集合部分知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，它是由确定的元素组成的整体。

在数学中，集合论是一个独立的分支，它研究集合的性质、运算和关系。

本文将对集合的基本概念、运算和性质进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合符号：集合常用大写字母表示，如A、B、C。

元素通常用小写字母表示，如a、b、c。

2. 集合的表示方法：集合可以通过列举元素的方式表示，例如A={1, 2, 3}；也可以用描述性的方式表示，例如B={x | x是自然数，且x<5}。

3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。

二、集合的运算1. 并集：若A和B是两个集合，它们的并集是由两个集合中的所有元素组成的集合，用符号∪表示，即A∪B。

2. 交集：若A和B是两个集合，它们的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，用符号∩表示，即A∩B。

3. 差集：若A和B是两个集合，它们的差集是属于A而不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。

4. 互斥：若A∩B=∅，即A和B的交集为空集，称A和B是互斥的。

三、集合的性质1. 子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。

2. 包含关系：若A是B的子集，且B不等于A，则称B包含A，用符号B⊇A表示。

3. 相等关系：当A⊆B且B⊆A时，称A和B相等，用符号A=B表示。

4. 幂集：集合A的所有子集构成的集合被称为A的幂集，用符号P(A)表示。

5. 交换律：并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

6. 结合律：并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

7. 分配律：并集和交集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

四、常用集合1. 自然数集：包括0、1、2、3......的集合，用符号N表示。

2. 整数集：包括负整数、0、正整数的集合，用符号Z表示。

集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。

一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。

二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。

记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。

并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。

2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。

交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。

3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。

记作A-B，其中A和B是待操作的集合。

差集包含了属于A但不属于B的元素。

4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。

一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。

记作A的补集为A'或A^c。

补集包含了全集中属于但不属于A的元素。

三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。

记作A⊇B。

如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。

2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。

3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。

记作A⊆B。

空集∅是任何集合的子集。

4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。

假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。

四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。

即N={1, 2, 3, …}。

2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。

本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。

2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。

3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。

- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。

4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。

二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。

2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。

3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。

4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。

5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。

三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。

2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。

3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。

4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。

四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。

2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。

3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。

4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。

总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。

高一集合知识点总结一、集合的基本概念1. 集合定义：集合是具有某种特定性质的事物的总体。

2. 元素：组成集合的每个事物称为该集合的元素。

3. 集合的表示：常用大写字母表示集合，如集合A、B等；集合中的元素用小写字母表示，如a、b等。

二、集合的分类1. 有限集：元素数量有限的集合。

2. 无限集：元素数量无限的集合。

3. 空集：不包含任何元素的集合，记作∅。

三、集合的表示方法1. 枚举法：直接列举出集合中的所有元素。

2. 描述法：用数学表达式描述集合中的元素性质。

3. 图示法：用图形表示集合及其关系。

四、集合间的关系1. 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。

2. 真子集：集合A是集合B的子集，且A不等于B。

3. 并集：两个集合A和B的所有元素组成的集合。

4. 交集：两个集合A和B的公共元素组成的集合。

5. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是全集U中不属于A的元素组成的集合。

五、集合运算1. 并集运算（∪）：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。

2. 交集运算（∩）：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。

3. 差集运算（-）：A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。

4. 补集运算（' 或 C）：A' = {x | x ∉ A}。

六、特殊集合1. 有理数集：可以表示为两个整数比的数的集合。

2. 无理数集：不能表示为两个整数比的数的集合。

3. 自然数集：正整数的集合。

4. 整数集：正整数、负整数和零的集合。

5. 实数集：包括有理数和无理数的集合。

七、集合的简单性质1. 德摩根定律：(A ∪ B)' = A' ∩ B'；(A ∩ B)' = A' ∪ B'。

2. 集合恒等式：A ∪ A' = U，A ∩ A' = ∅。

3. 子集性质：如果A ⊆ B 且 B ⊆ A，则A = B。

集合的全部知识点总结一、基本概念在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他数学对象。

集合中的每个对象称为元素，而集合内元素的个数称为集合的基数。

二、表示方式1. 枚举法：通过列举集合中的元素来表示，用大括号{}括起来。

例如，A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1、2、3和4。

2. 描述法：通过描述集合中元素的性质或特征来表示。

例如，B={x | x 是偶数}表示集合B包含所有偶数。

3. 图形表示法：用Venn图或欧拉图来表示集合之间的关系。

三、基本运算1. 并集：表示将两个或多个集合中的所有元素组合在一起，用符号∪表示。

例如，A∪B表示集合A和集合B的并集，即包含了集合A和集合B中的所有元素。

2. 交集：表示两个或多个集合中的共同元素，用符号∩表示。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集，即包含了同时属于集合A和集合B的元素。

