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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课件2新人教A版必修4

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人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.2.1(一) 任意角的三角函数 (共46张PPT)

人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.2.1(一) 任意角的三角函数 (共46张PPT)
有八九都会成功。 肯承认错误则错已改了一半。 人惟患无志，有志无有不成者。 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 人若有志，万事可为。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 当你飞黄腾达的时候，你的朋友知道你是谁；当你穷困潦倒的时候，你才知道你的朋友是谁。 要想成为强者，决不能绕过挡道的荆棘，也不能回避风雨的冲刷。 君子坦荡荡，小人常戚戚。——《论语》 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 只有想不到的事，没有做不到的事。 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。

1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章

1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章

反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan


解
17π
4 ；
π

π

原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点

； 叫做α的正切，记作

②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则



2
2


x
＋y

有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝

高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数第2课时教学课件新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数第2课时教学课件新人教A版必修4
所以角 α 的集合为 α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD， 则角 α 的终边在如图②所示的阴影区域内．
所以角 α 的集合为 α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
单位圆中求作角的终边的方法
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题 的重要工具，应用它可以求作满足形如f(α)＝m 的三角函数的角的终边．具体作法是先作出直 线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交 点连接所得射线即为所求角的终边．
(2)如图，作出正弦值等于12 的角 x 的终边，则正弦值大于
12的角 x 的终边与单位圆的交点在劣弧P︵1P2 上，∴所求角 x 的
取值范围是x2kπ＋π6＜x＜2kπ＋56π，k∈Z
.
答案：(1)0，π6∪116π，2π
(2)x2kπ＋π6＜x＜2kπ＋56π，k∈Z
利用三角函数线解三角不等式
(1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，利用它使解三角不等式更为简便．
(2)求解三角函数的定义域时，一般应转化为求 不等式(组)的解的问题，然后利用三角函数线 或数轴求解．
解不等式：3tan α＞－ 3. 解：要使 3tan α＞－ 3，即 tan α＞－ 33.
由正切线知－π6＋kπ＜α＜π2＋kπ，k∈Z.
(2)三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正 切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法， 即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT .
(3)三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较 同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后 学习三角函数的图象与性质的基础．
三角函数线的作法

高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课件1新人教A必修4

高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课件1新人教A必修4

sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
例2.已知角α 的终边经过点P0（－3，－4），求 角α 的正弦、余弦和正切值.
解：由已知可得：
提示：
sin b
rcos Biblioteka artan b
a
y
r
α
O
A P(a，b)
Bx
思考2 对于确定的角α ，上述三个比值是否
随点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？
为什么？
P
﹒P
△OMP ∽ △OMP
sin MP M P
OP
OP
cos OM
OP
OM OP
解: 因 为 x 12, y 5 ,所 以 r (12)2 52 13 ，
于是 sin y 5 ， r 13
cos x 12 ， r 13
tan y 5 ． x 12
探究二：三角函数的符号
思考： 根据任意角三角函数的定义，sinα ， cosα ，tanα 的值的符号取决于什么？
【即时训练】
确定下列各三角函数值的符号：
(1) sin 13 ; 7
解：
(2)cos 130°； (3) tan( 2).
3
(1)sin 13 0 (2) cos 130 0 (3) tan( 2) 0
7
3
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值.
3
解：在 直 角 坐 标 系 中 ,作 AOB 5 （ 如 图） . 3
1.掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数 是以实数为自变量的函数. （重点） 2.已知角α终边上一点，会求角α 的各三角函数值. 3.掌握三角函数的定义域. （重点、难点）

人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt

人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt

cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件

高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件

o
x
p
α终边
T
例7：不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：
y 1
由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
o 1x
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
y 1
o 1x
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
tan 2π < tan 4π
sinθ < 0 tanθ > 0
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
{ k2 , k Z }
∴
终边相同
点的坐标相同
同一三角函数值
诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相 等，由此得到（公式一）：
sin(α + k 2π) = sinα;
示角α的正弦值和余弦值吗？
y
| MP |= y = sinα
P（x，y）
| OM |= x = cosα
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆 的交点为P（x，y），则 sin y ，
cos x都是负数，此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
p
Mo
y
M
o
p
y α终边
p(x , y)
x
oM x
正弦线
余弦线

1.2.1 任意角的三角函数2ppt


P(x,y)
y
rห้องสมุดไป่ตู้

P 1
O
x
复习巩固
2.三个三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin
cos
tan
{ | k , k Z } 2
R R
复习巩固
3.三角函数值的符号问题
y
正弦为正 正切为正
三角函数全为正
x
o
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
新知探究 终边相同的角的三角函数
9 ; （5）cos 4
11 tan( ;（6） ) 6
.
3.写出角的终边在图中阴影区域内 的角的集合(不包括边界).
作业：
P20-21：4，7，
9：（1）（2）
《学海导航》第三课时
3.在求任意角的三角函数值时，上述公 式有何功能作用？
例1. 求证：当且仅当不等式组
sin 0 成立时，角θ 为第三象限角. tan 0
例2.确定下列三角函数值的符号. （1）cos 250 ;（2）sin( ) ;（3）tan(672 ) ;
4
（4） tan3
1.终边相同的角的同名三角函数值相等.
k Z
sin( 2k ) sin
公式一：
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
k Z
2p
新知探究
1.若sinα =sinβ ，则角α 与β 一定相 同吗？
2p
2.函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 1.2.1 任意角的三角函数 2（新人教A版）

必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时


(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则2θ是第
象限角．
A．一
数
学 必
C．一或三
修
④
·
人
教
A
版
B．三 D．任意象限角
( C)
返回导航
第一章 三角函数
[解析] (1)①π2<3<π，π<4<32π，32π<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标
(a，b)，则对应角的正弦值 sinα＝ a2b＋b2，余弦值 cosα＝ a2a＋b2，正切值 tanα数 学Fra bibliotek必＝ab．
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
·
人 教
数进行分类讨论．
A
版
返回导航
数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
返回导航
第一章 三角函数
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
(A)
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于 25 _____5_．
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
人 教
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
A
版

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)



tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?

