； 若c k k =+=1,2，则3=c ，3-=x 或2.当3-=x 时，0<-+=a c b x ，即a c b <+，显然不能成三角形三边长.当2=x 时，4=y ，16=z ，此时182=+=z x b ，9=b 为合数，与b 是素数不符. 综上，c b a ,,不能作为三角形的三边长.17.解：（1）令0=x ，代入343+-=x y ，得3=y ，则()3,0C .令0=y ，代入343+-=x y ，得4=x ，则()0,4B .设抛物线的解析式为：()()42-+=x x a y ，把()3,0C 代入得83-=a ，则抛物线的解析式为()8271833438322+--=++-=x x x y ，顶点⎪⎭⎫⎝⎛827,1D .（2）由题易知PF DE //,于是当PF DE =时，有四边形DEFP 为平行四边形.令1=x ，代入343+-=x y ，得49=y ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛49,1E ，于是89=DE .设⎪⎭⎫ ⎝⎛+-343,00x x F ，则⎪⎭⎫⎝⎛++-34383,0200x x x P ，于是0202383x x PF +-=，令892383020=+-x x ，解得30=x 或1（舍），将3=x ，代入343+-=x y ，得815=y ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛815,3P . （3）过点Q 向x 轴作垂线，交线段BC 于点R ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛++-34383,020x x x Q ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+-343,00x x R ,则0202383x x QR +-=，则⎪⎭⎫⎝⎛+-=⨯⨯=02023832421x x QR S QBC ∆=()324320+--x ，由题知400<<x ，于是当20=x 时，有()3max=QBCS ∆，此时()3,2Q .（4）由（3）知：()3,2Q ，设点M 关于抛物线对称轴的对称点为M ',则点M '在y 轴上，2='M M ,N M MN '=,以M M '与MC 为临边作平行四边形M MCS '，则M S CM '=，()3,2-S ,于是NB MN CM ++=NB N M M S +'+',容易知道当B N M S ,,,'四点共线时，NB N M M S +'+'取最小值，为53=SB .18.（1）解：连接BO PM ,，由M 为BC 中点，得BC OM ⊥且3=OM .易知PC PB =，则BC PM ⊥，于是P M O ,,三点共线.因为BP OB ⊥,BM OP ⊥，容易得到BM OM BP OB =,则320=PB .（2）证明：由（1）易知PBPMPO PB =,即PM PO PB ⋅=2，又PA PE PB ⋅=2，所以PA PE PM PO ⋅=⋅，即PMPE PA PO =，又EPM OPA ∠=∠，所以OPA ∆∽EPM ∆,于是PME PAO ∠=∠，故E M O A ,,,四点共圆.（对于平几水平较高的学生，在得到PA PE PM PO ⋅=⋅，直接说E M O A ,,,四点共圆也可以.）（3）证明：（法1）过点C 作AB CF ⊥于点F ，连接FM .因为M 为BC 中点，所以MC BC FM ==21,又BAC PCB ∠=∠，所以PCFMPC MC PCB BAC AC AF ==∠=∠=cos cos ，于是有CPACFM AF =.又ACP FBC BFM AFM o o ∠=∠-=∠-=∠180180，所以AFM ∆∽ACP ∆，于是CAP FAM ∠=∠，又CAT BAT ∠=∠，所以DAT MAT ∠=∠，即AT 为MAE ∠平分线；（法2）连接CE BE ,，易知ABEC 为调和四边形，所以BE AC EC AB ⋅=⋅，又由托勒密定理，得BC AE BE AC EC AB ⋅=⋅+⋅，于是BM AE EC AB 22⋅=⋅，即ECAEBM AB =，又AEC ABM ∠=∠，所以ABM ∆∽AEC ∆，于是EAC BAM ∠=∠,又CAT BAT ∠=∠，所以DAT MAT ∠=∠，即AT 为MAE ∠平分线；。

芜湖一中2011年高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题（每题6分，共36分）1．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（ ）A ．{ EMBED Equation.DSMT4 |6π B. C. 2．二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ）A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位. B. 向左移动1个单位，向下移动3个单位. C. 向右移动1个单位，向上移动3个单位. D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.3．已知a 、b 、c 为正实数，且满足b ＋c a | ＝ a ＋b c | ＝ a ＋cb | ＝ k ,则一次函数 的图象一定经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ） A ．y ＝[] B. y ＝[] C. y ＝[] D. y ＝[] 5．正实数满足,那么的最小值为（ ）A ． B. C. 1 D.6．如图，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若AP=4，PB=2，则PC 的长为 （ ）A ．2 B. 3C.D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7． 二次函数y ＝a x 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，那么化简||b a的结果是______________.8．随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是 .9．设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1(2x 22+5x 2－6)+a =2，则a = . 10．