3. 差集：表示从一个集合中减去另一个集合中存在的元素，用符号-表示。

例如，A-B表示从集合A中减去集合B中的元素后所得到的新集合。

4. 互斥集合：指两个或多个集合之间没有共同元素，用符号表示。

例如，A∩B={}表示集合A和集合B是互斥的，即没有共同元素。

5. 子集：表示一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，用符号⊆表示。

例如，集合A的所有元素都是集合B的元素，则表示A⊆B。

四、特殊集合1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅或{}表示。

2. 全集：包含所有可能元素的集合，用符号U表示。

3. 单集：只包含一个元素的集合，用符号{x}表示。

4. 等价集：具有相同基数的集合。

5. 互斥集：两个集合之间没有任何共同元素。

五、集合的性质1. 互补律：对于任意集合A，A与其补集的并集等于全集。

即A∪A' = U。

2. 结合律：对于任意集合A、B和C，集合的并、交运算满足结合律。

即(A∪B)∪C = A∪(B∪C)和(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。

在数学中，我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。

集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。

常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。

对于集合的学习，首先要明确集合的概念及其表示方法，这是后续学习的基础。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中所有元素的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。

在解题过程中，要根据题目的要求，选择合适的集合运算方法。

三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。

子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中；真子集表示一个集合是另一个集合的子集，且两者不相等；相等集合表示两个集合完全相同。

此外，还要了解空集的概念，即不含有任何元素的集合。

掌握集合的基本关系，有助于理解集合的运算及其性质。

四、数列与集合数列是一种特殊的集合，它按照一定规律排列的数序列。

等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。

等差数列中的任意两项之差相等，等比数列中的任意两项之比相等。

在解决数列问题时，要充分利用数列的性质和公式，简化计算过程。

五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。

函数的定义域是指函数自变量的取值范围，值域则是函数因变量的取值范围。

这两个范围都可以用集合来表示。

在求解函数的定义域和值域时，要充分利用函数的性质，结合数轴或不等式等方法进行求解。

六、总结与应用掌握高中数学集合知识点，首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。

在此基础上，要理解数列与集合的关系，掌握函数的定义域与值域与集合的联系。

在实际应用中，要灵活运用所学知识，解决数学问题。

集合的知识点总结集合知识点总结1. 集合的定义集合是数学中的一个基本概念，它是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。

这些事物或对象被称为集合的元素。

集合中的元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物，但它们必须是明确且无歧义的。

2. 集合的表示集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。

集合中的元素则用小写字母表示，如a、b、c等。

集合可以用大括号{}表示，例如A = {a, b, c}表示集合A包含元素a、b、c。

3. 集合的类型- 有限集：元素数量有限的集合。

- 无限集：元素数量无限的集合。

- 空集：不包含任何元素的集合，记作∅。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B。

- 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，则A是B的真子集，记作A⊂B。

- 并集：两个集合A和B的所有元素组成的集合，记作A∪B。

- 交集：两个集合A和B的公共元素组成的集合，记作A∩B。

- 补集：对于集合A，其在某个全集U中的补集是U中不属于A的元素组成的集合，记作A'或C_U(A)。

4. 集合间的关系- 相等关系：如果集合A和B的元素完全相同，则称A和B相等，记作A = B。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，但B中可能有A中没有的元素，则称A被B包含，记作A⊆B。

- 真包含关系：如果集合A被B包含，并且A不等于B，则称B真包含A，记作A⊂B。

5. 集合的基本运算- 并集运算：A∪B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}- 交集运算：A∩B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}- 差集运算：A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}- 补集运算：C_U(A) = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}6. 集合的特殊记号- 属于符号：∈，表示元素属于某个集合。

