6数列求和作业(学生版)

第四节数列求和知识梳理一公式求和法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．(2)等差数列的前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.(3)等比数列的前n项和公式：S n=na1，q=1，a1-a n q1-q=a1(1-q n )1-q，q≠1.注意：等比数列公比q的取值情况，要分q=1，q≠1.二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．三倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．四裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．五错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{a n}是等差数列，求数列{(-1)n a n}的前n项和，可用并项求和法求解，分项数为奇数和偶数分别进行求和形如a n=(-1)n f(n)类型，可考虑采用两项合并求解．七四类特殊数列的前n项和①1+2+3+⋯+n=12n(n+1)．②1+3+5+⋯+(2n-1)=n2.③12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)．④13+23+33+⋯+n3=14n2(n+1)2.题型探究一分组求和与并项求和一分组求和法解题通法分组转化法求和的常见类型(1)若a n=b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和．(2)通项公式为a n=b n，n为奇数，c n，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{c n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-12 n，则其前20项和为()A.379+1220B.399+1220C.419+1220D.439+12202.已知数列{a n}中，a1=a2=1，a n+2=a n+2，n是奇数，2a n，n是偶数，则数列{an}的前20项和为()A.1121B.1122C.1123D.11241.若数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列{a n}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-22.若a n=1n n+2,n=2k-1,k∈N∗2n,n=2k,k∈N∗，求数列{a n}的前2n项的和S2n.二并项求和法3.已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=13a n+n ,n为奇数a n-3n,n为偶数，n∈N*．(Ⅰ)证明：数列a2n-32是等比数列；(Ⅱ)记S n是数列{a n}的前n项和，求S2n．3.已知数列a n的通项公式a n=(-1)n(2n-1)，求该数列的前n项和S n．4.已知数列{a n}的前n项和为S n=1-5+9-13+17-21+⋯+(-1)n-1(4n-3)，则S15+S22-S31的值是()A.13B.76C.46D.-76二倒序相加法4.设f(x )=4x4x+2，若S=f12022+f22022+⋯+f20212022，则S=.反思感悟倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．5.　设f(x)=x21+x2，则f12022+f12021+⋯+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=40432.6.(2022·全国·高三专题练习)已知f(x)=21+x2 (x∈R),若等比数列{a n}满足a1a2020=1,则f(a1)+ f(a2)+⋯+f(a2020)=( )A.20192 B.1010 C.2019 D.20207.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos xcos30°-x，f1°+f2°+f3°+⋯+f59°=_ _______.三裂项相消法解题通法1.常见的裂项公式a n的裂项方法a n的裂项方法11n(n+k)=1k1n-1n+k72n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-121n+n+k =1k(n+k-n)8a-1a n(a n+b)(a n+1+b)=1a n+b-1a n+1+b31n2-1=121n-1-1n+19n+2n(n+1)2n=1n2n-1-1n+12n41(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+110n⋅2n-1(n+1)(n+2)=2nn+2-2n-1n+154n2(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1+1111n(n2+1)=121(n-1)n-1n(n+1)61n2(n+2)2=141n2-1(n+2)2121n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)2.裂项的步骤（以表中7举例）①先只观察分母并对其因式分解：(2n-1)(2n+1-1)；②把分母中的两个因式分开并取倒数，然后做差：12n-1-12n+1-1；③通分：12n-1-12n+1-1=(2n+1-1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1);④跟原式进行比较来配平系数：系数为1.因此2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-13.裂项相消的注意事项①有时分母因式分解有三个因式（如11、12），这时需要把中间大小的重复利用两次，两两一组，分开，再取倒数做差；②裂项相消过程中，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，因此一次要真实相消；4.裂项相消的两种题型(1)直接考查裂项相消法求和．(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决第(2)类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的．一形如b n =1a n a n +1({a n }为等差数列)型5.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列1S n +n的前n 项和为T n ，求T n .二形如a n =1n +k +n型6.(2021·西安八校联考)已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2)，令a n =1f (n +1)+f (n )，n ∈N +.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2022等于()A.2021-1B.2022-1C.2023-1D.2023+1三形如b n =a n(a n +k )(a n +1+k )({a n }为等比数列)型7.(2021·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,6S n =a 2n +3a n ，n ∈N *，b n =2a n(2a n -1)(2a n +1-1)，若对任意的n ∈N *，k >T n 恒成立，则k 的最小值是()A.17B.49C.149D.8441四带(-1)n的特殊裂项相消类型8.（2022.临沂一模，20）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，4S n=a n+1a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列b n满足a n b n a n+1=(-1)n n，求b n的前2n项和T2n(n∈N*).8.(角度1)在数列{a n}中，a n=1n+1+2 n+1+⋯+nn+1，又b n=1a n a n+1，则数列{b n}的前n项和S n=.9.(角度2)求和S=11+3+13+5+⋯+1119+121=( )A.5B.4C.10D.910.(角度3){a n}是等比数列，a2=12，a5=116，b n=a n+1(a n+1)(a n+1+1)，则数列{b n}的前n项和为( )A.2n-12(2n+1)B.2n-12n+1C.12n+1D.2n-12n+211.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4 =9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．四错位相减法解题通法1.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.2.用错位相减法求和应注意的问题(1)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式．(2)“S n-qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n-1项，一般是n-1项．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．3.错位相减法的快捷公式S n=An+Bq n-B(利用a n解出S1，S2解关于A和B的一元二次方程组即可)9.(2022·陕西榆林·三模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-9.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n⋅log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.12.(2020·课标Ⅰ，17节选)已知数列{a n}的通项公式a n=n(-2)n-1，求{a n}的前n项和S n．13.(2021·全国乙)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n2.14.1+2x+3x2+⋯+nx n-1=.(其中x≠0)15.在数列{a n}中，任意相邻两项为坐标的点P(a n，a n+1)均在直线y=2x+k上，数列{b n}满足条件：b1=2，b n=a n+1-a n(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=b n∙log21bn，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1= 2，a1，a2，a5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=3n a n，求数列{b n}的前n项和．17.(2022·河南)已知在数列a n中，a1=1，a2= 2，a n+2=4a n n∈N*．(1)求a n的通项公式；(2)记b n=3n-5a n，求数列b n的前n项和T n．跟踪测验1已知数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ，则1a n的前100项和为( )A.100101 B.99100　C.101100D.2001012已知F (x )=f x +12-1是R 上的奇函数，a n =f (0)+f 1n +f 2n +⋯+f n -1n+f (1)(n∈N *)，则数列a n 的通项公式为( )A.a n =n B.a n =2n C.a n =n +1D.a n =n 2-2n +33(2021·哈尔滨三中期末)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =(-1)n (2n -1)，则S 2023=( )A.2021 B.-2021C.-2023　D.20234已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n +1=a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，如果a 1=1，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018=.5(2021·山东省济南市历城二中高三模考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5-2b 2=a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =2S n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T 2n .6(2020·天津，19)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4-a 3)，b 5=4(b 4-b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n +2<S 2n +1(n∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n =(3a n -2)b n a n a n +2，n 为奇数，a n -1b n +1，n 为偶数. 求数列{c n }的前2n 项和．7(2021·浙江，20,15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．8(2021·湖南岳阳一模，18)已知数列{a n}满足a1=1，且点(a n，a n+1-2n)在函数f(x)=3x的图象上．(1)求证：a n2n+1是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)若b n=a n+1a n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n>3n+23.9已知数列{a n}的前n项和S n=-12n2+ kn(其中k∈N*)，且S n的最大值为8．(1)确定常数k，并求a n；(2)若数列9-2a n2n的前n项和为Tn.试证明：T n<4．10已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-12 n-1 +2，数列{b n}满足b n=2n a n．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)设c n=n(n+1)2n(n-a n)(n+1-a n+1)，求数列{c n}的前n项和T n．11已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n =3n(n∈N*)，且a2=5．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>310成立的最小正整数n的值．12记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -2n +1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =(-1)n ·log 223(a n +4)-43，求数列{b n }的前n 项和T n .13已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，b 1=2，数列{a n ⋅b n }的前n 项和为(n -1)⋅2n +1+2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，c n =4S n ⋅t n -1n (n +1)b n ，t ≠0，求c 1b n +c 2b n -1+⋯+c n b 1．14(2023·菏泽模拟)已知数列{a n }中，a 1=1，它的前n 项和S n 满足2S n +a n +1=2n +1-1.(1)证明：数列a n -2n3 为等比数列；(2)求S 1+S 2+S 3+⋯+S 2n ；(3)求S 1+S 2+S 3+⋯+S n .15已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，满足32S n=1a n -2-1a n +4.(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列-1 n S n -3n 的前n 项和T n .16(2022·山东日照·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，a 2=2，a n +2=ka n (k ≠1)，n ∈N ∗，a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列．(1)求k 的值和a n 的通项公式；(2)设b n =a 2n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数 ，求数列b n 的前n 项和S n ．17(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n的前n项和为S n，且S5=25,a2+a5+a10=31.(1)求数列a n的通项公式以及前n项和S n；(2)若b n=2a n,n为奇数1a n a n+2,n为偶数，求数列b n 的前2n-1项和T2n-1.18(2022·沈阳第一二〇中学高三月考)已知数列a n的前n项和S n=a n a n+12，且a n>0．(1)证明：数列a n为等差数列；(2)若b n=a n⋅2na n+1⋅a n+2，求数列b n的前n项和T n．。