已知三角形的三边a 、b 、c 都是整数，且满足abc+bc+ca+ab+a+b+c=7，则此三角形的面积等于 .11．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．12．如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C,D,E 在AB 上，F,N 在半圆上．若AB=10，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是 ．三、解答题：（本大题共5小题，计72分，写出必要的推算或演算步骤．）13．（13分）已知为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，求的值．14．（14分）在ABC∆中，190,2C AC BC∠=︒=.以BC为底作等腰直角BCD∆，E是CD的中点．求证：AE EB⊥.15．（15分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2）作EF⊥AB于点F（图2），求证：12EF OA=；（3）在上述条件下，过点E 作CB 的平行线交CD 于点N ，当NA 与半圆O 相切时（图3），求∠EOC 的正切值．16．（15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA ＝10厘米，OC ＝6厘米，现有两动点P ，Q 分别从O ，A 同时出发，点P 在线段OA 上沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动，已知点P 的运动速度为1厘米／秒．（1）设点Q 的运动速度为 12| 厘米／秒，运动时间为t 秒，①当△CPQ 的面积最小时，求点Q 的坐标；图1②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米／秒，问是否存在a的值，使得△OCP、△PAQ和△CBQ这三个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．.17．（15分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）．（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值．芜湖一中2011年高一自主招生考试数学试卷参考答案一、选择题（每题6分，共36分）7．-1 8．9．-1610． 11． 211-<<-a 或323-=a 12．25 三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13．解：依题意得① ② ③………………6分由②得代入①、③得，………………10分 又为整数，将代入②得………………12分 ………… …13分14．证明：作BCE 的中线EF ，………………2分,即………………5分ACB BCD ACE ∴∠=∠+∠=∠0EFB=135………………7分又ACE BFE ∴≅ ………………10分 AEC BEF ∴∠=∠…………… 12分090CEF D ∠=∠= 090AEB ∴∠=⊥，即AE BE ………………14分15．（1）证明：如图1，连结OD ，则OD为半圆O 的半径∵OC 为半圆M 的直径 ∴∠CDO=90°∴CD 是半圆O 的切线。

安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一自主招生考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．E B．F3．已知圆O与直线l相切于点A，点沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积A ．23B ．22二、填空题8．关于x 的一元二次方程()2640x ax a -+-=的两个正实数根分别为12,x x ，且1228x x +=，则a 的值是__________.9．在分别标有号码2,3,4,,10 的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率为__________.10．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：对于点(),P x y ，若点Q 坐标为()2,2x y --，则称点Q 为点P 的“朋友点”.例如，点()3,2的“朋友点”为点()1,0.已知点M 的坐标为()1,2，点M 的“朋友点”为点1M ，点1M 的“朋友点”为点2M ，点2M 的“朋友点”为点3,M ，点2019M 的“朋友点”为点2020M ，则点2020M 的坐标是__________.11．因式分解：323832x x x -++=__________.12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同的两点,A B C ￿为二次函数的图象的顶点，3AB =，若ABC 是边长为3的等边三角形，则=a __________.13．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命￿健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.三、解答题15．（1）已知103a =+，求函数5432767a a a a -+-+(1)请直接写出B C ￿两点的坐标，抛物线的解析式及顶点(2)设抛物线的对称轴交线段垂线，交线段BC 于点F (3)Q 是第一象限内抛物线上一点，连接两点的圆的切线交于点P ，连接AP ，分别与BC 和O 相交于 D 、E 两点.(1)若O 半径为5，3OM =，求PC 长；(2)求证：A 、O 、M 、E 四点共圆；(3)求证：AT 为MAE ∠平分线.参考答案：14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D如图4，如图所示：设圆心为O ，GH 与AB 交点为P ，连接PG 垂直平分NF ，OA OB ON ==，O ∴在PG 上，AP PB =设OG x =，则10OP PG OG x =-=-，在Rt APO 中，222OA AP OP =+，在Rt NGO 中，2ON NG =因为2(510)(10>故选：C5．C【分析】根据题意得到8．5【分析】由题得到韦达定理，结合已知得再检验即得解.中，在PAH和PQM，所以HM=≅PQMPQN≅（3）过点Q 向x 轴作垂线，交线段设200033,3,84Q x x x R ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则20033||82QR x x =-+，则S （4）由（3）知：(2,3Q 2,MM MN M N ='='，以于是CM MN NB SM ++=【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练利用方程和函数的思想、数形结合的数学思想研究数学问题.求值一般利用方程的思想，求最值一般利用函数和数形结合思想18．(1)20 3(2)证明见解析（2）证明：因为OB 由切割线定理可得PB 又OPA EPM ∠∠=，所以故A 、O 、M 、E 四点共圆（3）证明：过点C 作。