人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件

公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
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)
【解析】(1)错误.相等的角正弦值相等，但是正弦值相等的两个角未 必相等. (2)错误.因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，所以sinα>0， cosα大于零、小于零或等于零都有可能. (3)错误.对于任意角α，sinα，cosα都有意义，但是终边落在y轴 上的角tanα无意义. 答案：(1)〓 (2)〓 (3)〓
4.sin 3 =________，cos 3=________，tan 3=________. 【解析】角 3的终边与单位圆的交点坐标为
4
4
4
所以 sin 3 2 ，cos 3 2 ，tan 3 1.
4 答案： 2 2 2 4 2 4 2 2 1
4
2 2 ( ， )， 2 2
{ R | k ，k Z} ___________________ 2
3.三角函数值在各象限的符号
4.诱导公式一
sinα cosα tanα
即终边相同的角的同一三角函数的值_____. 相等
【即时小测】 1.判断. (1)相等的角正弦值相等，反之正弦值相等的两个角也相等.( (2)已知α 是三角形的内角，则必有sinα >0，cosα ≥0.( ) (3)对于任意角α ，sinα ，cosα ，tanα 都有意义.( )
y y __ x 叫做α 的正切，记作tanα ，即tanα =__(x≠0). x
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点 三角 的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三 函数 角函数.
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sinα cosα tanα
定义域 __ __
r r x
【解析】因为P(x，
) (x≠0)，
所以点P到原点的距离 r x 2 2.
又cos α= 3 x ，所以cos α= 6
3 x. 2 6 x 2 x
因为x≠0，所以x=〒
当x=
，所以
时，P点坐标为( 10， 2 )，
1 6 ， 5， tan 6 所以 sin 1 6 5 6 5 6 ； tan 6 6
【总结提升】 对正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明 (1)由三角函数的定义知 sin ，cos ，tan
y r x r y (r>0)，可知角的 x
三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确 确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限的符 号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
k∈Z不可遗漏.
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π (或 0°～360°)角的三角函数值.
【题型探究】 类型一 任意角三角函数的定义及应用 3 【典例】已知角α 终边经过点P(x， )(x≠0)，且cosα = x.求 6 1 sinα + 的值.
tan
【解题探究】本例中计算sinα 、cosα 、tanα 的依据是什么？ 提示：依据任意角三角函数的定义，即 若角α的终边上任一点P(x，y)，OP=r (r>0)，则 sin y ，cos x ，tan y .
数值？
【总结提升】 1.对任意角三角函数的三点说明 (1)在任意角的三角函数的定义中，α 是一个任意角，同时它也是一 个实数(弧度数). (2)三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐 标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α 的大小有关，即由 角α 的终边位置决定.
(3)要明确sinα 是一个整体，不是sin与α 的乘积，它是“正弦函数” 的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的 “sin”“cos”“tan”等是没有意义的.
知识点3 诱导公式一 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：诱导公式一的作用是什么？ 问题2：诱导公式一的结构特征是什么？
【总结提升】
对诱导公式一的三点说明
(1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等.
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α +k·2π ，右边的角为α .注意公式一中的条件
5.tan 390°的值为________.
【解析】tan 390°= tan(360°+30°)= tan 30°= 答案： 3
3 3 . 3
【知识探究】
知识点1 任意角三角函数的定义
观察图形，回答下列问题：
问题1：任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么？
问题2：知道某角终边任意一点的坐标，是否可以计算该角的三角函
1.2 1.2.1
任意角的三角函数 任意角的三角函数(一)
【知识提炼】 1.任意角的三角函数的定义
如图，设α 是一个任
前 提
意角，它的终边与单 位圆交于点P(x，y)
正弦 __叫做α 的正弦，记作sinα ，即sinα =__；
余弦 __叫做α 的余弦，记作cosα ，即cosα =__；
定 义 正切
2.若sinα <0，且tanα <0，则角α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选D.由sinα <0知角α 的终边落在第三、四象限或y轴的非正 半轴上，由tanα <0知角α 的终边落在第二、四象限，所以角α 是第 四象限角.
3.计算：sin180°+2cos270°的值为________. 【解析】180°的终边与单位圆的交点坐标为(-1，0)， 所以sin180°=0， 270°的终边与单位圆的交点坐标为(0，-1)， 所以cos 270°=0， 所以sin 180°+ 2cos 270°=0. 答案：0
2.任意角三角函数的另一种定义 设角α 的终边上任一点P(x，y)，OP=r(r>0)，如图所示
则
y x y sin ，cos ，tan . r r x
知识点2 三角函数值在各象限的符号 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么？ 问题2：三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？