§数列求和（ ： 45分 分： 100分）一、 ( 每小 7分，共 35 分 )*11．在等比数列 {a n } (n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8， 数列的前10 和 ()A ． 2－ 18B ． 2－ 192 2 C ． 2－110D ． 2－111222．若数列 {a n } 的通 公式a n ＝2n ＋ 2n － 1， 数列 {a n } 的前 n 和 ()n2 n ＋ 12A ． 2 ＋ n －1B ． 2 ＋ n － 1C ． 2n ＋1＋ n 2－ 2D ． 2n ＋ n － 23．已知等比数列 {an } 的各 均 不等于 1 的正数， 数列 {b } 足 b ＝ lga ，b ＝ 18，b ＝ 12，nnn36数列 {b n } 的前 n 和的最大 等于 ( )A ． 126B ． 130C ． 132D ． 1344．数列 {a } 的通 公式n － 1 ·(4 n － 3) ， 它的前 100 之和 S等于 ()n a ＝ ( － 1)n100A ． 200B ．－ 200C ． 400D ．－ 4005．数列 1·n , 2(n －1),3(n－2) ，⋯， n ·1的和 ( )n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3)n(n ＋ 1)(n ＋ 2)二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 )6．等比数列 {a } 的前 n 和 n2 22S ＝2 － 1， a＋ a ＋⋯＋ a＝ ________.n n12n7．已知数列 {a } 的通 a与前 n 和 S之 足关系式S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________.nnnnnn8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b} 足 b ＝log 3a ， 数列的前 nnnnn1b bn ＋ 1n 和 S ＝ ________.n9． 关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数a n ，数列 {a n } 的前 n 和S n ， S 100 的 ________．三、解答 ( 共 41 分 )10． (13 分 ) 已知数列 nn和， 于任意的*{a } 的各 均 正数， S 其前 nn ∈N 足关系式2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通 公式；n(2) 数列 {b} 的通 公式是 b ＝1 ，前 n 和 T ，求 ： 于任意的nnnlog 3a n ·log 3a n ＋ 1正数 n ， 有 T n <1.} 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差11． (14 分) 已知 增的等比数列 {an23432 4中．(1)求数列 {a n} 的通公式；(2) 若 b n＝ a n log 1n＋1成立的最小正整数n 的．a n，S n＝ b1＋b2＋⋯＋b n，求使S n＋ n·2 >50212． (14 分 ) 已知等差数列 {a} 的首 a ＝ 1，公差 d>0，且第二、第五、第十四分n1是一个等比数列的第二、第三、第四．(1)求数列 {a n} 的通公式；n1*n n，是否存在最大的整数t ，使得任意(2)b＝n(a n＋3) (n ∈N) ，S ＝ b1＋b2＋⋯＋ bn t成立？若存在，求出t ；若不存在，明理由．的 n 均有 S >36答案1 n7.1 3 n－18.n1006. 3(4－ 1) 2 4＋ 1n2S＝ 3a－3，10. (1)n n( n≥2) ．解由已知得n n－ 32S－1＝ 3a－1故2(S n－S n－1) ＝2a n＝ 3a n－ 3a n－1，即 a n＝ 3a n－1 (n ≥2) ．故数列 {a n} 等比数列，且公比q＝ 3.又当 n＝ 1 ， 2a1＝ 3a1－ 3，∴ a1＝3. ∴ a n＝ 3n.(2) 明1∵ b n＝n( n＋ 1)＝1－1.n n＋1∴ T n＝ b1＋b2＋⋯＋ b n111＋⋯＋11＝ 1－＋－3－n＋122n1＝ 1－n＋1<1.11 解 (1) 此等比数列a1，a1q， a1q2， a1q3，⋯，其中 a1≠0， q≠ 0.11213＝ 28，①由意知： a q＋ a q ＋ a qa1q＋ a1q3＝ 2(a 1q2＋ 2) ．②②× 7－①得 6a 13121q －15a q＋ 6a q＝0，1即2q2－ 5q＋ 2＝ 0，解得 q＝ 2 或 q＝ .2∵等比数列 {a n} 增，∴ a1＝ 2， q＝2，∴ a n＝ 2n.n(2) 由 (1) 得 b n＝－ n·2，2 n．∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b ＝－ (1 ×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2)n 12nn2nT ＝1×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2，③23n ＋ 12T n ＝1×2＋2×2＋⋯＋ n ·2 . ④由③－④，得－n2 ＋⋯＋ nn ＋ 1T ＝1×2＋1×21·2 － n ·2n ＋1n ＋ 1n ＋1＝ 2 － 2－ n ·2 ＝ (1－ n) ·2 － 2，∴－ T n ＝－ ( n －1) ·2n ＋1－ 2.∴ S n ＝－ ( n －1) ·2n ＋1－ 2.n ＋1要使 S n ＋n ·2>50 成立，n ＋ 1n ＋1>50，即 n即－ (n －1) ·2 － 2＋n ·22 >26.45x是 增函数，∵2＝ 16<26,2 ＝ 32>26，且 y ＝ 2 ∴ 足条件的 n 的最小 5.12 解 (1)由 意得 (a 1＋ d)(a 1＋ 13d) ＝ (a 1 ＋ 4d) 2，整理得 2a 1d ＝ d 2.∵ a 1＝ 1，解得 d ＝2， d ＝ 0( 舍 ) ．∴ a n ＝ 2n － 1 (n ∈N * ) ．(2)b n ＝1＝ 1 ＝ 1 1 1n ( a n ＋3) ＋ 1) 2 n － n ＋ 1 ，2n ( n∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b nn 1 21 1 1 111＝ 21－ 2 ＋ 2－ 3＋ n－n ＋111＝2(n＝ 21－n ＋ 1＋ 1) .nt假 存在整数 t 足 S n >36 成立，n ＋ 1 －2(n ＝2(1＋ 1)>0，又 S n ＋1－ S n ＝ 2(n ＋ 2)n ＋ 1) n ＋ 2)(n∴数列 {S n } 是 增的．1t 1∴ S 1＝ 4 S n 的最小 ，故 36<4，即 t<9.又∵ t ∈Z ，∴适合条件的 t 的最大 8.。

