2021北京中考数学试卷及答案

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2021年北京市西城区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东
珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（ ）
A ．55×104
B ．5.5×104
C ．5.5×105
D ．0.55×106
3．（2分）实数a ，b 在数轴上的位置如图，则|a ﹣b |﹣|a +b |等于（ ）
A ．﹣2a
B ．﹣2b
C ．2b ﹣2a
D ．2a +2b
4．（2分）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 为（ ）
A ．n ＝6
B ．n ＝7
C ．n ＝8
D ．n ＝9 5．（2分）如果x +y ＝5，那么代数式（1+y x−y ）÷
x x 2−y 2的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣5
6．（2分）如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，添加下列条件，不能判定△ACD ∽△ABC 的
是（ ）
A ．∠ACD ＝∠
B B ．∠AD
C ＝∠ACB C ．A
D AC =CD BC D ．AC 2＝AD •AB
7．（2分）如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点．若有一直线l
经过点（﹣。

2021年北京市门头沟区中考数学二模试卷1. 如图，是某几何体的三视图，则该几何体是( )A. 长方体B. 正方体C. 三棱柱D. 圆柱2. 在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察--天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得( )A. 1089B. 1090C. 1089万D. 1090万 3. 若代数式|x|−1x+1值为零，则( )A. x =−1B. x =1C. x =±1D. x ≠14. 有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是( )A. B. C. D.5. 方程组{x +y =1x −y =3的解为( ) A. {x =4y =1 B. {x =3y =−2 C. {x =2y =−1 D. {x =−2y =1 6. 线段OA 以点O 为旋转中心，逆时针旋转60°，得到OA 1，再将OA 1以点O 为旋转中心逆时针旋转60°得到OA 2，依此操作直到点A n 与点A 重合为止，顺次连接点A 、A 1…A n−1形成的多边形是( )A. 正四边形B. 正五边形C. 正六边形D. 正七边形7. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( )A. 15B. 310C. 25D. 128.如图，是函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象，通过观察图象得出了如下结论：(1)当x>3时，y随x的增大而增大；(2)该函数图象与x轴有三个交点；(3)该函数的最大值是6，最小值是−6；(4)当x>0时，y随x的增大而增大．以上结论中正确的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 49.−3的倒数是______．10.若√m−2+(n+1)2=0，则m+n=______ ．11.比√7大的最小整数是______ ．12.如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC=______ °.13.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC=______cm．14.若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为______ ．15.一个函数满足过点(0,1)，且当x>0时，y随x的增大而减小，该函数可以为______ ．16.某单位设有6个部门，共153人，如表：参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如表：综上所述，未能及时参与答题的部门可能是______ ．17.计算：|−√3|−(π+2021)0−2sin60°+(13)−2．18.解分式方程：1x−1+2xx+1=2．19.已知：如图，AB=DE，AF=DC，请补充一个条件可以得到BC=EF．补充的条件：______ ．20.已知x−2y=0，求2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)的值．21.已知，如图，直线l及直线外一点P．求作：过点P，作直线l的平行线．下面是一种方案的作法：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP为半径作弧交直线于点B；②分别以点B、点P为圆心，AP为半径作弧两弧交于点C；③作直线PC；直线PC为所求作的直线．(1)利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接PA、PC、BC．由①可得，PA=AB．由②可得，PC=BC=PA．∴PC=BC=PA=AB，∴______ ，(填依据：______ )∴PC//l．22.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)若BC=8，AO=5，求四边形AEBC的面积．223.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P(2,2)．x(1)求k的值；(x>0)的图象交于(2)一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx点N，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当1≤S△MNQ≤2时，通过画图，直接写出a的取值范围．224.已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD//AC．(1)求∠ACD的度数；(2)如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长．25.2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩分别进行了整理、描述和分析.下面给出部分信息.a.初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如图(数据分成6组：40≤x< 50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)；b.初一年级学生竞赛成绩在80≤x<90这一组的是：808181828284868686888889c.这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______ (填“初一”或“初二”)，理由是______ ．(3)已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−bx+3的对称轴为直线x=2．(1)求b的值；(2)在y轴上有一动点P(0,n)，过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1<x2．①当x2−x1=3时，结合函数图象，求出n的值；②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，满足−4≤y≤4，求n的取值范围．27.已知，如图，∠MAN=90°，点B是∠MAN的内一点，且到AM，AN的距离相等.过点B做射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°交AN于点D．(1)依题意补全图形；(2)求证：BC=BD；(3)连接AB，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系，并证明．28.在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．(1)如图，在∠BAC平分线AD上的四个点P1、P2、P3、P4中，连接点A和点______ 的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．(2)在平面直角坐标系中，已知点M(0,t)，N(4,0)．①当t=5时，求出△MON关于∠MON的“劲度距离”d1的最大值．②如果√2≤d≤2√2内至少有一个值是△MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.长方体的三视图可以为：主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是正方形，故该选项正确，符合题意；B.正方体的三视图都是正方形，故该选项错误，不符合题意；C.三棱柱的俯视图是三角形，故该选项错误，不符合题意；D.圆柱的俯视图是圆，故该选项错误，不符合题意．故选：A．根据长方体，正方体，三棱柱，圆柱的三视图，逐一排除即可．本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟悉常见几何体的三视图．2.【答案】D【解析】解：10895538≈1090万，故选：D．精确到万位数约是几万，就是用四舍五入法求近似数精确到万位，就是看万位后面的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字，据此写出．本题主要考查整数的改写，注意改写要带计数单位．3.【答案】B【解析】解：由题意得|x|−1=0，x+1≠0，解得x=1，故选：B．根据分式值为0时分子为0，分母不为0列式计算可求解．本题主要考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：图①和图②中的虚线折痕是正方形卡纸的两条水平和铅直的对称轴，由图3可知，正方形卡纸被分成了4个大小相同的小正方形，沿虚线将一角剪掉，表面看是剪掉了一个直角三角形，实际是剪掉了一个菱形．故选：D．严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．本题主要考查了剪纸问题，考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．5.【答案】C【解析】解：方程组{x +y =1①x −y =3②， ①+②得：2x =4，解得：x =2，①−②得：2y =−2，解得：y =−1，则方程组的解为{x =2y =−1． 故选：C ．方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6.【答案】C【解析】解：由题意：每次的旋转角均为60°，∵360°÷60°=6，∴操作6次后，A 6与A 重合．∵每次的旋转半径均为OA ，∴顺次连接点A 、A 1…A 5形成的多边形是正六边形．故选：C ．由于每次的旋转角均为60°，因为360°÷60°=6，所以操作6次后，A 6与A 重合，操作停止．由于每次的旋转半径相同，都是OA ．故顺次连接点A 、A 1…A 5形成的多边形是正六边形．本题主要考查了图形的变化的规律，正多边形和圆．正确使用正多边形的概念是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．依据题意列树状图如下：∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在奇数上的可能有6种，∴指针都落在奇数上的概率是：620=310．故选：B．利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵由图象可以看出在直线x=3的右侧，y随x的增大而增大，∴(1)当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意；∵观察图象，该函数图象与x轴的交点有：(1,0)，(2,0)，(3,0)，∴(2)该函数图象与x轴有三个交点，符合题意；∵0≤x≤4，∴当x=0时，函数取最小值−6，当x=4时，函数取最大值6，∴(3)该函数的最大值是6，最小值是−6，符合题意；∵观察图象可得：1.5<x<2.5时，y随x的增大而减小，∴(4)当x>0时，y随x的增大而增大，不符合题意；综上，以上结论正确的有：(1)，(2)，(3)．故选：C．利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，图象与x轴的交点，函数的极值．充分利用函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．9.【答案】−13【解析】解：−3的倒数是−13．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．10.【答案】1【解析】解：∵√m−2+(n+1)2=0，而√m−2≥0，(n+1)2≥0，∴m−2=0，n+1=0，解得，m=2，n=−1，则m+n=2−1=1，故答案为：1．根据非负数的性质列出方程，解方程求出m、n的值，计算即可．本题考查了算术平方根和完全平方的非负数性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．11.【答案】3【解析】解：∵4<7<9，∴2<√7<3∴比√7大的整数中，最小的是3．故答案为：3．估算出√7的大小即可求解．本题主要考查了估算无理数的大小，估算出√7的范围是解答本题的关键．12.【答案】90【解析】解：根据网格为正方形，∴∠AEB=45°+45°=90°．∴∠AEB=∠CED=90°．∴∠ECD+∠EDC=90°故答案为：90．根据正方形网格特征，判断∠AEB=90°，利用对顶角相等，即可求解．本题考查了直角三角形的判定和性质，关键在于利用直角三角形的两个锐角互余．属于基础题．13.【答案】4【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DE=2cm，∴BC=2×2=4cm．故答案为：4．BC，从而根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=12求出BC．本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．14.【答案】2或4【解析】解：当为内切时，圆心距为3−1=2；当两圆外切时，圆心距为3+1=4．故答案为：2或4．若两圆相切，分内切和外切，若为内切，则圆心距为两半径之差；若为外切，则圆心距为两半径之和．本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离(d>R+r)、内含(d<R−r)、相切(外切：d=R+r或内切：d=R−r)、相交(R−r<d<R+r)．15.【答案】y=−x+1，(不唯一)【解析】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，∴k<0，可设k=−1，∵过点(0,1)，∴设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将k=−1，(0,1)代入得b=1，∴y=−x+1，故答案为y=−x+1(答案不唯一，需满足k<0即可)．若函数为一次函数时，当x>0，y随x增大而减小，说明k<0，只要满足k<0的值即可，把(0,1)代入解析式可得函数解析式．本题考查函数解析式，解本题的关键是掌握一次函数的性质．16.【答案】部门3或部门5【解析】解：各分数人数比为5：2：1：1：1，即100分占总参与人数的55+2+1+1+1=12，80、70、60分占总参与人数的15+2+1+1+1=110，各分数人数为整数，即110×总参与人数=整数，∴总参与人数是10的倍数，6个部门有153人，即25+16+23+32+43+14=153人，则未参与部门人数个位一定为3，∴未参与的可能是3或5．各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数12，90分占总人数15，80、70、60分占总人数的110，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总有有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 17.【答案】解：|−√3|−(π+2021)0−2sin60°+(13)−2=√3−1−2×√32+9 =8．【解析】首先计算绝对值、零指数幂、特殊的三角函数和负整数指数幂，然后计算加减法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18.【答案】解：方程两边都乘(x +1)(x −1)，得：(x +1)+2x(x −1)=2(x +1)(x −1)，解得：x =3．检验：当x =3时，(x +1)(x −1)≠0．所以原方程的解是x=3．【解析】本题的最简公分母是(x+1)(x−1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．(3)分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．19.【答案】∠A=∠D【解析】解：补充条件：∠A=∠D．证明过程：∵AF=DC．∴AF+FC=DC+CF.即：AC=DF．在△ABC与△DEF中，{AB=DE ∠A=∠D AC=DF．∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴BC=EF．故答案为：∠A=∠D．根据全等三角形的判定和性质，即可补充条件．本题考查三角形的全等的判定和性质，关键在于熟悉全等三角形判定的条件．20.【答案】解：原式=2x+y(x−y)2⋅(x−y)=2x+yx−y，∵x−2y=0，∴x=2y，∴原式=4y+y2y−y=5．【解析】先把分式的分子因式分解得到原式=2x+y(x−y)2⋅(x−y)，约分后得2x+yx−y，然后把x=2y代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入(或整体代入)进行计算即可．21.【答案】四边形ABCP为菱形四边相等的四边形为菱形【解析】解：(1)如图：(2)证明：连接PA、PB、BC，由①可得，PA=PB，由②可得，PC=BC=PA，∴PC=BC=PA=AB，∴四边形ABCP为菱形(四边相等的四边形为菱形)，∴PC//l，故答案为：(1)作图见解答；(2)四边形ABCP为菱形，(填依据：四边相等的四边形为菱形)．(1)根据要求作出图即可；(2)根据四边相等的四边形是菱形即可判断．本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AE//BC，BE//AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．∴四边形ADBE为矩形．(2)∵在矩形ADBE中，AO=52，∴DE=AB=5，∵D是BC的中点，∴AE=DB=4，∴AB=2AO=5，∵∠ADB=90°，根据勾股定理AD=√AB2−DB2=3，∴S△ABC=12×BC×AD=12×8×3=12，∴S△ABE=12×AE×BE=12×4×3=6，∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=12+6=18，即S四边形AEBC为18．【解析】(1)只要证明四边形DBE是平行四边形，且∠ADB=90°，即可；(2)求BD、AB，利用三角形面积公式可得S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE．本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象过点P(2,2)．∴2=k2，解得k=4；(2)作图可知，当S△MNQ=12时，可得a=3，当S△MNQ=2时，可得a=0，综上所述0<a≤3．【解析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)当S△MNQ=1时，则MQ=NQ=1，则N的横坐标为1，即N(1,4)；当S△MNQ=2时，2则MQ=NQ=2，，则N的横坐标为2，即N(2,2)，据此即可得出a的取值范围．本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵直线AC是⊙O的切线，∴∠OCA=90°，∵OD//AC，∴∠DOC+∠OCA=180°，∴∠DOC=90°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=45°，∵∠ACD=∠ACO−∠OCD=45°；(2)作DE⊥BC于点E．∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2√2，∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°，∴∠DEC=90°，∴DE=√2，∵∠B=45°，∴DB=2．【解析】(1)由切线的性质可得∠OCA=90°，由等腰三角形的性质可求解；(2)由等腰直角三角形的性质可求DC，由直角三角形的性质可求DE，即可求解．本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】初二初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识【解析】解：(1)m=(82+84)÷2=83；(2)在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二．理由如下：初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；故答案为：初二，初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；=192(人)．(3)解：400×2450(1)将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；(2)在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二，因为初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；(3)从样本中可得初一年级学生竞赛成绩超过85的人数是6+18=24，然后用样本去估计总体即可．本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数，方差，解决本题的关键是掌握以上知识．26.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2−bx+3的对称轴为直线x=2，∴2=−−b 2，∴b =4；(2)①∵b =4，∴抛物线的表达式为y =x 2−4x +3，∵直线AB ⊥y 轴，∴AB//x 轴，∵x 2−x 1=3，∴AB =3．∵对称轴为直线x =2，∴点A 的横坐标为12，点B 的横坐标为72，∴当x =12时，y =n =54．②如图，∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴顶点坐标为(2,−1)，当y =n =4时，0≤x ≤5时，−1≤y ≤4；当y =n =2时，0≤x ≤5时，−4≤y ≤2；∴n 的取值范围为2≤n ≤4．【解析】(1)由对称轴为直线x =−−b2=2，可求b 的值；(2)①由题意可得AB =3，由对称性可求点A ，点B 横坐标，代入解析式可求解； ②先求出顶点坐标，由图象和x ，y 的取值范围，可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，图形的翻折变换等知识，利用数形结合思想解决问题是解决本题的关键．27.【答案】解：(1)依题意补全图形，如图所示；(2)证明：过B作BE⊥AM，BF⊥AN，垂足分别为E，F，则BE=BF．∵∠MAN=∠CBD=90°，∴∠ACB+∠ADB=180°．∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠BCE=∠ADB．∵BE⊥AM，BF⊥AN，∴∠BEC=∠BFD=90°，∴△BEC≌△BFD(AAS)．∴BC=BD．(3)AC+AD=√2AB，证明：如图，过B作BG⊥AB交AN于点G．∵BG⊥AB∴∠ABG=90°．∴∠ABG=∠CBD=90°，∴∠ABC=∠GBD．∵∠ACB+∠ABD=180°，∠ABD+∠GDB=180°，∴∠ACB=∠GDB．∵BC=BD，∴△ABC≌△GBD．∴AB=BG，AC=DG．∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等，∴∠BAG=1∠MAN=45°，2∴AG=√2AB，∴AC+AD=√2AB．【解析】(1)根据题意补全图形即可；(2)证明线段相等，通常证明这两条线段所在的三角形全等，根据AAS证明△BEC≌△BFD即可；(3)过B作BG⊥AB交AN于点G，证明△ABC≌△GBD就可以把AC转移到DG，AC+ AD=AG，而△ABG是等腰直角三角形，即可得出答案．本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是利用三角形全等证明线段相等．28.【答案】P2，P3【解析】解：(1)如图，P2、P3是△ABC关于∠BAC的“劲度点”，P2A，P3A的长度是为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．故答案为：P2，P3．(2)①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P 过点N，线段OP的长度是△MON关于∠MON的“劲度距离”最大值，∵OE的函数表达式为y=x，PF的函数表达式为x=2∴可得其交点坐标为P(2,2)．∴d1=OP=2√2．②当t>0时，△MON关于∠MON的“劲度距离”=√2时，此时OP=√2，P(1,1)，点P在线段OM′的垂直平分线上，∴M′O=2，∴M′(0,2)观察图象可知，t≥2时，符合题意．同理当t<0时，同法可得，t≤−2时，符合题意综上所述，满足条件的t的值为：t≥2或t≤−2．(1)根据“劲度点”，“劲度距离”的定义判断即可．(2)①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P 过点N，线段OP的长度是△MON关于∠MON的“劲度距离”最大值，求出OP即可．②当t>0时，△MON关于∠MON的“劲度距离”=√2时，求得M′(0,2)，观察图象可知，t≥2符合题意．t<0时，同法可求．本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的角平分线，点P称为△ABC 关于∠BAC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置结合图象解决问题，属于中考压轴题．。

