解三角形
一、基础知识
1、相关三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式
αααcos sin 22sin = ααα22sin cos 2cos -=22cos 1α=-212sin α=- α
α
α2tan 1tan 22tan -=
(3)降次公式 221cos 21cos 2sin ,cos .22
αα
αα-+=
= 21cos 2tan 1cos 2ααα-=
+. (4）辅助角公式 )sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a
其中
cos tan b a
ϕϕϕ=
=
=
2、三角形相关定理、公式
（1）正弦定理
a sinA ＝
b sinB ＝
c sinC
＝2R (2R 为三角形外接圆的直径) 变形:①a :b:c ＝sinA:sinB:sinC
②a ＝2RsinA b ＝2RsinB c ＝2RsinC ③sinA ＝a 2R sinB ＝b 2R sinC ＝c
2R
（2）余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bccosA b 2＝a 2＋c 2－2a ccosB c 2＝a 2＋b 2－2a bcosC
变形:①b 2＋c 2－a 2＝2bccosA a 2＋c 2－b 2＝2a ccosB a 2＋b 2－c 2＝2a bcosC
②cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac cosC ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
③sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA (正余弦定理相结合)
（3）面积公式
S ＝12a bsinC ＝12bcsinA ＝12a csinB ＝
12
(|→OA |·|→OB |)2－(→OA ·
→OB )2
（4）内角和定理
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. A ＋B ＋C ＝π C ＝π－(A ＋B) C 2＝π2－A ＋B
2
Sin （A+B ）＝sinC ，cos （A+B ）＝－cosC ，sin A ＋B 2＝cos C
2
锐角三角形⇔最大角是锐角⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两
角和都是钝角⇔一角正弦大于另一角的余弦（sin cos C A >）⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.
（5）其他定理
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；大边对大角,小边对小角
（6）两个常用结论
①A ＞B 是sinA ＞sinB 的充要条件；②若sin2A ＝sin2B,则A ＝B 或A ＋B ＝π
2
二、基本方法
（1）突破口是边角关系的分析，正余弦定理都能实现边角关系的互化，但边化角往往用正弦定理，角化边往往用余弦定理。
（2）问题中若涉及面积问题，首先选择面积公式，弄清条件或需要求的几个量，选择公
式时往往以已知角为主。
（3）若三角形中有一个角已经确定，如A ，由此可知B+C ，用此可消去一个角，也可以结合余弦定理得2
2
2
2cos a b c b A =+-，转化为边的关系。
（4）若三角形中有两个角已经确定，如A 、B ，则可以确定另一角C ，从而可以选择正弦定理结合条件求解。
（5）在三角形内进行三角恒等变形时，往往遇见sin cos cos sin B C B C +这类式子，要将其转化为sin()B C +，当化简到一定程度不能化简却又得不到所求时，一定要用内角和定理消角后再变形，如sin()sin B C A +=。
（6）题目条件不足，无法求解时，要主动结合正余弦定理，挖掘出隐含条件后再求解，如求得ac 后，可结合正弦定理
sin sin a A
c C
=
，形成方程组求解。 三、典型例题
1、（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
2、(2010年高考湖北卷理科3)在△ABC 中，a=15，b=10, ∠A=060，则cos B =（ ）
A.
223-
B.223
C.63
D.6
3
-
3、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
223a b bc -=，sinC=23sinB ，则A=（ ）
A 、30°
B 、60°
C 、120°
D 、150°
4．（辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a
b
（ ）
A ．23
B ．2
C 3
D 2
5、（四川）在∆ABC 中．2
2
2
sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是（ ） (A)(0，
6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3
π
，π)