芜湖一中2015年高一自主招生考试数学试卷题号一二三总分1516171819得分一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）1．已知非零实数,a b 满足53353,a b a a b -+++=+=则（）A ．1-B ．0C ．1D ．5-2．已知11=-x x ，则x x+1的值为（）．A ．5±B ．5C ．3±D ．5或13．若关于x 的方程12221ax -=-的解为正数，则实数a 的取值范围是（）A ．32a <B ．32a >C ．322a a >≠且D ．3122a a <≠且4．如果一直线l 经过不同三点()()(),,,,,A a b B b a C a b b a --，那么直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、二象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限5．已知平面四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D.任取其中两个，可以得出“平面四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（）A ．32B ．815C ．53D ．1576．一个正方体内接于一个球(正方体的顶点均在球面上)，过球心作一个截面，如下图所示，则截面的可能图形是（）A ．（3）（4）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（2）（3）（1）（4）（3）（2）7．直角ABC 的三个顶点,,A B C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（）8．二次根式的最简根式形式为9．已知关于x 的方程：x m x m 22240---=()有两个实根x 1、x 2满足x x 212=+，则m 的值为10．若关于x 的不等式组5030x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有1、2、3，则满足这个不等式组的有序整数对(),a b 的个数为对11．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()11,A x y 是反比例函数()10y x x=>的图像上的一点，()22,B x y 是反比例函数()40y x x=-<的图像上的一点，则AOB 的面积的最小值为12．有一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切）。

2022年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷一．选择题（共6小题）1. 已知函数ᵆ={(ᵆ−1)2−1(ᵆ≤3)(ᵆ−5)2−1(ᵆ>3)，则使ᵆ＝ᵅ成立的ᵆ值恰好有三个，则ᵅ的值为（ ）A 0B 1C 2D 32. 如果|ᵆ−ᵄ|＝ᵄ−|ᵆ|(ᵆ≠0, ᵆ≠ᵄ)，那末√ᵄ2−2ᵄᵆ+ᵆ2−√ᵄ2+2ᵄᵆ+ᵆ2=( )A 2ᵄB 2ᵆC −2ᵄD −2ᵆ3. ᵄ，ᵄ，ᵅ为有理数，且等式ᵄ + ᵄ√2 + ᵅ√3 = √5 + 2√6成立，则2ᵄ+999ᵄ+1001ᵅ的值是( )A 1999B 2000C 2001D 不能确定4. 如图，两个反比例函数ᵆ=ᵅ1ᵆ和ᵆ=ᵅ2ᵆ（其中ᵅ1>ᵅ2>0）在第一象限内的图象挨次是ᵃ1和ᵃ2，设点ᵄ在ᵃ1上，ᵄᵃ⊥ᵆ轴于点ᵃ，交ᵃ2于点ᵃ，ᵄᵃ⊥ᵆ轴于点ᵃ，交ᵃ2于点ᵃ，则四边形ᵄᵃᵄᵃ的面积为（ ）A ᵅ1+ᵅ2B ᵅ1−ᵅ2C ᵅ1⋅ᵅ2D ᵅ1ᵅ25. 如图，在平面直角坐标系ᵆᵄᵆ中，等腰梯形ᵃᵃᵃᵃ的顶点坐标分别为ᵃ(1, 1)，ᵃ(2, −1)，ᵃ(−2, −1)，ᵃ(−1, 1)．ᵆ轴上一点ᵄ(0, 2)绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ1，点ᵄ1绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ2，点ᵄ2绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ3，点ᵄ3绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ4，…，重复操作挨次得到点ᵄ1，ᵄ2，…，则点ᵄ2022的坐标是（ ）A (2022, 2)B (2022, −2)C (2022, −2)D (0, 2)6. 如图，在半径为1的⊙ᵄ中，∠ᵃᵄᵃ＝45∘，则sinᵃ的值为（ ）A √22B √2−√22C √2+√22D √24二．填空题（共7小题）7. 三个数ᵄ、ᵄ、ᵅ的积为负数，和为正数，且ᵆ=ᵄ|ᵄ|+ᵄ|ᵄ|+ᵅ|ᵅ|+|ᵄᵄ|ᵄᵄ+|ᵄᵅ|ᵄᵅ+|ᵄᵅ|ᵄᵅ，则ᵄᵆ3+ᵄᵆ2+ᵅᵆ+1的值是________．8. 如图正方形ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃ是ᵃᵃ边的中点，ᵃᵃ与ᵃᵃ相交于ᵃ点，△ᵃᵃᵃ的面积是1，那末正方形ᵃᵃᵃᵃ的面积是________．9. 如图，点ᵃ1，ᵃ2，ᵃ3，ᵃ4，…，ᵃᵅ在射线ᵄᵃ上，点ᵃ1，ᵃ2，ᵃ3，…，ᵃᵅ−1在射线ᵄᵃ上，且ᵃ1ᵃ1 // ᵃ2ᵃ2 // ᵃ3ᵃ3 // ... // ᵃᵅ−1ᵃᵅ−1，ᵃ2ᵃ1 // ᵃ3ᵃ2 // ᵃ4ᵃ3 // ... // ᵃᵅᵃᵅ−1，△ᵃ1ᵃ2ᵃ1，△ᵃ2ᵃ3ᵃ2，…，△ᵃᵅ−1ᵃᵅᵃᵅ−1为阴影三角形，若△ᵃ2ᵃ1ᵃ2，△ᵃ3ᵃ2ᵃ3的面积分别为1、4，则△ᵃ1ᵃ2ᵃ1的面积为 12；面积小于2022的阴影三角形共有________个．