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第22讲特殊的平行四边形命题点1 矩形的性质与判定1．(2013·河北T12·3分)如图，已知线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．图1 图2对于两人的作业，下列说法正确的是(A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对命题点2 菱形的性质与判定2．(2017·河北T9·3分)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．(2013·河北T11·3分)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD, NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN ＝(B)A．3 B．4 C．5 D．64．(2011·河北T14·3分)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝5．命题点3 正方形的性质与判定5．(2011·河北T23·9分)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE ＝BK＝AG.(1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；(3)连接(2)中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当CE CB ＝1n 时，请直接写出S 正方形ABCDS 正方形DEFG的值．解：(1)证明：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°. 又∵CE ＝AG ，∴△DCE ≌△DAG(SAS)． ∴DE ＝DG ，∠EDC ＝∠GDA. ②又∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＋∠GDA ＝90°，即∠GDE ＝90°. ∴DE ⊥DG. (2)如图．(3)猜想：四边形CEFK 为平行四边形． 证明：设CK ，DE 相交于M 点．∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG. ∵BK ＝AG ，∴KG ＝AB ＝CD. ∴四边形CKGD 是平行四边形． ∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG ∥EF. ∴四边形CEFK 为平行四边形． (4)S 正方形ABCD S 正方形DEFG ＝n 2n 2＋1. 命题点4 矩形的分割与正方形的拼接6．(2014·河北T8·2分)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠(A)A ．2B ．3C ．4D ．57．(2015·河北T16·2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以命题点5 特殊四边形之间的联系8．(2016·河北T6·3分)关于平行四边形ABCD 的叙述，正确的是(C)A ．若AB ⊥BC ，则平行四边形ABCD 是菱形 B ．若AC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AC ＝BD ，则平行四边形ABCD 是矩形 D ．若AB ＝AD ，则平行四边形ABCD 是正方形重难点1 矩形的性质与判定如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点． (1)若AE ＝BF ＝CG ＝DH.求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2，求矩形ABCD 的面积．【思路点拨】(1)在矩形ABCD 对角线上有条件，同时还在四边形EFGH 对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD 的面积可转化成求AC 与DG 的积或转化成AD 与CD 的积． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH. ∴四边形EFGH 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵OE ＝12OA ，OF ＝12OB ，OG ＝12OC ，OH ＝12OD ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.∴四边形EFGH 是矩形．∵DG ⊥AC ，OG ＝2，∴OD ＝4.∴DG ＝2 3.又∵AC ＝4OF ＝8，∴S △ADC ＝12AC ·DG ＝8 3.∴S 矩形ABCD ＝2S △ADC ＝16 3.【变式训练1】如图，四边形ABCD 是矩形， AH ，BH ，CN ，DN 分别平分∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA.求证：四边形MNGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°.∵AH ，BH ，CN ，DN 分别平分∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ， ∴∠HAB ＝∠HBA ＝∠DCN ＝∠CDN ＝∠MDA ＝∠MAD ＝ 45°. ∴∠HMN ＝∠AHB ＝∠CND ＝90°. ∴四边形MNGH 是矩形． 方法指导1．判定矩形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找角或对角线上的特殊关系．若角度易求，则证明一内角为90°即可；若对角线易找，则证明对角线相等即可． 2．利用矩形的性质计算的一般思路：矩形四个内角均为直角，所以常借助勾股定理计算，又因为矩形对角线相等且互相平分，因此常把这一条件转化到同一个三角形中求解．注：矩形可以看作两个全等的直角三角形以斜边为重合边拼接而成．Ｋ 重难点2 菱形的性质与判定在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.(1)如图1，若点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，OE ，OF ，求证：四边形AEOF 是菱形；图1 图2(2)如图2，若E ，F 分别在射线DB 和射线BD 上，且BE ＝DF. ①求证：四边形AECF 是菱形；②若∠AEC ＝60°，AE ＝6，AB ＝BE ，求AB 的长．【思路点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt △ABO 中进行求解． 【自主解答】解：(1)证明：∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴AE ＝12AB ，AF ＝12AD.又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AC ⊥BD.∵E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE ＝AF ＝OF ＝OE. ∴四边形AEOF 是菱形．(2)①证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，BD ⊥AC. ∵BE ＝DF ，∴OB ＋BE ＝OD ＋DF ，即OE ＝OF. ∴四边形AECF 是菱形．