2021年北京市昌平区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．自2021年1月1日起，全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作．昌平设置46个疫苗接种点位，共配备医务人员1200多名．截至3月28日18时，昌平区累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，整体接种秩序井然．将1015000用科学记数法表示应为（）A．10.15×106B．1.015×106C．0.1015×107D．1.015×107 2．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．3．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．圆C．正方形D．正六边形4．实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞05．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．66．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（）A．（6，2）B．（6，4）C．（4，4）D．（8，4）7．疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（）A．B．C．D．8．世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）两种，它们之间的换算关系如表所示：摄氏（单位℃）…0123456…华氏（单位℉）…3233.835.637.439.24142.8…那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（）A．32B．﹣20C．﹣40D．40二、填空题（本题共16分，每小题2分9．代数式有意义时，x应满足的条件是．10．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝．11．写出一个比小的正整数是．12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．13．方程组的解为．14．今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级1班、2班各选派了6名学生参赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析：1班6570707075822班557070758082请问：，s12s22．（填“＞”“＝”或“＜”）15．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：．16．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子．例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．计算：﹣（）﹣1+|﹣2|﹣4sin45°．18．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．19．已知x2+x﹣1＝0，求代数式（3x+1）2﹣x（x﹣2）的值．20．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如图，①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．所以∠ADC即为所求的角．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，∴OD＝（），∴∠AOB＝（），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．22．如图，矩形ABCD，延长AD至点F，使DF＝AD，连接AC，CF，过点A作AE∥CF 交CD的延长线于点E，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，tan∠ACB ＝时，求BE的长．23．为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表：50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100成绩x学校甲4159102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79．c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是；（3）假设甲校200名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前100名的学生都可以被评为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到分可以获得此荣誉称号．24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．25．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O切线；（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0）和点B．（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）分别过点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m﹣n的最小值；②若存在实数t，使得m﹣n＝2，直接写出a的取值范围．27．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d （M，N）＝0．已知点A（﹣2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，m）．（1）①求d（点O，线段AB）；②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；（3）若直线y＝x+b上存在点E，使d（E，△ABC）＝1，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．自2021年1月1日起，全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作．昌平设置46个疫苗接种点位，共配备医务人员1200多名．截至3月28日18时，昌平区累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，整体接种秩序井然．将1015000用科学记数法表示应为（）A．10.15×106B．1.015×106C．0.1015×107D．1.015×107解：将1015000用科学记数法表示为：1.015×106．故选：B．2．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．故选：D．3．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．圆C．正方形D．正六边形解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项符合题意；B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意；C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意；D、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：A．4．实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞0解：由实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d﹣a＞0，因此选项D正确，故选：D．5．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．6解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：B．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（）A．（6，2）B．（6，4）C．（4，4）D．（8，4）解：∵正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，正方形BEFG的边长为12，∴BC∥EF，＝，BC＝4，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，即＝，解得，OB＝6，∴点C的坐标为（6，4），故选：B．7．疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为＝，故选：C．8．世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）两种，它们之间的换算关系如表所示：摄氏（单位℃）…0123456…华氏（单位℉）…3233.835.637.439.24142.8…那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（）A．32B．﹣20C．﹣40D．40解：设华氏度y与摄氏度x的函数关系式是y＝kx+b，，解得：，即y与x的函数关系式是y＝x+32；令y＝x，则x＝x+32，解得，x＝﹣40，即当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是﹣40度．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分9．代数式有意义时，x应满足的条件是x≥2．解：由题意，得2x﹣4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．10．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝60°．解：∵∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，∴∠BFE＝∠FAE+∠E＝15°+45°＝60°，故答案为：60°．11．写出一个比小的正整数是2．解：∵4＜8＜9，∴2＜＜3，∴写出一个比小的正整数是2．故答案为：2（答案不唯一）．12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC＝S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝．13．方程组的解为．【分析】①+②得出3x＝6，求出x把x＝2代入②求出y即可．解：，①+②，得3x＝6，解得：x＝2，把x＝2代入②，得2﹣y＝2，解得：y＝0，所以方程组的解是，故答案为：．14．今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级1班、2班各选派了6名学生参赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析：1班6570707075822班557070758082请问：＝，s12＜s22．（填“＞”“＝”或“＜”）解：∵＝＝72，＝＝72，∴s12＝×[（65﹣72）2+3×（70+72）2+（75﹣72）2+（82﹣72）2]＝，s22＝×[（55﹣72）2+2×（70+72）2+（75﹣72）2+（82﹣72）2+（80﹣72）2]＝，∴＝，s12＜s22．故答案为：＝，＜．15．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：y＝2x2﹣16x﹣34（答案不唯一）．解：设抛物线y＝ax2+bx+c，对称轴x＝﹣＝4，顶点到x轴的距离为2，即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a2+4b+c＝±2，∵﹣＝4，即：2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，2b+c＝2时则设a＝2，2b+c＝﹣2时，则，故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．故答案为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．答案不唯一．16．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子．例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：①③．解：由题目知每次碰撞都会减少一个粒子，现在共有15颗粒子，碰撞14次后只剩1颗粒子，（1）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一个，题目中开始有8颗乙粒子，14次碰撞之后剩余的乙粒子也是偶数不可能是1个；（2）每次碰撞之后，甲，丙粒子的总数不变或者减少两个，题目中甲和丙粒子之和为11个，无论碰撞多少次甲和丙都没有了是不可能的，综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能是乙，故答案为：①③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．计算：﹣（）﹣1+|﹣2|﹣4sin45°．解：原式＝2﹣2+2﹣4×＝2﹣2+2﹣2＝0．18．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：解不等式4x﹣6＜2x，得：x＜3，解不等式＞，得：x＞，则不等式组的解集为＜x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：19．已知x2+x﹣1＝0，求代数式（3x+1）2﹣x（x﹣2）的值．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．解：（3x+1）2﹣x（x﹣2）＝9x2+6x+1﹣x2+2x＝8x2+8x+1，∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴原式＝8（x2+x）+1＝9．20．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如图，①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．所以∠ADC即为所求的角．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），∴∠AOB＝DCO（等边对等角），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．解：（1）如图，∠ADC即为所求作：（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），∴∠O＝∠DCO（等边对等角），∵∠ADC＝∠O+∠DCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和），∴∠ADC＝2∠AOB，故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可．（2）根据（1）中a的取值范围，任取一a的值，然后解方程即可．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．∴△＝42﹣4×1×a＞0，解得a＜4．（2）由（1）知，实数a的取值范围为a＜4，故取a＝3，则x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得，x1＝3，x2＝1．22．如图，矩形ABCD，延长AD至点F，使DF＝AD，连接AC，CF，过点A作AE∥CF 交CD的延长线于点E，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，tan∠ACB＝时，求BE的长．【分析】（1）利用矩形的性质证得AF⊥CE，利用垂直平分线的性质证得AE＝EF，AC ＝CF，进而证得AE＝EF＝AC＝CF，可求证；（2）利用（1）可求得CE＝4，利用三角函数求得BC，进而利用勾股定理可求得．解：（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥CE，∵DF＝AD，∴AE＝EF，AC＝CF，∴∠AED＝∠FED，∵AE∥CF，∴∠AED＝∠ECF，∴∠FED＝∠ECF，∴EF＝CF，∴AE＝EF＝AC＝CF，∴四边形ACFE是菱形；（2）解：如图，∵矩形ABCD，∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB＝2，由（1）知四边形ACFE是菱形，∴CD＝DE＝2，∴EC＝4，∵AB＝2，tan∠ACB ＝，∴BC＝4，∴BE ＝＝4．23．为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表：50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100成绩x学校甲4159102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79．c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是60；（3）假设甲校200名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前100名的学生都可以被评为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到70分可以获得此荣誉称号．【分析】（1）根据中位数的意义求解即可；（2）求出乙校优秀学生占调查人数的百分比即可；（3）根据中位数的意义进行判断即可．解：（1）甲校40名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数，即第20、第21位的两个数都是70，因此中位数是70，即n＝70；（2）200×＝60（人），故答案为：60；（3）由甲校学生成绩的中位数是70分，即一半学生在70分以上，一半学生在70分以下，200名学生中的前100名，即一半获奖，因此至少要在70分，故答案为：70．24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．【分析】（1）先将点A坐标代入y＝﹣x﹣2中可求出a＝2，然后把A点坐标代入反比例函数y＝中可确定k的值；（2）利用一次函数解析式可确定B点坐标，设C（0，t），利用三角形面积公式得到×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，然后求出t可得到C点坐标．解：（1）将点A（a，﹣4）的坐标代入y＝﹣x﹣2中，得﹣4＝﹣a﹣2，解得a＝2；∴点A（2，﹣4），将点A（2，﹣4）的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣8；答：a，k的值为2，﹣8；（2）当y＝0，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0）．设P（0，t），∵S△ABC＝5，∴×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，即|t+2|＝，∴t＝﹣或﹣，∴C（0，﹣）或P（0，﹣）．25．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O切线；（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．【分析】（1）连接CO，BD与AC交于点K，由垂径定理得出OC⊥BD，由平行线的性质得出OC⊥CE，则可得出结论；（2）证明△BOC为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBO＝∠BCO＝60°，求出CK＝CH＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）证明：连接CO，BD与AC交于点K，∵＝，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE为⊙O切线；（2）解：在Rt△CEO中，∠E＝30°，∴∠EOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠CBO＝∠BCO＝60°，∵BD⊥OC，CF⊥OB，∴∠CBD＝∠OCF＝∠BCE＝30°，∴∠CKH＝∠CHK＝∠KCH＝60°，BC＝BE，∴CK＝CH＝6，在Rt△BCK中，tan∠CBK＝tan30°＝，∴BC＝BE＝6．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0）和点B．（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）分别过点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m﹣n的最小值；②若存在实数t，使得m﹣n＝2，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据A点的坐标代入函数可以得出系数关系式，根据对称轴公式可求出对称轴，再根据对称性求出B点坐标；（2）①当a＝2时，根据函数解析式可以求出顶点坐标，根据给出的P、Q点坐标可以确定t值，即进一步确定G的图像，即可求出m﹣n最小值；②分a＞0和a＜0两大情况，再每种情况下按t的取值范围分两小类，分别讨论a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0），∴0＝a+b+3a，即b＝﹣4a，∴对称轴为直线x＝﹣＝2，∵B点是函数图象与x轴的另一交点，根据对称性可得，B（3，0）；（2）①当a＝2时，函数解析式为y＝2x2﹣8x+6（a≠0），图像如右图，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），∵图象G为函数图象的一部分，P（t，0）Q（t+2，0），∴2﹣t＝t+2﹣2，∴t＝1，∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，∴M（1，0），N（3，0），∵顶点坐标为（2，﹣2），∴m﹣n的最大值为0﹣（﹣2）＝2；②∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，由（1）知b＝﹣4a，∴M（t，at2﹣4at+3a），N（t+2，a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a），又∵抛物线对称轴为2，顶点坐标为（2，﹣2），∴根据M、N点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a的取值：（Ⅰ）当a＞0，且t≤0时，即图象G在对称轴左侧时，此时M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，∴at2﹣4at+3a﹣[a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a]＝2，解得t＝1﹣，又∵t≤0，a＞0，∴1﹣≤0且a＞0，∴0＜a≤1，（Ⅱ）当a＞0，且t≥2时，即图象G在对称轴右侧时，此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（at2﹣4at+3a）＝2，解得t＝﹣1，又∵t≥2，a＞0，∴﹣1≥2且a＞0，∴0＜a≤，（Ⅲ）当a＜0，且t≤0时，即图象G在对称轴左侧时，此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（at2﹣4at+3a）＝2，解得t＝﹣1，又∵t≥2，a＜0，∴﹣1≥2且a＜0，∴a＜0，（Ⅳ）当a＜0，且t≥2时，即图象G在对称轴右侧时，此时M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，∴at2﹣4at+3a﹣[a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a]＝2，解得t＝1﹣，又∵t≤0，a＜0，∴1﹣≤0且a＜0，∴a≤﹣1，综上，a的取值范围为a＜0或0＜a≤1．27．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得AGC+∠CAG＝45°，再证∠CAG ＝∠DAF＝α，即可求解；（3）过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，则△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再证△ADE∽△HGA，得＝，得出m＝b，即可得出结论．解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠AGC+∠CAG＝∠ACB＝45°，∵∠AF⊥DE，∴∠AFE＝90°＝∠DAE，∴∠AED+∠EAF＝∠DAF+∠EAF＝90°，∴∠DAF＝∠AED＝α，∴∠CAG＝∠DAF＝α，∴∠AGC＝45°﹣α；（3）CG＝AD，证明思路如下：过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，如图2所示：则∠GHA＝90°＝∠DAE，△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，由（2）可知，∠AED＝∠HAG，则△ADE∽△HGA，得＝，即＝，整理得：am+bm＝ab+bm，则m＝b，故CG＝m＝b＝AD．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d （M，N）＝0．已知点A（﹣2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，m）．（1）①求d（点O，线段AB）；②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；（3）若直线y＝x+b上存在点E，使d（E，△ABC）＝1，直接写出b的取值范围．【分析】（1）①如图1中，过点O作OH⊥AB于H．解直角三角形求出OH，可得结论．②如图2中，过点D作DF⊥AB于F．由d（线段CD，直线AB）＝1，推出DF＝1，求出点D的坐标可得结论．（2）求出两种特殊位置r的值即可判断．如图3中，当⊙O与直线AB相离时，d（⊙O，线段AB）＝1时，r＝﹣1．当线段AB在⊙O内部时，设⊙O与y轴交于W，当d（⊙O，线段AB）＝1时，W（0，2+1），此时r＝2+1，由此可得结论．（3）分两种情形：如图4中，当直线y＝x+b在直线AB的上方时，设直线y＝x+b 交x轴于P，过点A作AM⊥直线y＝x+b于M．当直线y＝x+b在直线AB的下方时，设直线y＝x+b交x轴于Q，过点C作CN⊥直线y＝x+b于N．分别求出AM ＝CN＝1时b的值，可得结论．解：（1）①如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∵∠OHB＝90°，∴OH＝OB＝，∴d（点O，线段AB）＝．②如图2中，过点D作DF⊥AB于F．∵d（线段CD，直线AB）＝1，∴DF＝1，∵∠DBF＝30°，∠DFB＝90°，∴BD＝2DF＝2，∴OD＝2﹣2，∴D（0，2﹣2），∴m＝2﹣2．（2）如图3中，当⊙O与直线AB相离时，d（⊙O，线段AB）＝1时，r＝﹣1．当线段AB在⊙O内部时，设⊙O与y轴交于W，当d（⊙O，线段AB）＝1时，W（0，2+1），此时r＝2+1，观察图象可知，满足条件的r的值为﹣1≤r≤2+1．（3）如图4中，当直线y＝x+b在直线AB的上方时，设直线y＝x+b交x轴于P，过点A作AM⊥直线y＝x+b于M．∵∠APM＝∠BAC＝60°，∴AB∥PM，当使d（E，△ABC）＝1时，AM＝1，∴PA＝＝，∴P（﹣2﹣，0），把P点坐标代入y＝x+b，得到b＝2+2，当直线y＝x+b在直线AB的下方时，设直线y＝x+b交x轴于Q，过点C作CN⊥直线y＝x+b于N．同法可得Q（2+），把Q点坐标代入y＝x+b中，得到b＝﹣2﹣2，观察图象可知，满足条件的b的值为﹣2﹣2≤b≤2+2．。