10. 你见过像√4−2√3，√√48−√45，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如√4−2√3=√3−2√3×1+1=√(√3−1)2=√3−1．请用上述方法化简：√5+2√6=________．11. 不等式组{3ᵆ−52≤ᵆ−2ᵄ3(ᵆ−1)<4(ᵆ+1)−3有六个整数解，则ᵄ的取值范围为________≤34．12. 小明是一位刻苦学习、勤于思量、勇于创新的同学，一天他在解方程ᵆ2＝−1时，突发奇想：ᵆ2＝−1在实数范围内无解，如果存在一个数ᵅ，使ᵅ2＝−1，那末若ᵆ2＝−1，则ᵆ＝±ᵅ，从而ᵆ＝±ᵅ是方程ᵆ2＝−1的两个根．据此可知：①ᵅ可以运算，例如：ᵅ3＝ᵅ2⋅ᵅ＝−1×ᵅ＝−ᵅ，则ᵅ2022＝________，②方程ᵆ2−2ᵆ+2＝0的两根为________（根用ᵅ表示）13. 如图，直线ᵃᵃ交双曲线ᵆ=ᵅᵆ于ᵃ，ᵃ，交ᵆ轴于点ᵃ，ᵃ为线段ᵃᵃ的中点，过点ᵃ作ᵃᵄ⊥ᵆ轴于ᵄ，连结ᵄᵃ．若ᵄᵄ=2ᵄᵃ，ᵄ△ᵄᵃᵃ=12，则ᵅ的值为________．三．解答题（共7小题）14. 在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、ᵅ00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是________，乙校选手所得分数的众数是________；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或者树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．15. 若ᵆ1、ᵆ2是关于一元二次方程ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ≠0)的两个根，则方程的两个根ᵆ1、ᵆ2和系数ᵄ、ᵄ、ᵅ有如下关系：ᵆ1+ᵆ2=−ᵄᵄ，ᵆ1⋅ᵆ2=ᵅᵄ．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ≠0)的图象与ᵆ轴的两个交点为ᵃ(ᵆ1, 0)，ᵃ(ᵆ2, 0)．利用根与系数关系定理可以得到ᵃ、ᵃ两个交点间的距离为：ᵃᵃ＝|ᵆ1−ᵆ2|=√(ᵆ1+ᵆ2)2−4ᵆ1ᵆ2=√(−ᵄᵄ)2−4ᵅᵄ=√ᵄ2−4ᵄᵅᵄ2=√ᵄ2−4ᵄᵅ|ᵄ|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ>0)的图象与ᵆ轴的两个交点ᵃ(ᵆ1, 0)，ᵃ(ᵆ2, 0)，抛物线的顶点为ᵃ，显然△ᵃᵃᵃ为等腰三角形．（1）当△ᵃᵃᵃ为直角三角形时，求ᵄ2−4ᵄᵅ的值；（2）当△ᵃᵃᵃ为等边三角形时，求ᵄ2−4ᵄᵅ的值．16. 如图，在平面直角坐标系中，直线ᵆ=12ᵆ+32与直线ᵆ＝ᵆ交于点ᵃ，点ᵃ在直线ᵆ=1 2ᵆ+32上，∠ᵃᵄᵃ＝90∘．抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ过点ᵃ，ᵄ，ᵃ，顶点为点ᵃ．（1）求点ᵃ，ᵃ的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点ᵃ的坐标；（3）设直线ᵆ＝ᵆ与抛物线的对称轴交于点ᵃ，直线ᵃᵃ交抛物线于点ᵃ，过点ᵃ作ᵃᵃ // ᵆ轴，交直线ᵃᵃ于点ᵃ，连接ᵄᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ交ᵆ轴于点ᵄ．试判断ᵄᵃ与ᵃᵃ是否平行，并说明理由．17. 如果方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0的两个根是ᵆ1，ᵆ2，那末ᵆ1+ᵆ2＝−ᵅ，ᵆ1⋅ᵆ2＝ᵅ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于ᵆ的方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0，(ᵅ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知ᵄ、ᵄ满足ᵄ2−15ᵄ−5＝0，ᵄ2−15ᵄ−5＝0，求ᵄᵄ+ᵄᵄ的值；（3）已知ᵄ、ᵄ、ᵅ满足ᵄ+ᵄ+ᵅ＝0，ᵄᵄᵅ＝16，求正数ᵅ的最小值．18. 如图，在ᵄᵆ△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ＝90∘，ᵄ是ᵃᵃ边上一点，以ᵄ为圆心的半圆与ᵃᵃ边相切于点ᵃ，与ᵃᵃ、ᵃᵃ边分别交于点ᵃ、ᵃ、ᵃ，连接ᵄᵃ，已知ᵃᵃ＝2，ᵃᵃ＝3，tan∠ᵃᵄᵃ=23．（1）求⊙ᵄ的半径ᵄᵃ；（2）求证：ᵃᵃ是⊙ᵄ的切线；（3）求图中两部份阴影面积的和．19. 如图1，在△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ=36∘，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ的平分线ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ．(1)求证：ᵃᵃ=ᵃᵃ；(2)如图(2)，过点ᵃ作ᵃᵃ // ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ，将△ᵃᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转角ᵯ(0∘<ᵯ<144∘)得到△ᵃᵃ′ᵃ′，连结ᵃᵃ′，ᵃᵃ′，求证：ᵃᵃ′=ᵃᵃ′；(3)在(2)的旋转过程中是否存在ᵃᵃ′ // ᵃᵃ？若存在，求出相应的旋转角ᵯ；若不存在，请说明理由．20. 如图1，已知ᵃ(3, 0)、ᵃ(4, 4)、原点ᵄ(0, 0)在抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ (ᵄ≠0)上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线ᵄᵃ向下平移ᵅ个单位长度后，得到的直线与抛物线惟独一个交点ᵃ，求ᵅ的值及点ᵃ的坐标．（3）如图2，若点ᵄ在抛物线上，且∠ᵄᵃᵄ＝∠ᵃᵃᵄ，则在（2）的条件下，求出所有满足△ᵄᵄᵃ∽△ᵄᵄᵃ的点ᵄ的坐标（点ᵄ、ᵄ、ᵃ分别与点ᵄ、ᵄ、ᵃ对应）2022年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷答案1. D2. D3. B4. B5. B6. B7. 