- 不属于符号：∉，表示元素不属于某个集合。

- 空集符号：∅，表示没有任何元素的集合。

集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。

2. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。

3. 集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系等。

4. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等运算。

二、集合的分类1. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，全集是指定范围内的所有元素的集合。

2. 子集与真子集：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集；若两个集合既有子集关系又不相等，则称前者为后者的真子集。

3. 有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数无限的集合称为无限集。

三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素都放在一起，得到的新集合即为并集。

2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。

3. 差集：从一个集合中减去另一个集合的元素，得到的新集合称为差集。

4. 补集：相对于某个全集，与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。

四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。

2. 集合的应用场景：数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。

3. 集合的问题求解：通过集合的运算和性质，解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。

五、集合的常用性质与定理1. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。

2. 对称差：两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。

3. 德摩根定律：集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。

4. 集合的基数：集合的基数是指集合中元素的个数。

5. 区间表示法：用数轴上的区间来表示集合。

六、集合的应用举例1. 数学中的集合：数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。

2. 数据库中的集合：数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。

3. 概率论中的集合：概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。

集合的全部知识点总结在数学中，集合是一种把具有相同特征的对象聚集在一起的概念。

学习集合理论可以帮助我们更好地理解数学，并在解决问题和证明定理时提供基础。

下面将对集合的基本概念、运算、特殊集合和应用进行总结。

一、基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。

2. 元素的归属关系：如果某个元素a属于集合A，可以表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，可以表示为a∉A。

3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。

二、运算1. 交集：集合A和集合B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，用符号表示为A∩B。

2. 并集：集合A和集合B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，用符号表示为A∪B。

3. 差集：集合A相对于集合B的差集是包含属于A但不属于B的元素的集合，用符号表示为A-B。

4. 互斥集：如果两个集合的交集为空集，则它们被称为互斥集。

5. 补集：相对于全集U，集合A中不属于U的元素组成的集合称为集合A的补集，用符号表示为A'。

三、特殊集合1. 单元素集：只包含一个元素的集合称为单元素集。

2. 空集和全集：空集和全集在集合论中具有特殊的地位，空集是任意集合的子集，全集是任意集合的超集。

3. 自身元素：集合A中的元素也可以是集合A本身，这种集合称为自身元素。

四、应用1. 表示和描述：集合可用于表示和描述各种情况，如自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

2. 集合关系：集合的交集、并集和差集等运算可以用于分析和研究集合间的关系。

3. 映射和函数：集合论为映射和函数提供了理论基础，映射是从一个集合到另一个集合的对应关系。

4. 概率和统计：概率和统计学中的事件和样本空间等概念可以用集合表示和运算。

总结：集合论是数学中重要的分支之一，可以帮助我们更好地理解数学概念和解决实际问题。

集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……｝（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……｝（3）整数集Z={0，?1，?2，……｝（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠｛} ，≠{0}，≠｛空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤３}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

集合部分知识点总结一、集合的定义集合是指具有某种共同性质的个体的总体，这个总体可以由一系列确定的个体为成员的对象所构成。

我们把各种不同种类的集合称为不同的集合类型，包括空集、单集、对集、无限集等。

集合的基本符号是用大写字母表示，其元素一般用小写字母表示，并放在大括号内，用逗号隔开各个元素。

例如，集合A={1,2,3,4,5}，其中1,2,3,4,5是A的元素。

二、基本运算1. 并集：若A和B是两个集合，A∪B={x|x∈A或x∈B}，表示A和B的并集。

即A∪B包含A和B中的所有元素。

2. 交集：若A和B是两个集合，A∩B={x|x∈A且x∈B}，表示A和B的交集。

即A∩B包含A和B中公共的元素。

3. 差集：若A和B是两个集合，A-B={x|x∈A且x∉B}，表示A和B的差集。

即A-B包含A中不属于B的元素。

4. 补集：若U是全集，A是U的一个子集，则A的补集用符号A'或A^c表示，是指所有不属于A的元素组成的集合。

三、集合的关系1. 子集关系：若A和B是两个集合，如果A的所有元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。