2021-2022学年度初中数学北京地区中考模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．如图，ABC⊥，垂足为∆是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE AC=，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）E，延长BC到点Q，使CQ PAA．0.9 B C D．12．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E ＋27°，则∠ACB的度数为（）A．39°B．40°C．41°D．42°3．如图所示，直线AB、CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，－4，6，－8，10，－12，…．那么标记为“－2020”的点在（）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上4．在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第n 个“100”字样的棋子个数是（ ）A ．11nB ．10n +C ．56n +D ．65n +5．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB ·CF ；③CF ＝13CD ；④△ABE ∽△AEF ．正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于C 点，交弧AB 于D 点，测出AB ，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB ＝40cm ，CD ＝10cm ，则轮子的半径为（ ）A ．50cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm7．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且22BE AE DF CF ==，，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则EHFGABCDS S 四边形菱形的值为（ ）A ．12B ．16C ．13D ．198．已知方程组23x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为2x y =⎧⎨=⎩，则、对应的值分别为（ ）A ．1，2B ．1，5C ．5，1D ．2，49．函数y 211=+2x的图象如图所示，若点P 1（x 1，y 1），P （x 2，y 2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A ．x 1≠0，x 2≠0B ．y 112＞，y 212＞C ．若y 1＝y 2，则|x 1|＝|x 2|D ．若y 1＜y 2，则x 1＜x 210．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣4，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BD 平分∠ABC ，如果点M ，N 分别为BD ，BC 上的动点，那么CM +MN 的最小值是 ___．12．如图三角形ABC 的顶点坐标如下：点A （2，2），B （1，1），C （5，1），若三角形DBC 与三角形ABC 全等，写出符合条件的点D 的坐标：___．13．如果n x y =，那么我们规定(),x y n =．例如：因为239=，所以()3,92=．根据上述规定，()2,8=_______，若(),16m p =，(),5m q =，(),m t r =，且满足p q r +=，则t =______．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC ＝3，DE ＝1，则线段BD 的长为 ___．15．方程x 2＝x 的解为 ___．三、解答题16．在菱形ABCD 中，∠ADC =120°，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，∠DEC =50°，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50°并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：EG=BC ；17．若m 是方程210x x -＋＝的一个根，求代数式3222021m m ＋＋的值．18．如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．19．如图，在△ABC 中，,AB AC BAC α∠=＝，点D 在BC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ． （1）按要求作出图形；（2）若α＝90°，用等式表示线段DC DB DE ,,大小关系，并证明；（3）若α＝120°，AB ＝M 为BC 的中点，求ME 的最小值．20．某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元． （1）连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．（2）这种水果每月的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系：y ＝－10x ＋200，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ 21．（1）有一列数1017263750,,,,,...,512213245---则这列数的第九个数为 ，第n 个数为 ．（2）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数， 例{52}＝ 3，{5}＝6，{−1.3}＝−1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如72⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3，[4]＝4，[−1.5]＝−2，如果整数x 满足关系式{}[]2312x x +=，求x 的值并说明理由．22．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB AC =，P 、Q 分别是边AC ，AB 上的点，且AP PQ QC BC ===．求PCQ ∠的度数．23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足． （1）当直线l 不与底边AB 相交时， ①求证：∠EAC ＝∠BCF ．②猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）参考答案1．D 【分析】过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ，则可证△APF 是等边三角形，得到PF =AP =CQ ，然后证明△PFD ≌△QCD 得到FD =CD ，由PE ⊥AC ，可得AE =EF ，再根据()11112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+=求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =60°， ∵PF ∥BC ，∴∠APF =∠B =60°，∠FPD =∠Q ， ∴△APF 是等边三角形， ∴PF =AP =CQ ， 在△PFD 和△QCD 中，==FPD QFDP CDQ PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△PFD ≌△QCD （AAS ）， ∴FD =CD ， ∵PE ⊥AC ， ∴AE =EF ， ∴()111112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+==， 故选D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 2．D 【分析】设ABC α∠=，根据180ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出,ABC BAC ∠∠即可． 【详解】解：设ABC α∠=，则102102BAC ABC α∠=∠+︒=+︒，18078CAG BAD BAC α∴∠=∠=︒-∠=︒-， 180180ABF ABC α∠=︒-∠=︒-，2102ACE ABC BAC α∠=∠+∠=+︒，BD ，AE 分别是△ABC 的外角∠ABF ，∠CAG 的角平分线， 119022ABD ABF α∴∠=∠=︒-，113922CAE CAG α∠=∠=︒-，180D BAD ABD ∴∠=︒-∠-∠,13180(78)(90)1222ααα=︒-︒--︒-=︒+，180E CAE ACE ∠=︒-∠-∠，1180(39)(2102)2αα=︒-︒--+︒，3392α=︒-，27D E ∠=∠+︒，3312392722αα∴︒+=︒-+︒，354α=︒，18α=︒， 18ABC ∴∠=︒，18102120BAC ∠=︒+︒=︒， 1801201842ACB ∠=︒-︒-︒=︒,故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．3．C【分析】根据图形的变化，每四条射线为一组，从OC开始，用2020除以4等于505，即可得出结论．【详解】解：解：观察图形的变化可知：奇数项：2、6、10、14…4n−2（n为正整数）；偶数项：−4、−8、−12、−16…−4n．∵−2020是偶数项，∴−4n＝−2020，∴n＝505．∵每四条射线为一组，OC为始边，∴505÷4＝126…1．∴标记为“−2020”的点在射线OC上．故选：C．【点睛】本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．4．C【分析】根据图形可知:+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216+⨯=++⨯⨯=,第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯=,第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226由此规律可得出答案．【详解】+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯= , 第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226+⨯=++⨯⨯= , ⋯⋯第n 个“100”字中的棋子个数是22(n 1)256n n +++⨯=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,解题的关键是通过总结与归纳,得到其中的规律． 5．B 【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：ABE ECF ∽△△，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABE AEF ∽△△，则可证得④正确． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠AEB ＋∠FEC ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF ， ∴ABE ECF ∽△△， ∴AB BE CE CF =，即AB CECE CF=， ∴2CE AB CF =，故②正确； ∵E 是BC 的中点， ∴12BE CE AB ==， ∴1tan 2BE BAE AB ∠==， ∴30BAE ∠≠︒，故①错误；∴22111244AB CE CF AB CD AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭====，故③错误； 设CF ＝a ，则BE ＝CE ＝2a ，AB ＝CD ＝AD ＝4a ，DF ＝3a ，∴AE =，EF =，AF ＝5a ，∴AE AF =BE EF = ∴AE BE AF EF=， ∴ABE AEF ∽△△，故④正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．6．C【分析】由垂径定理可得出BC 的长，连接OB ，在Rt OBC △中，可用半径OB 表示出OC 的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．【详解】解：如图，设圆心为点O ，连接OB ，∵⊥OD AB ，AB ＝40cm ， ∴120cm 2BC AB ==，90OCB ∠=︒， ∵CD ＝10cm ，∴10OC OD CD OB =-=-，∵在Rt OBC △中，222OC BC OB +=，∴222(10)20OB OB -+=，解得：25OB =cm ，∴轮子的半径为25cm ．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．D【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ， ∴12AE BE =，12CF DF =， ∵G 、H 分别是AC 的三等分点， ∴12AG GC =，12CH AH =， ∴AE AG BE GC=， ∴EG ∥BC ， ∴13EG AE BC AB ==， 同理可得HF ∥AD ，13HF AD =， ∴四边形EHGF 为平行四边形，由题意，AEG HEG SS =， ∵13EG AE BC AB ==， ∴19AEG HEG ABC S S S ==，根据平行四边形和菱形的性质可得：2129EHFGHEG ABC ABCD S S S S ==四边形菱形， 故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线分线段成比例定理等，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．8．C【分析】把x =2代入方程组的第二个方程即可求得y 即的值，再将x 和y 的值代入第一个方程即可求得． 【详解】解：将x =2代入3x y +=得y =1，所以=1再将21x y =⎧⎨=⎩代入2x y +=， 得=5，故选：C ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．9．D【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．【详解】解：由图象可知，x ≠0，∴10x ≠，20x ≠，故选项A 正确；∵x ≠0，∴x 2＞0，∴21x ＞0，∴211122y x =+>， 112y ∴>，212y >，故选项B 正确； 函数的图象关于y 轴对称，∴若12y y =，则12||||x x =，故选项C 正确；根据函数的增减性可得：当0x <时，若12y y <，则12x x <；当0x >时，若12y y <，则12x x >，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．10．C【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，分类讨论即可，0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，则0a >，进而根据当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，将4x =代入解析式即可求得a 的值．【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，当0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，当0a >时，对称轴为1x =，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小,由二次函数的对称性可知当1x =-时，y 的值和3x =时的值相等，当14x ≤≤时，y 随x 的增大而增大,4x ∴=时，()24145a --=，解得1a =, 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式2()y a x h k =-+的图象与性质是解题的关键． 11．4.8【分析】先作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N ，再根据角平分线的性质得出ME MN =，从而得出CM MN CE +=，再求出CE 的长即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N∵BD 平分ABC ∠，CE ⊥AB ，MN ⊥BC∴ME MN =∴CM MN CM ME CE +=+=∵90ACB ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，10AB ＝ ∴1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅ ∴11681022CE ⨯⨯=⨯⨯ ∴ 4.8CE =∴ 4.8CM MN +=【点睛】本题主要考查了最短路径问题，以及角平分线的性质，解决此题的关键是找到CM MN +最小时动点M ，N 的位置．12．（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【分析】依据以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，可知两个三角形有公共边BC ，运用对称性即可得出所有符合条件的点D 坐标．【详解】解：如图所示，当△BCD 与△BCA 关于BC 对称时，点D 坐标为（2，0），当△BCA 与△CBD 关于BC 的中点对称时，点D 坐标为（ 4，0），△BCA 与△CBD 关于BC 的中垂线对称时，点D 坐标为（4，1），当D 与A 重合时，点D 坐标为（2，2），故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．．13．3 80【分析】由328=，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得p q r m ,m ,m t ===165，根据同底数幂的运算及已知p +q =r ，即可求得t 的值．【详解】∵328=∴(2，8)=3故答案为：3；由规定得：p q r m ,m ,m t ===165∴p+q m =⨯=16580∵p +q =r∴r m =80∴t =80故答案为：80【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．14．【分析】由旋转的性质可得90DAB ︒∠=、E ABC A ∆≅∆D ，再根据全等三角形的性质、勾股定理可求得AD AB ==Rt ABD ∆即可得解．【详解】解：∵将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ADE ∆∴90DAB ︒∠=，E ABC A ∆≅∆ D∴BC DE =，AC AE =，AB AD =， 90C E ︒∠=∠=∵3AC =，1DE =∴1BC DE ==∴在R ABC ∆中，AB∴AD AB ==∴在Rt ABD ∆中，BD =故答案是：【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．0x =或【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．16．（1）补全图形见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）连接BE ，根据已知条件和图形可以证明△GEB ≌△CBE ，得到答案；【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：（2）证明：连接BE ，如图2：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠ADC =120°，∴∠DCB =60°．∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA =12∠DCB =30°，又∠DEC =50°，∠EDC =100°，由菱形的对称性可知，∠EBC =100°，∠BEC =50°，则∠GEB =100°，∴∠GEB =∠CBE ．∵∠FBC =50°，∴∠GBE =50°，∴∠EBG =∠BEC ．在△GEB 与△CBE 中， GEB CBE BE EBEBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．∴EG=BC ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答． 17．2022【分析】根据m 是方程210x x -＋＝的一个根，可得21m m +=，然后将3222021m m ＋＋变形代入计算即可．【详解】解：根据题意，得210m m +-=，则21m m +=，即()11m m +=，则()322220212021m m m m m m ++=+++()12021120212022m m =++=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键． 18．水面下降1米，此时水面宽度为.【分析】如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，再根据坐标系得到2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解当1y =-时，自变量的值，从而可得答案.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，结合题意可得：4,2,AB CD2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，设抛物线为：2+2,y ax42,a1,2a ∴=- 所以抛物线的解析式为：21+2,2y x 当水面高度下降1米时，即1,y =-2121,2x26,x解得：12x x =626，答：水面下降1米，此时水面宽度为.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的按照要求建立平面直角坐标系，并求解二次函数的解析式是解本题的关键.19．（1）见解析；（2）222DC DB DE +=，见解析；（3【分析】（1）按要求画出图形即可；（2）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆从而推出45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =，由勾股定理可知222EB DB DE +=，所以可知222DC DB DE +=；（3）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆推出30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒可知点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒当M 为BC 中点，BM =3，由垂线段最短可知MH BE ⊥,MH =即ME 【详解】.(1)如图，（2)222DC DB DE +=证明：∵90CAB DAE ∠=∠=︒，∴BAE CAD ∠=∠∵DA =EA ,CA =BA∴45C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =∴90EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴222EB DB DE +=∴222DC DB DE +=(3) ∵120CAB DAE ∠=∠=︒，AB =∴BAE CAD ∠=∠，6BC =∵DA =EA ,CA =AB∴30C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒∵M 为BC 中点，BM =3，做MH BE ⊥,MH =即当ME BE ⊥时，ME【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20．（1）10%；（2）15元【分析】（1）设每次下降的百分率为x ，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）设利润为W ，根据题意列出W 关于x 的函数关系式，再求出该函数的对称轴即可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x ．根据题意得：()220116.2x -=解得：1 1.9x =（舍去），20.110%x ==答：每次下降的百分率为10%．（2）设利润为W ，则()()1010200W x x =--+2103002000x x =-+-()21015250x =--+∴当15x =元时，利润最大为250元．答：当销售单价为15元时，每月可获得最大利润．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，以及二次函数的实际运用，熟练运用方程的思维解决实际问题和二次函数的实际运用是解答本题的关键．21．（1）122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+-；（2）x =2，见解析 【分析】（1）观察数据发现分子是()221n ++，分母比分子小5，奇数的位置为负，偶数的位置为正，即可得出答案；（2）根据题意知{}[]1x x =+，化简{}[]2312x x +=，求得[x]=2，即可得出答案．【详解】解：（1）有一列数1017263750, , , , ,...512213245---， ∵分子是()221n ++，分母比分子小5，即()224n +-，奇数的位置为负，偶数的位置为正，∴这列数的第九个数为：()()22921122117924++-=-+-， 第n 个数为：22(2)1(1)(2)4nn n ++-+-， 故答案为：122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+- (2) 解：由题意知：{}[]1x x =+∵{}[]2312x x +=∴2（[x]+1）+3[x]=125[x]=10[x]=2又x 为整数，所以x =2．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字的运算规律与符号排列的规律，利用规律解决问题． 22．3607PCQ ︒∠=【分析】设∠A =x ，则∠QPC =∠QCP =2x ，∠BQC =3x ，由QC =BC 得出∠QBC =3x ，∠QCB =x ，根据三角形内角和定理得出x 的角度，即可得出答案．【详解】解：设∠A =x ，则∠QPC =2x ，∵PQ =QC∴∠QCP =∠QPC =2x ，∴∠BQC =∠A +∠QCP =3x∵QC =BC∴∠QBC =∠BQC =3x ，∵AC =AB∴∠ACB =∠ABC =3x∴∠BCQ =x∵∠BQC +∠QBC +∠BCQ =180︒∴33180x x x ++=︒ ∴1807x ︒= ∴180360277PCQ ︒︒∠=⨯= 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出∠BQC =3x ．23．（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，CE ＝BF ，∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ，∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时，如图②，∵∠ACB ＝90°，BF ⊥l 直线，同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角），又∵AC ＝BC ，BE ⊥l 直线，即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，BF ＝CE ，∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ，∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．。