数列求和、数列的综合应用练习题1.数列20,,2,,2101+++a k a a k 共十项，且其和为240，则101a a a k ++++ 的值为 （ ） A.31 B.120 C.130 D.1852. 已知正数等差数列}{n a 的前20项的和为100，那么147a a ⋅的最大值是 （ ） A.25 B.50 C.100 D.不存在3. 设函数x x f m log )(=（0>m ，且1≠m ），数列}{n a 的公比是m 的等比数列，若8)(200931=⋅⋅a a a f ，则)()()(220102221a f a f a f +++ 的值等于 （ ） A.-1974 B.-1990 C.2022 D.2042 4. 设等差数列}{n a 的公差0≠d ，又921,,a a a 成等比数列，则=++++1042931a a a a a a .5. 已知二次函数x x x f 23)(2-=，数列}{n a 的前n 项和为n s ，点（n s n ,）（*N ∈n ）在函数)(x f y =的图像上. （1）球数列}{n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使20mT n <对所有*N ∈n 都成立的最小正整数m .6.（2014广东湛江模拟）已知数列}{n a 各项均为正，其前n 项和为n s ，且满足2)1(4+=n n a S .（1）求}{n a 的通项公式；（2）设11+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 及n T 的最小值.7. （2014安徽，18，12分）数列}{n a 满足)1()1(,111+++==+n n a n na a n n ，*N ∈n .（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列；（2）设n n n a b ⋅=3，求数列}{n b 的前n 项和为n s .8. （2014湖北，19，12分）已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且521,,a a a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.9. （2014湖南师大附中第二次月考，19）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a 万元. 由于经营方式不同，甲超市前n （*N ∈n ）年的总销售额为)2(22+-n n a 万元；从第二年起，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多a n 132-⎪⎭⎫ ⎝⎛万元.（1）设甲、乙两超市第n 年的销售额分别是n n b a ,，求n n b a ,的表达式； （2）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一个超市的年销售额的50%，则该超市将于当年年底被另一家超市收购. 问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年年底被收购；若不能，请说明理由. 10. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. （1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？11. （2014四川，19，12分）设等差数列}{n a 的公差为d ，点),(n n b a 在函数x x f 2)(=的图像上（*N ∈n ）.（1）证明：数列}{n b 为等比数列；（2）若11=a ，函数)(x f 的图像在点),(22b a 处的切线在x 轴上的截距为2ln 12-，求数列}{2n n b a 的前n 项和n S .12. （2014江西上饶六校第二次联考，18）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且15,252==S a ，数列}{n b 满足211=b ，n n b nn b 211+=+. （1）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（2）记n T 为数列}{n b 的前n 项和，2)2(2)(+-=n T S n f n n ，试问)(n f 否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由．13.（2012四川，12,5分）设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+= （ ） A.0 B.7 C.14 D.21 14.（2012山东,20,12分）已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .15.（2013课标全国Ⅱ，17,12）已知等差数列{}n a 的公差不为零,251=a ,且13111,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732n a a a a -++++.16. （2014广东，19，14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且nS 满足()()222*330,n n S n n S n n n -+--+=∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++.17.（2013山东,20,12分）设等差数列的前项和为,且,（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足 ,求的前项和.18. （2014安徽，12，5分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.19.（2014课标Ⅰ,17,12分）已知是}{n a 递增的等差数列，42,a a 是方程0652=+-x x 的根．（1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项和． 20. （2014湖南，21，13分）已知函数)0(1sin cos )(>+-=x x x x x f . （1）求)(x f 的单调区间；（2）记i x 为)(x f 的从小到大的第i （*N ∈i ）个零点，证明：对一切*N ∈n ，有3211122221<+++n x x x . 21. （2014山东，19，12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n b a +=，记()12341nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .22.（2013重庆，16,13分）设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .23.（2013湖南,19,13分）设n S 为数列{n a }的前n 项和,已知01≠a ，n n S S a a ⋅=-11，（1）求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式； （2）求数列{n na }的前n 项和. 24.（2012安徽，21,13分）设函数）（x f =2x+x sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{n x . （1）求数列}{n x 的通项公式；（2）设}{n x 的前n 项和为n S ，求n S sin .。

数列求和主要思路：1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式：2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用：3.转化思想的运用； 数列求和的常用方法——、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：s 加严j ）〃” 2 1 2 [加 1 n （4=1） 2、 等比数列求和公式：S =八「（1一/） u 一 a qn ] _J _______ = 1 力 （g H 1）〔1-9 1-9 n13、S 〃=》k = l + 2 + 3 + +…+ /?..= -it （n +1）=l 2 + 22 +32 +...+ /* =^n(n +l)(2n+l) os n =^A ：3 = I 3 + 23 + 33+ •••+/73J 】公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数〃的值:（2）等比数列公比°未知时，运用前〃项和公式要分类。

例 1.求和 l+X + x2+・・ ・+0-2(“n2,XHO) 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛知• bn ｝的前n 项和，其中｛a n ｝. ｛0｝分别是等差数列和等比数列. 例 2・求和：1 +3x + 5x 2 + 7x 3 + ・・・ + (2〃一1)#12 4&例，求数列〒芦去 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用 倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例 4.求sin 2 h+ sin ' 2°+ sin ' 3。

+ …+ sin 2 88•+ sin 2 89。

的值例 4 变式训练八 求 cosl° +cos2° +cos3° +• • •+cosl78° +cosl79° 的值. 例 4 变式训练 2:数列｛an ｝： a t = 19a 2= 3, a 3= 2,a^2= a n ^x -a n , S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中,若。