18. 69. 610. √2+√311. 12<ᵄ12. −ᵅ．,1±ᵅ．13. 814. 90分,80分×60360，解得：ᵆ＝2，即获得100分的人数有2人．故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．（则两位选手来自同一学校的概率=412=13．15. 当△ᵃᵃᵃ为直角三角形时，过ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于ᵃ，则ᵃᵃ＝2ᵃᵃ．∵ 抛物线与ᵆ轴有两个交点，∴ △＝ᵄ2−4ᵄᵅ>0，则|ᵄ2−4ᵄᵅ|＝ᵄ2−4ᵄᵅ．∵ ᵄ>0，∴ ᵃᵃ=√ᵄ2−4ᵄᵅ|ᵄ|=√ᵄ2−4ᵄᵅᵄ，又∵ ᵃᵃ＝|4ᵄᵅ−ᵄ24ᵄ|=ᵄ2−4ᵄᵅ4ᵄ，∴ √ᵄ2−4ᵄᵅᵄ=2×ᵄ2−4ᵄᵅ4ᵄ，∴ √ᵄ2−4ᵄᵅ=ᵄ2−4ᵄᵅ2，∴ ᵄ2−4ᵄᵅ=(ᵄ2−4ᵄᵅ)24，∵ ᵄ2−4ᵄᵅ>0，∴ ᵄ2−4ᵄᵅ＝4；当△ᵃᵃᵃ为等边三角形时，由（1）可知ᵃᵃ=√32ᵃᵃ，∴ ᵄ2−4ᵄᵅ4ᵄ=√32×√ᵄ2−4ᵄᵅᵄ，∵ ᵄ2−4ᵄᵅ>0， ∴ ᵄ2−4ᵄᵅ16ᵄ2=34ᵄ2， ∴ ᵄ2−4ᵄᵅ＝12．16. 由直线ᵆ=12ᵆ+32与直线ᵆ＝ᵆ交于点ᵃ，得{ᵆ=ᵆᵆ=12ᵆ+32，解得，{ᵆ=3ᵆ=3 ，∴ 点ᵃ的坐标是(3, 3)．∵ ∠ᵃᵄᵃ＝90∘，∴ ᵄᵃ⊥ᵄᵃ，∴ 直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝−ᵆ．又∵ 点ᵃ在直线ᵆ=12ᵆ+32上，∴ {ᵆ=−ᵆᵆ=12ᵆ+32，解得，{ᵆ=−1ᵆ=1 ，∴ 点ᵃ的坐标是(−1, 1)．综上所述，点ᵃ、ᵃ的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)．由（1）知，点ᵃ、ᵃ的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)．∵ 抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ过点ᵃ，ᵄ，ᵃ，∴ {9ᵄ+3ᵄ+ᵅ=3ᵅ=0ᵄ−ᵄ+ᵅ=1，解得，{ᵄ=12ᵄ=−12ᵅ=0 ，∴ 该抛物线的解析式为ᵆ=12ᵆ2−12ᵆ，或者ᵆ=12(ᵆ−12)2−18．∴ 顶点ᵃ的坐标是(12, −18)；ᵄᵃ与ᵃᵃ平行．理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是ᵆ=12．∵ 直线ᵆ＝ᵆ与抛物线的对称轴交于点ᵃ，∴ ᵃ(12, 12 )．设直线ᵃᵃ的表达式为ᵆ＝ᵅᵆ+ᵄ(ᵅ≠0)，把ᵃ(−1, 1)，ᵃ(12, 12)代入，得{−ᵅ+ᵄ=112ᵅ+ᵄ=12，解得，{ᵅ=−13ᵄ=23，∴ 直线ᵃᵃ的解析式为ᵆ=−13ᵆ+23．∵ 直线ᵃᵃ与抛物线交于点ᵃ、ᵃ，∴ −13ᵆ+23=12ᵆ2−12ᵆ，解得，ᵆ1=43，ᵆ2＝−1．把ᵆ1=43代入ᵆ=−13ᵆ+23，得ᵆ1=29，∴ 点ᵃ的坐标是(43, 29 )．如图，作ᵃᵄ⊥ᵆ轴于点ᵄ．则tan∠ᵃᵄᵄ=ᵃᵄᵄᵄ=16．∵ ᵃᵃ // ᵆ轴，点ᵃ的坐标为(12, −18)．∴ 点ᵃ的纵坐标是−18．把ᵆ=−18代入ᵆ=12ᵆ+32，得ᵆ=−134，∴ 点ᵃ的坐标是(−134, −18)，∴ ᵃᵃ=12+134=154．∵ ᵃᵃ=12+18=58，∴ tan∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ=16，∴ ∠ᵃᵃᵃ＝∠ᵃᵄᵄ．又∵ ᵃᵃ // ᵆ轴，∴ ∠ᵃᵄᵄ＝∠ᵃᵃᵃ，∴ ∠ᵃᵄᵄ＝∠ᵃᵄᵄ，∴ ᵄᵃ // ᵃᵃ，即ᵄᵃ与ᵃᵃ平行．17. 设方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0，(ᵅ≠0)的两个根分别是ᵆ1，ᵆ2， 则：1ᵆ1+1ᵆ2=ᵆ1+ᵆ2ᵆ1ᵆ2=−ᵅᵅ， 1ᵆ1⋅1ᵆ2=1ᵆ1ᵆ2=1ᵅ， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：ᵆ2+ᵅᵅᵆ+1ᵅ=0； ∵ ᵄ、ᵄ满足ᵄ2−15ᵄ−5＝0，ᵄ2−15ᵄ−5＝0，∴ ᵄ，ᵄ是ᵆ2−15ᵆ−5＝0的解，当ᵄ≠ᵄ时，ᵄ+ᵄ＝15，ᵄᵄ＝−5， ᵄᵄ+ᵄᵄ=ᵄ2+ᵄ2ᵄᵄ=(ᵄ+ᵄ)2−2ᵄᵄᵄᵄ=152−2×(−5)−5=−47． 当ᵄ＝ᵄ时，原式＝2；∵ ᵄ+ᵄ+ᵅ＝0，ᵄᵄᵅ＝16，∴ ᵄ+ᵄ＝−ᵅ，ᵄᵄ=16ᵅ， ∴ ᵄ、ᵄ是方程ᵆ2+ᵅᵆ+16ᵅ=0的解， ∴ ᵅ2−4⋅16ᵅ≥0， ᵅ2−43ᵅ≥0， ∵ ᵅ是正数，∴ ᵅ3−43≥0， ᵅ3≥43，ᵅ≥4，∴ 正数ᵅ的最小值是4．18. ∵ ᵃᵃ与圆ᵄ相切，∴ ᵄᵃ⊥ᵃᵃ，在ᵄᵆ△ᵃᵃᵄ中，ᵃᵃ＝2，tan∠ᵃᵄᵃ=ᵃᵃᵄᵃ=23， ∴ ᵄᵃ＝3；连接ᵄᵃ，∵ ᵃᵃ＝ᵄᵃ＝3，ᵃᵃ // ᵄᵃ，∴ 四边形ᵃᵃᵄᵃ为平行四边形，∴ ᵃᵃ // ᵃᵄ，∵ ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，∴ ᵄᵃ⊥ᵃᵃ，又∵ ᵄᵃ为圆的半径，∴ ᵃᵃ为圆ᵄ的切线；∵ ᵄᵃ // ᵃᵃ，∴ ᵃᵃᵃᵃ=ᵄᵃᵃᵃ，即22+3=3ᵃᵃ，∴ ᵃᵃ＝7.5，∴ ᵃᵃ＝ᵃᵃ−ᵃᵃ＝7.5−3＝4.5，∴ ᵄ阴影＝ᵄ△ᵃᵃᵄ+ᵄ△ᵄᵃᵃ−ᵄ扇形ᵃᵄᵃ−ᵄ扇形ᵃᵄᵃ=12×2×3+12×3×4.5−90ᵰ×32360＝3+274−9ᵰ4=39−9ᵰ4．19. (1)证明：∵ ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃ=36∘，∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ=72∘，又∵ ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ，∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=36∘，∴ ∠ᵃᵃᵃ=180∘−∠ᵃ−∠ᵃᵃᵃ=72∘，∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ，∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ．(2)证明：∵ ᵃᵃ=ᵃᵃ且ᵃᵃ // ᵃᵃ，∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ；由旋转的性质可知：∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵃ′ᵃᵃ，ᵃᵃ′=ᵃᵃ′，∵ 在△ᵃᵃᵃ′和△ᵃᵃᵃ′中{ᵃᵃ=ᵃᵃ∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵃ′ᵃᵃᵃᵃ′=ᵃᵃ′，∴ △ᵃᵃᵃ′≅△ᵃᵃᵃ′，∴ ᵃᵃ′=ᵃᵃ′．(3)解：存在ᵃᵃ′ // ᵃᵃ，理由：由(1)可知ᵃᵃ=ᵃᵃ，所以，在△ᵃᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转过程中，ᵃ点经过的路径（圆弧）与过点ᵃ且与ᵃᵃ平行的直线ᵅ交于ᵄ、ᵄ两点，如图：①当点ᵃ的像ᵃ′与点ᵄ重合时，则四边形ᵃᵃᵃᵄ为等腰梯形，∴ ∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵃ=72∘，又∠ᵃᵃᵃ=36∘，∴ ᵯ=∠ᵃᵃᵄ=36∘．②当点ᵃ的像ᵃ′与点ᵄ重合时，由ᵃᵃ // ᵅ得，∠ᵃᵄᵄ=∠ᵃᵃᵄ=72∘，∵ ᵃᵄ=ᵃᵄ，∴ ∠ᵃᵄᵄ=∠ᵃᵄᵄ=72∘，∴ ∠ᵄᵃᵄ=180∘−2×72∘=36∘，∴ ᵯ=∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵄ+∠ᵄᵃᵄ=72∘．所以，当旋转角为36∘或者72∘时，ᵃᵃ′ // ᵃᵃ．20. ∵ ᵃ(3, 0)、ᵃ(4, 4)、ᵄ(0, 0)在抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ (ᵄ≠0)上．∴ {9ᵄ+3ᵄ+ᵅ=016ᵄ+4ᵄ+ᵅ=4ᵅ=0，解得：{ᵄ=1ᵄ=−3ᵅ=0，故抛物线的解析式为：ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ；设直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝ᵅ1ᵆ，由点ᵃ(4, 4)，得：4＝4ᵅ1，解得：ᵅ1＝1∴ 直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝ᵆ，∴ 直线ᵄᵃ向下平移ᵅ个单位长度后的解析式为：ᵆ＝ᵆ−ᵅ，∵ 点ᵃ在抛物线ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ上，∴ 可设ᵃ(ᵆ, ᵆ2−3ᵆ)，又∵ 点ᵃ在直线ᵆ＝ᵆ−ᵅ上，∴ ᵆ2−3ᵆ＝ᵆ−ᵅ，即ᵆ2−4ᵆ+ᵅ＝0，∵ 抛物线与直线惟独一个公共点，∴ △＝16−4ᵅ＝0，解得：ᵅ＝4，此时ᵆ1＝ᵆ2＝2，ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ＝−2，∴ ᵃ点的坐标为(2, −2)．∵ 直线ᵄᵃ的解析式ᵆ＝ᵆ，且ᵃ(3, 0)．∵ 点ᵃ关于直线ᵄᵃ的对称点ᵃ′的坐标为(0, 3)．设直线ᵃ′ᵃ的解析式为ᵆ＝ᵅ2ᵆ+3，此直线过点ᵃ(4, 4)．∴ 4ᵅ2+3＝4，解得 ᵅ2=14．∴ 直线ᵃ′ᵃ的解析式为ᵆ=14ᵆ+3．∵ ∠ᵄᵃᵄ＝∠ᵃᵃᵄ，∴ 点ᵄ在直线ᵃ′ᵃ上，设点ᵄ(ᵅ, 14ᵅ+3)，又点ᵄ在抛物线ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ上，∴ 14ᵅ+3＝ᵅ2−3ᵅ．解得 ᵅ1=−34，ᵅ2＝4（不合题意，舍去），∴ 点ᵄ的坐标为(−34, 4516)．如图，将△ᵄᵄᵃ沿ᵆ轴翻折，得到△ᵄ1ᵄᵃ1，则 ᵄ1 (−34, −4516)，ᵃ1(4, −4)．∴ ᵄ、ᵃ、ᵃ1都在直线ᵆ＝−ᵆ上．过ᵃ点做ᵃᵄ1 // ᵄ1ᵃ1，∵ △ᵄ1ᵄᵃ∽△ᵄᵄᵃ，∴ △ᵄ1ᵄᵃ∽△ᵄ1ᵄᵃ1，∴ ᵄ1为ᵄ ᵄ1的中点．∴ ᵄᵄ1ᵄᵄ=ᵄᵃᵄᵃ1=12，∴ 点ᵄ1的坐标为(−38, −4532)．将△ᵄ1ᵄᵃ沿直线ᵆ＝−ᵆ翻折，可得另一个满足条件的点到ᵆ轴距离等于ᵄ1到ᵆ轴距离，点到ᵆ轴距离等于ᵄ1到ᵆ轴距离，∴ 此点坐标为：(4532, 38)．综上所述，点ᵄ的坐标为(−38, −4532)和(4532, 38)．。

2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．182．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（）A．1B．3C．7D．94．（6分）在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，AH＝BC，则∠BHC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：16．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y=√x2+4x+5+√x2−4x+8的最小值是．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲的速度与乙的速度之比为．9．（7分）设函数y＝x﹣3与y=2x的图象的两个交点的横坐标为a、b，则1a+1b=．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是立方厘米．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．17．（15分）如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a＝，b＝，c＝．（2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．18【解答】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b＝m＞0，只有m≥6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．2．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：如图所示：由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有：（0，2），（0，1），（0，0），（1，0），（1，1），（1，2）一共有6个点．故选：C．3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．