2021年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱锥C．三棱柱D．正方体2．（2分）2021年2月27日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”cm，象征地球与月亮的平均间距约384400km．将384400用科学记数法表示应为（）×104×105×104×1063．（2分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（）A．a﹣b＞0B．ab＞0C．b＞﹣a D．a＜2b5．（2分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．86．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D 位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（）A．25°B．35°C．55°D．70°7．（2分）春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（）风速v（单位：km/h）010203040风寒温度T（单位：℃）531﹣1﹣3A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如果分式的值为0，那么x的值为．10．（2分）将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB∥DF，则∠1＝°．11．（2分）比大的整数中，最小的是．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．（2分）已知方程组，则x+y的值为．14．（2分）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．关于这个产品销售情况有以下说法：①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是．15．（2分）将二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是．16．（2分）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是．三、解答题（本题共68分，第17～21题，毎小题5分，第22题6分，第23题5分，第24～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。

将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。

若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。

2021年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．下列各数中，小于的正整数是（）A．﹣1B．0C．1D．22．在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（）A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定4．下列式子中，运算正确的是（）A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．a2+2a2＝3a25．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（）A．2πB．5πC．D．10π6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．57．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（）A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式有意义，则x的取值范围是．10．分解因式：mx2﹣9m＝．11．用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝．12．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是．13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于．15．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是．16．数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依据）．21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．（1）求BF：DF的值；（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，，求BE的长．25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．根据以上信息，回答问题：（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为本，比2019年多本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高%（结果保留整数）．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列各数中，小于的正整数是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】估算确定出的大小，判断即可．解：∵1＜2＜4，∴1＜＜2，则小于的正整数是1．故选：C．2．在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（）A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜2【分析】根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．解：A.2x＞2，不等式的两边同时除以2得：x＞1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；B．﹣2x＞﹣2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＜1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；C.2x＜﹣2，不等式的两边同时除以2得：x＜﹣1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；D．﹣2x＜2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＞﹣1，即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A 的位置．解：∵点A（1，），∴AO＝＝2，∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上，故选：A．4．下列式子中，运算正确的是（）A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．a2+2a2＝3a2【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，去括号法则以及合并同类项法则逐一判断即可．解：A．（1+x）2＝1+2x+x2，故本选项不合题意；B．a2⋅a4＝a6，故本选项不合题意；C．﹣（x﹣y）＝﹣x+y，故本选项不合题意；D．a2+2a2＝3a2，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（）A．2πB．5πC．D．10π【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝计算即可．解：∵ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴S扇形OAB＝＝5π，故选：B．6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5解：∵点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，∴联立方程得：，解得：或，∵点B在第一象限，∴B（2，2），∵点C的坐标为（6，﹣2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（2，2），C（6，﹣2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，∵直线BC交x轴于点D，∴令y＝0，即﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴点D横坐标是4，故选：C．7．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（）A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快解：由图可得：A、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；B、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；C、根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；D、1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．故选：C．8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：由甲的结论可知：对称轴是直线x＝1时，即﹣＝＝1时b＝2；由乙的结论可知：函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）时，c＝﹣3；若甲、乙正确，则y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝1时，y有最大值＝﹣1+2﹣3＝﹣2，当x＝3时，y＝﹣9+6﹣3＝﹣6，所以甲、乙中有一个错误，若丙正确，可知：函数的最大值为4时，＝4，即﹣4c﹣b2＝﹣16；若甲正确，则b＝2，此时﹣4c﹣b2＝﹣16，得c＝3，则y＝﹣x2+2x+3，当x＝3时，y＝﹣9+6+3＝0；所以丁正确，所以甲、丙、丁正确，乙错误．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式有意义，则x的取值范围是x≠1．解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．10．分解因式：mx2﹣9m＝m（x+3）（x﹣3）．解：原式＝m（x2﹣9）＝m（x+3）（x﹣3）．故答案为：m（x+3）（x﹣3）．11．用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝﹣1（答案不唯一）．解：当k＝﹣1时，一次函数为y＝﹣x+1，y随着x的增大而减小，∴命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，故答案为：﹣1（答案不唯一）．12．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是．解：含“红”字的主题卡片有“北大红楼”和“南湖红船”共2张，所以抽到含“红”字的主题卡片的概率是．故答案为：．13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是BC＝DF（答案不唯一）．解：添加BC＝DF．∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+BD，∴AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SSS），故答案为：BC＝DF（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于14．解：过点B作BM⊥x轴交于点M，如图，∵点A，B的坐标为（2，0），（5，4）∴OA＝2，AM＝5﹣2＝3，BM＝4，∴AB＝＝5，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC＝2，CO＝AB＝5，\∴OABC的周长等于2×2+5×2＝14，故答案为：14．15．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是（﹣1，1）或（1，1）．解：∵点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，∴点P的纵坐标y＝1．∴点P的坐标为（﹣1，1）或（1，1）．故答案为：（﹣1，1）或（1，1）．16．数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是①②③④．【分析】①利用垂径定理可以证明＝．②证明BC⊥OD，可得结论．③利用圆周角定理可得结论．④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如图2中，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∴＝．④如图4中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案为：①②③④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．【分析】根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．解：原式＝1+3+﹣＝+2．18．先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．解：原式＝﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣＝，当a﹣2＝0，即a＝2时，原式＝＝4．19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．【分析】设直线l交BD于点E，根据轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，从而根据SAS可判定△ABE≌△ADE，由全等三角形的性质得到AB＝AD，从而得到AD ＝AC，根据等腰对等角即可求解．【解答】证明：设直线l交BD于点E，∵点B与点D关于直线l对称，∴∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC．20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．解：（1）如图，射线CD即为所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有实数根”即可证出结论；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且x1＝，x2＝1，结合该方程的一个实数根大于1，可得出＞1，解之可得出0＜m＜1，任取其内的一值即可得出结论．【解答】（1）证明：∵a＝m，b＝﹣（m+1），c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×m×1＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴此方程总有实数根；（2）解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，∴（mx﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1．又∵该方程的一个实数根大于1，∴＞1，∴0＜m＜1，∴当m＝时，该方程的一个实数根大于1，此时方程的解为x1＝＝2，x2＝1．22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．（1）求BF：DF的值；（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．【分析】（1）根据菱形性质，可得△ABF∽△EDF，利用对应边成比例即可求解．（2）连接AC，利用已知，可得△ADE是直角三角形，即可求出∠ADC＝60°，利用面积法即可求出BD的长度．解：（1）在菱形ABCD中，AB∥CD．∴∠BAF＝∠DEF，∠ABF＝∠EDF．∴△ABF∽△EDF，∴．∵点E是CD的中点．∴．∴BF：DF＝1：2．（2）连接AC．∵AB＝2，∴AD＝2．．∵AE＝，∴AE2+DE2＝AD2．∴△ADE是直角三角形，∴AE⊥DC，∠ADC＝60°．∴△ADC是等边三角形．∴AC＝2．利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也可底乘高，可得：．∴BD＝．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法可求k，然后把B（1，m）代入即可求得m；（2）由图象可知，P点在x轴的上方、B点的下方或P点在A点的下方符合题意．解：（1）∵双曲线过点A（﹣3，﹣1），∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝3；（2）∵直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，3），且点Q位于点P的右侧，∴0＜n＜3或n＜﹣1．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，，求BE的长．【解答】证明：（1）连接OB，∵圆心O在AC上．∴AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵OA＝OB，∴∠CAB＝∠OBA，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＝∠OBA，∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，∴OB⊥BD，∵OB为半径，∴BD是⊙O的切线；（2）连接CF，∵AC是直径，∴∠AFC＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠AFC＝∠AED，∴CF∥DE，∴∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中，∵AF＝4，∴sin∠ACF＝，∴AC＝6，由勾股定理可得：CF＝，∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，∴四边形EFHB是矩形，∴BE＝FH，∵OH∥AF，OA＝OC，∴H为CF的中点，∴FH＝BE＝．25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．根据以上信息，回答问题：（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的25.2%；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为7.99本，比2019年多0.5本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，2012年至2013年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高34%（结果保留整数）．【解答】（1）1﹣74.8%＝25.2%，故答案为：25.2%；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量：4.70+3.29＝7.99（本），2019年，成年人的人均图书阅读量：4.65+2.84＝7.49（本），7.99﹣7.49＝0.5（本），故答案为：7.99，0.5；（3）2012年至2013年的增长率为：（6.97﹣5.49）÷5.49≈27%，2013年至2014年的增长率为：（8.45﹣6.97）÷6.97≈21%，2014年至2015年的增长率为：（7.19﹣8.45）÷8.45≈﹣18%，2015年至2016年的增长率为：（8.34﹣7.19）÷7.19≈16%，2016年至2017年的增长率为：（8.81﹣8.34）÷8.34≈6%，2017年至2018年的增长率为：（8.91﹣8.81）÷8.81≈1%，2018年至2019年的增长率为：（10.36﹣8.91）÷8.91≈16%，2019年至2020年的增长率为：（10.71﹣10.36）÷10.36≈3%，∴2012年至2013年的增长率最大，故答案为：2012年至2013；（4）（10.71﹣7.99）÷7.99≈34%，故答案为：34．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x2﹣3x）+1＝a+，∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．（2）令x＝0，则y＝1．∴A（0，1）．∵点B是点A关于对称轴的对称点，∴A与B的纵坐标相同．∵对称轴为直线x＝，∴点A与B到直线x＝的距离均为，∴点B的横坐标为．∴B（3，1）．（3）由题意：a≠0．①当a＞0时，如图，∵Q（a+1，1），A（0，1），B（3，1），∴点Q，A，B在直线y＝1上．∵P（0，2），∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧（包括点A）或在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A（0，1），B（3，1），∴a+1≤0（不合题意，舍去）或a+1≥3．∴a≥2．②当a＜0时，如图，由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．∵P（0，2），∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A（0，1），B（3，1），∴0≤a+1＜3．∴﹣1≤a＜2．又∵a＜0，∴﹣1≤a＜0．综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P为AE的中点，∴DP⊥AE；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＝45°，AD＝ED，∵P为AE的中点，∴∠ADP＝∠EDP＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，∴∠BAE＝∠ACP；②BF＝DF．证明：如图3，延长CP至G，使PG＝DP连接AG，BG，∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝DE，∠DAE＝45°，∵P为AE的中点，∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∠ADP＝45°，∴△APG≌△APD（SAS），∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，∴∠GAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠CAD，∵AG＝AD，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（SAS），∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，∴∠BGC＝∠APG，∴PF∥BG，∴＝＝1，∴BF＝DF．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，Q1和Q3是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，可得∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，再根据“直角点”的定义可得结论；（2）连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC 为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案；（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），可得出﹣3≤t ≤3，再结合（2）的结论即可求得答案．解：（1）∵点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4），点A（6，8），∴OQ1＝＝8，OQ2＝＝，OQ3＝＝＝，OA＝＝10，AQ1＝＝6，AQ2＝＝＝，AQ3＝＝＝，∴OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，OQ22+AQ22≠OA2，∴∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，∴Q1和Q3是点A的直角点；故答案为：Q1和Q3；（2）如图所示，连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，则＝x M﹣Q2M＝﹣﹣＝﹣4，同理，＝2+2，∴﹣4≤n≤2+2；（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），∴，解得：﹣3≤t≤3，∵D（t，0），E（t+1，0），∴DE＝1，由（2）可知，Q为BC的“直角点”，Q的横坐标n的取值范围为﹣4≤n≤2+2，∴，解得：﹣3≤t≤3，综上所述，﹣3≤t≤3．。

2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

1．（2分）中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000千米处，拍摄了火星全景图像．将11000用科学记数法表示应为（）A．11×103×103×104×1052．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥3．（2分）如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．50°4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．角B．等腰三角形C．平行四边形D．正六边形5．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a+b＞0，则b的值可以是（）A．﹣1B．0C．1D．26．（2分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（）A．m≠2B．m＞2C．m≥2D．m＜28．（2分）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，v表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与t的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）写出一个比﹣大且比小的整数．11．（2分）二元一次方程组的解为．12．（2分）如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为．13．（2分）如图，△ABC中，BC＞BA，点D是边BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD与△ABC相似，则这个条件可以是（写出一个即可）．14．（2分）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为．15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，BO＝DO．有如下四个结论：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③AB＝CD；④AO＝CO．上述结论中，所有正确结论的序号是．16．（2分）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：班级1班2班3班4班5班6班7班8班人数2919252322272124若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为4：3，则还没有体检的班级可能是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题6分；第23题5分；第24-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°﹣|﹣|+（2021﹣π）0．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）解方程：+1＝．20．（5分）已知2y2﹣y﹣1＝0，求代数式（2y+x）（2y﹣x）﹣（2y﹣x2）的值．21．（5分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；③连接BP交AC于点D．线段BD就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在⊙A上．∵点P在⊙A上，∴∠CPB＝∠BAC（填推理的依据）．∵BC＝PC，∴∠CBD＝．∴∠CBD＝∠BAC22．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠ACD＝∠ECD；（2）连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是直线l：y＝x﹣1与函数y ＝（x ＞0）的图象G的交点．（1）①求a的值；②求函数y ＝（x＞0）的解析式．（2）过点P（n，0）（n＞0）且垂直于x轴的直线与直线l和图象G的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围．24．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．（1）求证：∠ADE＝∠DBE；（2）若sin A ＝，BC＝6，求⊙O的半径．25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．测评分数（百分制）如下：甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100测评分数x个数品种甲02914乙13516 c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲m91乙90n 根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中m，n的值（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为；（3）根据抽样调查情况，可以推断种橙子的质量较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P 顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

2022年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×10123．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．47．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．58．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x （x+2）+（x+1）2的值．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．27．（7分）（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．28．（7分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【分析】简单几何体的识别．【解答】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×1012【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：262883000000＝2.62883×1011．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据对顶角的性质解答即可．【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键．4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．【解答】解：列表如下：红绿红（红，红）（绿，红）绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．5【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，故选：D．【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．8．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；（3）根据矩形的面积公式判断即可．【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥8．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝x（y﹣1）（y+1）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，＝x（y2﹣1），＝x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为x＝5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝x+5，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故答案为：x＝5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y ＝（k＞0）的图象上，则y 1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243 2455126321销售量/双根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为120双．【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为（双）．故答案为：120．【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为1．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC ＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴＝，∴，∴，∴AE＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案ABE或BCD（写出要装运包裹的编号）．【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．【解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求；选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求；选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）；（2）选择ABC时，装运的I号产品重量为：1+2+3＝6（吨）；选择ABE时，装运的I号产品重量为：1+2+5＝8（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3＝4 （吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）；故答案为：ABE或BCD．【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，由x＜，得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝4+1＝5．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∵∠B+∠ACB+∠A＝180°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∵OA＝OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，解得，∴函数解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A点坐标为（0，1）；（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k ≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙（填“甲”“乙”或“丙”）．【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；（2）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），∴h＝8，k＝23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：20.00＝a（0﹣8）2+23.20，解得：a＝﹣0.05，∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，解得：x＝8+或x＝8﹣，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+，第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，解得：x＝9+或x＝9﹣，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+，∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），∴＜，∴d1＜d2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，。