教学辅导教案1. 等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；2. 设n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.3. 已知等比数列{}n a 满足32152,027a a a a a ==-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若，求证：是等差数列.3log 33+=n n a b {}n b4. 已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+*()n ∈N （1）求25,a a ；（2）若25,a a 恰好是等比数列{}n b 的第2项和第3项，求数列{}n b 的通项公式．5. 已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；1. 已知正项等比数列{}n a 满足1a ，22a ，36a +成等差数列，且24159a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log ()n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且38b =，416b =，11a b =，84a b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 设数列{}满的前n 项和为Sn ，且，·（1）求数列{}满的通项公式；（2）设，求数列｛｝的前n 项和．4. 已知数列满足，则数列的前项和___________．5. 已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则121001111a a a ++⋅⋅⋅+=【题型一： 通项分析法】 【例1】 已知数列的各项依次为，，，求它的前项和【例1】 已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++L ,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．1n n + B ．41n n + C. 31n n + D ．51n n + 【变式训练1】 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．1011001. （题型1）设n S 是数列的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2. （题型2）已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a =__________． 3. （题型3）在等差数列中，已知，，求通项公式及前项和4. （题型4）所以数列的前项和已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=．7. （题型6）已知数列{}n a 为等差数列，其中238a a +=，523a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20162017n S >成立．【查漏补缺】1. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则5S 等于（ ）A ．1B ．65 C ．61 D ．301 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}()2nnS n +⋅的前n 项和n T ．4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3a =24，11S =0. （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）设nS b nn =，求数列}{n b 前n 项和n T 的最大值.1. 已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==, n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,则数列(){}1nn a -的前10项的和10S = A. 220B. 110C. 99D. 552. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =,20172015120172015S S -=,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为 A.20171009 B. 20172018 C. 12017 D. 120183. 已知函数()()2cos f n n n π=,且()()1n a f n f n =++,则12100a a a ++⋯+=（ ）A.100- B. 0 C. 100 D. 102004. 数列满足12sin 122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则数列的前100项和为A. 5050B. 5100C. 9800D. 9850 5. 观察如下规律：1111111111111111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,333555557777777999999999L ,该组数据的前2025项和为__________． 6. 已知数列的前n 项和为n S ,且2n n S a n =-．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列,求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+,求数列{}n b 的前n 项和n T ．7. 已知数列｛a n ｝的首项a 1=23,a n +1=21n n a a + (n *N ∈).（1）证明：数列｛1na -1｝是等比数列； （2）求数列｛nna ｝的前n 项和S n .8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且252,15a S ==,数列{}n b 满足：()1111,22n n n b b b n N n+++==∈,记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和为n S ； （2）求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和为n T ；9. 设各项均为正数的等比数列{}n a 中,133510,40.a a a a +=+=2log n nb a =（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若111,nn n nb c c c a +==+,求证： 3n c <；第1，2天作业1. （2015年高考新课标I 卷）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A ．B ．C ．D ．2. （2015年高考新课标Ⅱ卷）设是等差数列的前项和,若,则 A ．B ．C ．D ．3. （2014年高考福建卷）等差数列的前项和为，若，则 A ．8B ．10C ．12D ．114. （2016年高考北京卷）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则_______.5. （2016年高考江苏卷）已知{}是等差数列，是其前项和.若，{}n a n S {}n a n 844S S =10a =1721921012n S {}n a n 1353a a a ++=5S =57911{}n a n n S 132,12a S ==6a ={}n a n S 16a =350a a +=6=S n a n S n 2123a a +=-。

高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。

求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。

（2）用列项相消法求和。

试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。

2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。

【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。

求数列的前n 项和求数列的前n 项和S n 是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前n 项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 (1) 等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d(2) 等比数列求和公式S n ={na 1 ,q =1a 1(1−q n )1−q,q ≠1(3) 12+22+32+⋯+n 2=n (n+1)(2 n+1)6(4) 13+23+33+⋯+n 3=[n (n+1)2]2.【典题1】求和式3+6+12+⋯+3∙2n−2，先思考它是几项之和再求和.(n∈N∗)．【典题2】已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S n=a n+1−132(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．巩固练习1 (★★) 求和式1+4+7+⋯+(3n+1).2 (★★) 已知{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，且a1 ,a3 ,a9成等比数列，求数列{2a n}的前n项和S n．3 (★★) 已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为15，(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若公差d>0，求数列{|a n|}的前n项和T n．4 (★★★) 设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．(1)求数列{a n}的等差数列．(2)令b n=lna3n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【方法二】倒序相加(乘)法1 对于某个数列{a n }，若满足a 1+a n =a 2+a n−1=⋯=a k +a n−k+1，则求前n 项和S n 可使用倒序相加法. 具体解法：设S n =a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ① 把①反序可得S n =a n +a n−1+⋯+a 2+a 1 ②由①+②得2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n−1)+⋯+(a n−1+a 2)+(a n +a 1)⇒S n =(a 1+a n )n2.2 对于某个数列{a n }，若满足a 1a n =a 2a n−1=⋯=a k a n−k+1，则求前n 项积T n 可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.【典题1】 设f(x)=14x +2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(－3)+f(－2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)的值为 ．【典题2】 求sin 21∘+sin 22∘+sin 23∘+⋯+sin 288∘+sin 289∘的值【典题3】 设函数f (x )=x2x +√2的图象上两点P 1(x 1 ,y 1)、P 2(x 2 ,y 2)，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且点P 的横坐标为12．(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求S n =f (1n )+f (2n )+⋯+f(n−1n)+f(nn).巩固练习1 (★★) 设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=(a1+a n)n2.2(★★) 设f(x)=(x−1)3+1，求f(－4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)的值为.3(★★) 设函数f(x)=x21+x2，求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)的值．【方法三】分组求和法1 若数列{c n}中通项公式c n=a n+b n，可分成两个数列{a n}，{b n}之和，则数列{c n}的前n项和等于两个数列{a n}，{b n}的前n项和的和.2 常见的是c n=等差+等比形式3 等比数列的通项公式形如a n=kn+b，等差数列的通项公式形如a n=A∙B n.【典题1】求数列{3n+2n−1}的前n项和S n.【典题2】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5a1，S3−a2=8．(2)若数列{b n }满足(n ×2n +S n )b n =a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n ．【典题3】 设数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n=2n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列b 2+b 3+⋯+b 100的值． 巩固练习1 (★★) 已知数列{a n }的通项a n =2n +n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8= ．2 (★★) 数列112，214，318，…，n +12n 的前n 项和为S n = ．3 (★★★) 已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，数列{b n }是等差数列，公差为d ，且满足：a 1=b 1=1，b 2+b 3=4a 2，a 3－3b 2=－5． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．4(★★★) 已知公差不为0的等差数列{a n }的前9项和S 9=45，且第2项、第4项、第8项成等比数列．(2)若数列{b n }满足b n =a n +(12)n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【方法四】 错位相减法当数列{a n } 的通项公式a n =b n ⋅ c n ,其中{b n } 为等差数列, {c n } 为等比数列.【典题1】 已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2 ,a 4的等差中项． ( 1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =a n ⋅log 12a n ，S n ＝b 1+b 2+⋯+b n ，求S n ．【典题2】 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2+a n −2S n =0(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为T n，若b n=(2a n−7)2n，求T n；(3)求数列{T n}的最小项．巩固练习1 (★★★) 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=2(a n−1)，求数列{b n}的前n项和R n．4n2 (★★★) 正项数列{a n}的前n项和为S n，且8S n=(a n+2)2(n∈N∗)．(1)求a1，a2的值及数列{a n}的通项公式；(2)记c n=a n，数列{c n}前n的和为T n，求证：T n<2．3n3 (★★★) 已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4(a3−a4)，正项数列{b n}前n项和为S n，且2√S n=b n+1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n=b n，求数列{c n}的前n项和T n；a n(3)若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2−kλ+2>a2n b n成立的k的取值范围．4(★★★) 已知数列{a n}满足：(n+1)a n+1−(n+2)a n=(n+1)(n+2)(n∈N∗)且a1=4，数列{b n}的前n 项和S n满足：S n=2b n−1(n∈N∗)．(1)证明数列{a nn+1}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=(√a n−1)b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N∗，T n≤nS n+1−m−2恒成立，求实数m的取值范围．【方法五】裂项相消法常见裂项公式(1)1n(n+1)=1n−1n+1，1n(n+k)=1k(1n−1n+k)；(2)√n+1+√n =√n+1−√n，√n+k+√n=1k(√n+k−√n).【典题1】设等差数列{a n}满足a2=5，a6+a8=30，则数列{1a n2−1}的前n项的和等于．【典题2】数列{a n}的通项公式a n=√n+2+√n+3，则该数列的前n项和S n等于.【典题3】等比数列{a n}中，a1=2，q=2，数列b n=a n+1(a n+1−1)(a n−1)，{b n}的前n项和为T n，则T10的值为．【典题4】已知数列{a n}满足a n≠0，a1=13，a n−1−a n＝2a n a n−1(n≥2 ,n∈N∗)．(1)求证：{1a n }是等差数列；(2)证明：a12+a22+⋯+a n2<14．巩固练习1 (★★) 数列{a n}满足a n=1(2n+1)(2n+3),n∈N∗，其前n项和为S n．若S n<M恒成立，则M的最小值为．2 (★★★) 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N∗有2S n=a n2+a n，令b n=a√a+a√a，设{b n}的前n项和为T n，则在T1 ,T2 ,T3 ,… ,T100中有理数的个数为．3 (★★★) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S n=a n+1−2n+2+2 ,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2na n ，记数列{b n b n+1}的前n项和为T n，证明：12≤T n<1．4(★★★) 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a na n+1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a nn+2，求数列{b n}前n项和S n．5 (★★★) 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=2n+1n2(a n+1−1)2，求{b n}的前n项和T n．6 (★★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1=3S n+4n(n∈N∗)，a1=0．(1)求证：数列{a n+2}是等比数列；(2)若对任意T n 为数列{a n +2(a n +4)(a n+1+4)}的前n 项和，求证：T n <12．7(★★★★) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，6S n =3na n+1−2n(n +1)(n +2)，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<56．。