9【解答】解：∵859433＝214858×4+1， ∴2859433的末尾数与21的末尾数相同，都为2， ∴2859433﹣1的末尾数是1． 故选：A ．4．（6分）在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，AH ＝BC ，则∠BHC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：如图，AD 、CE 、BF 为△ABC 的高，H 点为三条高线的交点，即H 是垂心， ∵AD 、CE 为△ABC 的高， ∴∠AEH ＝90°，∠ADB ＝90°， ∴∠1＝∠2，∵在△HAE 和△BCE 中 {∠1=∠2∠AEH =∠CEB AH =BC， ∴△HAE ≌△BCE （AAS ）， ∴HE ＝BE ，∴△HEB 为等腰直角三角形， ∴∠BHC ＝45°． 故选：B ．5．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC ＝3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BF A，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BF A＝9：16．故选：B．6．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1【解答】解：根据题意得：A i B i=12x2﹣（−12x）=12x（x+1），∴1A iB i =2x(x+1)=2（1x−1x+1），∴1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=2（1−12+12−13+⋯+1n−1n+1）=2nn+1．故选：A．二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y =√x 2+4x +5+√x 2−4x +8的最小值是 5 ． 【解答】解：∵x 2+4x +5＝（x +2）2+1，x 2﹣4x +8＝（x ﹣2）2+4， ∴即抛物线的顶点坐标分别为：（﹣2，1），（2，4），即相当于求x 轴上一点到（﹣2，1）和（2，2）的和的最小值，等价于（﹣2，﹣1）到（2，2）距离，故如图所示：A ′B =√32+42=5，即原式的最小值为5． 故答案为：5．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 和B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲的速度与乙的速度之比为34．【解答】解：设甲的速度为v 1千米/时，乙的速度为v 2千米/时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为v 1千米，到B 的路程为v 2千米，从而有方程：v 2v 1−v 1v 2=3560，化简得：12（v 1v 2）2+7（v 1v 2）﹣12＝0， 解得：v 1v 2=34或v 1v 2=−43（不合题意舍去）．故答案为：34．9．（7分）设函数y ＝x ﹣3与y =2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，则1a +1b= ﹣1.5 ．【解答】解：联立{y =x −3y =2x 消掉y 得，x 2﹣3x ﹣2＝0， ∵两个交点的横坐标为a 、b ，∴a +b =−−31=3，ab ＝﹣2， ∴1a +1b=a+b ab=3−2=−1.5．故答案为：﹣1.5．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为14．【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积=14S 四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是 2688 立方厘米．【解答】解：如图①∵长方体的长、宽、高分别为28cm 、19cm 、16cm ，∴第一次切下的正方形的边长为16cm ，则其体积为163＝4096（cm 3）， ∴可以认为还有一个长、宽、高分别为19cm 、16cm 、12cm 的长方体存在； 如图②：∴第二次切下的正方形的边长为12cm ，则其体积为123＝1728（cm 3），∴剩下部分的体积是：28×19×16﹣4096﹣1728＝8512﹣4096﹣1728＝2688（cm3）．故答案为：2688．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于2或3或4．【解答】解：∵[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，∴3＜x＜4，1＜y＜2，1＜z＜2，∴2＜x+y﹣z＜5，故可得出[x+y﹣z]＝2，3，4．故答案为：2或3或4．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．【解答】解：设函数y＝x2+ax+b与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）且x1＜x2，函数y＝x2+bx+a与x轴的两个交点坐标分别为C（x3，0），D（x4，0），且x3＜x4，则x1+x2＝﹣a≤0，x1x2＝b＜0，则x1＜0，x2＞0，同理x3+x4＝﹣b＞0，x3x4＝a≥0，则x3≥0，x4＞0，则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B，若按A，C，D，B的顺序排列，则AC＝CD＝DB，则有x3﹣x1＝x4﹣x2，即x1+x2＝x3+x4，即﹣a＝﹣b，与假设（a≥0＞b）矛盾，此不可能．若按A、B、C、D的顺序排列，则x2﹣x1＝x4﹣x3＝x3﹣x2，由于x1，2=−a±√a2−4b2，x3，4=−b±√b2−4a2，则√a2−4b=√b2−4a，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x4，则2×−b−√b2−4a2=−a+√a2−4b2+−b+√b2−4a2，化简得：a+b＝3√b2−4a+√a2−4b，即3√b2−4a+√a2−4b=−4，此不可能．若按A、C、B、D的顺序排列，则x3﹣x1＝x2﹣x3＝x4﹣x2，则有x2﹣x1＝x4﹣x3，且2x3＝x1+x2，因此√a2−4b，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x1，则2×−b−√b2−4a2=−a，解之得a＝0或a＝﹣4．