2.1 定量资料的统计描述

定义：将一组观察值从小到大排序后居 于中间位置的那个数值 计算：

离散型变量
1 当n为偶数时： M ( X ( n ) X ( n 1) ) 2 2 2
当n为奇数时： M X
(
n 1 ) 2
中位数的计算

连续型变量：
i50 n M L50 ( fL ) f 50 2
对称分布 偏态分布： 对数正态分布 偏态分布
集中趋势
均数
离散趋势
方差、标准差 变异系数 对数值的方差 或标准差 极差、四分位 数间距
几何均数 中位数ຫໍສະໝຸດ 本章重点

频数表的意义和应用。 集中趋势的各个描述指标及其应 用条件。 离散趋势的各个指标及其应用条 件。 正态分布和偏态分布资料的描述 指标选择。
iX 公式：PX LX (n X % f L ) fX
式中符号的意义同中位数所用公式，只是把 中位数改为第X百分位数。
小结




频数表和频数图的制作以及频数分布类 型和频数表的用途。 算术均数的定义、特性、适用条件和两 种计算方法。 几何均数的定义、适用条件和两种计算 方法。 中位数的应用及计算
1.该生为优等生，总评成绩为92； 2.该生为良等生，总评成绩为80； 3.该生为中等生，总评成绩为74.55； 4.该生为差等生，总评成绩为17.
几个实例

甲、乙两实验员在实验技术考核中，分 别对同一标准样品进行5次平行样测定， 结果如下，问哪一个的实验技术好（标样 的真值为100）？
甲 乙 80 90 90 96 100 100 110 104 120 110

求极差 R＝Xmax－Xmin
划分组段 统计各组段内的数据频数
频率与累计频率
表1. 100名HIV阳性男子年龄的频数分布表
年龄 (岁) 25～
30～ 35～ 40～ 45～
频数 18
38 24 13 4
频率（％） 18.0
38.0 24.0 13.0 4.0
50～ 合计
3 100
3.0 100.0
各种平均数的意义、计算及其应用场合 平均数 均数 意义 平均数量水平 计算 应用场合 适用于对称分布，特别是正态分布的 资料。 （1）等比级数资料 几何均数 平均增（减）倍数 （2）对数正态分布 （3）观察值不能有 0 （4）观察值不能同时有正值和负值 n 为奇数时： M M
( n1 ) 2
四分位数间距（Q）＝QU（P75）－QL（P25）

优缺点：

包括了全部变量值中居于中间水平的一半， 比极差稳定。
仍未考虑到每个观察值的变异度。

3、方差和标准差 variance and standard deviation



方差是每个观察值与总体均数离差的 平方的平均值，可以较全面的反映该 组资料的变异情况，方差的单位是原 始数据单位的平方。 将方差开方即得标准差。标准差与原 始数据的单位相同，描述了个体值间 的变异。 样本方差与总体方差分别用S2和σ2表示。
内


容
频数分布表与频数分布图
集中趋势的描述
离散趋势的描述
定量资料的统计分析
集中趋势 统计描述 离散趋势 统计分析 参数估计 假设检验
统计推断
例：100名HIV阳性男子的年龄（岁）
49 35 28 30 32 33 36 42 42 30 36 36 30 32 28 34 34 34 30 35 33 40 38 37 29 33 28 34 42 52 30 27 34 46 36 34 44 49 25 48 30 31 37 29 30 30 30 25 26 32 27 33 29 36 33 35 40 40 28 27 30 39 32 30 36 27 39 42 41 33 41 40 38 51 29 31 40 30 35 31 34 29 37 34 38 51 33 39 27 37 32 31 37 33 38 38 40 32 26 36
x
x
n
G Lg
1
Lgx) (
n
将一组观察值从小到大 中位数 排序后，位次居中的观 察值水平
n 为偶数时：
M [ x n x n
2
（1）偏态分布
( 1) 2
]/ 2
（2）分布不明 （3）分布末端无确定值
若为频数表资料：
M L i n ( fL ) * fX 2
4、变异系数 （Coefficient of variation CV）