初中毕业、升学考试试卷数 学考生须知：1、全卷满分为150分;考试时间为120分钟．2、全卷分“卷一”和“卷二”两部分;其中“卷一”为选择题卷；“卷二”为非选择题卷．3、答题前;请在答题卡上先填写姓名和准考证号;再用铅笔将准考证号和科目对应的括号或方框涂黑．4、请在“卷二”密封区内填写座位号、县（市、区）学校、姓名和准考证号．5、答题时;允许使用计算器．卷一说明：本卷有一大题;12小题;共48分．请用铅笔在答题卡上将所选选项的对应字母的方框涂黑、涂满．一、细心选一选（本题有12小题;每小题4分;共48分．请选出各题中一个符合题意的正确选项;不选、多选、错选均不给分） 1．－2的绝对值是（A ）2 （B ）－2 （C ）12 （D ）－122．tan45°的值是 （A ）1 （B ）12（C ）22 （D ）33．据丽水气象台“天气预报”报道;今天的最低气温是17℃;最高气温是25℃;则今天气温t （℃）的范围是（A ）t ＜17 （B ）t ＞25 （C ）t=21 （D ）17≤t ≤254．把n aa a a a 个记作（A ）n a （B ）n ＋a （C ）n a （D ）a n5．据丽水市统计局2005年公报;我市2004年人均生产总值约为10582元;则近似数10582的有效数字有（A ）1个 （B ）3个 （C ） 4个 （D ）5个6．如图;抛物线的顶点P 的坐标是（1;－3）;则此抛物线对应的二次函数有（A ）最大值1 （B ）最小值－3 （C ）最大值－3 （D ）最小值1亲爱的同学：充满信心吧;成功等着你！7．如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D;若AD=1;BD=4;则CD=（A ）2 （B ）4 （C ）2 （D ）38．方程20x -=的解是（A ）x =2 （B ）x =4 （C ）x =－2 （D ）x =0 9．两圆的半径分别为3㎝和4㎝;圆心距为1㎝;则两圆的位置关系是（A ）外切 （B ）内切 （C ）相交 （D ）外离10．如图;将图中的阴影部分剪下来;围成一个几何体的侧面;使AB 、DC 重合;则所围成的几何体图形是（A ） （B ）（C ） （D ）11．如图;小明周末到外婆家;走到十字路口处;记不清前面哪条路通往外婆家;那么他能一次选对路的概率是（A ）12 （B ）13（C ）14（D ）012．如图;在山坡上种树;已知∠A=30°;AC=3米;则相邻两株树的坡面距离AB=（A ）6米 （B ）3米 （C ）23米 （D ）22米初中毕业、升学考试试卷DCBA（第7题）（第10题） （第11题）CAB（第12题）数学卷二大题号二三卷二总分小题号13～18 19 20 21 22 23 24 25得分说明：本卷有二大题;13小题;共102分;请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔直接在试卷上答题．二、专心填一填（本题有6小题;每小题5分;共30分）13．已知52ab=;则a bb-= ．14．当a≥0时;化简：23a= ．15．因式分解：x3－x= ．16．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中;既是轴对称、又是中心对称的图形是．17．下列是三种化合物的结构式及分子式;请按其规律;写出后一种化合物的分子．．式．．18．如图;ABCD是⊙O的内接四边形;AB是⊙O的直径;过点D的切线交BA的延长线于点E;若∠ADE=25°;则∠C= 度．三、耐心答一答（本题有7小题;共72分）以下各题必须写出解答过程．19．（本题8分）选做题（请在下面给出的二个小题中选做一小题;若每小题都答;按得分高的给分）（1）计算：(－2)0 +4×（－12）．得分评卷人得分评卷人C3H8C2H6CH4HHHHHH HHHHHHHH CCCCCH HHHC（第18题）只要选做一题就可以噢！（2）计算：2(x＋1)－x．20（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2;求方程的另一根和k的值．21（本题8分）如图;在⊙O中;弦AB与CD相交于点P;连结AC、DB．（1）求证：△PAC∽△PDB；（2）当ACDB为何值时;PACPDBSS=4．得分评卷人PDC BAO22、（本题10分）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成;如图所示;其拱形图形为抛物线的一部分;栅栏的跨径AB 间;按相同的间距0.2米用5根立柱加固;拱高OC 为0.6米．(1) 以O 为原点;OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系;请根据以上的数据;求出抛物线y=ax 2的解析式；(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）23、（本题12分）某公园有一个边长为4米的正三角形花坛;三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛;要求三棵古树不能移动;且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． （1）按圆形设计;利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；得分评卷人得分评卷人（2）按平行四边形设计;利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； （3）若想新建的花坛面积较大;选择以上哪一种方案合适？请说明理由．24、（本题12分）如图;AB 是⊙O 的直径;CB 、CE 分别切⊙O 于点B 、D; CE 与BA 的延长线交于点E;连结OC 、OD ． （1）求证：△OBC ≌△ODC ；（2）已知DE=a;AE=b;BC=c;请你思考后;选用以上适当的数;设计出计算⊙O 半径r 的一种方案：得分评卷人图1 图2AB CABC你选择a 、b 、c 时可要慎重噢！！b a OED A①你选用的已知数是；②写出求解过程．（结果用字母表示）25、（本题14分）视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头;在A、B间设立拍摄中心C;拍摄瓯江沿岸的景色．往返过程中;船在C、B处均不停留;离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息;解答下列问题：（1）船只从码头A→B;航行的时间为小时、航行的速度为千米/时；船只从码头B→A;航行的时间为小时、航行的速度为千米/时；（2）过点C作CH∥t轴;分别交AD、DF于点G、H;设AC=x;GH=y;求出y与x之间的函数关系式；（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处; 摄制组在拍摄中心C分两组行动;一组乘橡皮艇漂流而下;另一组乘船到达码头B后;立即返回．①求船只往返C、B两处所用的时间；②两组在途中相遇;求相遇时船只离拍摄中心C有多远．;初中毕业、升学考试试卷数学参考答案和评分标准一、选择题（本题有12小题;每小题4分;共48分）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A D C D B A B B D B C二、填空题（本题有6小题;每小题5分;共30分）13. 3214. 3a 15. x（x＋1）（x－1）16.矩形、菱形、正方形 17. C4H10 18. 115三、解答题（本题有6小题;共72分）以下各题必须写出解答过程.19、（本题8分）（1）解：原式=1－2 …………………………………………………6分 =－1. …………………………………………………2分（2）解：原式=2x＋2－x ……………………………………………4分= x＋2. ………………………………………………4分（若两小题都答;按得分高的题给分）20、（本题8分）解：设方程的另一根为x1;由韦达定理：2 x1=－6;∴ x1=－3. …………………………………………………………4分由韦达定理：－3+2=k＋1;∴k=－2. ……………………………………………………………4分21、（本题8分）（1）证明：∵∠A=∠D;∠C=∠B; …………………………………2分∴△PAC∽△PDB； ………………………………………2分 （2）解：由（1）△PAC∽△PDB ;得PAC PDBS S=2()AC DB; ………………2分 即2()AC DB =4;∴ACDB=2. …………………………………………2分 22、（本题10分） 解:（1） 由已知：OC=0.6;AC=0.6;得点A 的坐标为（0.6;0.6）; ……2分 代入y=ax 2;得a=53;………………2分 ∴抛物线的解析式为y=53x 2.………1分（2）点D 1;D 2的横坐标分别为0.2;0.4;…………………………1分代入y=53x 2;得点D 1;D 2的纵坐标分别为：y 1=53×0.22≈0.07;y 2=53×0.42≈0.27; ………………………………1分∴立柱C 1D 1=0.6－0.07=0.53;C 2D 2=0.6－0.27=0.33; ……………2分 由于抛物线关于y 轴对称;栅栏所需立柱的总长度为：2（C 1D 1+ C 2D 2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米. ……………1分 23、（本题12分）解:（1）作图工具不限;只要点A 、B 、C 在同一圆上；…………………4分 （2）作图工具不限;只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上；…4分（3）∵r=OB=cos30BD ︒………………………………1分∴S ⊙O =πr 2=163π≈16.75; ……………………………1分 又S 平行四边形=2S △ABC =2×12×42≈13.86, (1)∵S ⊙O > S 平行四边形 ∴选择建圆形花坛面积较大. …………………1分 24、（本题12分）（1）证明：∵CD、CB 是⊙O 的切线;∴∠ODC=∠OBC=90°; …………2分 OD=OB;OC= OC; ……………………………………………………1分 ∴△OBC ≌△ODC （HL ）； ………………………………………1分（2）①选择a 、b 、c;或其中2个均给2分；②若选择a 、b ：由切割线定理：a 2=b (b+2r) ;得r=222a b b-.若选择a 、b 、c ：方法一：在Rt△EBC 中;由勾股定理：(b+2r)2+c 2=(a+c)2;得.方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE ;2a b rr c+=;得r=4b -+.方法三：连结AD;可证：AD//OC;a b c r =;得r=bca. 若选择a 、c ：需综合运用以上的多种方法;得r=2a c+.若选择b 、c;则有关系式2r 3+br 2－bc 2=0.（以上解法仅供参考;只要解法正确均给6分） 25．（本题14分）解：（1）3、25；5、15；……………………………………………………4分 （2）解法一：设CH 交DE 于M;由题意：ME=AC=x ;DM=75–x; … ……………………………………1分 ∵GH//AF;△DGH ∽△DAF ; …………………………………1分∴ GH DM AF DE =;即75875y x -=; ………………………………2分 ∴ y=8875x -. …………………………………………………1分解法二：由（1）知：A→B（顺流）速度为25千米/时;B→A（逆流）速度为15千米/时;y 即为船往返C 、B 的时间. y=75752515x x --+;即y=8875x -.（此解法也相应给5分） （3）①当x=25时;y=881625753-⨯=（小时）.……………………2分②解法一：设船在静水中的速度是a 千米∕时;水流的速度是b 千米∕时; a+b=25 a=20 a –b=15 b=5 船到B 码头的时间t 1=752525-=2小时;此时橡皮艇漂流了10千米.设船又过t 2小时与漂流而下橡皮艇相遇;则（5+15）t 2=75–25–10;∴t 2=2. ……………………………1分 ∴船只离拍摄中心C 距离S=（t 1+ t 2）×5=20千米. …………1分解法二：设橡皮艇从拍摄中心C 漂流至P 处与船返回时相遇;即水流的速度是5 千米∕时.…………1分即 解得得505052515CP CP-=+;∴CP=20千米.（此解法也相应给3分）。

中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．54．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．127．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（结果精确到0.01）．11．（2分）计算：=．12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为．b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x 秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、正确．∠AOB=40°；B、错误．点O，边OA的位置错误；C、错误．缺少字母A；D、错误．点O的位置错误；故选：A．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：∵如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，∴线段AB的中点为原点，即A、B对应的数分别为﹣2、2，则点C表示的数可能是3，故选：C．4．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥【解答】解：两个三角形和三个矩形可围成一个三棱柱．故选：A．5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：由题意，得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故选：B．7．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟【解答】解：由图象可得，赛跑中，兔子共休息了50﹣10=40分钟，故选项A错误，乌龟在这次比赛中的平均速度是500÷50=10米/分钟，故选项B错误，乌龟比兔子先到达60﹣50=10分钟，故选项C错误，乌龟追上兔子用了20分钟，故选项D正确，故选：D．8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解答】解：①10岁之前，同龄的女生的平均身高与男生的平均身高基本相同，故该说法错误；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生，故该说法正确；③7～15岁期间，男生的平均身高不一定高于女生的平均身高，如11岁的男生的平均身高低于女生的平均身高，故该说法错误；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大，故该说法正确．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.88（结果精确到0.01）．【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.88．故答案为：0.88．11．（2分）计算：=2m+3n．【解答】解：=2m+3n．故答案为：2m+3n12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．【解答】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA=DE：AB∴20：60=DE：10∴DE=毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是8．【解答】解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）=2a2+a﹣a2+4=a2+a+4，当a2+a=4时，原式=4+4=8，故答案为：8．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=2．【解答】解：连接OC，如图，∵弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，∴OE==3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．故答案为2．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是等腰三角形三线合一．【解答】解：利用作图可得到OA=OB，PA=PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．【解答】解：原式=3﹣1+﹣1﹣2×=1．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，∴适合原不等式组的整数解为0，1，2．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵EF垂直平分CD，∴ED=EC．∴∠EDC=∠C．∴∠EDC=∠B．∴DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（k﹣1）＞0，∴k＜2；（2）∵k为正整数，∴k=1，此时方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．【解答】解：（1）∵直线y=x+1经过点A（1，a），∴a=1+1=2，∴A（1，2）．∵函数y=的图象经过点A（1，2），∴k=1×2=2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP=OA，∴x2+（）2=12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4=0，解得x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2，经检验，x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AFB=∠CBF．∴∠ABF=∠AFB．∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠BAO=∠FAE∵∠FAE=∠BEO∴∠BAO=∠BEO．∴AB=BE．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∴□ABEF是菱形．（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE．∵AF=2DF∴BE=2CE．∵AB=BE=4，∴CE=2．过点A作AG⊥BC于点G．∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形．∴BG=GE=2．∴AF=CG=4．∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=．∴CF=．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是88．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300．b可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：整理、描述数据：分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285故答案为：0，0，1，4，2，8，5；分析数据：经统计，乙校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为400×=300（人）．故答案为：300；b （答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°．∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC，∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C．（2）连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB=6，，∴BD=．在Rt△ABC中，AB=6，，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5．∴．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是 3.0（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．【解答】解：（1）经测量，当t=6时，BP=3.0．（当t=6时，CP=6﹣BC=3，∴BC=CP．∵∠C=60°，∴当t=6时，△BCP为等边三角形．）故答案为：3.0．（2）描点、连线，画出图象，如图1所示．（3）在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，如图2所示．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2，∴﹣=2，即﹣=2∴b=2．（2）①∴抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣3．∵A（x1，y），B（x2，y），∴直线AB平行x轴．∵x2﹣x1=3，∴AB=3．∵对称轴为x=2，∴A（，m）．∴当时，m=﹣（）2+4×﹣3=﹣．②当y=m=﹣4时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤1；当y=m=﹣2时，0≤x≤5时，﹣2≤y≤4；∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．【解答】解：（1）补全图如图1；（2）①延长AE，交BC于点H．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH=HC．∵CD⊥BC于，∴EH∥CD．∴BE=DE；②延长FE，交AB于点M．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵EF∥BC，∴∠AMF=∠AFM．∴AM=AF．∴ME=EF．∵∠MBE=∠FED，在△BEM和△DEF中，，∴△BEM≌△DEF．∴∠ABE=∠FDE．∴DF∥AB；（3）．证明：∵DF∥AB，∴∠EDF=∠ABD，∵EF∥BC，∴∠DEF=∠DBC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠EDF=∠DEF，∴DF=EF，∵tan=，∴．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（﹣2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．精品Word 可修改欢迎下载。

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2021年北京市丰台区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科
学记数法表示为（ ）
A ．1.6×108
B ．1.6×107
C ．16×106
D ．1.6×106
3．实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．ab ＞0
B ．a +b ＞0
C ．|a |＞|b |
D ．b ＜a
4．内角和等于外角和的多边形是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将△
OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为4√3，则点B '的坐标为（ ）
A ．（﹣6√3，2）
B ．（6√3，﹣2√3）
C ．（6，﹣2）
D ．（6√3，﹣2） 6．若x 满足x 2﹣2x ﹣2＝0，则分式（
x 2−3x−1−2）÷1x−1的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．﹣1 D ．−32 7．如图，BC 是⊙O 的直径，点A 、D 在⊙O 上，若∠ADC ＝48°，则∠ACB 的度数为（ ）。

2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的1．（3分）（2021•北京）截止到2021年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（）A．14×104B．1。

4×105C．1。

4×106D．14×1062．（3分）（2021•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d3．（3分）（2021•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）（2021•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．5．（3分）（2021•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（）A．26°B．36°C．46°D．56°6．（3分）（2021•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1。

2km，则M，C两点间的距离为（）A．0。

5km B．0。

6km C．0。

9km D．1。

2km7．（3分）（2021•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．21，21 B．21，21。

5 C．21，22 D．22，228．（3分）（2021•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（﹣2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3。

2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名 准考证号 考场号 座位号考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。

已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o360 （B ）o540 （C ）o720 （D ）o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。