②∵四边形AECF 是菱形，∴AE ＝CE ，AO ⊥EF ，∠AEO ＝∠CEO. ∵∠AEC ＝60°，∴∠AEO ＝30°. ∵AE ＝6，∴AO ＝3.∵AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠AEB ＝30°.∴∠ABO ＝∠AEB ＋∠BAE ＝60°. ∴在Rt △AOB 中，AB ＝AO sin ∠ABO ＝3sin60°＝2 3.【变式训练2】(2018·淮安)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(A)A ．20B ．24C ．40D ．48【变式训练3】如图，在▱ABCD 中，添加一个条件AB ＝BC 或AC ⊥BD 使平行四边形ABCD 是菱形．方法指导1．判定菱形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找边或对角线上的特殊关系，若边易找，则证明一组邻边相等即可；若对角线易找，则证明对角线互相垂直即可．2．利用菱形的性质计算的一般思路：菱形对角线互相垂直平分，所以常借助勾股定理计算，又因为菱形四条边都相等，因此常把这一条件转化同一个三角形中求解．注：菱形可以看作两个全等的等腰三角形以底为重合边拼接在一起． 重难点3 正方形的性质与判定已知：在边长为8的正方形ABCD 的各边上截取AE ＝BF ＝CG ＝DH.(1)如图1，连接AF ，BG ，CH ，DE ，依次相交于点N ，P ，Q ，M ，求证：四边形MNPQ 是正方形； (2)如图2，若连接EF ，FG ，GH ，HE. ①求证：四边形EFGH 是正方形；②当四边形EFGH 的面积为50 cm 2时，求tan ∠FEB 的值．图1 图2【思路点拨】(1)先证明四边形MNPQ 是矩形，再证明一组邻边相等；(2)①先证明四边形EFGH 是菱形，再证明它是矩形；②利用勾股定理，求BE ，BF ，再利用正切三角函数定义求值． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°.在△ABF 和△BCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ，BF ＝CG ，∴△ABF ≌△BCG(SAS)．∴∠BAF ＝∠GBC.∵∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠GBC ＋∠AFB ＝90°. ∴∠BNF ＝90°.∴∠MNP ＝∠BNF ＝90°.∴同理可得∠NPQ ＝∠PQM ＝90°.∴四边形MNPQ 是矩形． 在△ABN 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CBG ，∠ANB ＝∠BPC ，AB ＝BC ，∴△ABN ≌△BCP(AAS)．∴AN ＝BP.在△AME 和△BNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠GBC ，∠AME ＝∠BNF ，AE ＝BF ，∴△AME ≌△BNF(AAS)．∴AM ＝BN.∴MN ＝NP.∴四边形MNPQ 是正方形． (2)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 又∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG. ∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG(SAS)． ∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE. ∴四边形EFGH 是菱形．∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是正方形．②∵四边形EFGH 的面积为50 cm 2，∴EF 2＝50 cm 2. 设BE ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm.在Rt △BEF 中，由勾股定理，得BE 2＋BF 2＝EF 2，即x 2＋(8－x)2＝50. 解得x 1＝1，x 2＝7.当BE ＝1 cm 时，BF ＝7 cm ，tan ∠FEB ＝BFBE ＝7；当BE ＝7 cm 时，BF ＝1 cm ，tan ∠FEB ＝BF BE ＝17.∴tan ∠FEB 的值为17或7.【变式训练4】(2018·唐山丰南区模拟)如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为(B)A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【变式训练5】已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)A ．AC ＝BDB ．AB ＝CDC ．AD ＝BC D ．BC ＝CD 方法指导1．证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形．2．在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解．注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起． 重难点4 图形的剪拼(2017·河北模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝CD ，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，如图，这个操作可以是(C)A ．沿BD 剪开，并将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°B ．沿AC 剪开，并将△ACD 绕点C 逆时针旋转90° C ．沿BD 剪开，并将△BCD 绕点D 顺时针旋转90° D ．沿AC 剪开，并将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°提示：如图，沿BD 剪开，将△BCD 绕点D 顺时针旋转90°，由旋转性质可知，CD 与AD 重合，BD 与DE 重合，且∠EDB ＝90°，∠C ＝∠EAD.又∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠C＝180°.∴∠EAD＋∠BAD＝180°.∴E，A，B在一条直线上．∴△EDB是等腰直角三角形．【变式训练6】(2017·河北模拟)在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：如图1，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：如图2，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．图1 图2下列说法正确的是(A)A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以方法指导1．能否剪拼成功的标志是变化前后看面积是否保持不变．2．虽然位置发生变化，但只有相等的两边才能拼在一起．能拼在一起必是相等边．注：对一些常见的拼图要熟悉，如“勾股直方图”等．1．