2. 相等关系：若A和B是两个集合，并且A⊆B且B⊆A，则称A等于B，或者称A和B 相等，记作A=B。

3. 互斥关系：若A和B是两个集合，并且A∩B=∅，则称A和B是互斥的。

四、集合的表示方法1. 列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。

2. 描述法：通过一个描述来表示集合中的元素，例如{x|x为正整数且x<5}表示由1、2、3、4组成的集合。

五、常见的集合类型1. 空集：不含任何元素的集合，记作∅。

2. 单集：只包含一个元素的集合，例如{1}。

3. 对集：包含两个元素的集合，例如{1,2}。

4. 有限集：元素数量有限的集合。

5. 无限集：元素数量无限的集合，例如自然数集、整数集、实数集等。

六、集合的运算定律1. 结合律：对于并集和交集，有A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

常见集合知识点总结在这篇文章中，我们将总结一些常见的集合知识点，包括集合的基本概念、运算、特殊的集合以及集合的应用等方面，希望可以帮助读者加深对集合理论的理解。

一、基本概念1.元素：集合中的个体称为元素，通常用小写字母表示。

例如，集合A={1,2,3}中的元素有1、2、3；集合B={a,b,c}中的元素有a、b、c。

2.空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

3.子集：若集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集。

记作A⊆B或B⊇A。

4.集合的相等：若A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。

5.万能集和全集：包含所有可能元素的集合称为万能集或全集。

通常用符号U表示。

6.交集与并集：设A和B为两个集合，A与B的交集是由A和B的共同元素组成的集合，记作A∩B；A与B的并集是由A和B中的所有元素组成的集合，记作A∪B。

二、集合的运算1.求交集：A和B的交集，记作A∩B，是由A和B中共同的元素组成的集合。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

2.求并集：A和B的并集，记作A∪B，是由A和B中所有的元素组成的集合（去除重复元素）。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

3.求差集：A和B的差集，记作A-B，是由A中属于B的元素去掉后的剩余元素组成的集合。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4.求补集：集合A相对于全集U的补集，记作A'，是由全集U中不属于A的元素组成的集合。

例如，设U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则A'={4,5}。

5.笛卡尔积：设A和B为两个集合，A和B的笛卡尔积，记作A×B，是由A中的每个元素与B中的每个元素所组成的有序对所构成的集合。

三、特殊的集合1.自然数集：由0、1、2、3、……所组成的集合，记作N。

2.整数集：由……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……所组成的集合，记作Z。

集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。

(2) 元素：组成集合的每个对象都称为集合的元素，通常用小写字母表示。

(3) 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即两个相同的集合只有相同的元素组成，元素的排列次序不同，它们之间也是相等的。

(4) 互异性：集合中的元素各不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。

(5) 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。

2. 集合的分类(1) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

(2) 单集：只包含一个元素的集合称为单集。

(3) 有限集和无限集：集合中元素的个数有限的称为有限集，否则称为无限集。

(4) 相等集：具有相同元素的集合称为相等集。

3. 集合的运算(1) 并集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集，通常用符号∪表示。

(2) 交集：设A和B是两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集，通常用符号∩表示。

(3) 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集，通常用符号A'表示。

(4) 差集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集，通常用符号A-B表示。

4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

(2) 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

(3) 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

(4) 吸收律：对于任意的集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。

求集合知识点归纳总结1. 集合的基本概念（1）元素：集合中的对象称为元素，通常用小写字母表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，其中的1、2、3就是集合A的元素。

