集合基础知识

高一集合知识点一、集合的概念集合是数学中一个基础且重要的概念，它是具有某种特定性质的事物的总体。

在高中数学中，我们主要研究的是集合的基本性质和运算。

二、集合的表示1. 列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来，如：\( A = \{1, 2, 3\} \)。

2. 描述法：用数学符号和表达式来描述集合中的元素，如：\( B =\{x | x \text{ 是偶数}\} \)。

三、集合的分类1. 有限集：元素数量有限的集合。

2. 无限集：元素数量无限的集合。

3. 空集：不包含任何元素的集合，记作 \( \emptyset \)。

四、集合间的关系1. 子集：如果集合 \( A \) 的所有元素都是集合 \( B \) 的元素，则 \( A \) 是 \( B \) 的子集，记作 \( A \subseteq B \)。

2. 真子集：集合 \( A \) 是 \( B \) 的子集，并且 \( A \) 和\( B \) 不相等，记作 \( A \subset B \)。

3. 并集：集合 \( A \) 和 \( B \) 中所有元素组成的集合，记作\( A \cup B \)。

4. 交集：集合 \( A \) 和 \( B \) 的公共元素组成的集合，记作\( A \cap B \)。

5. 补集：集合 \( A \) 在某个全集 \( U \) 中不包含的元素组成的集合，记作 \( A^C \) 或 \( C_U(A) \)。

五、集合的运算1. 德摩根律：对于任意集合 \( A \) 和 \( B \)，有 \( (A \capB)^C = A^C \cup B^C \) 和 \( (A \cup B)^C = A^C \cap B^C \)。

2. 吸收律：对于任意集合 \( A \) 和 \( B \)，有 \( A \cup (A \cap B) = A \) 和 \( A \cap (A \cup B) = A \)。

【基础知识】Ⅰ 集合的有关概念一、集合与集合的元素集合：一定范围内某些____________________构成一个集合。

通常用________________表示元素：集合中的每一个对象（简称元）。

通常用___________________________________表示二、集合中元素的性质______——任何一个对象都能明确是或不是某个集合的元素，两者情况必居其一且仅居其一。

______——集合中的元素是互不相同的，即同一元素在同一集合中不能重复出现。

______——在一个集合中，元素之间没有排列顺序，无论元素排列顺序如何，只要元素相同则表示同一集合。

三、集合的分类（按元素多少分）1）有限集——含有有限个元素的集合2）无限集——含有无限个元素的集合3）空集（φ）——______________________________的集合四、集合的表示方法：1）列举法——把集合中的元素一一列举出来，并置于“____”内，元素与元素之间用____分隔。

注：列举法常用来表示有限集合或有特殊规律的无限集。

2）描述法——把集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成___________形式。

其中x 为集合的____________，p(x)指__________________________。

注：关键：弄清集合中的代表元素。

3）Venn 图——画一条封闭曲线，用它的内部表示一个集合。

优点：形象直观。

4）常用数集——自然数集 _____________ （0________N ）________ N N *+或（1N *∈）整数集 __________________有理数集__________________实数集__________________注： N *________ N________Z________Q _________RⅡ 关系一、元素和集合之间的关系：___________________________________a 是集合A 中的元素 记作：____________ 读作：____________________a 不是集合A 中的元素 记作：____________ 读作：____________________二、集合和集合之间的关系：____________________________1．子集：对于两个集合A 、B ，如果______________________________________________，则集合A 为集合B 的子集。

集合的基本知识点总结1. 集合的定义集合是由一组元素组成的无序集合。

集合中的元素可以是任何类型的对象，包括数字、字母、符号、单词等。

2. 集合的表示方式集合可以用不同的方式表示，比如用大括号{}包围元素，用逗号分隔元素。

例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1到5组成的集合。

3. 集合的性质集合具有以下几个基本性质：- 互异性：集合中的元素各不相同，即集合中的元素没有重复。

- 无序性：集合中的元素没有固定的顺序，不同的排列方式得到的集合是一样的。

- 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合。

集合中的元素是确定的，不会因为不同时间或不同条件而改变。

4. 集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并集、交集、差集和补集。

- 并集：两个集合A和B的并集是由A和B中所有元素组成的集合，记作A∪B。

- 交集：两个集合A和B的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B。

- 差集：集合A中去掉属于B的元素后得到的集合，记作A-B。

- 补集：集合A相对于全集U中不属于A的元素组成的集合，记作A的补集。

5. 集合的性质集合具有一些特殊的性质，包括空集、全集、子集、真子集、幂集等。

- 空集：不包含任何元素的集合，记作∅或{}。

- 全集：包含所有可能元素的集合，即包含所有集合的集合。

- 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，那么A是B的子集，记作A⊆B。

- 真子集：如果集合A是集合B的子集且A不等于B，则A是B的真子集，记作A⊂B。

- 幂集：集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

6. 集合的应用集合在数学、逻辑、计算机科学、统计学等领域都有重要的应用。

在数学中，集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质和运算规律。

在逻辑学中，集合被用来描述命题、谓词、命题函数等。

在计算机科学中，集合被用来描述数据结构、算法和程序设计。

在统计学中，集合被用来描述样本空间、事件空间等。

7. 集合的表示方法集合可以用不同的表示方法来描述，包括清单法、描述法和图示法。

集合知识点+练习题第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3Z；2Q；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。

高一集合知识点总结集合是数学中非常基础且重要的概念，它有着广泛的应用。

本文将围绕高一阶段学习的集合知识点进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些具有相同特性的对象组成的整体。