而a≥0，∴a＝0，b＝﹣4，经经验，a＝0，b＝﹣4满足题设要求．故a＝0，b＝﹣4为所求．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中点，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①连接EM 并延长交BC 于点H ，如图2所示：∵FM ＝2+10＝12＝DE ，DE ∥BF ，∴四边形DFME 是平行四边形，∴DF ＝EM ，EH ∥CD ，∴∠MHB ＝∠C ＝90°，∵AD ＝6，DE ＝12，∠A ＝90°，∴∠DEA ＝30°，∴∠DEA ＝∠FBE ＝∠FBC ＝30°，∴∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠FME ＝60°，∴∠DFM ＝∠DEM ＝120°，∴∠MEB ＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB ＝∠FBE ＝30°，∴∠EHB ＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF ＝EM ＝BM ＝4，∴MH =12BM ＝2，∴EH ＝4+2＝6，由勾股定理得：HB =√BM 2−MH 2=√42−22=2√3，∴BE =√EH 2+HB 2=√62+(2√3)2=4√3，当DP ＝DF 时，−65x +12＝4，解得：x =203，∴BQ ＝14﹣x ＝14−203=223， ∵223＞4√3，∴BQ ＞BE ；②（Ⅰ）当PQ 经过点D 时，如图3所示：y ＝0，则x ＝10；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示：∵BF ＝16，∠FCB ＝90°，∠CBF ＝30°，∴CF =12BF ＝8，∴CD ＝8+4＝12，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ，∴FQ DP =CF CD ， ∴2+x−65x+12=812，解得：x =103；（Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PE BQ =AE AB ，由勾股定理得：AE =√DE 2−AD 2=√122−62=6√3，∴AB ＝6√3+4√3=10√3，∴12−(−65x+12)14−x=√310√3， 解得：x =143，由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x ＝10或x =103或x =143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．【解答】解：连接OC 、BC ，∵C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，∴∠BOC ＝∠BHC ＝90°，则点O 、B 、C 、H 四点共圆，∴∠OHB ＝∠OCB ＝45°，∵∠BCM ＝90°，CH ⊥BM ，M 为AC 的中点，∴AM 2＝CM 2＝MH •MB ，即HM AM =AM BM ，∴△AMH ∽△BMA ，则∠MAH ＝∠MBA ，∠AHM ＝∠BAM ＝45°，∴∠AHM ＝∠BHO ，∴△AMH ∽△BOH ，∴AH BH =MH OH ，则AH •OH ＝MH •BH ，∵CH 2＝MH •HB ，∴CH 2＝AH •OH ．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A 出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A 与小岛C 之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD ⊥AC 于点D ，如图所示：由题意可知：AB ＝30×1＝30海里，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，在Rt △ABD 中，∵AB ＝30海里，∠BAC ＝30°，∴BD ＝15海里，AD ＝AB cos30°＝15√3海里，在Rt △BCD 中，∵BD ＝15海里，∠BCD ＝45°，∴CD ＝15海里，BC ＝15√2海里，∴AC ＝AD +CD ＝15√3+15海里，即A 、C 间的距离为（15√3+15）海里．（2）∵AC ＝15√3+15（海里），轮船乙从A 到C 的时间为15√3+1515=√3+1，由B 到C 的时间为√3+1﹣1=√3，∵BC ＝15√2海里，∴轮船甲从B 到C 的速度为√2√3=5√6（海里/小时）．17．（15分）如图①，在长方形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从A 出发，沿A 、B 、C 、D 路线运动，到D 停止，点P 的速度为每秒1 cm ，a 秒时点P 的速度变为每秒bcm ，图②是点P 出发x 秒后，△APD 的面积S 1（cm 2）与x （秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a ＝ 6 ，b ＝ 2 ，c ＝ 17 ．（2）点P 出发后几秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一？【解答】解：（1）依函数图象可知：当0≤x ≤a 时，S 1=12×8a ＝24 即：a ＝6当a ＜x ≤8时，S 1=12×8×[6×1+b （8﹣6）]＝40 即：b ＝2 当8＜x ≤c 时，①当点P 从B 点运动到C 点三角形APD 的面积S 1=12×8×10＝40（cm 2）一定，所需时间是：8÷2＝4（秒）②当点P 从C 点运动到D 点：所需时间是：10÷2＝5（秒） 所以c ＝8+4+5＝17（秒）故答案为：a ＝6，b ＝2，c ＝17．（2）∵长方形ABCD 面积是：10×8＝80（cm 2）∴当0≤x ≤a 时，12×8x ＝80×14即：x ＝5； 当12≤x ≤17时，12×8×2（17﹣x ）＝80×14即：x ＝14.5． ∴点P 出发后5秒或14.5秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一。