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和． 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得， 所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===， 所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

专题20数列的通项公式及数列求和大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1等差数列的通项公式及前n项和（10年5考）2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2016·全国卷1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，考点2等比数列的通项公式及前n项和（10年4考）2020·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷考点3等差等比综合（10年6考）2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·北京卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷2015·天津卷考点4数列通项公式的构造（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·天津卷2021·浙江卷、2021·全国乙卷、2021·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷2016·山东卷、2016·天津卷、2016·天津卷2016·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷2015·重庆卷、2015·全国卷考点5数列求和（10年10考）2024·天津卷、2024·全国甲卷、2024·全国甲卷2023·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·天津卷2020·天津卷、2020·全国卷、2020·全国卷2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·山东卷、2016·浙江卷2016·山东卷、2016·天津卷、2016·北京卷2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·天津卷熟练掌握等比数列通项公式与前n 项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n 项和。

数列求和的常用方法第一类：公式法求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ 2、等比数列前n 和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩自然数方幂和公式：3、11(1)2nn k S k n n ===+∑4、211(1)(21)6nn k S k n n n ===++∑5、3211[(1)]2nn k S k n n ===+∑【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和n S .【练习】已知321log log 3x -=，求23nx x x x +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的前n 项和.第二类：分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。

【例】数列111111,2,3,4,,,248162n n求数列的前n 项和.【练习】数列{}n a 的通项公式221nn a n =+-第三类：裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如： （1）()()1n a f n f n =+- （2）()11111n a n n n n ==-++ （()1111n a n n k k n n k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭）（3）()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==⋅- ⎪+--+⎝⎭（4）n a ==（5）()1log 1log 1log n a a a a n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭【例1】数列1111,,,,,12123123n+++++++，求该数列的前n 项和.【例2】已知等差数列{}n a 满足3575,22a a a =+=.（1）求n a ； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例3】数列()1111,,,,,1324352n n ⨯⨯⨯+，求该数列的前n 项和.小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例1一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项.【例4】数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则项数为（ ）A. 11B. 99C. 120D. 121 【例5】数列{}n a 的通项公式是21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求该数列的前127项和. 第三类：错位相减法求和这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅的前n 项和（112233n n n S a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅），其中{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列. 【例1】求数列{}n a 的前n 项和n S . （1）23412,22,32,42,,2nn ⨯⨯⨯⨯⨯（2）2341234,,,,,22222nn【练习】求数列{}n a 的前n 项和n S . （1）()23412,32,52,72,,212nn ⨯⨯⨯⨯-⨯（2）23424682,,,,,22222nn【例2】已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设 *)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.求数列}{n c 的前n 项和S n ；第四类：合并求和法针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时， 可将这些项放在一起求和，然后再求n S . 【例】求2222222212345699100-+-+-+--+的值.第五类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到n 个()1n a a +。

高中数学新人教A 版必修5第二章数列：课时作业17 数列求和时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( C ) A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n －2解析：S n ＝(21＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2n ＋1＋n 2－2.2．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( A ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012D ．－2 012解析：S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( C )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120.4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( B )A ．2n2n ＋1 B ．2n n ＋1C ．n ＋2n ＋1D ．n2n ＋1解析：该数列的通项为a n ＝2nn ＋1，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，则S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 5．数列1×12，2×14，3×18，…的前n 项和为( B )A ．2－12n －n2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC ．12(n 2＋n －2)－n 2n D ．12n (n ＋1)＋1－n 2n －1 解析：∵S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①∴12S n ＝1×14＋2×18＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1.② 由①－②，得12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n .6．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( A )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．0解析：∵函数y ＝cosn π2的周期T ＝2ππ2＝4， ∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝－2－6－…－2 010＝503×－2－2 0102＝－503×1 006，a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝4＋8＋…＋2 012＝503×4＋2 0122＝503×1 008.故S 2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008 ＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006. 二、填空题7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝109(10n －1)＋n 2.解析：数列的通项公式a n ＝10n＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10))＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝101－10n1－10＋n 1＋2n －12＝109(10n －1)＋n 2. 8．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝153. 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋12×1＋232＝153.9．数列112＋3，122＋6，132＋9，142＋12，…的前n 项和等于1118－3n 2＋12n ＋113n ＋1n ＋2n ＋3.解析：∵a n ＝1n 2＋3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3， ∴S n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3＝1118－3n 2＋12n ＋113n ＋1n ＋2n ＋3.三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n <1.解：(1)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *，∴1n ＋1>0，即T n <1. 11．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．——能力提升类——12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前18项和为( D )A ．2 101B ．2 012C ．1 012D ．1 067解析：由题意可得a 3＝a 1＋1，a 5＝a 3＋1＝a 1＋2，所以奇数项组成以公差为1，首项为1的等差数列，共有9项，因此S 奇＝91＋92＝45.偶数项a 4＝2a 2，a 6＝2a 4＝22a 2，因此偶数项组成以2为首项，2为公比的等比数列，共有9项，所以S 偶＝21－291－2＝－2＋210＝1 022.故数列{a n }的前18项和为1 022＋45＝1 067.13．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n项的和为( A )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D ．12－1n ＋1解析：∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4(1n －1n ＋1)． ∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1n ＋1)． 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S k ＝2，S 2k ＝18，则S 4k ＝( C ) A ．24B ．28C ．92D ．54解析：由等差数列的性质知S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 仍成等差数列，所以新的公差为14，所以S k ＋S 3k －S 2k ＝2(S 2k －S k )，所以S 3k ＝3(S 2k －S k )＝48，S 2k －S k ＋S 4k －S 3k ＝2(S 3k －S 2k )，所以S 4k ＝3(S 3k －S 2k )＋S k ＝92.15．在等差数列{a n }中，公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝an n ＋12，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1)根据题意，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)b n ＝an n ＋12＝n (n ＋1)．T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1)＋b n＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n24＋2n 2＝n n ＋22.当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝n －1n ＋12－n (n ＋1)＝－n ＋122.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋122，n 为奇数，nn ＋22，n 为偶数.。