2. 集合的表示方法：常用的表示方法有列举法、描述法和级数法。

3. 元素与集合的关系：一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。

4. 空集：不含任何元素的集合称为空集。

二、集合的运算1. 并集：包含两个或多个集合中的所有元素的集合。

2. 交集：包含几个集合中共同元素的集合。

3. 差集：包含一个集合中所有不属于另一个集合的元素的集合。

4. 补集：在一个全集中，除去一个集合中的元素后，剩下的元素构成的集合。

5. 集合的运算法则：包括交换律、结合律、分配律等。

三、集合的性质1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者称为后者的子集。

2. 真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，且两个集合不相等，则前者称为后者的真子集。

3. 幂集：一个集合所有子集的集合。

4. 两个集合相等的充要条件：就是它们互为子集。

5. 全集：包含研究对象的一切元素的集合。

6. 互不相交：两个集合没有共同的元素。

7. 集合的基数：一个集合所含元素的个数。

四、集合的应用1. 应用于数学证明：集合论是数学的基础理论之一，许多数学证明都涉及到集合的概念和运算。

2. 应用于概率统计：集合可以用于描述样本空间、事件和概率等概念。

3. 应用于函数关系：集合可以用于描述函数的定义域、值域和图像等概念。

4. 应用于逻辑推理：集合可以用于描述命题、逻辑关系和推理过程等。

五、常见问题与解析1. 集合的相等与包含关系：很多问题需要判断两个集合是否相等或一个集合是否包含另一个集合。

2. 集合的运算性质：有时需要利用集合的运算性质简化问题或变换表达式。

3. 幂集的计算：计算幂集需要将一个集合的所有子集列举出来。

4. 集合的守恒问题：在进行集合运算时，需要注意集合的守恒问题，即集合运算前后集合元素的变化情况。

高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。

在数学中，我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。

集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。

常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。

对于集合的学习，首先要明确集合的概念及其表示方法，这是后续学习的基础。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中所有元素的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。

在解题过程中，要根据题目的要求，选择合适的集合运算方法。

三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。

子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中；真子集表示一个集合是另一个集合的子集，且两者不相等；相等集合表示两个集合完全相同。

此外，还要了解空集的概念，即不含有任何元素的集合。

掌握集合的基本关系，有助于理解集合的运算及其性质。

四、数列与集合数列是一种特殊的集合，它按照一定规律排列的数序列。

等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。

等差数列中的任意两项之差相等，等比数列中的任意两项之比相等。

在解决数列问题时，要充分利用数列的性质和公式，简化计算过程。

五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。

函数的定义域是指函数自变量的取值范围，值域则是函数因变量的取值范围。

这两个范围都可以用集合来表示。

在求解函数的定义域和值域时，要充分利用函数的性质，结合数轴或不等式等方法进行求解。

六、总结与应用掌握高中数学集合知识点，首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。

在此基础上，要理解数列与集合的关系，掌握函数的定义域与值域与集合的联系。

在实际应用中，要灵活运用所学知识，解决数学问题。

1.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

2.集合中的每个对象叫做这个集合的元素集合元素与集合的关系用“∈属于”和“∉不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A例如：1∈Z，2.5∉Z，0∈N；3.集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；4.有限集和无限集的概念5.常用数集及其记法自然数集，记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R除0数集用符号*或+表示，比如正整数集，记作N*或N+；非零整数集记作Z*；6.描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

7.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；8.韦恩图表示集合注意：一般无限集，不宜采用列举法。

1．子集、全集、补集(1)子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是真子集；若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.(2)集合A与其补集∁U A的关系为：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(3)子集、全集、补集等概念实质上是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映．当A⊆S时，∁S A的含义是：从集合S中去掉集合A的元素后，由所有剩余的元素组成的新集合．集合A的元素并上∁S A的元素后即合成集合S.2．交集、并集(1)对于交集概念的把握要注意以下三方面：①交集仍是一个集合．②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”，即若x∈(A∩B)，一定有x∈A且x∈B.③交集中包括了两个集合的全体公共元素，即若x∈A且x∈B，一定有x∈(A∩B)．(2)对于并集的理解应注意：若x∈(A∪B)，则有三种可能：①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B集合相等：⑴若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．⑵对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A = B．⑶对于两个集合A 和B，如果A⊆B，同时B⊆A ，那么就说这两个集合相等，记作A = B．⑷对于两个有限数集A = B ，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

集合的基础知识点一、什么是集合集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。

集合中的元素可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等等。

集合的概念在数学中具有重要的地位，它是其他数学概念的基础。

二、集合的表示方法集合可以用不同的方式表示和描述，常见的表示方法有两种：1.列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。

例如，集合A由元素1、2、3组成，可以表示为A={1, 2, 3}。

2.描述法：通过给出满足某种条件的元素来表示集合。

例如，集合B由大于0且小于10的整数组成，可以表示为B={x | 0 < x < 10}。

三、集合的基本操作集合作为一个整体，可以进行一些基本的操作，包括并集、交集、差集和补集等。

1.并集：将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。

记作A∪B，表示为A和B的并集。

2.交集：找出两个集合中共有的元素，组成一个新的集合。

记作A∩B，表示为A和B的交集。

3.差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素，得到一个新的集合。

记作A-B，表示为A和B的差集。

4.补集：对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集是指在全集U中但不在集合A中的元素所组成的集合。

记作A’，表示为A的补集。

四、集合的基本性质集合具有一些基本的性质，包括空集、子集和幂集等。

1.空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。

空集是任何集合的子集。

2.子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合被称为另一个集合的子集。

记作A⊆B，表示A是B的子集。

3.幂集：对于给定集合A，它的幂集是指由A的所有子集所组成的集合。

记作P(A)。

五、集合的运算律集合的运算满足一些基本的运算律，包括交换律、结合律、分配律和幂等律等。

1.交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

2.结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。