（2）空集：不含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

（3）子集：若集合B的所有元素都属于集合A，则称集合B是集合A的子集，记作B⊆A。

（4）真子集：对于集合A和B，如果B是A的子集且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。

（5）交集：集合A和集合B的交集是一个新的集合，其中包含A和B的共同元素，记作A∩B。

（6）并集：集合A和集合B的并集是一个新的集合，其中包含A和B的所有元素，记作A∪B。

（7）补集：集合A相对于全集的补集，记作A'，表示全集中不属于A的元素组成的集合。

（8）笛卡尔积：对于两个集合A和B，它们的笛卡尔积是一个新的集合，其中的元素是由A和B的所有可能的有序对组成的，记作A×B。

2. 集合的运算（1）交集：对于集合A和集合B，它们的交集是一个新的集合，其中包含A和B的共同元素，记作A∩B。

（2）并集：对于集合A和集合B，它们的并集是一个新的集合，其中包含A和B的所有元素，记作A∪B。

（3）差集：对于集合A和集合B，它们的差集是一个新的集合，其中包含A中属于B补集的元素，记作A-B。

（4）补集：集合A相对于全集的补集，记作A'，表示全集中不属于A的元素组成的集合。

（5）笛卡尔积：对于两个集合A和B，它们的笛卡尔积是一个新的集合，其中的元素是由A和B的所有可能的有序对组成的，记作A×B。

3. 集合的性质（1）互斥性：对于集合A和集合B，如果A∩B=∅，则称A和B互斥，即A和B没有共同的元素。

（2）幂集：对于集合A，它的幂集是由A的所有子集组成的集合，记作P(A)。

（3）集合的基数：集合A的基数是A中元素的个数，记作|A|。

（4）集合的运算律：交换律、结合律、分配律等。

4. 集合的应用集合论作为数学的一个基本概念，广泛应用于数学分析、代数学、拓扑学等领域。

《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{...} 如：{我校的篮球队员} ，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 用拉丁字母表示集合： A = {我校的篮球队员} , B = {1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：{a,b,c,d,...}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x | x 一3 > 2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N +整数集 Z 有理数集 Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x | x2 = 一5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A 坚 B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。

反之，集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A坚/B 或 B二/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设 A={x| x2 一1 = 0 } B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集. A坚A②真子集:如果 A坚B,且 A子 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A 坚 B (或 B二/A)③如果 A坚B, B坚C ,那么 A坚C④如果 A坚B 同时 B坚A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做 空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

结论：有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集， 2n 1 个真子集三、集合的运算运算交 集 并 集 补 集类型定 由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合 叫做 A,B 的交集．记作由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合，叫做 S 中子集 A 的 补集（或余集） 义A nB （读作‘A 交 B ’） 即 A n B=｛x|x A 且 集．记作 A U B （读作‘A并 B ’ ） ， 即 A U B记作 C U A ，即x B ｝． ={x|x A ，或 x B})． C A {x | x U , 且x A}U韦恩 A B A B A 图示 图 1 图 2(C u A) (C u B) C u (A B)AA AA性AB B AAA (C u A) (C u B) C u (A B)AB B A质A B AAB A A (C u A) U AB BAB BA (C u A)（2）交、并、补集的混合运算 ①集合交换律 AB B A A B B A②集合结合律 (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)③集合分配律 A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)（3）容斥定理card(A B) card(A) card(B) card(A B)card (A B C) card (A) card (B) card (C) card (A B)card(A B) card(B C) card(A B C)card 表示有限集合 A 中元素的个数S。

集合必背知识点总结一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象叫做集合的元素。

在数学中，我们常用大写字母表示集合，用{}表示集合，例如A={a,b,c,d,e}表示由元素a,b,c,d,e组成的集合。

集合中不同元素的个数称为该集合的基数（或基数）。

二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A和B的并集，记作A∪B。

表示如下：A∪B={x|x∈A或者x∈B}并集的性质：交换律：A∪B=B∪A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)2. 交集设A和B是两个集合，所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A 和B的交集，记作A∩B。

表示如下：A∩B={x|x∈A并且x∈B}交集的性质：交换律：A∩B=B∩A结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)3. 补集设U是一个集合，A是U的一个子集，所有属于U而不属于A的元素组成的集合叫做集合A对于集合U的补集，记作A' 或者Ac4. 差集设A和B是两个集合，所有属于A而不属于B的元素所组成的集合叫做集合A和B的差集，记作A-B。

表示如下：A-B={x|x∈A并且x∉B}三、集合的表示方法1. 列举法直接将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，中间用逗号隔开。

例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法把确定集合中元素的某种性质加以说明，用x∈U，x满足某种性质P来描述集合，大括号中的元素x都具有性质P。