课 题数列的求和方法及练习（一）知识归纳：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. （二）学习要：1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“)1(3221+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(1321211+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“并项”的典型例子是数列“n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 ”的求和.2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法. [例1]解答下述问题：（I ）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.（II ）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和.（III ）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n （Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(n n n n S n a n a 项和的前求⨯+=（Ⅴ）求和nnn n n n C n C C C C W )13(10743210++++++=[例2]解答下列问题：（I ）设),3(9)(2-≤-=x x x f （1）求)(x f 的反函数);(1x f -（2）若;),2(),(,1111n n n u n u f u u 求≥-==-- （3）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+[例3]已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （II ）求证.211121<+++nS S S《训练题》 一、选择题1．在数列}{n a 中，9,11=++=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为 （ ）A ．9B ．10C ．99D ．1002．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n －1），…的前n 项和等于 （ ）A ．n n -+12B ．221--+n nC ．12--n nD ．22--n n3．设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．24．数列1，项和为的前n n+++++++ 3211,,3211,211（ ）A ．1+n n B ．12+n nC ．)1(2+n n D ．)1(4+n n 5．数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．数列{n a }的通项公式为,,1421na a ab n a nn n +++=-= 令则数列{n b }的前n 项和为（ ）A ．2nB ．)2(+n nC ．)1(+n nD ．)12(+n n二、填空题 7．数列 ,3216,1615,814,413,212,1的前10项之和为 8．若==+++-+++n n n 则,2219)2(42)12(312222229．已知{n a }的前n 项和||||||,1410212a a a n n S n ++++-= 则的值为10．已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,652++=项和为 三、解答题：11．已知数列{n a }的各项分别为}{,,,,,165434322n a a a a a a a a a a 求 ++++++的前n 项和n S .12．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.13．设数列{n a }中，}{),(321n n a N n n a 将*∈++++= 中5的倍数的项依次记为 ,,,321b b b ， （I ）求4321,,,b b b b 的值.（II ）用k 表示k k b b 212与-，并说明理由.（III ）求和：.212321n n b b b b b +++++-14．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +== （I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式； （II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W15．将等差数列{n a }的所有项依次排列，并如下分组：（1a ），（32,a a ），（7654,,,a a a a ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n 组有12 n 项，记T n 为第n 组中各项的和，已知T 3=-48，T 4=0， （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）求数列{T n }的通项公式；（III ）设数列{ T n }的前n 项和为S n ，求S 8的值.。