2021年北京市海淀区中考二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是（） A ．三角形B ．圆C ．扇形D ．矩形2．如图，点A 是数轴上一点，点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数可能是（）A ．0B ．1C ．1.5D ．2.53．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．235a a a +=C ．2352a a a+=D =5．反比例函数ky x=（k 为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A 的坐标为(2,1)，则k 的值是（）6．如图，AB 是O 的直径，P A 与O 相切于点A ，//BC OP 交O 于点C ．若70B ∠=︒，则OPC ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒7．某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t （分钟），数据分成6组：1015t ≤<，1520t ≤<，2025t ≤<，2530t ≤<，3035t ≤<，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（）A ．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟B ．此时段平均等位时间小于20分钟C ．此时段等位时间的中位数可能是27D ．此时段有6桌顾客可享受优惠8．如图，一架梯子AB 靠墙而立，梯子顶端B 到地面的距离BC 为2m ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B 竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y 与顶端下滑的距离x 满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题 9．若代数式14x-有意义，则实数x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2a b b -=__________11 _______ 3（填“˃”或“=”或“<”）．12．盒中有1枚白色棋子和1枚黑色棋子，这两枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色都是黑色的概率是________．13．如图，两条射线//AM BN ，点C ，D 分别在射线BN ，AM 上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，这个条件可以是____________（写出一个即可）．14．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为___________．15．如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为：BAC ∠_______DAC ∠（填“＞”，“＝”或“＜”）．16．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______km．三、解答题17．计算：11|1|2sin602-⎛⎫-⎪⎝⎭︒．18．解方程：33122xx x-+=--．19．先化简再求值：2(1)2(1)a a a---，其中a=20．已知：MAN∠，B为射线AN上一点．求作：ABC，使得点C在射线AM上，且12ABC CAB∠=∠．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；②以点E 为圆心，BD 长为半径画弧，交DE 于点F ； ③连接FB ，交射线AM 于点C ．ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明： 证明：连接BD ，EF ，AF ， ∵点B ，E ，F 在A 上，12EBF EAF ∴∠=∠（__________）（填写推理的依据）．∵在A 中，BD EF =，DAB ∴∠=___________．12ABC CAB ∴∠=∠．21．关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．22．如图1，ABC 中，D 为AC 边上一动点（不含端点），过点D 作//DE AB 交BC 于点E ，过点E 作//EF AC 交AB 于点F ，连接AE ，DF ．点D 运动过程中，始终有AE DF =．（1）求证：90BAC ∠=︒；（2）如图2，若33,tan 4AC B ==，当AF AD =时，求AD 的长． 23．平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx =-的图象经过点(2,3)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x a =+的值都大于一次函数1y kx =-的值，直接写出a 的取值范围． 24．如图，AB 为O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与O 相切于D ，过点B作//BE CD 交O 于点E ，连接AD ，AE ．22.5EAD ∠=︒（1）求EAB ∠的度数；（2）若2BC =，求BE 的长．25．品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎．节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a ．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分：b ．丙参加比赛的得分统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）已知点A 的坐标为(26,18)，则此轮比赛中：甲的得分为_________，与甲同场答题的百人团中，有_______人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有________轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为_______；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为21s ，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为22s ，则21s ________22s （填“＞”，“＜”或“＝”）． 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m =-+与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l 垂直于y 轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点()11,M x y ，()22,N x y 图形G 上任意两点．①当0m =时，若12x x <，判断1y 与2y 的大小关系，并说明理由； ②若对于122,2x m x m =-=+，都有12y y >，求m 的取值范围．27．已知90MON ∠=︒，点A 在边OM 上，点P 是边ON 上一动点，OAP α∠=，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒，得到线段AB ，连接OB ，再将线段OB 绕点O 顺时针旋转60︒，得到线段OC ，作CH ON ⊥于点H ． （1）如图1，60α=︒． ①依题意补全图形；②连接BP ，求BPH ∠的度数；（2）如图2，当点P 在射线ON 上运动时，用等式表示线段OA 与CH 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，12,,,k A A A ⋯是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p m n =+，则称p 为这k 个点的“特征值”，记为12,,,k A A A p ⋯=．如图1，点(1,1),(1,2),,123M N T M N 〈〉=+=．（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3)，半径为5，与x 轴交于A ，B 两点． ①,T A B 〈〉=________，,,T A B C 〈〉= _________；②直线(0)y b b =≠与圆C 交于两点D ，E ，若,,,6T A B D E 〈〉=，求b 的取值范围；（2）点128,,,A A A ⋯到点O 的距离为1，且这8个点构成中心对称图形，128,,,6T A A A ⋯=，若抛物线2(0)y ax bx c a =++>恰好经过128,,,A A A ⋯中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能取值．参考答案1．C【分析】根据题意可得几何体是圆锥，圆锥的底面是一个圆面，侧面是曲面，圆锥的侧面展开图是扇形．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．故选C．【点睛】本题考查的是几何体的展开图的知识，关键是掌握常见几何体的展开图．2．C【分析】点A所表示的数在-2和-1之间，根据相反数的意义，可求出点B所表示的数在1和2之间，据此即可判断．【详解】解：∵点A所表示的数在-2和-1之间，∴点B所表示的数在1和2之间，0、1、1.5、2.5四个数中，只有1.5符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了互为相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，在数轴上在原点的两侧，到原点距离相等的两个数互为相反数．3．B【分析】根据中心对称图形的概念求解，看图形是不是关于中心对称．【详解】解：根据中心对称图形的概念．A，C，D都不是中心称图形，B是中心对称图形．故选B．【点睛】中心对称图形的判断方法：把某个图象绕中心点旋转180°后，与原图重合，理解概念是解决问题的关键．4．A【分析】直接利用合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则分别计算各项后即可解答．【详解】选项A、2a+3a＝5a，故此选项正确；选项B、2a和3a不是同类项，不能合并，故此选项错误；选项C、235a a a+=，故此选项错误；选项D不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误．故选A．【点睛】本题考查了合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则，熟练运用法则进行计算是解决问题的关键．5．A【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择．【详解】假设点A在该反比例函数图象上，∴212k=⨯=，∵点A实际在该反比例函数图象上方，∴2k<．选项中只有A选项的值小于2．故选A．【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．6．B【分析】连接OC，证明△P AO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得OPC∠．【详解】如图，连接OC ，因为OB =OC ，所以∠OCB =∠OBC =70°，所以∠BOC =180°-70°-70°=40°，又因为//BC OP ，所以∠AOP =∠B =70°，∴∠POC =180°-∠AOP -∠BOC =70°，所以在△P AO 和△PCO 中，===AO CO AOP COP OP OP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，所以△P AO ≌△PCO （SAS ），所以∠OCP =∠OAP因为P A 与O 相切于点A ，所以∠OCP =∠OAP =90°，所以∠OPC =180°-∠POC -∠OCP =20°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键．7．D【分析】理解时段非某一固定时刻即可判断A 选项；求出此时段平均等位时间即可判断B 选项；利用中位数的定义即可判断C 选项；根据题意“规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠”结合统计图，即可求出可享受优惠的人数，即可判断D 选项．【详解】由题意和统计图可知此时段有1桌顾客等位时间是35-40分钟，不能说明一定是40分钟．故A 选项错误，不符合题意； 此时段平均等位时间1015152020252530303535402612951339222222==20261295114++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯>+++++，故B 选项错误，不符合题意；由于共统计了35人，所以中位数落在区间是20-25分钟的时间段．故C 选项错误，不符合题意；由等位时间是30分钟以上的人数为5+1=6人，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查条形统计图，加权平均数以及中位数．根据统计图得到必要的信息是解答本题的关键．8．B【分析】过梯子中点O 作OD ⊥地面于点D ．由题意易证A OD A B C '''，即得出A O OD A B B C '='''．由O 为中点，2B C x '=-，OD y =，即可推出122y x =-，即112y x =-+．即可选择． 【详解】如图，过梯子中点O 作OD ⊥地面于点D ．∴90ODA B CA '''∠=∠=︒，又∵OA D B A C '''∠=∠，∴A ODA B C '''， ∴A O OD A B B C'='''， 根据题意O 为中点，2B C x '=-，OD y =．∴122yx=-，整理得：112y x=-+．故y与x的函数关系为一次函数关系．故选B．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键．9．4x≠【分析】根据分式有意义的条件可直接进行求解．【详解】由代数式14x-有意义可得：4−x≠0，解得：x≠4，故答案为x≠4．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．10．(1)(1)b a a +-【分析】首先提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：2a b b -＝b （a 2−1）＝b （a ＋1）（a−1）．故答案为b （a ＋1）（a−1）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 11．＜【分析】利用平方法即可比较．【详解】解：∵27=，239=，7＜9，3，故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了无理数的大小比较．掌握平方法比较实数大小的方式是解题关键． 12．14【分析】根据列表可知有4种可能，再由表格可知两次记录的颜色都是黑色的情况有1种，最后由概率公式计算即可．【详解】根据题意可列出表格：由表格可知有4种可能，其中两次记录的颜色都是黑色的有1种，∴两次记录的颜色都是黑色的概率是14． 故答案为14． 【点睛】本题考查利用画树状图或列表法求概率．正确的画出树状图或列出表格是解答本题的关键．13．AD BC =或//AB CD【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可填空．【详解】由平行四边形的判定条件即可填空为：AD BC =或//AB CD ．故答案为：AD BC =或//AB CD ．【点睛】本题考查平行四边形的判定．掌握平行四边形的判定条件是解答本题的关键． 14． 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩【分析】直接根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程组．【详解】根据题意可直接列出方程组： 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故答案为： 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．本题考查二元一次方程组的实际应用．理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 15．=【分析】如图，连接CE 、CD ，利用勾股定理求得AE 、EC 、CD 、DA 、AC 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：如图，连接CE 、CD ，AE ==同理求得EC =CD =DA =AC ==∴AE =EC =CD =DA ，∴四边形AECD 是菱形，∵222+=， ∴222AE EC AC +=，∴∠AEC =90︒，∴菱形AECD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC ，故答案为：=．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【分析】如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），而如果第三天选择高强度的话，距离为15km，所以可得第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），而如果第五天选择高强度的话，距离为8km，所以可得第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，据此可得答案．【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，∵12<15，∴第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，∵9>8，∴第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）故答案为36．【点睛】本题考查了有理数的加法及有理数的大小比较．正确理解题意是解题的关键．17．1+【分析】原式利用负整数指数幂法则、二次根式的性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】=+-⨯原式21221=+【点睛】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．4x =【分析】按照解分式方程的步骤进行求解即可．【详解】.解：方程两边同时乘以2x -得，323x x -+-=，解整式方程得，4x =，检验：当4x =时，20x -≠∴4x =是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程的解法，注意：分式方程要检验． 19．21a -+；-2【分析】先用乘法公式和整式运算法则进行化简，再代入求值即可．【详解】解：2(1)2(1)a a a ---， 222122a a a a =-+-+，21a =-+， 3a =，∴原式21=-+2=-；【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算．20．（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；EAF ∠【分析】（1）根据题干描述即可直接作图．（2）根据圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等即可填空．【详解】解：（1）如图即为所求．（2）根据圆周角定理即可填写“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”；由同弧或等弧所对圆心角相等即可填写“EAF ∠”．故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，EAF ∠．【点睛】本题为作图-复杂作图．掌握圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等是解答本题的关键． 21．（1）见解析；（2）3m <【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．【详解】（1）证明：1,,24a b m c m ==-=-，224()4(24)b ac m m ∴=-=---2816m m =-+2(4)m =-∵无论m 取何值时，2(4)0m -≥，∴此方程总有两个实数根．（2）解：2(4)0m =-≥，(4)2m m x ±-∴==． 122,2x m x ∴=-=．∵此方程有一个根小于1，且221x =≥．21m ∴-<．3m ∴<．【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．22．（1）见解析；（2）127 【分析】）（1）根据//DE AB ，//EF AC ，得出四边形ADEF 是平行四边形．再根据AE DF =， 得出四边形ADEF 是矩形，由此得到结论；（2）四边形ADEF 是矩形，当AF AD =时，此时四边形ADEF 是正方形．根据//DE AB ，可得∠DEC =∠B ，tan ∠DEC =tan ∠B =34，由三角函数值即可求得AD 的长． 【详解】（1）证明：//,//DE AB EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形．AE DF =，∴四边形ADEF 是矩形．90BAC ∴∠=︒．（2）解：当AF AD =时，由（1）知，此时四边形ADEF 是正方形．//DE AB ，,90DEC B EDC BAC ∴∠=∠∠=∠=︒．3tan tan 4DEC B ∴∠==． 在Rt DEC △中，设3DC x =，则4DE x =．∵四边形ADEF 是正方形，4AD DE x ∴==．73AC AD DC x ∴=+==．37x ∴=， 1247AD x ∴==． 【点睛】 本题考查了正方形的判定和性质，锐角三角函数，掌握这些知识点是解题的关键． 23．（1）21y x =-；（2）1a ≥【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案．（2）对于21y x =-，当2x =时，求出其y 的值，再由此坐标可求出a 的值．画出函数图象即可求出a 的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数1y kx =-的图象过点(23)，， ∴321k =-，解得：2k =．∴这个一次函数的解析式是21y x =-．（2）当2x =时，代入21y x =-，得：3y =，∴当函数y x a =+经过点（2，3）时，1a =．画出两个函数图象如图：由图象可知，当1a ≥，在2x <时，函数y x a =+的图象都在一次函数21y x =-的图象上方，即此时y x a =+的值都大于21y x =-的值，故a 的取值范围为1a ≥．【点睛】本题考查求一次函数解析式和一次函数与不等式的关系，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用数形结合思想确定a 的取值范围．24．（1）45°；（2．【分析】(1) 连接OD ，交BE 于点F ，在O 中CD 与O 相切于点D ，OD CD ⊥，EAD DAB ∠=∠，即可求解；(2)根据AB 是直径，90AEB =︒∠，所以ODC ∆是等腰直角三角形，设OD OB r ==，则OC =，进而得出结论．【详解】（1）连接OD ，交BE 于点F ，如图所示:在O 中∵CD与O相切于点D，∴⊥，OD CDBE CD，//OD BE∴⊥，∴=，DE DB∴∠=∠，EAD DAB∠=︒，EAD22.5∴∠=∠+∠=︒．EAB EAD DAB45（2）解：∵AB是直径，∴∠=︒，90AEBEAB BE CD∠=︒，45,//∴∠=∠=︒，45C ABE∴∆是等腰直角三角形，ODC==，则OC=，设OD OB r∴=-=-=，BC OC OB r2∴=，r2∴=⋅︒=．BF OBcos45【点睛】本题主要考查了圆的切线的相关知识，正确作出辅助线理解题目含义是解题的关键．25．（1）26，74；（2）2，乙；（3）＜【分析】(1)根据图a 可知甲得分为26，已知甲得分为百人团答错的人数，则百人团答对的人数为(2)图b 中丙的得分在第4，5轮为0，而甲与乙比较，乙的得分较多；(3)方差是体现整组数据的差距，差距越大，方差越大；【详解】(1)根据图a 可知甲得分为26，已知甲得分为百人团答错的人数，则百人团答对的人数100-26=74；故答案为：26，74(2)图b 中丙的得分在第4，5轮为0，而甲与乙比较，观察坐标可知纵坐标数据和大于横坐标数据和，因此乙的得分较多；故答案为：2，乙；(3)方差是体现整组数据的差距，差距越大，方差越大；由图可知乙组数据的差距大于甲组数数据的差距，因此乙的方差＞甲的方差，故答案为：＜【点睛】此题考查了学生对于题意的准确解，以及对坐标的意义准确的理解及应用，此外还考查了方差的定义，属于中档题．26．（1）直线x m =；（2）①12y y >；见解析；②22m -<<【分析】（1）直接利用对称轴公式2b x a=-即可求出． （2）①当0m =时，二次函数解析式是2y x ，对称轴为y 轴．由此可得图形G 上的点的横纵坐标x 和y ，满足y 随x 的增大而减小，即可求出12y y >．②通过计算可知，点(24)(24)P m Q m -+，，，为抛物线上关于对称轴x m =对称的两点，分类讨论当m 变化时，y 轴与点P ，Q 的相对位置：Ⅰ当y 轴在点P 左侧时（含点P ），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M ，N 的纵坐标相同，此时12y y =，不符题意；Ⅱ当y 轴在点Q 右侧时（含点Q ），作出图形，即可得出点M ，N 分别和点P ，Q 重合，此时12y y =，不符题意；Ⅲ当y 轴在点P ，Q 之间时（不含P ，Q ），作出图形，即可得出经翻折后，点N 在l 下方，点M ，P 重合，在l 上方，此时12y y >，符合题意．即有202m m -<<+，即【详解】（1）抛物线222y x mx m =-+的对称轴为直线22m x m -=-=； （2）①当0m =时，二次函数解析式是2y x ，对称轴为y 轴；∴图形G 如图．∴图形G 上的点的横纵坐标x 和y ，满足y 随x 的增大而减小；∵12x x <，∴12y y >．②通过计算可知，(24)(24)P m Q m -+，，，为抛物线上关于对称轴x m =对称的两点， 下面讨论当m 变化时，y 轴与点P ，Q 的相对位置：Ⅰ如图，当y 轴在点P 左侧时（含点P ），经翻折后，得到点M ，N 的纵坐标相同，12y y =，不符题意；Ⅱ如图，当y 轴在点Q 右侧时（含点Q ），点M ，N 分别和点P ，Q 重合，12y y =，不符题意；Ⅲ如图，当y 轴在点P ，Q 之间时（不含P ，Q ），经翻折后，点N 在l 下方，点M ，P 重合，在l 上方，12y y >，符合题意．此时有202m m -<<+，即22m -<<．综上所述，m 的取值范围为22m -<<．【点睛】本题为二次函数综合题．考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难．利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．27．（1）①见解析；②90°；（2）2OA CH =，见解析【分析】（1）①按题意画图即可；②由旋转可得ABP △是等边三角形，进而求出BPH ∠的度数；（2）由旋转证ABO PBC ≅，得出AO PC =，再求出30HPC ∠=︒，可得线段OA 与CH 之间的数量关系．【详解】解：（1）①下图即为所求：② 90BPH ∠=︒，解：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒得到AB ，AB AP =∴，且60PAB ∠=︒．ABP ∴是等边三角形．60BPA ∴∠=︒．60OAP ∠=︒，30APO ∴∠=︒，90BPO BPA APO ∴∠=∠+∠=︒．90BPH ∴∠=︒．（2）2OA CH =证明：连接BP ，BC ，由（2）可知，ABP △是等边三角形，,60BA BP ABP BPA ∴=∠=∠=︒．∵线段OB 绕点O 顺时针旋转60︒得到OC ，,60OB OC BOC ∴=∠=︒． BOC ∴是等边三角形．,60BO BC OBC ∴=∠=︒．60ABO OBP PBC ∴∠=︒-∠=∠．ABO PBC ∴≅．,AO PC BPC BAO ∴=∠=∠．OAP α∠=，60BAO BAP OAP α∴∠=∠+∠=︒+．60BPC α∴∠=︒+．()1801209030BPN APO BPA αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒+，30HPC BPC BPN ∴∠=∠-∠=︒．CH ON ⊥，90CHO ∴∠=︒．∴在Rt CHP 中，2PC CH =．2OA CH ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理证明．28．（1）①3，5；②28b -<<且0b ≠，6b ≠；（2）2+或1+1或2． 【分析】（1）①先写出A ，B 的坐标，然后根据题意即可求解；②D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<，答案可解；（2）根据题意画出图形，抛物线2(0)y ax bx c a =++>，所以0a >，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，所以抛物线可能经过:①173,,A A A ,②475,,A A A ,然后分类进行讨论即可解得答案．【详解】（1）①由图可知()()()4,0,4,0,0,3A B C -，根据题意可得：,213T A B 〈〉=+=，,,325T A B C 〈〉=+=，故答案为：3,5；②解：D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同．由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<；综上所述，b 的取值范围是28b -<<且0b ≠且6b ≠．（2）这8个点的位置如图所示：抛物线2(0)y ax bx c a =++>，∵0a >，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过三个点,且抛物线是轴对称图形，∴抛物线可能经过:①173,,A A A ,②475,,A A A ,∵抛物线对称轴0x =，∴0b =,抛物线2y ax c =+，①当经过点173,,A A A 时，若点A 到点O 距离为1, 则令0x =，1c =-，抛物线21y ax ，把,22⎛ ⎝⎭代入21y ax 得2122a ⎛=- ⎝⎭，解得：2a =若点A 到点O ，令0x =，则c =2y ax =，把()1,1代入2y ax =得1a =-解得：1a =+②当经过475,,A A A 时，若点A 到点O 距离为1, 则令0x =，1c =-，抛物线21y ax ， 把()1,0代入21y ax 得10a -=， 解得：1a =；若点A 到点O ，则令0x =，c =2y ax =，把)2y ax =20a ⋅=，解得：2a =，综上a 的所有可能值为211． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是进行分类讨论．。