例如：B={x|x是偶数，x∈Z}四、集合的基本定理1. 并集与交集之间的关系设A，B是集合，那么有如下的基本定理：A∪B = A∪(A∩B)A∩B = A∩(A∪B)2. 对于任意集合A,B和C有如下关系：交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)五、集合的应用集合常用于解决排列组合、概率统计等问题，在实际生活中也有广泛的应用。

总结集合的知识点一、基本概念1. 集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

其中的每个对象称为元素，可以是任意的事物或抽象的概念。

集合通常用大写拉丁字母A、B、C等来表示，元素通常用小写字母a、b、c等来表示。

如果x是集合A的一个元素，我们会用x∈A来表示。

反之，如果x不是A的元素，则用x∉A来表示。

2. 集合的表示法集合的表示法主要有三种：枚举法、描述法和集合构造法。

（1）枚举法：直接用大括号将集合中的元素写出来。

例如，A={1,2,3,4}。

（2）描述法：用一个性质来描述集合中的元素。

例如，A={x|x是正整数，且x小于5}。

（3）集合构造法：由已知的一个或几个集合构造一个新的集合。

例如，如果A={a,b,c}，B={c,d,e}，那么A∩B={c}。

3. 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，通常用∅或{}来表示。

全集是讨论的所有对象的集合，通常用U来表示。

二、集合的运算1. 并集若A和B是两个集合，则A和B的并集是一个集合，它包含了A和B中的所有元素。

符号为A∪B。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集若A和B是两个集合，则A和B的交集是一个集合，它包含了既属于A又属于B的所有元素。

符号为A∩B。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∩B={3}。

3. 差集若A和B是两个集合，则A和B的差集是一个集合，它包含了属于A但不属于B的所有元素。

符号为A-B。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A-B={1,2}。

4. 补集对于给定的集合A，在全集U中，A的补集是指所有不属于A的元素所构成的集合。

符号为A'或A^c。

5. 笛卡尔积若A和B是两个集合，则A和B的笛卡尔积是一个集合，它包含了所有形式为(a, b)的有序对，其中a∈A，b∈B。

符号为A×B。

三、集合的性质1. 交换律、结合律和分配律集合的并、交运算满足交换律、结合律和分配律。

必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系通常用大写拉丁字母A ，B ，C ···表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ···表示集合中的元素 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.（8）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 二．直击考点（一）、判断集合间的关系例1已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}2,3MN = D ．{}1,4MN =例2设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 （ ）名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅（3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C u{|,}x x U x A ∈∉且 （1）=)(A C A u ø（2）=)(A C A u U（3）)()()(B C A C B A C u u u =（4）)()()(B C A C B A C u u u =（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆ （D ）P C Q R ⊆（二）、集合间的运算例3．已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U )(为（ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}例4．已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3} , (C U B)∩A={9},则A= （A ）.{1,3} (B).{3,7,9} (C).{3,5,9} (D).{3,9} 例5. 已知集合A={}1,),(22=+y x y x y x 为实数，且，B={}1,),(=+y x y x y x 为实数，且，则A ⋂B 的元素个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .（三）、由集合间的关系及运算求字母参数的值或范围例7．已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3例8． 已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）（四）集合中的新定义问题例9.定义集合运算：{}.,,B y A x xy z z B A ∈∈==*设{}{}2,0,2,1==B A ,则集合B A *的所有元素之和为 （ D ）A.0B. 2C. 3D. 6例10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)c （ ）A.aB.bC.cD.d 例11设{}{}{}等于则若且N M N M B x A x x B A -==∉∈=-,10,9,8,7,8,7,6,5,4, ( ) A ．{4，5，6，7，8，9，10}B ．{7，8}C ．{4，5，6，9，10}D ．{4，5，6}四． 课后作业1．设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d2．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(C U Q) =（ ）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}4．已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则（ ）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅5．已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的（ ）A ．N M ⊆B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋂=D ．{}2M N ⋂=6．已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆C ．D C ⊆D ．A D ⊆7．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为 （ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．108．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0} 10. 设全集U 为R,，集合2{|50}A x x x q =-+=，2{|120}B x x px =++=，若{}{}4)(2)(==A C B B C A U U ，，求实数p 、q 的值及B A .。

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。

2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。

3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。

四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。

2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。

3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。

2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。

集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，¡1，¡2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。