§04 等比数列（一）【基础再现】1．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝_________．答案：a n ＝3·2n －3．解：q 7＝128，q ＝2．意图：复习等比数列的通项公式，能根据已知项求数列的公比．2．等比数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝－512，前n 项的和S n ＝－341，则公比q ＝_____；项数n ＝______． 答案：－2；10．解：－341＝1＋512q 1－q，∴－342＝171q ，∴q ＝－2，n ＝10． 意图：复习等比数列的前n 项和公式，等比数列五量的计算，“知三求二”．3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝_______；ac ＝_________．答案：－3；9．解：∵等比数列中隔一项的符号相同，∴b ＝－3＝－(－1)×(－9)．而a 、c 必定同号，∴ac ＝b 2＝9．意图：当数列的公比为负数的时候，所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同，可以增加变式：如果－1，b ，－9成等比数列，那么b ＝_____；如果－1，a ，b ，－9成等比数列，那么a ＝______，b ＝______．4．在等比数列{a n }中，首项a 1＜0，公比为q ，则{a n }是递增数列的充要条件是________．解：q ∈(0，1)．意图：复习等比数列公比的取值对项的变化趋势的影响．5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3 S 3成等差数列，则{a n }的公比q 为_______．解：q ＝13． 解：首先q ≠1，a 1＋3a 1(1－q 3)1－q ＝4a 11－q 21－q，q ＝13． 意图：注意等比数列的求和公式中应区别公比是否为1．【典型例题】例1．（1）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 2＝6，6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n ．（2）设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：（1）设{a n }的公比为q ，由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝66a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3， 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1． （2）方法1：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2a 1(1－q 4)＝5a 1(1－q 2)q ＜1，解得⎩⎨⎧a 1＝2q ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12q ＝－2， ∴a n ＝2·(－1)n －1或a n ＝12·(－2)n －1＝－(－2)n －2． 方法2：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，∴a 1q 2(1＋q )＝4a 1(1＋q )．∴q 2＝4或q ＝－1，又q ＜1，∴q ＝－2或q ＝－1；以下同上．变化：此题将条件“q ＜1”去掉结果又如何？（三个解，不是四个解）意图：强化等比数列中基本量的计算，尤其在（2）中强化第一种方法的使用．若将q ＜1的条件去掉，应先讨论q ＝1的情况．变式：已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3．（1）若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }唯一，求a 的值．解：（1）设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，∴{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1．（2）设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0，(*)由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根，由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13． 意图：变式涉及的是两个数列之间的基本量计算．可以作为课堂训练．例2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列． 解：（1）设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ．依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15．解得a ＝5． ∴{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d ．依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2．由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54． ∴{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3． （2）证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2． ∴S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2．因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列． 意图：第（1）问为数列基本量的运算，第（2）问是等比数列的证明，强调等比数列的证明要紧扣定义． 例3．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．（1）求a 3，a 4，a 5，a 6的值； （2）求证：{b n }是等比数列．（1）解：∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n ＋1＝a 1a 2·3n －1＝2·3n，∴a 3＝2·32a 2＝6，a 4＝2·33a 3＝9，a 5＝2·34a 4＝18，a 6＝2·35a 5＝27． （2）证明 ∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝3a n －1a n ，即a n ＋1＝3a n －1，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列．∴a 2n －1＝2·3n －1，a 2n ＝3·3n －1，∴b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝5·3n －1．∴b n ＋1b n ＝5·3n5·3n －1＝3，故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列． 意图：本题表面上比较复杂，引导学生学会分析通项特征，抓住问题的本质，得到b n ＋1和b n 之间的比值． 变式：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n ∈N *有a n ＋S n ＝n ．（1）设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，求{c n }的通项公式．（1）证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12，又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1．∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n ．第 3 页共 15 页∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． （2）解：方法一 由（1）知2a n ＋1＝a n ＋1，∴2a n ＝a n －1＋1 (n ≥2)，∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1，∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34．∴c 2＝34－12＝14，即c 2＝12c 1． ∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴c n ＝12·(12)n －1＝(12)n ． 方法二 由（1）b n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ． ∴a n ＝－(12)n ＋1． ∴c n ＝－(12)n ＋1－[－(12)n －1＋1] ＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n －1(1－12) ＝(12)n （n ≥2）． 又c 1＝a 1＝12也适合上式，∴c n ＝(12)n ． 意图：本题需要考虑对S n 的转化，在证明的过程中要把a n －1当一个整体，在等式中寻求或配凑出整体的第n 项及第n ＋1项．例4．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n 与1a 1的大小． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝⎛⎭⎫1a 22＝1a 1·1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2．因为d ≠0，∴d ＝a 1＝a ，故通项公式a n ＝na ．(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ．因为a 2n ＝2n a ，∴T n ＝1a ⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝1a ·12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1a ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ． 从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1，当a ＜0时，T n ＞1a 1． 意图：在已知数列的基础上形成新数列是高考的热点，要处理好基本量之间的关系．本题第（2）问关注简单的放缩法．变式1：等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．解：（1）设{a n }的公比为q 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2；（2）由（1）得a 2＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有：⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32，解得：⎩⎨⎧b 1＝－16d ＝2． 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22． 变式2：等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项，已知数列a 1，a 3，a k 1，a k 2，…，a k ，…成等比数列．求数列{k n }的通项k n ．解 由已知得(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，解得a 1＝d 或d ＝0（舍去），∴数列{a n }的通项是a n ＝nd ，因为数列a 1，a 3，a k 1，a k 2，…，a k n ，…成等比数列，即数列d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…成等比数列，其公比q＝3d d＝3，k 1d ＝32d ，故k 1＝9，∴数列{k n }是以k 1＝9为首项，以3为公比的等比数列，故k n ＝9×3n －1＝3n ＋1．意图：在原有数列的基础上生存新的数列，应抓住新数列中的项在两个数列中的位置以及两个数列各自的特征（主要是通项）．【课后作业】1．已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133．则数列{a n }的通项公式是__________． 答案：3n －2．解：由q ＝3，S 3＝133，得：a 1(1－33)1－3＝133，解得：a 1＝13．∴a n ＝13×3n －1＝3n －2． 2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项的和为__________．答案：127． 解：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，∴q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127．3．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为__________．答案：1或－12． 解：当公比q ＝1时，a n ＝a 3＝7，S 3＝21满足条件；当公比q ≠1时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7a 1(1－q 3)1－q ＝21，解得q ＝－12． 4．各项是正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，S 3＝21，则a 2＋a 4＋a 6＝________．答案：126．解：a 1＝3，S 3＝21，∴a 1＋a 2＋a 3＝3＋3q ＋3q 2＝21，∴q ＝2或－3(舍)，∴a 2＝6，a 4＝24，a 6＝96，∴a 2＋a 4＋a 6＝126．5．已知数列{a n }是非零等差数列，又a 1、a 3、a 9组成一个等比数列的前三项，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝_________． 答案：1316或1． 解：a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d，∵a 1、a 3、a 9成等比数列，∴a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2，即a 1＝d 或d ＝0． 6．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________． 答案：－2；2n －1－12． 解：由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12． 7．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________．答案：q ＝2．解：{a n }为等比数列，∴a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2，又{a n }是递增等比数列，∴q ＝2．8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝______．答案：314．第 5 页共 15 页解：由a 2a 4＝1可得a 12q 4＝1，因此a 1＝1q 2，又因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立两式有(1q ＋3)(1q－2)＝0，∴q ＝12，∴S 5＝4－(1－125)1－12＝314． 9．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13．设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，则数列{b n }的通项公式 b n ＝_____________．答案：－n (n ＋1)2． 解：b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2．∴{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2． 10．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解：方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203．解得q 1＝13，q 2＝3．①当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝183n －1＝2×33－n ． ②当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3． ∴a n ＝2×33－n 或a n ＝2×3n －3． 方法二 由a 3＝2，得a 2a 4＝4，又a 2＋a 4＝203，则a 2，a 4为方程x 2－203x ＋4＝0的两根， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝23a 4＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6a 4＝23． ①当a 2＝23时，q ＝3，a n ＝a 3·q n －3＝2×3n －3； ②当a 2＝6时，q ＝13，a n ＝2×33－n ， ∴a n ＝2×3n －3或a n ＝2×33－n ．11．设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ．（1）求a 3，a 4；（2）证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．解：（1）因为a 1＝S 1，2a 1＝S 1＋2，∴a 1＝2，S 1＝2，由2a n ＝S n ＋2n ，得：2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋2n ＋1． ① ∴a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6，S 2＝8，a 3＝S 2＋23＝8＋23＝16，S 3＝24，a 4＝S 3＋24＝40．（2）证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n ，∴{a n ＋1－2a n }是首项为2，公比为2的等比数列．（3）a n ＝(a n －2a n －1)＋2(a n －1－2a n －2)＋…＋2n －2(a 2－2a 1)＋2n －1a 1＝(n ＋1)·2n －1．12．设数列{a n }是等差数列，a 5＝6．（1）当a 3＝3时，请在数列{a n }中找一项a m ，使得a 3，a 5，a m 成等比数列；（2）当a 3＝2时，若自然数n 1，n 2，…，n t ，…（t ∈N *）满足5＜n 1＜n 2＜…＜n t ＜…使得a 3，a 5，a n 1，a n 2，…，a n t ，…是等比数列，求数列{n t }的通项公式．解：（1）设{a n }的公差为d ，则由a 5＝a 3＋2d ，得d ＝6－32＝32，由a m a 3＝a 52， 即3[3＋(m －3)×32]＝62，解得m ＝9．即a 3，a 5，a 9成等比数列． （2）∵a 3＝2，a 5＝6，∴d ＝a 5－a 32＝2， ∴当n ≥5时，a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －4，又a 3，a 5， a n 1，a n 2，…，a n t ，…成等比数列，则q ＝a 5a 3＝62＝3，a n t ＝a 5·3t ，t ＝1，2，3，…． 又a n t ＝2n t －4，∴2n t －4＝a 5·3t ＝6·3t ，∴2n t ＝2·3t ＋1＋4．即n t ＝3t ＋1＋2，t ＝1，2，3，…．第 7 页共 15 页§05 等比数列（二）【基础再现】1．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝_________． 答案：152． 解：∵a 1＝a 2q ，a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2，∴S 4a 2＝1＋1q ＋q ＋q 2＝1＋12＋2＋4＝152． 意图：掌握等比数列项的性质：a n ＝a m q n －m 在设项与求和中的运用．2．正项等比数列{a n }中，a 22＋4a 3a 4＋4a 52＝25，则a 2＋2a 5＝_________．答案：5．解：a 22＋4a 3a 4＋4a 52＝a 22＋4a 2a 5＋4a 52＝(a 2＋2a 5)2，∴a 2＋2a 5＝5．意图：掌握等比数列的性质：若n ＋m ＝p ＋q ，则a n a m ＝a p a q ．3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是_________．答案：1．解：由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1．意图：熟悉等比数列前n 项和的形式：S n ＝Aq n －A ．4．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －１，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝___________． 答案：4n －13． 解：a 1＝1，q ＝2，a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝4n －14－1＝4n －13． 意图：掌握{a n }、{b n }为等比数列，则{ka n }、{a n 2}、{a n b n }均为等比数列．5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝__________．解：由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，则(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．∴a 5＋a 6＝4．意图：公比为q 的等比数列{a n }中，连续m 项的和也组成等比数列，且公差为q m 等．基础再现中的复习要注意与等差数列的类比．【典型例题】例1．（1）在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，求该数列前15项的和S 15．（2）在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解：（1）11．（2）∵a 3a 5＝a 42，∴a 3a 4a 5＝a 43＝8，∴a 4＝2，又∵a 2a 6＝a 3a 5＝a 42，∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 45＝32．变式1：设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________．解：S 4n ＝30．变式2：已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比等于________，项数等于_________．答案：2，8．解：S 偶：S 奇＝q ＝2，2n －1＝255，2n ＝256，n ＝8．变式3：在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3．解：方法一 设公比为q ，显然q ≠1，∵{a n }是等比数列，∴{1a n }也是等比数列，公比为1q． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q ＝81a 1(1－1q 5)1－1q＝2，解得a 12q 4＝4，∴a 32＝(a 1q 2)2＝4，∴a 3＝±2． 方法二：由已知得：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 32＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 32＝8a 32＝2． ∴a 32＝4．∴a 3＝±2．变式4：已知等比数列{a n }中，q ＝2，a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，求a 3·a 6·…·a 30．解：a 1·a 4·a 7·…·a 28，a 2·a 5·a 8·…·a 29，a 3·a 6·a 9·…·a 30成等比数列，公比为q 10，设a 2·a 5·a 8·…·a 29＝A ，则：a 1·a 2·a 3·…·a 30＝A 3＝230，∴A ＝210，∴a 3·a 6·…·a 30＝220．意图：复习等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质能提高解题速度．参考题：已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝__________。