2022年北京中考数学试卷含答案解析第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A 选项为圆柱，不合题意；B 选项为圆锥，符合题意；C 选项为三棱柱，不合题意；D 选项为球，不合题意；故选B ．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A.1026.288310 B.112.6288310 C.122.6288310 D.120.26288310 【答案】B 【解析】【分析】将262883000000写成11100 na a ，n 为正整数的形式即可．【详解】解：将262883000000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位，∴262883000000112.6288310 ，故选B ．【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1的数，掌握11100 na a 中n 的取值方法是解题的关键．3.如图，利用工具测量角，则1 的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130 ．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．4.实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 2a ＜B.1b ＜C.a b ＞D.a b＞【答案】D 【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．【详解】解：点a 在-2的右边，故a >-2，故A 选项错误；点b 在1的右边，故b >1，故B 选项错误；b 在a 的右边，故b >a ，故C 选项错误；由数轴得：-2<a <-1.5，则1.5<-a <2，1<b <1.5，则a b ＞，故D 选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.14 B.13C.12D.34【答案】A 【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6.若关于x 的一元二次方程20x x m 有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A.4B.14C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m 的方程，解答即可．【详解】∵一元二次方程20x x m 有两个相等的实数根，∴∆=0，∴2140m ，解得14m，故C 正确．故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．8.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x ，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．【答案】x ≥8【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x -8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．故答案为：x ≥8．0)a 是解题的关键．10.分解因式：2xy x ______．【答案】 11x y y 【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x21x y11x y y 故答案为： 11x y y ．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．11.方程215x x的解为___________．【答案】x =5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】解：215x x方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5,解得：x =5,经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0.故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，12.在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）【答案】＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25∵＜，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．【答案】120【解析】【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040双．故答案为：120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．14.如图，在ABC 中，AD 平分,.BAC DE AB 若2,1,AC DE 则ACD S ____．【答案】1【解析】【分析】作DF AC 于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC 于点F ，∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴1DF DE ，∴1121122ACD S AC DF．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．15.如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ，则AE 的长为_______．【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ，∴14AE AF BC FC ，2222534BC AC AB ，∴144AE ，∴1AE ，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16.甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：包裹编号I 号产品重量/吨II 号产品重量/吨包裹的重量/吨A 516B 325C 235D 437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II 号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．【答案】①.ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）②.ABE 或BCD【解析】【分析】（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选出2个或3个，同时满足I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II 号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210 （吨），总重6551619.5 （吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311 （吨），总重6581919.5 （吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549 （吨），总重671319.5 （吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411 （吨），总重6571819.5 （吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249 （吨），总重5571719.5 （吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239 （吨），总重7582019.5 （吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310 （吨），总重5782019.5 （吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD ．故答案为：ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236 （吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258 （吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134 （吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337 （吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338 （吨）；故答案为：ABE 或BCD ．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：0(1)4sin 45 3.【答案】4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】解：0(1)4sin 45 3.2=1432=4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18.解不等式组：274,4.2x x xx【答案】14x 【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：274 4 2x x xx①②解不等式①得1x ，解不等式②得4x ，故所给不等式组的解集为：14x ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19.已知2220x x ，求代数式2(2)(1)x x x 的值．【答案】５【解析】【分析】先根据2220x x ，得出222x x ，将2(2)(1)x x x 变形为2221x x ，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x ，∴222x x ，∴2(2)(1)x x x 22221x x x x 2241x x 2221x x 2215【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x 变形为2221x x ，是解题的关键．20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ,求证：180.A B C 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥【答案】答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ，C EAC ，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180 ．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ，C EAC ．(两直线平行，内错角相等）∵点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ．（平角的定义）180B BAC C ．即三角形的内角和为180 ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21.如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF ．（1）求证：四边形EBFD 是平行四边形；（2）若,BAC DAC 求证：四边形EBFD 是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO ，BO DO ，再根据AE CF ，得出EO FO ，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ，得出DA DC ，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ，即可证明结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO CO ，BO DO ，∵AE CF ，∴AO AE CO CF ，即EO FO ，∴四边形EBFD 是平行四边形．【小问2详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，∴DCA BAC ，∵,BAC DAC ∴DCA DAC ，∴DA DC ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ，即EF BD ，∵四边形EBFD 是平行四边形，∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k 的图象经过点(4,3)，(2,0) ，且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当0x 时，对于x 的每一个值，函数y x n 的值大于函数(0)y kx b k 的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）112y x ，(0,1)（2）1n 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x 时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x 结合0x 解出不等式即可求解．【小问1详解】解：将(4,3)，(2,0) 代入函数解析式得，3=402k b k b，解得121k b，∴函数的解析式为：112y x ，当0x 时，得1y ，∴点A 的坐标为(0,1)．【小问2详解】由题意得，112x n x，即22x n ，又由0x ，得220n ，解得1n ，∴n 的取值范围为1n ．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系．23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．【答案】（1）8.6（2）甲（3）乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．（2）根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解．（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解．【小问1详解】解：丙的平均数：101010998398108.610，则8.6m ．【小问2详解】2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S甲，222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S乙，22S S ∵甲乙，∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．【小问3详解】由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：889799910=8.6258 ，乙：77799101010=9.758 ，丙：10109989810=9.1258，∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．24.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD 连接,.AC OD （1）求证：2;BOD A （2）连接DB ,过点C 作,CE DB 交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ，故可得COH DOH ，于是 BCBD ，即可得到2BOD A ；（2）连接，解出60COB ，根据AB 为直径得到90ADB ，进而得到60ABD ，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．【小问1详解】证明：设AB 交CD 于点H ，连接OC ，由题可知，OC OD ，90OHC OHD ，OH OH ∵，Rt COH Rt DOH HL ，COH DOH ，BCBD ，COB BOD ，2COB A ∵，2BOD A ；【小问2详解】证明：连接AD ，OA OD ∵，OAD ODA ∴，同理可得：OAC OCA ,OCD ODC ，∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∵，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ，223060COB CAO ，AB Q 为O 的直径，90ADB ，90903060ABD DAO ，60ABD COB ，//OC DE ，CE BE Q ，CE OC ，直线CE 为O 的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a ．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20m ； 20.05823.20y x （2）＜【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： 8,23.20，∴8h ，23.20k ，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x 时，20.00y ，代入 2823.20y a x 得：220.000823.20a ，解得：0.05a ，∴函数关系关系式为： 20.05823.20y x ．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时， 20.05823.20t x ，解得：8x 或8x ，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d ，第二次训练时， 20.04923.24t x ，解得：9x 9x∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d ，∵ 2023.202523.24t t ＜，，∴12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d ，是解题的关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a 上，设抛物线的对称轴为.x t （1）当2,c m n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00(,)(1)x m x 在抛物线上，若,m n c 求t 的取值范围及0x 的取值范围．【答案】（1）（0，2）；2（2）t 的取值范围为322t ，0x 的取值范围为023x 【解析】【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t 对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t 的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t 时，y 随x 的增大而减小，当x t 时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．【小问1详解】解：当2c 时，22y ax bx ，∴当x =0时，y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；∵m n ，∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t 对称，∴1322t；【小问2详解】解：当x =0时，y =c ，∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t 的对称点坐标为（2t ，c ），∵0a ，∴当x t 时，y 随x 的增大而减小，当x t 时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，1t ，∵,m n c 1＜3，∴2t ＞3，即32t（不合题意，舍去），当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t ，此时点(3,)n 到对称轴x t 的距离大于点(1,)m 到对称轴x t 的距离，∴13t t ，解得：2t ，∵,m n c 1＜3，∴2t ＞3，即32t ，∴322t ，∵0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t ，∴012x t ，∴013222x ，解得：023x ，∴t 的取值范围为322t ，0x 的取值范围为023x ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27.在ABC 中，90ACB ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC ，连接AF ，EF ，若AF EF ，求证：BD AF ；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD ，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）CD CH ；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明 SAS FCE BCD ，得出CFE CBD Ð=Ð，推出EF BD ∥，再由AF EF 即可证明BD AF ；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证 SAS MEC BDC ，推出ME BD ，通过等量代换得到222AM AE ME ，利用平行线的性质得出90BHE AEM Ð=Ð=°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH ．【小问1详解】证明：在FCE 和BCD 中，CE CD FCE BCD CF CB，∴ SAS FCE BCD ，∴CFE CBD Ð=Ð，∴EF BD ∥，∵AF EF ，∴BD AF ．【小问2详解】解：补全后的图形如图所示，CD CH，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ，CM ＝CB ，∴AC 垂直平分BM ，∴AB AM ，在MEC 和BDC 中，CM CB MCE BCD CE CD，∴ SAS MEC BDC ，∴ME BD ，CME CBD Ð=Ð，∵222AB AE BD ，∴222AM AE ME ，∴90AEM ，∵CME CBD Ð=Ð，∴BH EM ∥，∴90BHE AEM Ð=Ð=°，即90DHE ，∵12CE CD DE ==，∴12CH DE =，∴CD CH ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE 是解题的关键．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a 或向左(0)a 平移a 个单位长度，再向上(0)b 或向下(0)b 平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P 点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM （2）O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t ，若P为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）【答案】（1）见解析（2）42t 【解析】【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点 3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ，得到12TA TO OA ，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出2122NT ON OT OM ；（2）连接PO 并延长至S ，使OP OS ，延长SQ 至T ，使ST OM ，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出 12221SQ ST TQ t t ，则 max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS ．【小问1详解】解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，∴ '1,1P ，∵点P'关于点N 的对称点为Q ， 2,2N ，∴点Q 的横坐标为： 2215 ，纵坐标为：2213 ，∴点 5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点 3,3A ，连接AQ ，∵//AQ OP ，∴AQT OPT ，在ΔAQT 与ΔOPT 中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP，∴ ΔΔAQT OPT AAS ，∴12TA TO OA ，∵ 3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA，OMON ，∴12TO OA ，∴2NT ON OT ，∴12NT OM ；【小问2详解】解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS ，延长SQ 至T ，使ST OM ，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a 或向左(0)a 平移a 个单位长度，再向上(0)b 或向下(0)b 平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ ，又∵OP OS ，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ，∵1NM OM ON t ，∴222TQ NM t ，∴ 12221SQ ST TQ t t ，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS ，结合题意，max PQ PS QS ，min PQ PS QS ，∴ max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t ，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t ．【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q 和点P'的轨迹是解题的关键．。