公式：
S CV 100% X

应用：
a: 比较度量衡单位不同的多组资料 的变异度。 b: 比较均数相差悬殊的多组资料的 变异度。
小结

极差、四分位数间距、方差、标准差的 定义、适用条件和计算方法。
指标
极差 R
四分位 数间距 Q
众数
频数最多的取值或组段 （组中值为代表） 观察值 x 倒数之均数的 倒数
M0 L
H
fU (i ) * f L fU
1
定量资料的集中趋势描述
调和均数
1 1 n x
求平均速度、平均样本含量
* 式中 L 为 M0 所在组段（即频数最多的组段）的下限，U 为上限，i 为组距；fL 为小于 L 的相邻组段的频数，fU 为大于 U 的相 邻组段的频数。
平均差 M.D. 方差 σ2 或 s2
标准差 s
描述离散趋势统计指标的意义及其应用场合 指标含义 计算公式 应用场合及特点 用于小样本或分布不清时。 简单明了，但缺点是： 亦称全距。即一组观察值 1． 除最大值和最小值外，不能反映 中， 最大值与最小值之差。 R＝最大值－最小值 组内其他数据的变异度； 单位与原观察值相同。 2． 样本例数悬殊时不宜比较其极 差； 3． 极差的抽样误差较大， 不够稳定。 四分位数间距 Q 即上四分 适用于描述偏态分布资料的离散趋 位数 QU（即第 75 百分位 数）与下四分位数 QL（即 势。 Q＝QU－QL 第 25 百分位数）之差，包 四分位数间距比极差稳定，但仍未考 括了全部变量值中居于中 虑到每个观察值的变异度。 间水平的一半。 指数列中各项数值对其平 | xx | 用来测定数列中各项数值对其平均 均数离差绝对值之和的算 M .D. 数离散趋势的一种尺度。 N 术平均数。 方差是每个观察值与总体 正态分布资料。 (x x)2 2 均数离差的平方的平均 可以较全面地反映该组资料的变异 s n 1 值。 情况。单位是原始数据单位的平方。 标准差的计算有直接法和加 权法两种。 直接法： 将方差开方即得标准差。 正态分布资料。主要用于： (x x)2 同质两组资料，在两组均 s 1． 表示观察值的变异程度； 数相近的条件下，S 大， n 1 2． 结合均数描述正态分布特征； 说明该组的资料分散，均 x 2 ( x ) 2 / n 3． 结合均数计算变异系数； 数的代表性差；S 小，说 4． 结合样本含量计算标准误等。 n 1 明该组的资料集中，均数 加权法： 的代表性好。
定量资料的统计描述
Descriptive of quantitative data
几个实例

记者的贫困山村调查 某记者到某山村进行了两次调查，基本 数据为：
改革前： 100人，总年纯收入3万元 改革三年后： 100人，总年纯收入100万元

美国房地产开发
几个实例

某学生在某年的几门功课考试中，成绩分别为 98、92、92、92、83、80、78、75、65、48、 17。在对该生进行评价时，四位教师有四种意 见：
标准差：Standard Deviation

标准差的计算：

( X X )2 直接法：S n 1
2 2 fX ( fX ) / f f 1
频数表法：S
其中，X是各组段的组中值，f是相应的频数。
标准差的应用
a：表示观察值的变异程度
b: 结合均数描述正态分布特征 c： 结合均数计算变异系数 d: 结合样本含量计算标准误等
几何均数(Geometric mean)
中位数(Median)
算术均数（均数）Mean

计算：

直接法（小样本）： x
x1 x2 xn n
加权法（大样本，频数表资料）：
x
fx f
应用：用于对称分布，特别是正态 分布资料的集中趋势描述。
几何均数:Geometric mean
一、频数分布表与频数分布图


频数表的概念
频数表的编制 频数表的用途

常用频数分布图
1. 频数表(frequency table)的概念

频
数：将资料的观察值按组段分组，
各组段所包括的变量值个数。

频数表：描述各组段及相应频数分布的 统计表称为频数分布表，简 称频数表。
2. 频数表的编制


计算

直接法：
G n x1 x2 xn
f lg x G lg f
1
加权法：
几何均数的应用

等比资料的统计 对数正态分布资料 注意：

观察值不能为0 观察值不能同时包含正、负值
例：某村某年的家庭总收入分布图
？
均数
中位数 Median
3.频数表的用途

揭示频数分布特征

集中趋势 离散趋势
对称分布 正偏态分布 偏态分布 负偏态分布

揭示资料的分布类型
便于发现过大或过小可疑值 便于进一步的统计工作 资料的陈述形式