一，数列求和的常用方法．1．公式法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.2．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．（资料8.4考点一第10题）例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.二，方法突破1．等差、等比数列的求和数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，要注意灵活选取公式．2．非等差、等比数列的一般数列求和的两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．要记牢常用的数列求和的方法．2．数列{a n}中，a n＝1n(n＋1)，其前n项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10 B．－9 C．10 D．9解析：数列{a n}的前n项和为11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1＝910，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以其在y轴上的截距为－9.3.()()2n 1n n 1...543143213211S n ++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== . 解析：∵()()2k 1k k 1a k ++= ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=2k 1k 11k k 121， ∴()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=2n 1n 11n n 1...54143143132132121121S n ()()()()2n 1n 21412n 1n 121121++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⨯=。

数列求和专题——奇数、偶数19．（12分）（2016•滨州二模）已知数列{a n}的前n项和S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n（a n•+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•潍坊模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N+）．（1）求a n和S n；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和T n．求证：3≤T n＜24．19．（12分）（2015•温州二模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n ∈N+）．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有++…++＜成立．19．（12分）（2016•山东二模）已知正数数列{a n}满足：a1=1，a n+12﹣2a n+1=a n2+2a n．数列{b n}满足b n•b n+1=3n且b2=9．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知c n=2n a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•威海一模）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列与的前n项和为T n，求证：．19．（12分）（2016•山东模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．19．（12分）（2016•德州校级二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，都有a n=+2．（1）设b n=log2a n，求证：数列{b n}为等差数列；（2）在（1）的条件下，设c n=（﹣1）n+1，数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n ≤．18．（12分）（2016•临沂二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，S5=45；数列{b n}前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和Q n．19．（12分）（2016•山东三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n；数列{b n}是公比大于1的等比数列，且满足b1+b4=9，b2b3=8．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n S n+a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•江门模拟）已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n 项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．数列求和专题——裂项相消（累乘与累加）19．（12分）（2016•威海二模）设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•日照一模）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．19．（12分）（2016•青岛二模）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7=2，且成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有64T n＜|3λ﹣1|成立，求实数λ的取值范围．19．（12分）（2016•青岛一模）已知数列{a n}满足2a n a n+1=a n﹣a n+1，且a1=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，若数列{b n}满足b n=（k∈N+），求S64；（3）设T n=+++…+，是否存在实数c，使{}为等差数列，请说明理由．19．（12分）（2016•济宁二模）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，在等比数列{b n}中，b1+b3=5．b4+b6=40．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n．18．（12分）（2016•济宁三模）已知数列{a n}满足：++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．18．（12分）（2016•德州二模）已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．20．（12分）（2016•莱芜一模）已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．17．（12分）（2016•衡阳三模）设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．（12分）（2016•日照二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=+log2图象上任意两点，M为线段AB的中点．已知点M的横坐标为．若S n=f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n=，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．+118．（12分）（2016•泰安二模）已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．（12分）（2015•茂名一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n （n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．数列求和专题——错位相减专题19．（12分）（2016•济宁一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．18．（12分）（2016•平度市三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n ﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=1，f（b n+1）=．①求数列{b n}的通项公式，②设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•平度市模拟）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•青岛一模）已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{b n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足=T n+2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．19．（12分）（2016•邹城市校级模拟）已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．19．（12分）（2016•菏泽二模）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N+）数列{b n}满足a n=+++…+（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•德州一模）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，写出T n关于n的表达式，并求满足T n＞时n的取值范围．19．（12分）（2016•菏泽一模）已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•滨州一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前项和T n．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2016•泰安一模）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．数列求和专题——分组求和19．（12分）（2016•济南模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=3，a n+2=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T2n．数列求和专题——数学归纳法证明18．（12分）（2016•潍坊二模）已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．。

数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（ ）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。

第六讲：数列求和（作业）1．设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．（1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出数列的递推关系式，判断{a n }是以首项a 1=1，公比q=的等比数列，求解即可．（2）化简新数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 试题解析： （1）, 当时，， 两式相减得， ；又当时，，即．是以首项，公比的等比数列， 数列的通项公式为（2）由（1）知，，则，①，②①-②得，，所以，数列的前项和为 . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+， *n N ∈，在数列{}n b 中， 11b =， 123n n b b +=+， *n N ∈．（1）求证： {}3n b +是等比数列；（2）若()2log 3n n c b =+，求数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n R ；【答案】（1）见解析；（2）1122n -+；（3）()224522063n n T n n n +=-⋅+--． 【解析】试题分析：（1）利用已知递推公式，求出133n n b b +++为常数即可；（2）由（1）求得3n b +，从而得n c ，对数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，利用裂项相消法可求和； （3）对数列{}n n a b 可用错位相减法求和． 试题解析： (1) 证明：13233233n n n n b b b b ++++==++ 且134b +=∴ {3}n b +是首项为4，公比为2的等比数列(2) 由(1)知 113422n n n b -++=⨯=所以 123n n b +=-则()2log 3n n c b =+ 1n =+111112n n c c n n +=-++ 1111111123341222n R n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ (3) 1n = 时 113a S ==2n ≥ 时 141n n n a S S n -=-=- 综上 41n a n =-()()()()114123412341n n n n a b n n n ++=-⋅-=-⋅--解得()224522063n n T n n n +=-⋅+--点睛：数列求和的常用方法 1．倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．5．并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，且*1,2n n T a n N =-+∈，设()*1223log n n b a n N +=∈，数列{}n c 满足.n n n c a b =⋅. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若2114n c m m ≤++对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)b n =3n +1； (2) ()17137()22n n S n +=-+⨯；(3) m ≥1或m ≤−5.(1)由递推关系可得数列{}n a 是等比数列，据此可得{}n a 通项公式，然后计算{}n b 的通项公式即可；(2)由题意错位相减可得前n 项和为()1713722n n S n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭；(3)首先确定数列{}n c 单调递减，然后得到关于实数m 的不等式，求解不等式可得实数m 的取值范围为m ≥1或m ≤−5.试题解析： (1)由112n n a a +=得,数列{a n }是公比为12的等比数列， 则()1*12n n a n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以112123332n n b log n +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭,即31n b n =+(2)由(1)知, 11,312n n n a b n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则()11312n n c n +⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭.()2311114731222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①则()342111147312222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,②①−②两式相减得()234121111114331222222n n n S n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()1713722n n S n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭(3)因为()11312n n c n +⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，所以()()211111313*********n n n n n c c n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯-+⨯=-⨯< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{c n }单调递减， ∴当n =1时,c n 取最大值是14, 结合题意可得：211144m m ++≥， 即m 2+4m −5≥0，解得：m ≥1或m ≤−5.点睛： (1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 4．已知数列{}n a 满足()*141N n n a a n n +-=+∈ ，且11a = . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()()2*1411N nn n n n n b n a a ++=-∈ ，求数列{}n b 的前n 项和nS.【答案】（1）22n a n n =-（2）当n 为偶数时， 221n n S n =-+，当n 为奇数时， 2221n n S n +=-+.(1)利用题意累加可得数列的通项公式为22n a n n =-;(2)结合(1)的结论对数列的通项公式进行裂项求和，分类讨论可得当n 为偶数时， 221n nS n =-+，当n 为奇数时， 2221n n S n +=-+. 试题解析：解：(1)由于()()()*111241N ,...n n n n n n n a a n n a a a a a +----=+∈∴=-+-++()()()()232211424347 (5122)n n a a a a a n n n n --+-+=-+-+++==- .(2)由22n a n n=-，可得()()()()()()()()22241411111212121212211nnn n n n n b n n n n n n n n +⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎡⎤⎝⎭-+--⎣⎦，当n 为偶数时，1111111121...13355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，11111111221...13355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．。