2021年北京市石景山区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．单项式﹣xy2的系数是（）A．﹣1B．1C．2D．32．在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（）A．B．C．D．3．如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，∠1＝100°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．b＜c C．a＞c D．b＝2c5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）183183182182方差 5.7 3.5 6.78.6要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°7．如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c的正方形，则下列等式成立的是（）A．a+b＝c B．a2+b2＝c2C．c2＝（a+b）（a﹣b）D．c2＝（a+b）2﹣4ab8．如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（﹣2，0），表示冰壶馆的点的坐标为（﹣3，2），则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（）A．滑雪大跳台（﹣5，0）B．五一剧场（﹣3，﹣2）C．冬奥组委会（﹣5，4）D．全民畅读艺术书店（5，0）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个比0大且比2小的无理数．10．一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是．11．若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为．12．已知二元一次方程2x﹣3y＝10，若x与y互为相反数，则x的值为．13．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD 交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①；②．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．若a＜0，则点A在第象限．15．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：价格折扣原价9折8折7折6折5折每周销售数量（单位：件）20254090100150为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利元．16．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（1，1），有以下4种说法：①一次函数y＝x的图象与线段AB无公共点；②当b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点；③当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点；④当b＞1时，二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB无公共点．上述说法中正确的是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：|﹣4|+（π﹣3.14）0﹣﹣6tan30°．18．解不等式≤x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（x﹣y）的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．21．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；②作直线MN，交AC于点E；③连接DE．所以线段DE即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分线（）．（填推理的依据）∴点E是AC的中点．∵点D是AB的中点，∴DE＝BC（）．（填推理的依据）22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）经过一个定点P，直线l 与反比例函数y＝（x＞0）图象相交于点P．（1）直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向（填“左”或“右”）平移1个单位得到的，请直接写出定点P的坐标；（2）求m的值；（3）直线y＝kx﹣k+3（k≠0）与x轴、y轴分别交于点M，N．若PM＝2PN，求k的值．24．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O 于点B，D，连接AB，AC．（1）求证：AB∥OP；（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．25．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．收集数据七年级66 70 71 78 71 78 75 78 58 a63 90 80 85 80 89 85 8680 87八年级61 65 74 70 71 74 74 76 63 b91 85 80 84 87 83 82 8086 c整理、描述数据成绩x/分数七年级成绩统计情况八年级成绩统计情况频数频率频数频率50≤x≤5910.050060≤x≤6920.1030.1570≤x≤7960.3080≤x≤89m100.5090≤x≤10010.0510.05（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：年级平均数中位数众数七年级77.57980八年级77.4n74请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，m＝，n＝；（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是；（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为．26．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．27．已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM 绕点D逆时针旋转120°得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM与BF的数量关系为：，∠DBF＝°．（2）如图2，若DM＝2MC，在边AB上有一点N，使得∠NDM＝120°．直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点．（1）当⊙O的半径为2时，①在T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）三个点中，是⊙O的二倍点的是；②已知一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，求a的取值范围．（2）已知点M（m，0），B（0，﹣），C（1，﹣），⊙M的半径为2，若线段BC 上存在点P为⊙M的二倍点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．单项式﹣xy2的系数是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据单项式的系数概念即可求出答案．解：单项式﹣xy2的系数是﹣1，故选：A．2．在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答案．解：A、左视图是矩形，故本选项不合题意；B、左视图是等腰三角形，故本选项符合题意；C、左视图是矩形，故本选项不合题意；D、左视图是矩形，故本选项不合题意；故选：B．3．如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，∠1＝100°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．解：∵∠1＝100°，∴∠EAD＝180°﹣∠1＝80°，∵AB平分∠EAD，∴∠EAB＝∠BAD＝∠EAD＝40°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠EAB＝40°，故选：C．4．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．b＜c C．a＞c D．b＝2c【分析】分别计算出a，b，c的值，比较大小即可．解：∵a＝﹣，b＝，c＝＝，∴a＜c＜b，故A，B，C选项错误，不符合题意；∵2c＝2×＝＝b，∴D选项正确，符合题意，故选：D．5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）183183182182方差 5.7 3.5 6.78.6要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义求解即可．解：由表格知，乙的方差最小，所以乙运动员发挥最稳定，故选：B．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠ACB＝50°，由等腰三角形的性质可得出答案．解：连接OC，∵∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝50°﹣20°＝30°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC＝30°，故选：C．7．如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c的正方形，则下列等式成立的是（）A．a+b＝c B．a2+b2＝c2C．c2＝（a+b）（a﹣b）D．c2＝（a+b）2﹣4ab【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．解：由图可得剩下正方形面积为：（a+b）2﹣4×ab，根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2，∴（a+b）2﹣4×ab＝c2，化简得a2+b2＝c2，故选：B．8．如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（﹣2，0），表示冰壶馆的点的坐标为（﹣3，2），则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（）A．滑雪大跳台（﹣5，0）B．五一剧场（﹣3，﹣2）C．冬奥组委会（﹣5，4）D．全民畅读艺术书店（5，0）【分析】根据群明湖的点的坐标和冰壶馆的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出馆建筑的点的坐标．解：滑雪大跳台（﹣5，0），五一剧场（﹣3，4），冬奥组委会（﹣5，8），全民畅读艺术书店（0，5）；故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个比0大且比2小的无理数（答案不唯一）．【分析】只需要写出一个符合题意的无理数即可．解：比0大比2小的无理数都可以，如：，，故答案为：（答案不唯一）．10．一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是．【分析】直接根据概率公式求解．解：∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是＝；故答案为：．11．若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为8．【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．解：设正多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得：n＝8，故答案为：8．12．已知二元一次方程2x﹣3y＝10，若x与y互为相反数，则x的值为2．【分析】由x与y互为相反数得y＝﹣x，代入2x﹣3y＝10即可得答案．解：∵x与y互为相反数，∴y＝﹣x，把y＝﹣x代入2x﹣3y＝10得：2x﹣3（﹣x）＝10，即5x＝10，∴x＝2，故答案为：2．13．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD 交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①BF＝EF；②∠BFE＝∠BAD．【分析】①由等边对等角得到∠D＝∠ABD，再由两直线平行，同位角相等得到∠D＝∠BEF，即得∠ABD＝∠BEF，由等角对等边即得结果；②由两直线平行，同位角相等即可的结果．解：①∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∵EF∥AD，∴∠D＝∠BEF，∴∠ABD＝∠BEF，∴BF＝EF．②∵EF∥AD，∴∠BFE＝∠BAD．故答案为：BF＝EF；∠BFE＝∠BAD．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．若a＜0，则点A在第二象限．【分析】把点A（a，b）代入y＝﹣得，ab＝﹣1，由a＜0，得出b＞0，即可判定点A 在第二象限．解：∵点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．∴ab＝﹣1，a＜0，∴b＞0，∴点A在第二象限，故答案为二．15．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：价格折扣原价9折8折7折6折5折每周销售数量（单位：件）20254090100150为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利72000元．【分析】前两周每周只卖了20件，还剩下360件，后四周每天至少要卖90件，所以分别计算7折，6折，5折的盈利即可．解：∵400﹣20×2＝360（件），∴要在六周内卖完，后四周，每周至少要卖360÷4＝90（件），当打七折时，售价为700元，成本为500元，故共盈利（700﹣500）×360＝72000（元），当打六折时，售价为600元，成本为500元，故共盈利（600﹣500）×360＝36000（元），当打五折时，售价为500元，成本为500元，故共盈利0元，故答案为：72000．16．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（1，1），有以下4种说法：①一次函数y＝x的图象与线段AB无公共点；②当b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点；③当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点；④当b＞1时，二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB无公共点．上述说法中正确的是②③．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征以及它们的性质即可判断．解：①∵一次函数y＝x的图象经过点（1，1），∴一次函数y＝x的图象与线段AB有公共点，故①错误；②∵b＜0，∴1+b＜1，∵一次函数y＝x+b的图象经过点（1，1+b），∴b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点，故②正确；③∵当x＝1时，反比例函数y＝＝k＞1，∴当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点，故③正确；④∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象经过点（0，1），∴二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB有公共点，故④错误；故答案为②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：|﹣4|+（π﹣3.14）0﹣﹣6tan30°．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝4+1﹣2﹣6×＝4+1﹣2﹣2＝1．18．解不等式≤x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．解：去分母得：x﹣1≤3x﹣3，移项合并得：﹣2x≤﹣2，解得：x≥1．将解集表示在数轴上如下：19．已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（x﹣y）的值．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算即可．解：（2x+y）2﹣4y（x﹣y）＝4x2+4xy+y2﹣4xy+5y2＝4x2+6y2，∵2x2+3y2＝1，∴原式＝2（2x2+3y2）＝2．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则△＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．（2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴（2m+1）2﹣4m2＞0，解得：m＞﹣．（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，∵方程的解为整数，∴4m+1为完全平方数，则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．21．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；②作直线MN，交AC于点E；③连接DE．所以线段DE即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AM＝CM，AN＝CN，（填∴MN是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）．推理的依据）∴点E是AC的中点．∵点D是AB的中点，∴DE＝BC（三角形中位线性质）．（填推理的依据）【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断MN是AC的垂直平分线，则点E是AC的中点，然后根据三角形中位线性质得到DE＝BC．【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）；∴点E是AC的中点．∵点D是AB的中点，∴DE＝BC（三角形中位线性质）．故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再由EF＝DA，得EF＝BC，EF∥BC，则四边形BCEF是平行四边形，再证∠CEF＝90°，即可得出结论；（2）由勾股定理的逆定理证△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，再由面积法求出CE ＝，然后由矩形的性质得∠FBC＝90°，BF＝CE＝，最后由勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵EF＝DA，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∵CF＝4，DF＝5，∴CD2+CF2＝DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，∴CE＝＝＝，由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝，∴BC＝＝＝，∴EF＝．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）经过一个定点P，直线l 与反比例函数y＝（x＞0）图象相交于点P．（1）直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向右（填“左”或“右”）平移1个单位得到的，请直接写出定点P的坐标；（2）求m的值；（3）直线y＝kx﹣k+3（k≠0）与x轴、y轴分别交于点M，N．若PM＝2PN，求k的值．【分析】（1）由平移的性质得出向右平移，再令x﹣1＝0，求出定点P的坐标；（2）将点P的坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；（3）先求出点M，N的坐标，进而得出PM2，PN2，利用PM＝2PN，建立方程求解，即可得出结论．解：（1）y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向右平移1个单位得到的，针对于y＝k（x﹣1）+3（k≠0），令x﹣1＝0，即x＝1时，y＝3，∴定点P（1，3），故答案为右；（2）由（1）知P（1，3），∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3；（3）针对于直线y＝kx﹣k+3（k≠0），令x＝0则y＝﹣k+3，∴N（0，﹣k+3），令y＝0，则kx﹣k+3＝0，∴x＝1﹣，∴M（1﹣，0），由（1）知，P（1，3），∴PM2＝（1﹣﹣1）2+32＝+9，PN2＝12+k2＝k2+1，∵PM＝2PN，∴PM2＝4PN2，∴+9＝4（k2+1），∴4k4﹣5k2﹣9＝0，∴（4k2﹣9）（k2+1）＝0，∴k＝或k＝﹣．【注】（3）的第二种方法提示：分k大于0和小于0两种情况，利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再将点M的坐标代入直线解析式中，即可得出结论．24．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O 于点B，D，连接AB，AC．（1）求证：AB∥OP；（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．【分析】（1）连接BD，由切线的性质得出PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，得出∠BAD＝∠COD，则可得出结论；（2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：连接BD，∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，∴PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，∴BD⊥PO，∴，∴∠BAD＝∠COD，∴AB∥OP；（2）解：由（1）得∠BAD＝∠POD，∵PD切⊙O于点D，∴PD⊥OD，∴tan∠POD＝，∵AD＝2OD，在Rt△PDA中，∠PDA＝90°，PA＝2，∴AD＝PD＝2，∴OD＝OC＝1，在Rt△PDO中，∠PDO＝90°，PD＝2，OD＝1，∴PO＝＝，∴PC＝PO﹣CO＝﹣1．25．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．收集数据七年级66 70 71 78 71 78 75 78 58 a63 90 80 85 80 89 85 8680 87八年级61 65 74 70 71 74 74 76 63 b91 85 80 84 87 83 82 8086 c整理、描述数据成绩x/分数七年级成绩统计情况八年级成绩统计情况频数频率频数频率50≤x≤5910.050060≤x≤6920.1030.1570≤x≤7960.3080≤x≤89m100.5090≤x≤10010.0510.05（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：年级平均数中位数众数七年级77.57980八年级77.4n74请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝80，m＝0.45，n＝80；（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是80；（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为210．【分析】（1）根据平均数可求出a的值，再根据频数统计可得出m的值，利用中位数的意义可得n的值；（2）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；（3）求出七、八年级优秀的人数即可．解：（1）（66+70+71+78+71+78+75+78+58+a+63+90+80+85+80+89+85+86+80+87）＝77.5，解得a＝80，七年级这20名同学的成绩在80≤x≤90d的有9人，即m＝9÷20＝0.45，将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是80，因此中位数是80，即n＝80，故答案为：80，0.45，80；（2）七年级低于80分的有10人，大于或大于80分的有10人，而八年级低于80分的有9人，高于或等于80分的有11人，因此在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，他的成绩可能是80分，故答案为：80；（3）200×（0.45+0.05）+200×（0.50+0.05）＝100+110＝210（人），故答案为：210．26．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．【分析】（1）①利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可．②由题意，判断出x＝2时，y＝5，利用待定系数法可得结论．（2）当c＝2b时，y═x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，分三种情形：①当﹣＜b，即b＞0时，②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，③当﹣＞b+2，即b ＜﹣，分别利用待定系数法，构建方程求解即可．解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴函数的最小值为3．②∵y＝x2﹣2x+c，∴对称轴x＝1，∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，∴x＝2时，y＝5，∴5＝4﹣4+c，∴c＝5．（2）当c＝2b时，y═x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，∴x＝﹣，y的值最小，∴b2﹣+2b＝12，方程无解．③当﹣＞b+2，即b＜﹣，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+6b+4为最小值，∴2b2+6b+4＝12．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；综上所述，满足条件的b的值为2或﹣4．27．已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM 绕点D逆时针旋转120°得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM与BF的数量关系为：EM＝BF，∠DBF＝120°．（2）如图2，若DM＝2MC，在边AB上有一点N，使得∠NDM＝120°．直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接DE，根据SAS，证△BDF≌△EDM，即可得出EM＝BF，∠DBF＝120°；（2）过点D作DG∥AC交AB于G，得出DG为△ABC的中位线，再根据ASA证△NDG ≌△MDC，得出DN＝DM，NG＝CM，然后根据各边关系得出BN+ND＝CD．解：（1）①如图1；②连接DE，∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB且DE∥AB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC，∵D为BC的中点，∴BD＝BC＝DE，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝120°＝∠BDM+∠EDM，∵∠BDM+∠BDF＝∠MDF＝120°，∴∠BDF＝∠EDM，∴△BDF≌△EDM（SAS），∴EM＝BF，∠DBF＝∠DEM，∵∠CED＝60°，∴∠DEM＝120°，∴∠DBF＝∠DEM＝120°；故答案为EM＝BF，120°；（2）如图2，过点D作DG∥AC交AB于G，∴∠BDG＝∠C＝60°，∠BGD＝∠A＝60°，∴△BDG为等边三角形，又∵D是BC边上的中点，∴BD＝DG＝BC，DG为△ABC的中位线，∴DG＝DC，∵∠NDM＝120°＝∠NDG+∠GDM，∠GDC＝120°＝∠GDM+∠MDC，∴∠NDG＝∠MDC，∴△NDG≌△MDC（ASA），∴DN＝DM，NG＝CM，∵BN+NG＝BG，DM＝2CM，∴DN＝2NG，∴BN+DN＝BG，∵BG＝AB，CD＝BC，∴BG＝CD，∴BN＝CD﹣ND，即BN+ND＝CD．28．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点．（1）当⊙O的半径为2时，①在T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）三个点中，是⊙O的二倍点的是T2、T3；②已知一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，求a的取值范围．（2）已知点M（m，0），B（0，﹣），C（1，﹣），⊙M的半径为2，若线段BC 上存在点P为⊙M的二倍点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，求出T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）与圆心的距离即可得答案；②过O作OC⊥AB于C，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，k ＞0，且1＜a≤2且OC＞1，用a的代数式表示OC，列出不等式，即可解得a的范围；（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得m范围．解：（1）∵对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点，∴⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，①∵T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，），∴OT1＝1，OT2＝＝，OT3＝＝，∴⊙O的二倍点的是T2、T3，故答案为：T2、T3．②若k＜0，则y＝kx+2k在第二象限的图象是一条射线（不含端点），不可能所有点都是⊙O的二倍点，故k＞0，又x＝﹣2时，y＝0，即直线y＝kx+2k过定点B（﹣2，0），过O作OC⊥AB于C，如图：由OB＝|﹣2|＝2，OA＝a可得AB＝，而S△AOB＝OB•OA＝AB•OC可得OC＝，∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），∴1＜a≤2且OC＞1∴，解得＜a≤2；（2）①当⊙M从B左侧沿x正方向移动时，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：则满足BM＜2，且CM＞1，∴﹣﹣m＜2，且＞1，解得m＞﹣，且m＜1﹣或m＞1+，结合图形可得，此时线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，﹣＜m＜1﹣，②当M移动到B右侧，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：则满足BM ＞1，且CM ＜2， ∴m ﹣（﹣）＞1，且＜2，解得m ＞，且1﹣＜m ＜，结合图形可得，此时线段BC 上存在点P 为⊙M 的二倍点，＜m ＜，综上所述，线段BC 上存在点P 为⊙M 的二倍点，则﹣＜m ＜1﹣或＜m ＜．。