(2018·上海)已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B)A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形3．(2018·保定竞秀区二模)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1＋∠2＝(A) A．90°B．100°C．110°D．120°4．(2018·广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．5．(2018·株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为2.5．6．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.(1)求证：DF ＝AB ；(2)若∠FDC ＝30°，且AB ＝4，求AD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝∠ADC ＝90°， AD ∥BC.∴∠AEB ＝∠DAF. 又∵DF ⊥AE ， ∴∠DFA ＝90°. ∴∠DFA ＝∠B.在△ADF 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAD ＝∠BEA ，∠AFD ＝∠B ，AD ＝EA ，∴△ADF ≌△EAB(AAS)．∴DF ＝AB.(2)由(1)知△ADF ≌△EAB ， ∴DF ＝AB ＝4.∵∠ADC ＝∠DFA ＝90°，∠FDC ＝30°， ∴∠ADF ＝60°，∠FAD ＝30°. ∴AD ＝2DF ＝8.7．(2018·广西)如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝DF.(1)求证：▱ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D.∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD. ∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.在△AEB 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∠AEB ＝∠AFD ，∴△AEB ≌△AFD(ASA)． ∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形． (2)连接BD ，交AC 于点O.∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ＝12×6＝3.∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得BO ＝AB 2－AO 2＝4.∴BD ＝2BO ＝8. ∴S ▱ABCD ＝12AC ·BD ＝24.8．(2018·遵义)如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.(1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°. ∵∠EOF ＝∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON.∴△OAM ≌△OBN(ASA)． ∴OM ＝ON.(2)过点O 作OH ⊥AD 于点H. ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2.∵E 为OM 的中点， ∴A 为HM 的中点． ∴HM ＝4.∴OM ＝22＋42＝2 5. ∴MN ＝2OM ＝210.9．(2018·唐山滦南县一模)将一个棱长为1的无盖正方体纸盒展开(如图1)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图2)，则所拼得的正方形的边长为(C)A.32B. 3C. 5D. 610．(2018·镇江)如图，点E ，F ，G 分别在菱形ABCD 的边AB ，BC ，AD 上，AE ＝13AB ，CF ＝13CB ，AG ＝13AD.已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD 的面积等于27．11．(2018·台州)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，则△BCG提示：△BCE ≌△CDF ，△BGC 为直角三角形，S △BGC ＝S 四边形DEGF ＝32.12．(2017·潍坊)边长为6的等边△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DE ∥AB ，EC ＝2 3.(1)如图1，将△DEC 沿射线方向平移，得到△D ′E ′C ′，边D ′E ′与AC 的交点为M ，边C ′D ′与∠ACC ′的平分线交于点N ，当CC ′多大时，四边形MCND ′为菱形？并说明理由；(2)如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D ′E ′C ，连接AD ′，BE ′.边D ′E ′的中点为P.①在旋转过程中，AD ′和BE ′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接AP ，当AP 最大时，求AD ′的值．(结果保留根号)图1 图2解：(1)当CC ′＝3时，四边形MCND ′是菱形． 理由：由平移的性质，得CD ∥C ′D ′，DE ∥D ′E ′. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴∠ACC ′＝180°－∠ACB ＝120°. ∵CN 是∠ACC ′的平分线， ∴∠NCC ′＝12∠ACC ′＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠B ＝60°＝∠D ′E ′C ′. ∴∠D ′E ′C ′＝∠NCC ′.∴D ′E ′∥CN. ∴四边形MCND ′是平行四边形． ∵∠ME ′C ′＝∠MCE ′＝60°，小初高试卷教案习题集小初高试卷教案习题集 ∠NCC ′＝∠NC ′C ＝60°，∴△MCE ′和△NCC ′都是等边三角形．∴MC ＝CE ′，NC ＝CC ′.∵E ′C ′＝EC ＝23，四边形MCND ′是菱形．∴CN ＝CM.∴CC ′＝12E ′C ′＝ 3. (2)①AD ′＝BE ′，理由：当α≠180°时，由旋转的性质，得∠ACD ′＝∠BCE ′，由(1)知，AC ＝BC ，CD ′＝CE ′，∴△ACD ′≌△BCE ′(SAS)．∴AD ′＝BE ′.当α＝180°时，AD ′＝AC ＋CD ′，BE ′＝BC ＋CE ′，∴AD ′＝BE ′.综上，AD ′＝BE ′.②连接CP.在△ACP 中，由三角形三边关系，得AP ＜AC ＋CP ，∴当点A ，C ，P 三点共线时，AP 最大，如图．∵CD ′＝CE ′，P 为D ′E ′的中点，∴AP ⊥D ′E ′，PD ′＝ 3.∴CP ＝3.∴AP ＝6＋3＝9.在Rt △APD ′中，由勾股定理，得AD ′＝AP 2＋PD ′2＝221.13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)A ．S 长方形ABNN ＝S 长方形MNCDB ．S 长方形EBMF ＝S 长方形AEFNC ．S 长方形AEFN ＝S 长方形MNCDD ．S 长方形EBMF ＝S 长方形NFGD。
